1、第三章系統的時間響應3-1什么是時間響應？答：時間響應是指系統的 響應（輸出）在時域上的表現形式或系統的動力學方 程在一定初始條件下的解。3.2時間響應由哪兩部分組成？各部分的定義是什么 ？答：按分類的原則不同，時間響應有初始狀態為零時，由系統的輸入引起的響應零輸入響應，即系統的輸入為零時，由初始狀態引起的響應。按響應的性質分為強迫響應和自由響應。對丁穩定的系統，其時間響應乂可分為瞬態響應和穩態響應。3.3時間響應的瞬態響應反映哪方面的性能？而穩態響應反映哪方面的性能？答：瞬態響應反映了系統的穩定性和響應的快速性兩方面的性能；穩態響應反映了系統響應的準確性。3.4設系統的單位脈沖響應函數如下，

2、試求這些系統的傳遞函數.(1)w(t)=0.0125e25t；(2w()5 10sirb#；t-(3)w(t)=0.1(1-e3);(4)w ( )0. 01解：(1)w(t) = x0(t) = l_T X0(s)G(s)Xj(s)X. (s) =1 iw(t)=L -1 G(s) ,G(s)=L w(t)所以，(1)G(s)=L w(t) =L 0.0125eT.25t = 0.0125-s 1.25G(s) = L w(t)=旦 10L sin(4t ) = 5- 2L sin4t cos4t s2一s2s2s2 16 s2 16 s2s2 16=5、(一廣5 2-tdG(s) = L

3、w(t) =L 0.1(1-e3) =0.1 -!11 s+Sj0.1s(3s 1)(4)G(s) = Lw(t)= 10.01町=四s23.5解(1因為一階系統G(s)= 1解得，T=0.256min.丁 的單位階躍響應函數為xou(t) = 1-e T(2)因為一階系統G(s) =_11xor(t)=L 1Ts 1s2Ts 1A _11=AL 11，在輸入r(t) =At =10t作用下的時間響應1 T . T2 1s2s U= A(tT T斗)e(t)=r(t)-x (t)=AtorLATQ-e T)-2.56(1_e 0.256)當 t=1min e(t) = 2.53 度3.6解解：

4、(1)該系統的微分方程可以表示為ui = iR uo1 一一Uo = i d tC1其傳遞函數為G(s) = Uo(S)=_= 1=一-其中 t=RCoUi (s)1 RCs 1 Ts 1RCs1二、，顯然，該系統為一階系統，其單位脈沖響網函數為由(t) = e T ,單位脈沖響應Tt如圖(b);其單位階躍響應函數為xou=1-eT，單位階躍響應如圖(c)；其單t位斜坡響應函數為xo=tT+Te二，單位斜坡響應如圖(d)。1(2)標準積分器的傳遞函數為G(s)= 其中T=RCTs1 t其單位脈伸響網函數為恥(。=；其單位階躍響網函數為Xou1(t)=；其單位斜t2一 一一 一 ，一、，坡響網函

5、數為Xori(t)=,顯然，用圖(a)所示網絡代替積分器，存在誤差e(t)。2T它們分別為：(a) 當輸入為單位脈沖函數時1 十e(t) = i(t)-偵)=亍(12丁)1右 t<<T,e(t) - (t) - (t)=亍(1 - e T )=。1 T 11、右 t=T,e(t) =s(t) _ ，(t) = (1 e T) = _(1 _)TT e1 -k 1右 t>>T,e(t) = 1(t)(t)=亍(1 - e )=(b) 當輸入為單位階躍函數時t - e(t) =x°u1(t) x°u(t)=亍 一1 e Tt右 t<<T,e(

6、t) = x°u1(t)-Xou(t) = f-1 e T =。t1右t=T,湘小-編二亍-1 e tt干 1 ,、右 t>>T,e(t) =x°u1(t) f(t) =f-1 e T "t-T)(c) 當輸入為單位斜坡函數時e(t) =xo1(t)-xo(t)=2rt T-Te若 t<<T,e(t) =x°r1(t) - x°r(t)=。1、右 t=T,e(t) =x°ri(t) -x°r(t) =T(0.5-)e若 t>>T,e(t) =x°i(t)f (t) =?(0.5t

