1、課時分層作業二十七指數型、對數型函數模型的應用舉例(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的路程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是()a.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5 kmb.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多c.甲車以80 km/h的速度行駛1小時，消耗10升汽油d.某城市機動車最高限速80 km/h.相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【解析】選d.對于a選項：由題圖可知，當乙車速度大于40 km/h時，乙車每消耗1升汽油，行駛里程都超過5 km，則a錯；對于b選項：由

2、題意可知，以相同速度行駛相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三輛車中甲車耗油最少，則b錯；對于c選項：甲車以80 km/h的速度行駛時，燃油效率為10 km/l，則行駛1小時，消耗了汽油80×1÷10=8(升)，則c錯；對于d選項：當行駛速度小于80 km/h時，在相同條件下，丙車的燃油效率高于乙車，則在該市用丙車比用乙車更省油，則d對.2.我們定義函數y=x(x表示不大于x的最大整數)為“下整函數”；定義y=x(x表示不小于x的最小整數)為“上整函數”；例如4.3=4，5=5；4.3=5，5=5.某停車場收費標準為每小時2元，即不超過1小時(包括1小時)收費2元，超過一小

3、時，不超過2小時(包括2小時)收費4元，以此類推.若李剛停車時間為x小時，則李剛應付費為 () (單位：元)a.2x+1b.2(x+1)c.2xd.2x【解析】選c.如x=1時，應付費2元，此時2x+1=4，2(x+1)=4，排除a，b；當x=0.5時，付費為2元，此時2x=1，排除d.3.溫度對反應速率的影響可以用阿累尼烏斯公式：lgk2k1=e(t2-t1)2.303rt1t2表示，其中k1，k2分別為溫度t1，t2時的某反應的速率常數，e為反應的活化能(單位：kj/mol)，r為摩爾氣體常數，r=8.314 j/(mol·k)(假定活化能在溫度變化范圍不大時是常數).又已知同一

4、反應在不同溫度下反應速率常數與反應時間的關系如下：k1k2=t2t1，若現在溫度為300k，鮮牛奶5小時后變酸，但是在275k的冰箱里可以保存50小時，則牛奶變酸反應的活化能為_kj/mol(精確到0.01).() a.63.19b.7.60c.-69.19d.-7.60【解析】選a.因為k1k2=t2t1，所以k1k2=505=10，所以代入阿累尼烏斯公式得lg110=e(275-300)2.303×8.314×300×275，所以e=2.303×8.314×300×2752563.19 kj/mol.4.某高校為提升科研

5、能力，計劃逐年加大科研經費投入.若該高校2017年全年投入科研經費1 300萬元，在此基礎上，每年投入的科研經費比上一年增長12%，則該高校全年投入的科研經費開始超過2 000萬元的年份是(參考數據：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()a.2020年b.2021年c.2022年d.2023年【解析】選b.若2018年是第一年，則第n年科研經費為1 300×1.12n，由1 300×1.12n>2 000，可得lg 1.3+nlg 1.12>lg 2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n4，即到2021年科

6、研經費超過2 000萬元.【補償訓練】 (2019·重慶市第一中學高一檢測)在數學史上，一般認為對數的發明者是蘇格蘭數學家納皮爾.在納皮爾所處的年代，哥白尼的“太陽中心說”剛剛開始流行，這導致天文學成為當時的熱門學科.可是由于當時常量數學的局限性，天文學家們不得不花費很大的精力去計算那些繁雜的“天文數學”，因此浪費了若干年甚至畢生的寶貴時間.納皮爾也是當時的一位天文愛好者，為了簡化計算，他多年潛心研究大數字的計算技術，終于獨立發明了對數.在那個時代，計算多位數之間的乘積，還是十分復雜的運算，因此納皮爾首先發明了一種計算特殊多位數之間乘積的方法.讓我們來看看下面這個例子：這兩行數字之間

