1、14運蒼與管理M93年第3-4期多目標參數線性規劃趕建中仁上海機械鼻祝)提要木文主鑒討論利用一細滸散變圧求解劣H標比性爆劃的方洙規得所竹目標函數的凸線性組今 礙大.確定第口標規劃非劣廉的參數約束空間.如何利用螫敦輸“I的約束快笊定標線性規劃中目標破數 的系致矩陣.以及如釗利用舍數空間分解快求如標的"：劣解.雄后.丈中附實例說明如何應用此方法來解 決鄉目杯線件規劃的問題，在現實世界的生帖中人們經常碰到多個村標或鄉描標決策的問題.這些冃標很難用 統的單個指標來衡:a,有些目標超互相矛盾，互相沖突的.k至會岀現直相對立的h標. 看來僅僅用傳統的線性規劃理論和方法,是滿足不了多FI標規劃或次

2、策問題的需耍.為了 解決上述岀現的才厲，近二卜多年來人們越來越乖視多冃標抿策或多目標規劃的問題.多目標規劃是現代運籌學中一個主要的分支，其歷史根源可以追朔到Kuhn和Tucker, 以及Koopmans的早期(1951年)的工作。直別1972年在芙國South Carolina仔開第-次 國際性多冃標決策會議以來多目標規劃才被實際點認址一個可以獨立的專業，由于它 對現實世界中的決策很有幫助，內此它是一個已經引起多方面興趣和注意的應用和研究領 域，國內許多專家教授。也發表了許名論文對多目標規劃的理論和應用進行探討研 究.冃前，多冃標決策和規劃的方法是眾多的,很難用統一的準則來綜合.據國內有關多

3、目標決策的介紹，多目標決策大體可分為下述兒個大類：1、化多冃標為單目標方法。2、分層序列方法.3、引進次序方法.4、多目標線性規劃方法。5、目標規劃方法.6、其它方法. Ji j 一 i 一 一 一 一 事一 一 . 一(上接第頁丿 然后求岀所有檢驗數:-($+0 ; o»=q + (s, + (j),其結果全列干表6中.從表6中看出,<rQ 0,q O0(i=l, 2, 3, 4; j=l. 2, 3. 4),故知,擴展運輸問題已達最 優解，其最優費用為247比傳統最優費用節約2個單位© 1994-2012 China Academic Journal Electr

4、onic Publishing House. All rights reserved. http:/www,.ciiki.nel15上述各方法的具體理論與算法，使用過程可參考文獻(3X6).二、多目標參數線性規劃的一般表達式多目標線性規劃討論兩個以上目標函數的優化冋題，它和傳統的單目標優化問題僅有目 標函數表達式上的差異対于一個有n個決策變駅，m個限制條件的單目標優化問題， 其數學表達式如下：Max 卩二鼬兀齊)nS.T. £akJXjbpk= 12 ,mj-1X>0,j=l,2,n一般具有n個決策變量,m個限制條件,1個目標函數的多目標優化問題,其數學表達式 如下：V-Max

5、F(x)=f|(x)£(x),(X)(2)S.T. £%馮5，k=l,2,-jnj=,j = l,2/n其中R標函數L(x)吐 CM«x)=ic4X,j->Wx)=SQj)j-'因此，上述多目標函數表達式可寫為：F(x)=F(x)t=E(x)t=£c齊 i= 1,2廠,1j=iF(x)表示目標向量 F(x)的轉置向屋，即 F(x)=F(x)T =f.(x),f2(x)- - £(x)T.上述多目標線性規劃優化問題也可用向量形式表示：Max F(x)=CXS.T. AXWBxo其中:X = (x“X2,xjT#下面通過引進一種多參數

6、規劃的方法來解決多目標線性規劃的問題.令A是所冇參數A的集合，即A =，&，這里丨表示1維目標空間，其定義如下:A訕電 0, £入=1, i = l,2,1)1-1其中E表示在1維空間中參數可行解的集合.為灣楚地表示上述定義,利用三維空間坐標圖象表示(見圖I).然后,通過引進參數A來構成多目標參數線性規劃的一般表達式。已知肚A,令 P(A,x)=DIF(x)=t；if；(x),其中M21 i-iTF(x)表示目標函數值的向扯，是x的線性函數表J，入達式.PQ,x)是2與x的雙線性函數表達式。多目佻/標參數線性規劃數學模型如下：/Max 卩(3=§入訛)(4)*xeR

7、 x；R上足A久wAR = x|xeR°. XO, AXWB勺a=W,Iai=i, ,i»l圖1(注：在2>0時可用圖丨中A表示.A空間也可以祓少到斜影的兩維坐標.)© 1994-2012 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, http:/www.ciiki.nel#© 1994-2012 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, http

8、:/www.ciiki.nel#三、確定多目標參數規劃的系數在多目標參數線性規劃中，如何確定合理的目標函數系數是解決多目標參數規劃的前 提.本文通過參數空間降階的方法,減少目標空間的維數來確定多目標函數的系數.參數空間降階法的證明如下：PG,x)=£ x,fXx)=t %=A.isxj4-1幾=1,即入+弘i© 1994-2012 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, http:/www.ciiki.neli-1 nt-1 acI-1 p(入X)=(l-工応吶+