7、 -T)從以上分析可知，用圖(a)所示系統代替積分器時，只能用在t<<T段，才能保 證誤差很小。當T增大時，其近似程度提高。3.7已知控制系統的微分方程為2.5y'(t) + y(t)=20x(t)，試用Laplace變換法，求 該系統的單位脈沖W (t)和單位階躍響應xot),并討論二者的關系。解：由傳遞函數的定義和系統的微分方程，可得系統的傳遞函數為G(S)*=X(s) 2.5s 1 s 0.4系統的單位脈沖響應為 88少tw(t) = LG(s)X(s) =L *1 = L =8es 0.4 s 0.4系統的單位階躍響應為.81. 11x°u(t) = LG

8、(s)X(s) = L * =20Ls 0.4 s s s 0.411= 20L s s 0.4t 比較w(t)和x°u(t),有w(t) = x°u(t)或xou(t) = f0 w(t)dt o由此可得結論：系統對某種輸入的導數的響應等丁系統對該輸入的響應的導數；系統對某種輸 入的積分的響應等丁系統對該輸入餓響應的積分。3.9已知單位反饋系統的開環傳遞函數為Gk(s)mi求：(1) K=20, T=0.2; (2) K=16, T=0.1; (3) K=2.5, T=1 等三種情況是的單 位階躍響應。并分析開環增益 K與時間常數T對系統性能的影響。解：由丁單位反饋系統，

9、其前向通道傳遞函數與開環傳遞函數相等，所以系統的閉環傳遞函數為KK叭" K f + l + L T【十ktts+1由丁為一階系統，故時間常數為 0故單位階躍響應為K*1K+1K* KMouft）= jv（1-）1VT 1當 K=20, T=0.2 時，uK41W）二土=0.952 （1甘醐）«t1當 K=1.6, T=0.2 時，八 Rir K41知U（t）二己。一t'） =0.615 （1甘以）K+l當 K=2.5, T=1 時，E?K411（1）= （1-B"6） =0.714 （1產）KtI從上面可知：當K值增大時，系統的響應應快速性好；T值減小是，

10、系統的響應 快速性變好。3.11 解解：簡化傳遞函數方框圖有供1*（、2瓶+s $_ 時B $ftr +1" + （忒 K產 2 翻"卻Kfx Jz2軻+$ ' 2阿+$ 5顯然，這是一個簡單的二階系統。無阻尼固有頻率為®n,且v 2 2、則，阻尼比為 / 0.5f ，有阻尼固有頻率為一 "一 1:3.12圖為某數控機床系統的位置隨動系統的方框圖，試求:(1) 阻尼比&及無阻尼比固有頻率 Wn；(2) 求該系統的Mp, tp, ts和No解：Gk(s)=9s(s 1)H(S)=19s(s+1)=91 9 s2 s 9 s(s 1) .1該

11、系統為一間單的一階系統，其中 Wn=3s ,-=一6=3Xs-1=2.958s'1。=Wn=0.5=arctan5.916=1.403:=arctan則單位階躍響應參數ji - Ptr=0.587s兀tp=1.062swdJIMp=ed =0.538=53.8%過度過程時間ts4右/ =2%, ts=8sCTL3右/ =5%,ts=一=6s2Wd振蕩次數N. t 2 1 - 2若 =2%, N=3.742 二Wd若 =5%, N=3 =1.5; 1=2.828 32 Wd3.12圖為某數控機床系統的位置隨動系統的方框圖，試求:(1) 阻尼比£及無阻尼固有頻率 仍n ;(2)

12、該系統的m p，tP，ts和N。,、9Gk（S）=擊 H =1Gb（s）s(s 1)1 s(s 1)顯然，該系統為一簡單二階系統，其中 仍n = 3s阻尼系統22 一，1、-1d = n 1 -=3. 1 -()s61.,& = 1 ,即它是一個二階欠6_12.958 sg = Econ = 3 尺 1 = 0.5:=arctan(d) = arctan5.916 = 1.403CT上升時間峰值時間最大超調量tr-'d兀tp =二3.14-1.4032.958s = 0.587 s3.142.958s = 1.062 s-() 一 3.14M p = e d = e 2.958

