1、太陽(yáng)影子定位眾所周知，地球在自轉(zhuǎn)的同時(shí)也在圍繞著太陽(yáng)做公轉(zhuǎn)，由于地球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)都有著自己的周期與軌道，這就形成了地球上不同地點(diǎn)和不同時(shí)間時(shí)物體的影子長(zhǎng)度隨時(shí)間有著本身獨(dú)特的變化規(guī)律，所以我們既可以根據(jù)地點(diǎn)和時(shí)間通過(guò)使用適當(dāng)?shù)亩ɡ砼c公理來(lái)建立數(shù)學(xué)模型以求得影子隨時(shí)間的變化情況，同樣我們也可以根據(jù)影子隨時(shí)間的變化規(guī)律來(lái)求得物體所在的地點(diǎn)與時(shí)間。對(duì)于問(wèn)題一，我們需要在已知日期和地點(diǎn)的情況下，求影子隨時(shí)間的變化規(guī)律。在本問(wèn)題中，由于給出的是當(dāng)?shù)貢r(shí)間，此時(shí)刻太陽(yáng)高度角最大，通過(guò)分別固定太陽(yáng)讓地球自轉(zhuǎn)和固定地球讓太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)來(lái)建立兩種模型以求得影長(zhǎng)隨時(shí)間的變化規(guī)律：當(dāng)正午偏離角度較小時(shí)兩個(gè)模型由較強(qiáng)的

2、耦合性，有一定的實(shí)用性。對(duì)于問(wèn)題二，我們需要在給出日期，時(shí)間和影長(zhǎng)的情況下求所在地點(diǎn)。在第一問(wèn)中，我們已建立影長(zhǎng)，時(shí)間和地點(diǎn)之間變化關(guān)系的模型，故可以通過(guò)對(duì)第一問(wèn)的模型進(jìn)行對(duì)第二問(wèn)的影長(zhǎng)進(jìn)行擬合，求出影長(zhǎng)最短的時(shí)刻，即為當(dāng)?shù)氐?2點(diǎn)，然后與北京時(shí)間做對(duì)比求出相應(yīng)的經(jīng)度，并求出此時(shí)的太陽(yáng)高度角，根據(jù)太陽(yáng)高度角與日期的關(guān)系求出相應(yīng)的緯度坐標(biāo)。最終得到地點(diǎn)的坐標(biāo)，即:A79.02°N,96.16°EB39.45°N,96.16°EC79.02°S,96.16°ED39.45°S,96.16°E對(duì)于問(wèn)題三，我們需要在給出影

3、長(zhǎng)變化規(guī)律，北京時(shí)間情況下求出對(duì)應(yīng)地點(diǎn)和日期的組合。由第二問(wèn)可以根據(jù)影長(zhǎng)和時(shí)間的變化求出該點(diǎn)的經(jīng)度，進(jìn)而求出太陽(yáng)高度角，并根據(jù)太陽(yáng)高度角和日期的變化關(guān)系求出可能日期和時(shí)間的組合。對(duì)于問(wèn)題四，我們需要在一段時(shí)間的視頻信息下求出該點(diǎn)的地理位置。我們可以從視頻中讀出視頻的日期，并通過(guò)截圖及讀圖軟件讀得影長(zhǎng)隨時(shí)間的變化規(guī)律，然后根據(jù)問(wèn)題二的模型求出可能的地理位置，即：A4.94°N,66.21°EB4.94°N,66.21°EC3.38°S,66.21°ED3.38°S,66.21°E對(duì)于第四問(wèn)中，我們需要在未知日期的情況

4、下給出可能的日期與地點(diǎn)的組合。事實(shí)上本題是給出在一個(gè)時(shí)間內(nèi)影長(zhǎng)與時(shí)間的變化關(guān)系，利用問(wèn)題三的模型既可求得相應(yīng)的地點(diǎn)與日期的組合，即可得到相應(yīng)地點(diǎn)。關(guān)鍵詞：太陽(yáng)高度角 橢圓定理勾股定理擬合一、問(wèn)題重述視頻拍攝的地點(diǎn)和日期作為視頻數(shù)據(jù)分析的重要方面，是通過(guò)分析視頻中物體的太陽(yáng)影子變化的方法來(lái)確定的，而該方法稱為太陽(yáng)影子定位技術(shù)。我們現(xiàn)在通過(guò)解決以下問(wèn)題來(lái)了解該技術(shù)：1.建立影子長(zhǎng)度變化的數(shù)學(xué)模型，分析影子長(zhǎng)度關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律，并應(yīng)用我們所建立的模型畫出2015年10月22日北京時(shí)間9點(diǎn)至15點(diǎn)之間天安門廣場(chǎng)3米高的直桿的太陽(yáng)影子長(zhǎng)度的變化曲線。2.根據(jù)已知數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點(diǎn)