7、的關系是極為明確的：第一行表示2的指數，第二行表示2的對應冪.如果我們要計算第二行中兩個數的乘積，可以通過第一行對應數字的和來實現.比如，計算64×256的值，就可以先查第一行的對應數字：64對應6，256對應8，然后再把第一行中的對應數字加起來：6+8=14；第一行中的14，對應第二行中的16384，所以有：64×256=16 384.按照這樣的方法計算：16 384×32 768=()a.134 217 728b.268 435 356c.536 870 912d.513 765 802【解析】選c.根據已知的規律，16 384對應第一行中的14，32 768

8、對應第一行中的15，計算14+15=29，在第一行找到29，對應的第二行中的數是536 870 912，所以c是正確的.二、填空題(每小題5分，共10分)5.假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天的回報比前一天多10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報是前一天的兩倍.若投資的時間為10天，為使投資的回報最多，你會選擇的方案為_. 【解析】方案一：投資10天的回報為40×10=400元；方案二：投資10天的回報為10+20+30+40+90+100=550元；方案三：投資1

9、0天的回報為0.4+0.4×2+0.4×22+0.4×29=0.4(1+2+22+29)=409.2元.所以投資回報最多的為方案二.答案：方案二6.某商品價格y(單位：元)因上架時間x(單位：天)的不同而不同，假定商品的價格與上架時間的函數關系是一種指數型函數，即y=k·ax(a>0且a1)，xn*.當商品上架第1天的價格為96元，而上架第3天的價格為54元，則該商品上架第4天的價格為_元. 【解析】由題意可得方程組：k×a1=96,k×a3=54,結合a>0且a1可得 a=34,k=128,即 y=128

10、15;34x，則該商品上架第4天的價格為128×344=812=40.5，即該商品上架第4天的價格為40.5或812元.答案：40.5或812三、解答題7.(10分)醫學上，為了研究某種傳染病傳播過程中病毒的發展規律及其預防，將病毒注入一只小白鼠體內進行實驗，經檢測，病毒在小白鼠體內的總個數與天數的關系如表：天數1234567病毒總個數1248163264已知該種病毒在小白鼠體內的個數超過108的時候，小白鼠就會死亡.但是注射某種藥物，可以殺死此時小白鼠體內98%的病毒.(1)為了使小白鼠在實驗過程中不死亡，第一次最遲應該在何時注射該種藥物？(2)第二次最遲應該在何時注射該種藥物，才

11、能維持小白鼠的生命？(精確到天，參考數據：lg 20.301 0，lg 30.477 1)【解析】(1)由題意可得病毒總個數y與天數x的函數關系式為y=2x-1，xn*，由2x-1108，兩邊取對數得(x-1)lg 28，所以x1+8lg21+80.301 027.58，所以第一次最遲應該在第27天注射該種藥物.(2)由(1)知第一次最遲應該在第27天注射該種藥物，小白鼠體內的病毒總個數為226(1-98%)=226×2%.再經過x天后，小白鼠體內的病毒總個數變為226×2%×2x，由226×2%×2x108，兩邊取對數得26lg 2+lg 2

12、-2+xlg 28，所以x10lg2-276.2，所以第二次最遲應該再經過6天即第33天注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命.(45分鐘75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1.已知桶1與桶2通過水管相連如圖所示，開始時桶1中有a l水，t min后剩余的水符合指數衰減函數y1=ae-n t，那么桶2中的水就是y2=a-ae-n t，假定5 min后，桶1中的水與桶2中的水相等，則桶1中的水只有a4 l需要再過()a.5 minb.4 minc.3 mind.2 min【解析】選a.由題意得ae-5n=a-a·e-5n，即e-5n=12.設再過t min后桶1中的水有a4 l，則a

13、e-n(t+5)=a4，e-n(t+5)=14.將式平方得e-10n=14.比較、得-n(t+5)=-10n，所以t=5.即再過5 min后桶1中的水只有a4l.2.某校生物小組在器皿中培養果蠅，若果蠅的數量y(只)與時間t(天)的函數關系為y=2301+56.5e-0.37t，若果蠅的數量為180只，則需要的時間是_天(精確到個位).() a.10b.14c.15d.20(參考數據：23181.277 8，0.277 856.50.004 9，ln 0.004 9-5.318 5)【解析】選c.由題意得2301+56.5e-0.37t=180，所以1+56.5e-0.37t=1.2