9、87;心內違q+M(c廠q)k(5)I j = !i" j»l i-»L i-1我們可以將(5)式改寫為如下的一般表達式：D卜1 0Pg)入 &廠訥(6)j丨i-lj-lgnon=Z GjXj+入忑(q 廠9訊+A -工(q 7廠GjX + +右工(。1廠q)x jj«i円j-i其屮q表示第i個目標函數中第j個決策變顯的系數，這些系數均為已知的常數.然 后，利用(6)式參數空間的分解方法，將原來參數空間丨維降階到】-1維從而得到一組目標 函數的系數。四、利用參數空間分解法求非劣解顯然在式中5+£久也-氏)的值是;I的函數.所以設：i =

10、 l1-1i«l這樣，(5)式可變為：P(入 x)=£q0)Xj(7)可見PQ,x)是R與A域中的個雙線性函數.若已知A*eA,我們可找出一個線性函數 P(o并使得PQ*,x)=£q(a*)Xj f Max(8)j-1XGR,嚴”R = x|xeRn; £aMxbp xO戸|在(8)式的基礎上,設法在Fga 與歡R的范何屮找出-Ax,并使得下式成立：即 P(A*a)>P(A*a)式中 > 符號表示至少有一個冃標函數值存在看嚴格的大于.此時求得的殳稱為多目標線 性規劃的非劣解.為了較清楚地表達上述求非劣解的過程本文利用單純形迭代過程來說明一下多

11、目標 卷數線性規劃的算法過程.在表1中共有n個決策變量m個限制條件(k)l個目標函數(i).整個表格中共有 m(n + m)個元索其中在變量x,片下面的基本元素知為限制條件中的常系數。 在松馳變fixolx“F面的元素a“ amo>m之中,其主對角線為1,故將xB+n列人基本變量BV的一列中.bk為限制條件的右端頂。© 1994-2012 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, http:/www.ciiki.nel23表1s*Cll*c/Ch*0000C|/時BVX】片5

12、00aJJ% an-1agmb,0 oamJ% %nH a ambm:車-C_C00B.*車- q0 0表格中凡是帶冇車號的變量(如:z/等)表示:在固定慮A的范國之內求 戸(心)=£鉆+£人吃也-鈉* Max J-I沖I j-1MR, PGA的極大值.前面我們已經知道1-1ix I在嚴GA時，設qq, C,=q-q,所以上式可改為：氽戶時+以垮(9)B-I表1 中 Zij*=Zc,/akj I gI:j=12衛+mra=Jk"i其一般數學表達式如下：mi = l,2/- J; j = l,2,n + mli！表中B B：表示Px)中各目標參數規劃的解，并非原目標

13、函數F(x)中各目標£(x) 的解.Bi*=fcu*bkk«lB*=Zqk*bk其一般表達式為：mi = 12Jk = l在求目標函數極大值時,必須使所有的2/都大于等于零，即目標的優化條件. 多目標參數線性規劃的優化條件如下：z/=z/-c/20 I或口r i = 1,2,!; j=1,2,-,n + m（10）利-c/20 ,k-l在滿足上述條件的基礎上，求出一組解W,并使得P（P,Q2P（滬力成立.如果X是唯一 解，并且«A*eA和甘0（i = 1,2,】）的條件下，則稱i為多冃標參數線性規劃的最優解.五、如何確定參數空間前幾節我們已經介紹了求解多目標參數線

14、性規劃非劣解的算法.但僅僅在假設PWA 的前提下,具體的A參數值仍為未知數本節介紹確定參數A的方法.從上一節的證明可知，可將（10）式中礦表示為的函數。m即：（巧=E 5（嚴鳳廠c“）k * Iqj（A*）=qJ*+XA*c!；i！因此（11）式可改寫為：ni1-11-1附）=Z（qk*+Z 入恤- （q*+E 入當）tnI-1mI-1=（L 5%廠時）+入吃q %廠I人1Vk s Ii«a ）k 1ImI -1m=（Z Mg 一 ）+Z "（Z c/akr c）k m|I 丨k»|從（10）式中可知m廠時Il = IL-l上式可寫為：4（廿）三+=召* +入_凸

15、_+入乜，j=l,2.,n + m（12）這樣我們就將上式優化條件表達為A*（i=l,-,1-1）的線性函數.從（12）式中可知，已 將原來I個目標函數的參數降階到1-1個目標參數，我們將這種目標參數降階的方法稱為 多冃標參數線性規劃.前面介紹的是在FWA固定情況下求i.本節介紹在已知x的情況下迢皿)是久的線性 函數。此時(12)式可寫為：訥三 V +j=l,2,n + m在滿足(10)式的條件下，在參數空間A中可產生一個封閉的凸多面體A(0對于毎一 個辰點)時左是P(3的最大解.令：A(i)=W1-1;躋+*f "攀0;冋(13)>»|其中J表示非基變量的集合在的區