5、。將模型應(yīng)用于附件1的影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，給出若干個(gè)可能的地點(diǎn)。3.根據(jù)已知數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定桿所處的地點(diǎn)和日期。將模型分別應(yīng)用于附件2和附件3的影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，給出若干個(gè)可能的地點(diǎn)與日期。4.通過(guò)觀看一根直桿在太陽(yáng)下的影子變化的視頻，建立確定視頻拍攝地點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用模型給出若干個(gè)可能的拍攝地點(diǎn)，已知直桿的高度為2米。若拍攝日期未知，嘗試根據(jù)視頻確定出拍攝地點(diǎn)與日期。二、問(wèn)題分析由于地球的自轉(zhuǎn)與繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)有著確定的周期和軌道，這就形成地點(diǎn)，日期，時(shí)間和影長(zhǎng)變化之間的相互關(guān)系，本論文就是根據(jù)已知四個(gè)變量中的某幾個(gè)已知變量去求解余下的未知變量。對(duì)問(wèn)題一，本問(wèn)題中給出了時(shí)間，地點(diǎn)，日期三

6、個(gè)變量，求影長(zhǎng)這個(gè)變量歲其他三個(gè)變量之間的關(guān)系。對(duì)問(wèn)題二，本問(wèn)題給出了時(shí)間，影長(zhǎng)和日期三個(gè)變量，求解地點(diǎn)這個(gè)變量。對(duì)問(wèn)題三，本題給出了時(shí)間，影長(zhǎng)這兩個(gè)變量，求日期和地點(diǎn)這兩個(gè)變量對(duì)問(wèn)題四，本問(wèn)題通過(guò)視頻給出了日期，影長(zhǎng)，時(shí)間三個(gè)變量，求地點(diǎn)這個(gè)變量。對(duì)于問(wèn)題四中的附加問(wèn)，即通過(guò)視頻給出時(shí)間，影長(zhǎng)兩個(gè)變量，求日期，地點(diǎn)這兩個(gè)變量。三、符號(hào)說(shuō)明h太陽(yáng)高度角觀測(cè)地地理緯度太陽(yáng)赤緯R地球半徑v地球自轉(zhuǎn)的線速度N日期在年內(nèi)的順序號(hào)，即積日四、問(wèn)題假設(shè)1、假設(shè)不考慮空氣折射率的影響。2、假設(shè)地球?yàn)閲?yán)格的球體。3、假設(shè)地球的公轉(zhuǎn)軌道是標(biāo)準(zhǔn)的圓。4、假設(shè)整個(gè)分析的過(guò)程都在白天進(jìn)行且天氣晴朗。五、模型的建立與求

7、解5.1影子長(zhǎng)度關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律的分析5.1.1模型一建立與求解假設(shè)在計(jì)算過(guò)程中忽略地球自轉(zhuǎn)所引起的同一緯度上高度的變化。地球自轉(zhuǎn)過(guò)程中，對(duì)于某一特定緯度，任意一個(gè)時(shí)間點(diǎn)物體都有自己的影長(zhǎng)，任意一段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)過(guò)的弧度是一定的，因此可建立關(guān)于時(shí)間，影長(zhǎng)，弧度之間的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而求得太陽(yáng)高度角隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系。對(duì)于已知經(jīng)緯度的某一地點(diǎn)，如圖1：圖1地球上某點(diǎn)隨地球自轉(zhuǎn)變化圖圖1中AB的距離為lx，即地球上兩點(diǎn)間的距離，AC的距離為ly，BC的距離為lz。在正午時(shí)刻,太陽(yáng)直射點(diǎn)與其經(jīng)度位置點(diǎn)在同一緯線上，故可以建立函數(shù)關(guān)系其中l(wèi)h為日地距離，大小約為。以已知點(diǎn)的位置作為參考點(diǎn)，忽略地球公轉(zhuǎn)