14、77 8，e-0.37t=0.004 9，-0.37t=ln 0.004 9，t15.3.某產品的總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數關系式為y=0.3×2x-2+10(0<x<10， xn*)，若每臺產品的售價為6萬元，則當產量為8臺時，生產者可獲得的利潤為()a.18.8萬元b.19.8萬元c.20.8萬元d.29.2萬元【解析】選a.因為總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數關系式為y=0.3×2x-2+10(0<x<10， xn*)，且產量為8臺，所以總成本為y=0.3×28-2+10=29.2(萬元).因為每臺產品的售價為6

15、萬元，所以當產量為8臺時，生產者可獲得的利潤為6×8-29.2=48-29.2=18.8(萬元).4.若鐳經過100年后剩留原來質量的95.76%，設質量為1的鐳經過x年后剩留量為y，則x，y的函數關系是()a.y=0.957 6x100b.y=(0.957 6)100xc.y=0.957 6100xd.y=1-0.042 4x100【解析】選a.設鐳一年放射掉其質量的t%，則有95.76%=1·(1-t%)100，1-t%=0.957 61100 ，所以y=(1-t%)x=0.957 6x100.【拓展延伸】解決函數模型應用題應注意的幾點(1)讀懂實際背景，將實際問題轉化

16、為函數模型.(2)對涉及的相關公式，記憶要準確.(3)在求解的過程中計算要正確.另外需要熟練掌握求解方程、不等式、函數最值的方法，才能快速、正確地求解.5.在標準溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質的量的濃度(單位mol/l，記作h+)和氫氧根離子的物質的量的濃度(單位mol/l，記作oh-)的乘積等于常數10-14.已知ph的定義為ph=-lgh+，健康人體血液的ph保持在7.357.45之間，那么健康人體血液中的h+oh-可以為(參考數據：lg 20.30，lg 30.48)()a.12b.13c.16d.110【解析】選c.因為h+·oh-=10-14，所以h+oh-=h+2

17、×1014，因為7.35<-lgh+<7.45，所以10-7.45<h+<10-7.35，所以10-0.9<h+oh-=1014·h+2<10-0.7，10-0.9=1100.9>110， lg100.7=0.7>lg 3>lg 2，所以100.7>3>2，10-0.7<13<12，所以110<h+oh-<13.二、填空題(每小題5分，共20分)6.某工廠產生的廢氣經過過濾后排放，排放時污染物的含量不超過1%.已知在過濾過程中廢氣中的污染物數量p(單位：毫克/升)與過濾時間t(單位：時

18、)之間的函數關系式為：p=p0e-kt(k，p0均為正的常數).若在前5小時的過濾過程中污染物被排除了90%，那么，至少還需要過濾_小時才可以排放. 【解析】t=0時，p=p0，由題意，知前5小時消除了90%的污染物，因為p=p0e-kt，所以(1-90%)p0=p0e-5k，所以0.1=e-5k，即-5k=ln 0.1，所以k=-15ln 0.1.由1%p0=p0e-kt，即0.01=e-kt，所以-kt=ln 0.01，15ln0.1t=ln 0.01，所以t=10，所以至少還需要過濾5小時才可以排放.答案：57.物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規律來描述：設物體的初始溫度是

19、t0，經過一定時間t后的溫度是t，則t-ta=(t0-ta)·12th，其中ta表示環境溫度，h稱為半衰期.現有一杯用88 熱水沖的速溶咖啡，放在24 的房間中，如果咖啡降溫到40 需要20 min，則降溫到35 時，需要的時間為_min.(精確到1 min，參考數據：lg 20.30，lg 1.10.04) 【解析】由題意知40-24=(88-24)·1220h，即14=1220h，解得h=10.故t-24=(88-24)·12t10.當t=35時，代入上式，得35-24=(88-24)·12t10，即12t10=1164.兩邊取對數，得t1

