1、參數方程極坐標系解答題2 21 曲線C 4 +=4，直線(t為參數)考點： 專題： 分析：解答:解: ( I )對于曲線C:=1，可令 x=2cos 0y=3sin 0,故曲線C的參數方程為Cs=2cos r|y=3sin 9,(0為參數).對于直線I:r - 2t (I )寫出曲線C的參數方程，直線I的普通方程.(n )過曲線C上任意一點P作與I夾角為30°的直線，交I于點A，求|PA|的最大值與最小值.參數方程化成普通方程；直線與圓錐曲線的關系.坐標系和參數方程.(I )聯想三角函數的平方關系可取x=2cos久y=3sin B得曲線C的參數方程，直接消掉參數t得直線I的普通方程；

2、(n)設曲線C上任意一點P (2cos 0, 3s inB).由點到直線的距離公式得到P到直線I的距離，除以|PA|的最大值與最小值.sin30°進一步得到|PA|，化積后由三角函數的范圍求得由得：t=x - 2，代入 并整理得：2x+y - 6=0;(n )設曲線 C上任意一點 P (2cos0, 3sin 0).| 4cob6 +3sin 9 - 6 |P到直線I的距離為其中a為銳角.當sin (0+ a) =- 1時，|PA取得最大值，最大值為當sin ( 0+ a) =1時，|PA|取得最小值，最小值為點評:此題考查普通方程與參數方程的互化，訓練了點到直線的距離公式，表達了數

3、學轉化思想方法，是中檔題.2.極坐標系的極點在直角坐標系的原點處，極軸與x軸的正半軸重合，直線I的極坐標方程為:廣I-Psin c 6，曲線C的參數方程為：0滬(a為參數).E 2|y=2sina(I)寫出直線I的直角坐標方程；(n)求曲線C上的點到直線I的距離的最大值.考點：參數方程化成普通方程.專題：坐標系和參數方程.分析：(1)首先，將直線的極坐標方程中消去參數，化為直角坐標方程即可；(2)首先，化簡曲線 C的參數方程，然后，根據直線與圓的位置關系進行轉化求解解答：解：(1)-直線1的極坐標方程為：|6 2，胰。1小1-P (sin 0- - cos 0)=., . ：I . 2Z 1k

4、=2+2cos y=2sin<ta為參數. x- _y+1=0 .(2)根據曲線C的參數方程為:得x - 2 2+y2=4 ,它表示一個以2, 0為圓心，以2為半徑的圓, 圓心到直線的距離為：d_3d=2 曲線C上的點到直線I的距離的最大值點評： 此題重點考查了直線的極坐標方程、曲線的參數方程、及其之間的互化等知識，屬于中檔題.3.曲線C1：- 4+casty=3+sintt為參數，C2：x-8cos RLy=3sin0B為參數.1化Cl, C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線;2假設C1上的點P對應的參數為7T,Q為C2上的動點，求 PQ中點M到直線C3：Ly= - 2+t

5、t為參數距離的最小值.考點：圓的參數方程；點到直線的距離公式；直線的參數方程.專題：計算題；壓軸題；轉化思想.分析：1分別消去兩曲線參數方程中的參數得到兩曲線的普通方程，即可得到曲線C1表示一個圓；曲線 C2表示一個橢圓；2把t的值代入曲線C1的參數方程得點P的坐標，然后把直線的參數方程化為普通方程，根據曲線C2的參數方程設出 Q的坐標，利用中點坐標公式表示出 M的坐標，利用點到直線的距離公式表示出 M到直線 的距離，禾U用兩角差的正弦函數公式化簡后，禾U用正弦函數的值域即可得到距離的最小值.解答:解：1把曲線C1：t為參數化為普通方程得:2 2(x+4)+ (y- 3)=1 ,所以此曲線表示

6、的曲線為圓心-4, 3,半徑1的圓;把C2：y=3sin9化為普通方程得:=1 ,所以此曲線方程表述的曲線為中心是坐標原點,焦點在x軸上，長半軸為7T2把t=代入到曲線8,短半軸為3的橢圓；C1的參數方程得：P -4, 4,把直線C3：t為參數化為普通方程得：x- 2y - 7=0 ,y= - t設 Q 的坐標為 Q (8cos 0, 3sin 0),故 M (- 2+4cos 0,sin 0)14cos R - 13 | | 5sin (口 - B ) - 13 |1VsVs所以M到直線的距離,(其中 sin, cos a5從而當cos 0=上，sin 9=-上時，d取得最小值 一1555靈