8、時(shí)引起的太陽(yáng)高度角的變化，觀察太陽(yáng)高度角在該地不同時(shí)刻的變化，可在任意時(shí)刻建立太陽(yáng)高度角相關(guān)參數(shù)的變化關(guān)系：由勾股定理知，即式中l(wèi)x為同一經(jīng)度上，處于太陽(yáng)直射的地區(qū)與當(dāng)?shù)刂g的直線距離。由假設(shè)可知地球是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球體，則在地球上的位置可表示為在地球上的位置可表示為求得AB所對(duì)球心所張的角的余弦大小為因此AB兩點(diǎn)之間的球面距離為則AB兩點(diǎn)間的直線距離為式中的R為地球半徑，R=6371.393km。地球自轉(zhuǎn)過(guò)程中，角速度恒定，線速度隨著緯度高低變化，建立線速度函數(shù)式為:為當(dāng)?shù)鼐暥龋琓=23.93h，為地球自轉(zhuǎn)周期，故每一時(shí)間段內(nèi)相對(duì)某地來(lái)言，太陽(yáng)射入光線的弧度變化。在不同時(shí)刻，影長(zhǎng)隨物體長(zhǎng)度的變化可

9、建立關(guān)系如下：聯(lián)立上式，可得影長(zhǎng)隨時(shí)間t、當(dāng)?shù)鼐暥纫约暗暮瘮?shù)表達(dá)式為：太陽(yáng)赤緯（太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度）是計(jì)算太陽(yáng)高度角中必不可少的元素，它在周年運(yùn)動(dòng)中任何時(shí)刻的具體值都是嚴(yán)格已知的，根據(jù)參考文獻(xiàn)可知：式中為日角，即而d又由兩部分組成，即，其中的N為積日（日期在年內(nèi)的順序號(hào)），而N0的計(jì)算公式為INT表示取整數(shù)部分。已知，當(dāng)?shù)貢r(shí)間段為北京時(shí)間9:00-15:00，2015年10月22日，地理位置為（39°5426N,116°2329E），物體長(zhǎng)度為3米，帶入上述函數(shù)式可得因此，可知直桿的太陽(yáng)影子長(zhǎng)度隨時(shí)間的變化函數(shù)為:t表示各時(shí)段到正午的時(shí)差，單位為，。北京時(shí)間9:00-15:0

10、0時(shí)，用Matlab軟件畫出影子長(zhǎng)度的變化圖象如下：圖2影子長(zhǎng)度的變化圖像5.1.2模型二建立與求解(1)確定正午影長(zhǎng)由于10月22日靠近秋分日，所以假定太陽(yáng)運(yùn)行軌跡經(jīng)過(guò)赤道便于計(jì)算。根據(jù)幾何關(guān)系可知根據(jù)所學(xué)地理知識(shí)可知，正午時(shí)間太陽(yáng)高度角的計(jì)算公式為由倍角公式可將式（1.4）化簡(jiǎn)為上述式子中涉及觀測(cè)點(diǎn)地理緯度=39.9072°和太陽(yáng)赤緯，可由由模型一中式（1.1）求得。題中需要畫出2015年10月22日時(shí)的函數(shù)圖像，即積日為326，將該數(shù)據(jù)及其他已知數(shù)據(jù)逐步代人公式（1.2）、（1.1）、（1.5），并通過(guò)計(jì)算得出太陽(yáng)高度角。再將求出的太陽(yáng)高度角代人（1.3）中即可求出正午時(shí)刻桿的

11、影長(zhǎng)。（2）確定影長(zhǎng)和關(guān)系假定在太陽(yáng)-地球這一體系中，太陽(yáng)圍繞某一定點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用CAD作太陽(yáng)的運(yùn)行軌跡圖。圖3某點(diǎn)一天中太陽(yáng)的運(yùn)行軌跡將太陽(yáng)軌跡投影到地平面上，可得如圖3，即為一橢圓。圖4太陽(yáng)軌跡在地面上的投影對(duì)圖3和圖4進(jìn)行分析，l為某一時(shí)刻太陽(yáng)在地面上的投影,根據(jù)勾股定理可知其中，。而lh為太陽(yáng)到投影點(diǎn)的垂直距離，運(yùn)用勾股定理可知b為太陽(yáng)投影平面上的短軸半徑，由圖可知由相似三角形的性質(zhì)即圖5物體和太陽(yáng)的影長(zhǎng)可知由于lh遠(yuǎn)大于l物，t遠(yuǎn)大于l影，故聯(lián)立上式，即其中R為日地距離，經(jīng)過(guò)公式間的換算得出l影和的關(guān)系式為其中為偏移x軸坐標(biāo)的角度，。將正午太陽(yáng)高度角代入得影長(zhǎng)的表達(dá)公式為(3)繪