13、= 0.538 = 53.8%則單位階躍響應參數為過度過程時間若 =2%ts =-s - 8 sts。0.5若 =5%K - - - s - 6 sIs。0.5振蕩次數-ts2 一/d若 =2%.2ts21 -N -'-3.7 : 42 -二d=2.82833.13試求下述系統在單位斜坡函數r=t (t>0)輸入的響應y(t)和誤差函數e(t)。 G(s)='22系件"解：(1) V1 Lr(t)I s_11Y(s)=G(s)/=ns11 T T2+s 1 Ts1 y(t) = l【W -s sTT2T =t-T Te1 Tse(t)=t-y(t)=t-(t-T

14、+TeY(s)=G(s)12 sy(t)=t-t)=T-Te2-'ncc 2.+ 次t(co沖3sgb.2 e=t-+ "n n；1-'2sin(dt+arctan廣)(t2 2 -1-0)其中,2 -2 。+2=2arctan2 2-1則 e(t)=t-y(t)="t:sin(dt+2arctan) (t -0)3.15要使圖（題3.15）所示系統的單位階躍響應的最大超調量等丁25%,峰值時間tp為2秒。試確定K和Kt的值解由圖可知系統的傳遞函數為Gb(s)=1 與(1 KfS)S2S2K Kfs KmK f K則 f = 、K =乂 M ° =

15、e* 登=25% p71：ln M pp)2= 0.4 =2而 tp =2stp p2Wn2 JI= 2.93 = K tp(1 - 2)=2 0.41.71=0.47K =2.93 Kf3.17.單位反饋系統的開環傳替函數為:Gk(s)=s(s 1)(s 5)其斜坡函數輸入時，系統的穩態誤差esS = 0.01 的 k 值。解：由丁是單位反饋系統，esSg,并且該系統為I型系統, ss化有K/5Gk(s)= k s(s 1)(0.2s 1)其增益為K/5在斜坡函數輸入時，e = ；g = °=0.01ss ssKK = 5001 、3.18如圖(題3.18a)所小系統，已知 Xj

16、(s) = N(s)=，試求輸入 XjIs和擾動 N(s)作用下的穩態誤差。NQ)解:1 3?+14J十1先求當X|(S) = 0,N(s)#0 時，即N(s)單獨作用下的穩態誤差eN。此時系統的方框圖可以簡化為圖(題3.18.b)所示。4s 1En(s) =4s 1N(s) (3s 1)(4s 5)N(s)因此，干擾作用下的輸出為XoN(s)=(3s 1)(4s 5)由T擾產生的誤差為En(s) = Xj(s) - X°N(s)X°N(s)則該誤差的穩態值為4s 1因此，輸入作用下的傳替函數為Xo(s)Xi(s)(4s 5)輸入作用下的誤差為Ex(s)= Xj(s)*s)

17、1W(s)msEN(s)= - lims (3s 1)(4s 5) s 5再求當 Xs)。, N(s)=0時，即Xi(s)單獨作用下的穩態誤差6ssxo此時系統的方框圖可以簡化為圖(題 3.18.C)所示。則該誤差的穩態值為®ssx1 =lim sEx(s) = lim s4s 5) s 5根據線性系統的疊加原理,系統在輸入和干擾共同作用下的誤差等丁分別作用下的誤差之和，即1 1a 、' + a 、=essX essN -5 5an -1an3-19 .已知單位反饋系統的閉環傳遞函數為GB(滬廠 a. an，s an求斜坡函數輸入和拋物線函數輸入時的穩態誤差。解：將系統傳遞函

18、數化為單位反饋形式有Gb(s)=Gk(s)1 GK(s)an -1s ann n -12_sas._an - 2san - 1s an1sn a1snTan - 2 s2即可得Gb(s)=an t anan tsansna1sn1 . an-2s2s2(sn2asn3 .an - 2)可以看出：該系統為型系統，其靜態無偏差系數為靜態位置無偏差系數為Kp =單位階躍信號輸入時的穩態偏差為靜態速度無偏差系數為Kv =單位斜坡信號輸入時的穩態偏差為lim°sG(s)H (s)=二i ss = = 0 i - Kplim sG(s)H (s)=二iss = / = 0Kv靜態加速度無偏系數為Kv = lim s2G(s)H (s) = s > 0an - 2單位拋物線信號輸入時的穩態偏差為；ss 二=-a2Ka an故當斜坡函數輸入時，系統靜態無偏系數為8,其穩態誤差為零;乏，其穩態誤差為碧。an -2a入時，系統靜態無偏系數為當拋物線輸3-20系統的負載變化往往是系統的主要干擾。已知系統如圖(題3.20)所示,試分析