7、活運用點到直線的距離公式及中點坐標公式化點評：此題考查學生理解并運用直線和圓的參數方程解決數學問題,簡求值，是一道綜合題.4.在直角坐標系xOy中，以0為極點，x軸正半軸為極軸建立直角坐標系，圓C的極坐標方程為C二亦心 ° +衛，直線I的參數方程為! “二土t為參數，直線I和圓C交于A , B兩點，P是圓C*4y=-1+2721上不同于A , B的任意一點.I 求圓心的極坐標；n求厶PAB面積的最大值.考點：參數方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程.專題：坐標系和參數方程.分析:解答:I 由圓C的極坐標方程為 g五® B+專，化為p2=2典乎-爭P sine ，把 代入即

8、可得出.y=P sin9d，再利用弦長公式II把直線的參數方程化為普通方程，禾U用點到直線的距離公式可得圓心到直線的距離可得|AB|=2-.利用三角形的面積計算公式即可得出.解：I 由圓 C 的極坐標方程為 p =21/205 G ，化為 P=Q亡占 8 -sin 9 ,把"" -Lz 代入可得：圓C的普通方程為x2+y2 - 2x+2y=0，即x - 1 2+ y+1 2=2 ._y=psine 圓心坐標為1,- 1,圓心極坐標為血，罟；n 由直線I的參數方程y=-B272tt為參數，把t=x代入y= - 1+2g'T|t可得直線I的普通方程:點評:5.在平面直角

9、坐標系xoy中，橢圓的參數方程為 x/Scos 8|y=sin 6歸為參數以0為極點，x軸正半軸為極軸建立極圓心到直線I的距離|AB|=2-.,；-2，點P直線AB距離的最大值為廠V W2_W5S 匸 T、 X 7 mas 2339此題考查了把直線的參數方程化為普通方程、極坐標化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、弦長公式、三 角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.坐標系，直線的極坐標方程為TTH+ :,.求橢圓上點到直線距離的最大值和最小值.考點：橢圓的參數方程；橢圓的應用.專題：計算題；壓軸題.分析：由題意橢圓的參數方程為f K=V3C0S e為參數，直線的極坐標方程為

10、2Pcos 6+二珈.將橢1 y=sin93圓和直線先化為一般方程坐標，然后再計算橢圓上點到直線距離的最大值和最小值.解答：解：將2P 89 E+二二矩化為普通方程為 V3Y- Ve-0 4分 點V3COE0 ? sin 9 到直線的距離1侵託-岳費-3娠| 1佑曲日+號-麗6分所以橢圓上點到直線距離的最大值為,最小值為VE. io分點評：此題考查參數方程、極坐標方程與普通方程的區別和聯系，兩者要會互相轉化，根據實際情況選擇不冋的方程 進行求解，這也是每年咼考必考的熱點冋題.4E+Rt為參數，假設以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極56.在直角坐標系xoy中，直線I的參數方程為y= -1 - 7

11、I5坐標系，曲線C的極坐標方程為 P=二cos 肝.41求直線I被曲線C所截得的弦長；2假設M x，y是曲線C上的動點，求x+y的最大值.考點：參數方程化成普通方程.專題：分析：解答:計算題；直線與圓；坐標系和參數方程.1將曲線C化為普通方程，將直線的參數方程化為標準形式，利用弦心距半徑半弦長滿足的勾股定理，即 可求弦長.2運用圓的參數方程，設出 M,再由兩角和的正弦公式化簡，運用正弦函數的值域即可得到最大值.4e+r5電y= -1 -351解：1直線I的參數方程為t為參數，消去t,可得，3x+4y+1=0 ;二，由于尸叫罟迅裁聲“企，2 2 2即有p = pcos 0- pin 0,那么有x

12、 +y - x+y=0，其圓心為I弓-對1丨圓心到直線的距離 d= =二,V9+1&10故弦長為右-護2電-血冷；2可設圓的參數方程為:0為參數那么設M 丄衛,2 2一三【：，那么 x+y=),V2 fixV2 * -cos 已 +sin由于BR,那么x+y的最大值為1.點評： 此題考查參數方程化為標準方程，極坐標方程化為直角坐標方程，考查參數的幾何意義及運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題.P點的極坐標為7 .選修4 - 4:參數方程選講平面直角坐標系 xOy，以0為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,線C的極坐標方程為：| . I- - .I 寫出點P的直角坐標及曲線 C的普通