12、制影長(zhǎng)隨時(shí)間的變化曲線將9點(diǎn)至15點(diǎn)分為19個(gè)時(shí)間段，通過(guò)公式將時(shí)間換算為角度，分別帶入式（1.7）得隨時(shí)間段變化而改變的影長(zhǎng)，如表1所示表1影長(zhǎng)隨時(shí)間的變化情況123456時(shí)間段9:009:209:4010:0010:2010:40(度)454035302520影長(zhǎng)（m）3.48843.00632.60272.26111.97121.7038789101112時(shí)間段11:0011:2011:4012:0012:2012:40(度)151050510影長(zhǎng)(m)1.53121.38301.29061.25881.29061.383013141516171819時(shí)間段13:0013:2013:40

13、14:0014:2014:4015:00(度)15202530354045影長(zhǎng)(m)1.53121.70381.97122.26112.60273.00633.4884根據(jù)表格數(shù)據(jù)即可繪出題目所需的變化曲線，如圖6所示：圖6直桿的太陽(yáng)影子長(zhǎng)度的變化曲線5.1.3模型分析從兩張圖中的影長(zhǎng)與時(shí)間的變化關(guān)系可知，影長(zhǎng)與時(shí)間成拋物線，與實(shí)際情況相符合。由于兩模型一定的角度范圍內(nèi)有較強(qiáng)的耦合，所以在偏離當(dāng)?shù)卣巛^小的角度范圍內(nèi)，這兩個(gè)模型有較強(qiáng)的可用性。5.2確定直桿所處的地點(diǎn)5.2.1模型建立與求解由附件一可知北京時(shí)間及對(duì)應(yīng)的某地的影子頂點(diǎn)坐標(biāo)，由對(duì)問(wèn)題1分析，可以近似地將影子長(zhǎng)度隨時(shí)間的變化規(guī)律認(rèn)為

14、是二次函數(shù)，其圖像是一條近似于拋物線的曲線。因?yàn)闀r(shí)區(qū)隨經(jīng)度的變化而變化，實(shí)際上當(dāng)?shù)氐乩頃r(shí)刻不等于北京時(shí)間。但無(wú)論哪一經(jīng)度的地區(qū)，當(dāng)正午時(shí)刻時(shí)，影子長(zhǎng)度都達(dá)到最小值。根據(jù)這一現(xiàn)象，所以我們先對(duì)附件一的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，找出當(dāng)?shù)卣缬白幼疃虝r(shí)對(duì)應(yīng)的北京時(shí)間，確定其經(jīng)度，并能確定與北京時(shí)間的時(shí)差。所以確定當(dāng)?shù)貢r(shí)間與影長(zhǎng)變化的規(guī)律后再代入以上模型，便可確定太陽(yáng)高度角與影長(zhǎng)之間的函數(shù)關(guān)系。具體步驟如下：（1）確定影長(zhǎng)已知附件一中當(dāng)?shù)赜伴L(zhǎng)頂點(diǎn)坐標(biāo)，用matlab軟件對(duì)時(shí)間與影長(zhǎng)的變化規(guī)律進(jìn)行擬合，得到擬合函數(shù)為擬合函數(shù)部分圖像如下：圖7影長(zhǎng)隨時(shí)間變化由圖7可知，影長(zhǎng)隨時(shí)間變化確有一最小值，計(jì)算可得，當(dāng)x=40

15、.03時(shí),當(dāng)?shù)貢r(shí)間為12:00,北京時(shí)間為即13：21，同時(shí)可知當(dāng)?shù)嘏c北京時(shí)間間隔為1.3485個(gè)小時(shí)。當(dāng)?shù)貢r(shí)間與影長(zhǎng)的變化規(guī)律如下表2當(dāng)?shù)貢r(shí)間與影長(zhǎng)的變化規(guī)律當(dāng)?shù)?3:2113:2413:2713:3013:3313:3613:39影長(zhǎng)0.74580.74720.74860.75000.75140.75280.754213.3513.413.4513.513.5513.613.65T20.252121.7522.523.252424.75當(dāng)?shù)?3:4213:4513:4813:5113:5413:5714:00影長(zhǎng)0.75550.75690.75830.75970.76100.76240.7