20、0lg 12=lg 1164，所以t=106lg2-lg11lg225，因此，約需要25 min，可降溫到35 .答案：258.某地區發生里氏8.0級特大地震.地震專家對發生的余震進行了監測，記錄的部分數據如表：強度(j)1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震級(里氏)5.05.25.35.4注：地震強度是指地震時釋放的能量.地震強度(x)和震級(y)的模擬函數關系可以選用y=alg x+b(其中a，b為常數).利用散點圖(如圖)可知a的值等于_.(取lg 2=0.3進行計算) 【解析】由記錄的部分數據可知x=1.6

21、×1019時，y=5.0，x=3.2×1019時，y=5.2.所以5.0=alg(1.6×1019)+b，5.2=alg(3.2×1019)+b，-得0.2=alg 3.2×10191.6×1019，0.2=alg 2.所以a=0.2lg2=0.20.3=23.答案：239.某食品的保鮮時間t(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：)滿足函數關系t=64,x0,2kx+6,x>0,且該食品在4 的保鮮時間是16小時.已知甲在某日上午11時購買了該食品，并將其遺放在室外，且此日的室外溫度隨時間變化如圖所示，給出以下結論：該食品在6 時的

22、保鮮時間是8小時；當x-6，6時，該食品的保鮮時間t隨著x增大而逐漸減少；到了此日13時，甲所購買的食品還在保鮮時間內；到了此日14時，甲所購買的食品已然過了保鮮時間.其中，所有正確結論的序號是_. 【解析】因為食品的保鮮時間t(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：)滿足函數關系t=64,x0,2kx+6,x>0且該食品在4 的保鮮時間是16小時.所以24k+6=16，即4k+6=4，解得：k=-12，所以t=64,x0,2-12x+6,x>0,當x=6時，t=8，故該食品在6 的保鮮時間是8小時，正確；當x-6，0時，保鮮時間恒為64小時，當x(0，6時，該食品的保鮮時間t

23、隨著x增大而逐漸減少，故錯誤；到了此日11時，溫度為11，此時保鮮時間為2小時，故到13時，甲所購買的食品不在保鮮時間內，故錯誤；由可知到了此日14時，甲所購買的食品已然過了保鮮時間，故正確，故正確的結論的序號為：.答案：三、解答題(每小題10分，共30分)10.某廠有一個容量300噸的水塔，每天從早六點到晚十點供應生活和生產用水，已知該廠生活用水每小時10噸，生產用水總量w(噸)與時間t(單位：小時，規定早晨六點時t=0)的函數關系為w=100t，水塔的進水量有10級，第一級每小時進水10噸，以后每提高一級，進水量增加10噸.若某天水塔原有水100噸，在供應同時打開進水管，問該天進水量應選擇

24、幾級，既能保證該廠用水(即水塔中水不空)，又不會使水溢出？【解析】設水塔進水量選擇第n級，在t時刻水塔中的水容量y等于水塔中的存水量100噸加進水量10nt噸，減去生活用水10t噸，再減去生產用水w=100t噸，即y=100+10nt-10t-100t(0<t16).若水塔中的水量既能保證該廠用水，又不會使水溢出，則一定有0<y300，即0<100+10nt-10t-100t300，所以-10t+10t+1<n20t+10t+1對一切t(0，16恒成立.因為-10t+10t+1=-101t-122+7272，20t+10t+1=201t+142-14194.所以72<n194，即n=4.即進水量應選擇4級.11.某公司對營銷人員有如下規定：()年銷售額x(萬元)不大于8時，沒有年終獎金；()年銷售額x(萬元)大于8時，年銷售額越大，年終獎金越多.此時，當年銷售額x(萬元)不大于64時，年終獎金y(萬元)按解析式y=logax+b(a>0，且a1)發放；當年銷售額x(萬元)不小于64時，年終獎金y(萬元)為年銷售額x(萬元)的一次函數.經測算，當年銷售額分別為16萬元，64萬元，