13、方程;n假設Q為C上的動點，求 PQ中點M到直線I:13+21(產- 2+tt為參數距離的最小值.考 參數方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程.占：八、專坐標系和參數方程.題：分 1利用x= pcos 0, y= pin 0即可得出；析：2利用中點坐標公式、點到直線的距離公式及三角函數的單調性即可得出, 解解1 / P點的極坐標為廠：.,答：xp=2V3cos-=2V3 x=3,yp=2V3sitry=2V3點P的直角坐標 d 5把 P2=x2+y2, y= ein0 代入 p 24-2V3P sin =1 可得耳 f+2逅尸1，即耳莓y+J§2=4 曲線C的直角坐標方程為s &#

14、39;十y+範2=4,.2曲線C的參數方程為0為參數，直線I的普通方程為x- 2y - 7=0設 J 1 - 1那么線段PQ的中點11 Vs10占八、評:1爭*9 - 2sin9 - 71 | cos 9 '-2sin0 -| 乜sin ( 6 - tp ) +耳Vl2+22Vs10亠那么點M到直線I的距離點M至煩線I的最小距離為此題考查了極坐標與直角坐標的互化、中點坐標公式、點到直線的距離公式、兩角和差的正弦公式、三角函數的 單調性等根底知識與根本技能方法，考查了計算能力，屬于中檔題.8在直角坐標系xOy中，圓C的參數方程(0為參數).以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.(

15、I)求圓C的極坐標方程;P (sin冊) =31,射線OM ：匸與圓C的交點為O, P,與直線I的交點為(n)直線I的極坐標方程是Q,求線段PQ的長.考點： 專題： 分析：簡單曲線的極坐標方程；直線與圓的位置關系. 直線與圓.(I)圓C的參數方程! x l+c罟“ (o為參數)消去參數可得：(x - 1) 2+y2=1 .把x= pcosB, y= psin B代入 y=sin(f.可得普通方程：直線I.丨一.：；，化簡即可得到此圓的極坐標方程.(II)由直線I的極坐標方程是 p( sin9 )=3(空，射線OM ：射線OM廠-，分別與圓的方程聯立解得交點，再利用兩點間的距離公式即可得出.解答

16、:x=L+cos Qy=sin0把x= pcos 0, y= psinB代入化簡得：p=2cos 0,即為此圓的極坐標方程.(II )如下圖，由直線I的極坐標方程是 p (sin 0+左ms B ) =3衙，射線解：(I)圓C的參數方程(0為參數).消去參數可得：(x- 1)2+y2=1.OM :可得普通方程：直線I * :"射線OM:.聯立y=V3x，解得聯立y=V3x(k - 1 )，即Q :.點評:識與根本方法，屬于中檔題.P -兩點間的距離公式等根底知(CL9.在直角坐標系xoy中，曲線Ci的參數方程為(a為參數)，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建(y=sinCl立極坐標

17、系，曲線 C2的極坐標方程為 pin(冊衛)=4寸衛.4(1) 求曲線Ci的普通方程與曲線 C2的直角坐標方程；考點： 專題： 分析：(2) 設P為曲線Ci上的動點，求點 P到C2上點的距離的最小值，并求此時點P的坐標.簡單曲線的極坐標方程.坐標系和參數方程.(1)由條件利用同角三角函數的根本關系把參數方程化為直角坐標方程，利用直角坐標和極坐標的互化公式x= pcos 0> y= psin 0,把極坐標方程化為直角坐標方程.(2)求得橢圓上的點 P (t/SccsCI ,)到直線x+y - 8=0的距離為I rr 丄 n o I口+- 8 |a的值，從而求得點可得d的最小值，以及此時的V

18、2V2的坐標.解答:解：(1)由曲線Ci：z-/3cos 厲，可得7Fcosay=sinCl，兩式兩邊平方相加得:即曲線Ci的普通方程為:/二 1 .11 ： ' '-廣，1,TT由曲線C2： Q雖口(B十亍二頊得:即 psin 0+ pcos 0=8，所以 x+y - 8=0,即曲線C2的直角坐標方程為：x+y - 8=0 .(2)由(1)知橢圓Ci與直線C2無公共點，橢圓上的點 P (后口耳或口任)到直線x+y - 8=0的距離為 懇品盼血8|加就(口礙)-81d= 忑 = V2 ，當si口)二1時，d的最小值為|頊，此時點P的坐標為(春 吉).Z-i£點評:此題