16、63813.713.7513.813.8513.913.9514T25.526.252727.7528.529.2530當(dāng)?shù)?4:0314:0614:0914:1214:1514:1814:21影長(zhǎng)0.76510.76650.76780.76920.77060.77190.773314.0514.114.1514.214.2514.314.35T30.7531.532.253333.7534.535.25(2)確定當(dāng)?shù)鼐暥扔蓡?wèn)題1中模型一可知，在同一經(jīng)度上，不同緯度地區(qū)的距離對(duì)式(2.1)求導(dǎo)得：將已知公式代人式（2.2）化簡(jiǎn)得將上述兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立得認(rèn)為與參數(shù)大致相同。可得，當(dāng)?shù)鼐暥葹?7

17、9.02°或39.45°。（3）確定當(dāng)?shù)亟?jīng)度已求得當(dāng)?shù)嘏c北京時(shí)間間隔1.3485個(gè)小時(shí)，經(jīng)度間相隔已知北京經(jīng)度為116.3914°，則該地區(qū)經(jīng)度即東經(jīng)。（4）確定可能的觀測(cè)點(diǎn)已知此時(shí)為2015年4月18日，太陽(yáng)直射點(diǎn)位于赤道和北回歸線之間，故此時(shí)可能的觀測(cè)點(diǎn)有四個(gè)，即5.3確定直桿所處的地點(diǎn)和日期5.3.1模型建立與求解已知北京時(shí)間與當(dāng)?shù)赜伴L(zhǎng)的變化。由附件一知北京時(shí)間時(shí)，對(duì)應(yīng)的某地的影子頂點(diǎn)坐標(biāo)，將數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，找出當(dāng)?shù)卣缬白幼疃虝r(shí)對(duì)應(yīng)的北京時(shí)間，確定其經(jīng)度同時(shí)與北京時(shí)間的時(shí)差也能確定，所以知道了當(dāng)?shù)貢r(shí)間與影長(zhǎng)變化的規(guī)律后，代入以上模型，可確定太陽(yáng)高度角與影長(zhǎng)之

18、間的函數(shù)關(guān)系。具體步驟如下：（1）確定觀測(cè)地經(jīng)度已知附件二中某地影長(zhǎng)頂點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)坐標(biāo)可確定影長(zhǎng)，用Matlab軟件對(duì)時(shí)間與影長(zhǎng)的變化規(guī)律進(jìn)行擬合，得到擬合函數(shù)為擬合圖像如下所示：圖8擬合函數(shù)圖像由以上擬合函數(shù)圖象知，影長(zhǎng)隨時(shí)間變化確有一最小值，計(jì)算可得，此時(shí)x=51.46,此時(shí)當(dāng)?shù)貢r(shí)間為12:00,北京時(shí)間為即15:23。則當(dāng)?shù)貢r(shí)間與北京時(shí)間相隔3.383個(gè)小時(shí)。以北京地理位置作為參考點(diǎn)，當(dāng)?shù)嘏c北京經(jīng)度相隔已知北京經(jīng)度為116.3914。則該地區(qū)經(jīng)度為即東經(jīng)。（2）確定一天之中太陽(yáng)高度角h隨影長(zhǎng)變化函數(shù)問(wèn)題三要求根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽(yáng)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處地點(diǎn)與日期

19、。由于在本問(wèn)題中不知道當(dāng)?shù)氐娜掌冢刺?yáng)直射點(diǎn)的坐標(biāo)未知，只能根據(jù)影長(zhǎng)的變化來(lái)建立模型求出可能的地點(diǎn)位置。我們根據(jù)具體的定理、公理及公式通過(guò)對(duì)日地系統(tǒng)的運(yùn)轉(zhuǎn)規(guī)律的分析來(lái)建立模型求解。對(duì)于一個(gè)某個(gè)固定的地點(diǎn)，在固定的時(shí)間內(nèi)，先考慮地球公轉(zhuǎn)的變化與影長(zhǎng)的關(guān)系，再考慮自轉(zhuǎn)與影長(zhǎng)的關(guān)系，通過(guò)求解方程組來(lái)求解模型，進(jìn)而得到當(dāng)?shù)卦诳臻g中的坐標(biāo)。求解過(guò)程如下：根據(jù)坐標(biāo)的正交變換可知：考慮同一地點(diǎn)在當(dāng)?shù)卣绲那闆r圖9一天中太陽(yáng)的變化軌道考慮太陽(yáng)直射赤道時(shí)的情況由圖9可知，太陽(yáng)直射赤道時(shí)H為當(dāng)?shù)氐奶?yáng)高度角根據(jù)勾股定理有式中由于現(xiàn)在考慮的是太陽(yáng)直射在赤道上，于是其中為物體的高度，為影子的長(zhǎng)度。所以任意一點(diǎn)的緯度