16、域中利用F+Y典“0,可求出參數久的約束空間。然后將£代入(2)式F(x)中，求得多目標函數值。六、舉例說明為了便干理解上述構模的過程,下面舉一個較復雜的多冃標線性規劃模型，該模型具 有三個目標函數.四個限制條件和七個決策變量.V-MaxF(x 戶 Cf|(x),f2(x),f)(x)其中：A(x)二 X2+X3+2X4+3X5+X6£(x)=X|+D-X4-x6-x,f3(x)=X,+2x, - x,+3x4 + lx,+x?S. T. X1 + 2X2+XJ+X4+2X5+X6+2X7W16-2xt-x2 +x4+2x5+X7WI6-X) 4-Xj +2x$-2x7&l

17、t;16x2 + 2X3X4 + xj2x6x716 x0O, i=l,2,7按卵(6)式引進參數入后，確定P(心)的冃標函數的系數.P(A,x)=x, + 2x2 - x,+3x4+2x j+ x7+ A2( 2x2 + 2x- 4X4 _ 2xs-x6- 2xJ+ 1i(-xi-x2 + 2xj-x4 + x5 + x6-x7)將上述多目標模型中的變量與系數寫入單純形表1屮可得表2:取表2中a“元索作保留點，可得x4為基變址的單純形表3得出一組解x=(0,0.0,16,0,0,0)即x4=16.現在可以按(13)式計算相應的A(Q：A(x)=丿4入+220401.一入-6久2+4 2 0入

18、+ 602.- 3入一 6心+403右+ 6心4二 1 -3入-6心+420或人(斤)=3人+ 6&W45.J- 2入- 3 久2+3 2 02A)+ 3 右 W 36.-人-6心+50入+6屮57.-入_4石+320入+4爪3&表2-石2人4A-州00000_2為2厶_4入_2心%0000時12-32010000Clk* * 時BV人x2X4X5X?Xr>九000121712100016000-001201010016000XIO-101020-2001016000010-11-2-100()16zb*=:z/_c.A石2xA-人石000000-2X4A2心A2人000

19、00-1-21_3-70-100000表3CfBVXi&SS'10xn-入3111r12100016000-3-3-100-1-111000000XIO01020-2001016000X”13303-11100132z.j*0_人-3A10_2人-入000-16A)為一46 心-6AjO-6心-3心_6入叫000_64&2440435300048注意:上述是一個退化解。如果我們以表2中a”元素作保留點同樣可得x4為基變足的單純形表4. 表4中z/有小于零的值存在，取a.元索作保留點，經迭代轉換后得表5.得出組解2(0,0,0,16,0,0,0),即x4= 6按(13)式

20、計算相應的限制條件A&):表4XBV<!X2X4 X5 x6&hX105丄0003100111-1000-入-a3X,-2_l01001010016000-101020-2001016000xn1-20203-70010132V3入0-3入00-入00-16右6A一2A、0一 6右心一耳00064易-7_510402030048表5JBVx>x?XiX42X6X7X.X10xll01xi111/3001/31/31/3-1/3000T_4冷3X4012/3122735/32/31/30016000X!00I4/3021/3-5/31/3-1/31016000'

21、;ll028/303-4/32/32/31/301321 0_3人0_3人000-16入0_2右-14佻0_6入g-14/3A,-8/3心_4佻00-64a20210/3047/313/37/32/300&入- 2W23右+ 14/300/33入 +A(x)='2 入 +5/3 久27/3入 +14/3 易 W13/3入 + 8/30/34/3 亦 2/30AM .&9.；A(x)0由表5得岀A(Q中的限制條件、與表3中A(x)限制條件、相同.由此可 見兩個限制條件共同由下式來決定./ 3入+ 6朋41 爪 1/2設兩個限制條件的共集為A®, A

22、(x)=A(x)nA.3入+ 6朋4 A(x)=心/2I A>+ 朋1 I人、心耳)用圖象表示入®如下:圖2中的A(x) 表示，在AGXU的范圍之內去尋找乂并使 得P(入夠Pg)成立，稱為非劣解.按上述單純形求解的迭代方法，經過多次迭代后，求得組非劣解: xu=(0, 0, 0, 16, 0, 0, 0) x'=(16, 0, 0? 0, 0, 0, 0),x(& 0, 8, 0, 0, 0, 0)x=(0, 0, 32/3, 16/3, 0. 0, 0)x4=(0, 0t 16/3, Q 16/3、0, 0) x(0, 0, 0, 0, 8, 0, 0)其目標函數如表6:上述得到-組非劣解集與各目標函數 值、供決策者參考，以確定合理的決策變 量。Jx'X5x4(X)32o821.3321.3324血)-161616 :5.335.330l；(x)16o5.335.3316表6方面，該方法比其它多目標決策方法要嚴密.它不需要人為的主觀決策，而根據客