19、主要考查把參數方程、極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，正弦函數的值域，屬于根底題.10.直線I的參數方程是r V2+pt尸專t+辺(t為參數)，圓C的極坐標方程為兀f=2cos ( 0 -).求圓心由直線C的直角坐標；I上的點向圓C弓I切線，求切線長的最小值.考點：簡單曲線的極坐標方程.專題：計算題.分析：(I) 先利用三角函數的和角公式展開圓C的極坐標方程的右式，再利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用pcos 0=x , pin 0=y , p=x2+y2，進行代換即得圓 C的直角坐標方程，從而得到圓心C的直角坐標.(II) 欲求切線長的最小值，轉化為求直線I上的點

20、到圓心的距離的最小值，故先在直角坐標系中算出直線 上的點到圓心的距離的最小值，再利用直角三角形中邊的關系求出切線長的最小值即可.解答:解：(I) -V2sin *，心二伍Rg/ -逅p sin 9，即-+廠八：(II) 直線I的普通方程為嘗呼+S I -7=5圓心C到直線I距離是)-=,圓心直角坐標為5分點評:直線I上的點向圓C引的切線長的最小值是一 -二 (10 分)此題考查點的極坐標和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置,坐標系中刻畫點的位置的區別，能進行極坐標和直角坐標的互化.體會在極坐標系和平面直角11. 在直角坐標系xOy中，以0為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系，直線

21、I的參數方程為蓋土 , (t為參數)，曲lyal線C1的方程為P ( p- 4sinB) =12，定點A (6, 0),點P是曲線Ci上的動點，Q為AP的中點.(1) 求點Q的軌跡C2的直角坐標方程；(2) 直線I與直線C2交于A , B兩點，假設|AB|支.；，求實數a的取值范圍.考點：簡單曲線的極坐標方程；參數方程化成普通方程.專題：坐標系和參數方程.分析：(1)首先，將曲線 C1化為直角坐標方程，然后，根據中點坐標公式，建立關系，從而確定點直角坐標方程；(2)首先，將直線方程化為普通方程，然后，根據距離關系，確定取值范圍.解答：解：(1)根據題意，得曲線C1的直角坐標方程為：x2+y2

22、- 4y=12，設點 P (X, y')，Q (x，y)，根據中點坐標公式，得Q的軌跡C2的J =2y代入 x2+y2- 4y=12，圓C的直角坐標方程為 / + y '-寸整+飛邁尸0，得點Q的軌跡C2的直角坐標方程為：(x - 3) 2+ (y - 1) 2=4，(2)直線I的普通方程為：y=ax，根據題意，得1丨/廠解得實數a的取值范圍為：0,-.4點評： 此題重點考查了圓的極坐標方程、直線的參數方程，直線與圓的位置關系等知識， 考查比擬綜合，屬于中檔題,解題關鍵是準確運用直線和圓的特定方程求解.12. 在直角坐標系xoy中以O為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系.圓Ci,

23、直線C2的極坐標方程分別為p=4sin 0, pcos(II) =2 .：.4(I )求Ci與C2交點的極坐標；(n)設p為Ci的圓心，q為ci與C2交點連線的中點,直線PQ的參數方程為(tR為參數)，求a,b的值.考點： 專題： 分析：點的極坐標和直角坐標的互化；直線與圓的位置關系；參數方程化成普通方程. 壓軸題；直線與圓.(I)先將圓Ci,直線C2化成直角坐標方程，再聯立方程組解出它們交點的直角坐標，最后化成極坐標即可；(II )由(I)得，P與Q點的坐標分別為(0, 2), (i , 3),從而直線PQ的直角坐標方程為 x - y+2=0 ,由參22數方程可得y=解答:解：(I)圓Ci,

24、直線C2的直角坐標方程分別為2 2x + (y - 2)=4, x+y - 4=0 ,，從而構造關于a, b的方程組，解得a, b的值.x+y- 4=0y).(楠,(II )由(I)得，P與Q點的坐標分別為(0, 故直線PQ的直角坐標方程為 x - y+2=0 , 由參數方程可得y=x -+1,2 2 Ci與C2交點的極坐標為(4,7TT2), (1 , 3),).2丄ab,廠 _VL=2解得 a=- 1, b=2.點評：此題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程、把參數方程化為普通方程的方法，方程思想的應用，屬于根底題.13 .在直角坐標系xOy中，I是過定點P (4, 2)且傾斜角為a的直線