20、坐標(biāo)即是該點(diǎn)的太陽(yáng)高度角。考慮日期引起的太陽(yáng)高度角變化的情況圖10太陽(yáng)直射點(diǎn)隨日期的變化關(guān)系當(dāng)太陽(yáng)直射南半球時(shí)，太陽(yáng)軌道平面將沿圖10中地軸向南平移，所以可知北半球任意一點(diǎn)太陽(yáng)高度為在南半球上的任意一點(diǎn)其中為地球軸線與太陽(yáng)軌道平面的夾角。（3）求解地區(qū)緯度當(dāng)太陽(yáng)直射赤道時(shí)，各地正午太陽(yáng)高度角是不同的，影長(zhǎng)也是不同的。找出影長(zhǎng)隨太陽(yáng)高度角的變化規(guī)律。由上述條件可求得在地球直射赤道時(shí)，各地正午時(shí)而在任意一個(gè)日期時(shí)，當(dāng)太陽(yáng)直射點(diǎn)在南回歸線與赤道之間時(shí)，對(duì)于北半球各地區(qū)，有當(dāng)太陽(yáng)直射點(diǎn)在赤道與北回歸線之間時(shí)，對(duì)于北半球各地區(qū)，有其中查閱資料可知，太陽(yáng)直射點(diǎn)緯度隨時(shí)間的變化函數(shù)為:綜上，可得（4）確定緯

21、度由公式可知，所以假定A、B兩點(diǎn)分別為這不同緯度所在的位置。圖11太陽(yáng)高度角和緯度差的關(guān)系1當(dāng)時(shí)，由圖11可知而lx可通過(guò)計(jì)算兩點(diǎn)間直線距離得出，進(jìn)而可求出lh。圖中R為地球半徑，由勾股定理可知地球中心點(diǎn)O的經(jīng)緯是已知的，通過(guò)公式可得出A的緯度，則也可同時(shí)求出。圖12太陽(yáng)高度角和緯度差的關(guān)系2當(dāng)時(shí)，AB兩點(diǎn)間的緯度差已知，得出lx，然后得出lh，仍根據(jù)勾股定理則可得出lOA，通過(guò)公式（4.1）得A點(diǎn)的緯度，則也可同時(shí)求出。（4）確定太陽(yáng)與地心間角度由圖10可知（5）確定太陽(yáng)直射點(diǎn)與當(dāng)?shù)亻g距離已知?jiǎng)t（6）確定太陽(yáng)赤緯度設(shè)太陽(yáng)赤緯點(diǎn)到同一經(jīng)度上赤道的距離為lx其中R為太陽(yáng)到地心距離，為太陽(yáng)到赤緯點(diǎn)

22、的距離。太陽(yáng)赤緯與各距離間的關(guān)系為則(7) 確定觀測(cè)日期太陽(yáng)赤緯可由問(wèn)題1中模型一式（1.1）求得，故觀測(cè)地點(diǎn)日期的確定可由以上太陽(yáng)直射點(diǎn)緯度逆推得出。過(guò)程如下：N為積日，與日期直接相關(guān)，故設(shè)積日為（8）確定觀測(cè)地緯度即正午時(shí)，太陽(yáng)高度角即為所求的觀測(cè)地緯度。5.4確定視頻拍攝地點(diǎn)5.4.1模型建立與求解（1）確定每時(shí)刻直桿長(zhǎng)度與影長(zhǎng)的變化附件四為某地2015年7月13日8:54-9:34這一時(shí)段內(nèi)直桿影長(zhǎng)隨太陽(yáng)高度角的變化而改變的一個(gè)視頻，使用截圖工具對(duì)視頻進(jìn)行截圖，可得若干時(shí)刻太陽(yáng)影子的長(zhǎng)度。現(xiàn)每隔4分鐘截取一幀圖片，再用讀圖軟件對(duì)其進(jìn)行測(cè)量，得到圖片中截取時(shí)刻與對(duì)應(yīng)影子長(zhǎng)度。如下表3：表

