1、最小二乘擬合在物理實驗中經常要觀測兩個有函數關系的物理量。根據兩個量的許多組觀測數據來確定它們的函數曲線，這就是實驗數據處理中的曲線擬合問題。這類問題通常有兩種情況：一種是兩個觀測量x與y之間的函數形式已知，但一些參數未知，需要確定未知參數的最佳估計值；另一種是x與y之間的函數形式還不知道，需要找出它們之間的經驗公式。后一種情況常假設x與y之間的關系是一個待定的多項式，多項式系數就是待定的未知參數，從而可采用類似于前一種情況的處理方法。一、最小二乘法原理在兩個觀測量中，往往總有一個量精度比另一個高得多，為簡單起見把精度較高的觀測量看作沒有誤差，并把這個觀測量選作x，而把所有的誤差只認為是y的誤

2、差。設x和y的函數關系由理論公式yf（x；c1，c2，cm） （0-0-1）給出，其中c1，c2，cm是m個要通過實驗確定的參數。對于每組觀測數據（xi，yi）i1，2，N。都對應于xy平面上一個點。若不存在測量誤差，則這些數據點都準確落在理論曲線上。只要選取m組測量值代入式（0-0-1），便得到方程組 yif（x；c1，c2，cm） （0-0-2） 式中i1，2，m.求m個方程的聯立解即得m個參數的數值。顯然N<m時，參數不能確定。在N>m的情況下，式（0-0-2）成為矛盾方程組，不能直接用解方程的方法求得m個參數值，只能用曲線擬合的方法來處理。設測量中不存在著系統誤差，或者說已

3、經修正，則y的觀測值yi圍繞著期望值 <f（x；c1，c2，cm）> 擺動，其分布為正態分布，則yi的概率密度為,式中是分布的標準誤差。為簡便起見，下面用C代表（c1，c2，cm）。考慮各次測量是相互獨立的，故觀測值（y1，y2，cN）的似然函數.取似然函數L最大來估計參數C，應使 （0-0-3）取最小值：對于y的分布不限于正態分布來說，式（0-0-3）稱為最小二乘法準則。若為正態分布的情況，則最大似然法與最小二乘法是一致的。因權重因子，故式（0-0-3）表明，用最小二乘法來估計參數，要求各測量值yi的偏差的加權平方和為最小。根據式（0-0-3）的要求，應有從而得到方程組 （0-0

4、-4）解方程組（0-0-4），即得m個參數的估計值，從而得到擬合的曲線方程。然而，對擬合的結果還應給予合理的評價。若yi服從正態分布，可引入擬合的x2量， （0-0-5）把參數估計代入上式并比較式（0-0-3），便得到最小的x2值 （0-0-6）可以證明，服從自由度vN-m的x2分布，由此可對擬合結果作x2檢驗。由x2分布得知，隨機變量的期望值為N-m。如果由式（0-0-6）計算出接近N-m（例如），則認為擬合結果是可接受的；如果，則認為擬合結果與觀測值有顯著的矛盾。二、直線的最小二乘擬合曲線擬合中最基本和最常用的是直線擬合。設x和y之間的函數關系由直線方程ya0+a1x (0-0-7)給出。

5、式中有兩個待定參數，a0代表截距，a1代表斜率。對于等精度測量所得到的N組數據（xi，yi），i1，2，N，xi值被認為是準確的，所有的誤差只聯系著yi。下面利用最小二乘法把觀測數據擬合為直線。1直線參數的估計前面指出，用最小二乘法估計參數時，要求觀測值yi的偏差的加權平方和為最小。對于等精度觀測值的直線擬合來說，由式（0-0-3）可使 （0-0-8）最小即對參數a（代表a0，a1）最佳估計，要求觀測值yi的偏差的平方和為最小。根據式（0-0-8）的要求，應有整理后得到正規方程組解正規方程組便可求得直線參數a0和a1的最佳估計值和。即 （0-0-10） （0-0-11）2擬合結果的偏差由于直線

6、參數的估計值和是根據有誤差的觀測數據點計算出來的，它們不可避免地存在著偏差。同時，各個觀測數據點不是都準確地落地擬合線上面的，觀測值yi與對應于擬合直線上的這之間也就有偏差。首先討論測量值yi的標準差S。考慮式（0-0-6），因等精度測量值yi所有的都相同，可用yi的標準偏差S來估計，故該式在等精度測量值的直線擬合中應表示為 （0-0-12）已知測量值服從正態分布時，服從自由度vN-2的x2分布，其期望值由此可得yi的標準偏差 （0-0-13）這個表示式不難理解，它與貝塞爾公式是一致的，只不過這里計算S時受到兩參數和估計式的約束，故自由度變為N-2罷了。式（0-0-13）所表示的S值又稱為擬合

7、直線的標準偏差，它是檢驗擬合結果是否有效的重要標志。如果xy平面上作兩條與擬合直線平行的直線如圖0-0-1所示，則全部觀測數據點（xi，yi）的分布，約有68.3%的點落在這兩條直線之間的范圍內。圖0-0-1 擬合直線兩側數據點的分布下面討論擬合參數偏差，由式（0-0-10）和（0-0-11）可見，直線擬合的兩個參數估計值和是yi的函數。因為假定xI是精確的，所有測量誤差只有yi有關，故兩個估計參數的標準偏差可利用不確定度傳遞公式求得，即把式（0-0-10）與（0-0-11）分別代入上兩式，便可計算得 （0-0-14） （0-0-15）三、相關系數及其顯著性檢驗當我們把觀測數據點（xi，yi）作直線擬合時，還不大了解x與y之間線性關系的密切程度。為此要用相關系數（x，y）來判斷。其定義已由式（0-0-12）給出，現改寫為另一種形式，并改用r表示相關系數，得 （0-0-16）式中和分別為x和y的算術平均值。r值范圍介于-1與+1之間，