25、；在極坐標系(以坐標原點0為極點，以x軸非負半軸為極軸，取相同單位長度)中，曲線C的極坐標方程為 p=4cos B(I )寫出直線I的參數方程，并將曲線 C的方程化為直角坐標方程；(n )假設曲線C與直線相交于不同的兩點M、N，求|PM|+|PN|的取值范圍.解答:解：(I)直線I的參數方程為 卜(t為參數).ly=2+tsin<L曲線C的極坐標方程p=4cos 0可化為p2=4 pcos 0. 把x= pcos0, y= psin0代入曲線C的極坐標方程可得 x2+y2=4x，即(x- 2) 2+y2=4.(II )把直線I的參數方程為| 1 4+tCOS ( t為參數)代入圓的方程可

26、得：t2+4 ( sin a+cos a) t+4=0 . y=2+tsirLC曲線C與直線相交于不同的兩點M、N ,2 =16 ( sin a+cos a) - 16 > 0,二 sin acos a> 0，又 a0 , n),又 t1 +t2= - 4 ( sin a+cos a) , t1t2=4.IT |PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sin a+cos a=gin ( +- ),- L .+點評:|PM|+|PN|的取值范圍是此題考查了直線的參數方程、.圓的極坐標方程、直線與圓相交弦長問題，屬于中檔題.14 .在直角坐標系xOy中，直線I的參數方

27、程為系，O C的極坐標方程為 0= :;sin 0.(t為參數)，以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(I )寫出O C的直角坐標方程；(n ) p為直線I上一動點，當p到圓心C的距離最小時，求 p的直角坐標.考點：點的極坐標和直角坐標的互化.分析:專題：坐標系和參數方程.(I)由O C的極坐標方程為0=3sin 0.化為p2=2-£P呂門日，把P二畫亠丫代入即可得出; I y= P sin9(II )設P(3+gt,爭t),又C (Q，齒).利用兩點之間的距離公式可得|PC|=/t，+12，再利用二次函數的性質即可得出.解答： 解：(I)由OC的極坐標方程為 0=2.：；sin

28、 0. p2=2侶P 就口 0，化為 x2+y2=2亦y.配方為 + :=3-(II)設 P 1 +.1 ,又7 I|PC|=絲；因此當t=0時，|PC取得最小值2二.此時P (3, 0).點評：此題考查了極坐標化為直角坐標方程、參數方程的應用、兩點之間的距離公式、二次函數的性質，考查了推理兀0=一 ( pR),曲線Ci, C2相交于A, B兩點.能力與計算能力，屬于中檔題.15 .曲線C1的極坐標方程為 p=6cosB,曲線C2的極坐標方程為(I )把曲線Ci, C2的極坐標方程轉化為直角坐標方程；(n)求弦ab的長度.考點：簡單曲線的極坐標方程.專題：計算題.分析： (I )禾9用直角坐標

29、與極坐標間的關系，即利用Ci的直角坐標方程.(n)利用直角坐標方程的形式，先求出圓心(pcos 0=x, psin 0=y, p2=x2+y2，進行代換即得曲線C2及曲線3, 0)到直線的距離，最后結合點到直線的距離公式弦AB的解答:長度.解: ( I )曲線 C2： p ( pR)4表示直線y=x,2曲線 Ci: p=6cos 0,即 p =6 pcos 0 所以 x2+y2=6x 即(x - 3) 2+y2=9(n ) /圓心(3, 0)到直線的距離l的極坐標方程為圓C的參數方程為-Arsin(0為參數,r> 0)r=3所以弦長AB=二一 -?.弦AB的長度點評：本小題主要考查圓和直

30、線的極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及利用圓的幾何性質計算圓心到直線的距等根本方法，屬于根底題.16 .在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系，直線(I )求圓心C的極坐標;(n)當r為何值時，圓C上的點到直線I的最大距離為3.考點：簡單曲線的極坐標方程；直線與圓的位置關系.專題：計算題.分析：(1)利用兩角差的余弦公式及極坐標與直角坐標的互化公式可得直線1的普通方程；利用冋角一角函數的基本關系，消去0可得曲線C的普通方程，得出圓心的直角坐標后再化面極坐標即可.(2)由點到直線的距離公式、兩角和的正弦公式，及正弦函數的有界性求得點 最后列出關于r的方程即可求出r值.)里，得2解答：解：由跡一P到直