23、3截取時(shí)刻與對(duì)應(yīng)影子長(zhǎng)度時(shí)刻8:548:589:029:069:10影長(zhǎng)（/m)1.19741.16921.14621.11801.0846時(shí)刻9:149:189:229:269:309:34影長(zhǎng)（/m)1.05641.03851.00770.97690.95640.9307（2）確定擬合函數(shù)影長(zhǎng)隨時(shí)間變化遵從一定的函數(shù)關(guān)系，在Matlab中將其各時(shí)刻點(diǎn)與此時(shí)直桿影長(zhǎng)進(jìn)行擬合，得到函數(shù)關(guān)系：擬合圖像如下圖13影長(zhǎng)隨時(shí)間的變化關(guān)系（3）確定當(dāng)?shù)亟?jīng)度在該擬合函數(shù)下，求得影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)每時(shí)刻的變化圖像如下：圖14擬合函數(shù)圖像由圖可知，影長(zhǎng)最短時(shí)，x=97.68，此時(shí)所對(duì)應(yīng)的北京時(shí)刻已知當(dāng)?shù)嘏c北京時(shí)間相隔3

24、.345小時(shí)，經(jīng)度相差北京經(jīng)度為116.3914，所以該地區(qū)經(jīng)度為即東經(jīng)。（4）確定太陽(yáng)赤緯已知此時(shí)為2015年7月13日，則由式（1.2）并通過(guò)計(jì)算知。積日，便可得日角將上式求出的結(jié)果帶入式（1.1）得太陽(yáng)直射點(diǎn)緯度。（5）確定當(dāng)?shù)鼐暥日鐣r(shí)刻時(shí)，得。已知此時(shí)為北半球時(shí)間7月13日，太陽(yáng)直射點(diǎn)在赤道與北回歸線之間，即直射點(diǎn)緯度為20.26°N，聯(lián)立上述關(guān)系式及數(shù)據(jù)，有便得出當(dāng)?shù)鼐暥然颉＃?）確定該地地理位置假設(shè)附件4中的時(shí)間為北半球時(shí)間，已知在7月13日時(shí)，太陽(yáng)直射點(diǎn)在赤道與北回歸線之間，即直射點(diǎn)緯度為20.26°N，所以該地可能的地點(diǎn)有四個(gè)5.5拍攝時(shí)間未知情況下的分析

25、由于在本問(wèn)題中不知道當(dāng)?shù)氐娜掌冢刺?yáng)直射點(diǎn)的坐標(biāo)未知，只能根據(jù)影長(zhǎng)的變化來(lái)建立模型求出可能的地點(diǎn)位置。我們根據(jù)具體的定理、公理及公式通過(guò)對(duì)日地系統(tǒng)的運(yùn)轉(zhuǎn)規(guī)律的分析來(lái)建立模型求解。現(xiàn)在我們用兩種模型進(jìn)行求解。5.5.1模型一建立如問(wèn)題一所述，對(duì)于一個(gè)固定的地點(diǎn)，固定的時(shí)間，先考慮公轉(zhuǎn)與影長(zhǎng)的關(guān)系，然后再考慮地球的自轉(zhuǎn)的變化與影長(zhǎng)的關(guān)系，通過(guò)求解方程組來(lái)求解模型，進(jìn)而得到當(dāng)?shù)卦诳臻g中的坐標(biāo)。求解過(guò)程如下：我們將視頻中所給的影長(zhǎng)正交分解，分解成與經(jīng)緯度重合的分量，即根據(jù)坐標(biāo)的正交變換可知：（1）考慮同一地點(diǎn)在當(dāng)?shù)卣绲那闆r圖15（2）考慮太陽(yáng)直射赤道時(shí)的情況由圖13可知，太陽(yáng)直射赤道時(shí)H為當(dāng)?shù)氐奶?yáng)高度角根據(jù)勾股定理有式中由于現(xiàn)在考慮的是太陽(yáng)直射在赤道上，于是其中為物體的高度，為影子的長(zhǎng)度。所以任意一點(diǎn)的緯度坐標(biāo)即是該點(diǎn)的太陽(yáng)高度角。（3）考慮日期引