1、解三角形考點與題型歸納總結考點4正余弦定理考法一：正余弦定理選擇1. ABC中，角45C所對的邊分別為QbC若 = 13 = 3M = 60o,則邊心 【解析】Cr =c2 +lr -2CbCOSA =>13 = c2 + 9-2c×3×cos60° > 即 c2 -3c-4 = 0，解得心4或C =1（舍）2在遊中'-T【解析】因為在 ABC中,A = 75。，3 = 45。，貝JBC的外接圓而積為",S C = 60,又卡,設三角形外接圓半徑加,3C7"1則2廠=十 =1，因此a43C的外接圓而積為S = r =-.Sl

2、n C 343. 在磁中，A = 60 , 6 = 13 > 則 一'F".等于 sin A+ sn B+ sn C【解析】由正弦宦理 = = ,丄二不二蘭國；a = ±dsinA， =蘭國sinB,SinA SinB SmC SinA 3332C=Z2FsincjPlIJsinA +sinB +sinCSinA + SiIlB + SmC）二 2 >/393SinA + SinB + SillC4.在 AABC 中,噸沖宀,則込=C3【解析】因為COSC = 2cos2-1 = -,所以Cj +八沁。sC = 32,"=初=4屈5在SABC

3、中，BC = 2, AB = 4,cosC = -,則 AC 的值為（）4【解析】SABC 中，6/= BC = 2,c = AB = 4,cos C = - , c2 =a2 +b2 - 2abcosC > 4化簡得+b-12 = 0,解得b = 3或方=4（不合題意，舍去）l .b = AC = 3考法二：邊角互換1. 在AABC中，若 = 27sinA,則角B等于【解析】由正弦定理有,因為 = 2Z?SinA=>sinA = 2sinBsinA.因為sinAO,故2sinB = l.即SinB = *,又Bw(Oj),故等于 30° 或 150° .2.

4、已知A3C的三個內角A,5C所對邊長分別是,b,c,若SmEmA=WH ,則角B的大小為SinC a + b【解析】由正弦定理得2二£ = 2,化簡得 Cy =_旦= COSB，故B =.Ca + b2ac263. 在 ABC 中,sin2 A-Sin2 C+ sin2 B = SmAsin B,則角 C 的大小為【解析】根據正弦立理得到：a2-c2+h2=ab ,根據余弦泄理得到a2 -C2 +h2 =2abcosC. 故 COSC = I,C = 60°.24. 在aBC中，內角A、B、C的對邊長分別為b、c,已知/一 c2=2h,且SinACOSC = 3 cos A

5、sin C,貝IJ b =【解析】V SinACOSC = ScosAsin C:根據正弦立理與余弦定理可得：=3XlferX- 即2c2=2a2-bh2ab2bc ： Cr CL = 2b，: b = 4b f *：彷' b = 4。5. 在ABC 中，,b,c 分別是角 AyB9C 的對邊,若Z?SinA-JJGCoSB = O, Kb2 =ac 則一-的值為b【解析】在AABC中，因為ZJSinA-3aCOSB=O,且方'=c,由正弦定理得SinBSinA->3SinACOSB =0 » 因為 A(O,r),則Sin A >0, 所以SinB-JSc

6、osB = 0 ,即 tan B = JJ,解得B =彳，由余弦定理得戾=a2 +c2 -IaCCQSB = Cr +c2 -ClC = (+c)2 - 3ac = (a+c)2 -3b2 > 即4/?2=(d + c)2,解得午上=2.6. 已知A3C的三個內角A,B,C所對邊長分別是abc,若曲屆,則角的大小為_. SinCa + b【解析】由正弦泄理得上纟=辰+(,化簡得 H 一” =_週= COSS 故B = .C a+b2ac26考法三：三角形面積1. 在厶ABC中，內角A.B.C對應的邊分別為a,b,c ,已知a = 2, c = 22 »且C = ,則的面積為【解

7、析】因為 = 2, c = 2, C =-所以由正弦定理得_匕_ = _二：4Sin A Sin C2 _ 2? 即Sin A 兀、 sin 4得SinA =丄因為A 2（礙）所以A =彳所以4C = m所以而枳S = IacsinB =丄22> "十=荷+1。2 22在ABC中，角A，B, C的對邊分別為, b, c ,若b =近，c = 4,且acosB = 3bcosA,則LaABC 的面積為.22 IlJ 222【解析】由余弦眾理得a "'a =3b,即/+16-2 = 3（2 + 16-/）,解得（I = E2ac2bcb2： COS A =2bc+

8、 疋-/ _2 + 16-10_7? 一 22×4 " 2 ': Sin A = 1 - cos2 A= SInA = i×24× = 2.j:3.在ZABC中，內角A, B, C的對邊分別是a, b, c,若COS B=-,42,且S旳=匣Sin A4的值為【解析】根據正弦定理一Z = 7可得-=- = 2, AC = 2. Sln A Sln C SIn A a在 AABC 中， cos B =, Sin B = l-cos2 =4. S .HC =-ac sin B = -a2 =, ：. a2 =1, .,. = l,c = 2.a&qu

9、ot; 244.b1 =Cr +c2 -2«CCOSB = l + 4-2×l×2×-= 4, .b = 244. 在 S3C 中，網卜 2, I Aq = 3, AB，ACCot 且 ZkA3C 的面積為 ,則 ZBAC 二21 131【解析】S =-ABAqsinZ3AC = -x2x3XSinZBAC =二，nABAC =-9 -AB-AC <0,2 22 ZBAC > 90o, ZBAC = 150°.考點四：三角形形狀判斷1. 在A3C中，已知FtanB = FtanA,則該AABC的形狀為Jr .r八、i sin2 A

10、SinB sin2 B SinA【解析】Cr tanB =b2 IanA化為=，COSBCOSA. A、BW (0, )9 . Sin 4 > 0, sin 3 > 0 , Sin A COS A = Sin B COS B, Sin 2A = Sin 2B , 4 B 至少有一個是銳角,Sin 2A = Sin 2B > 0,24 2B (0,龍),2A = IB或2A + 2B = r, .4 = B或A + B = ?,所以ABC是等腰三角形或直角三角形.22. 在A3C中，角£, B, Q的對邊分別為a, b, c,滿足3 = 60。且三邊a, b, C成等

11、比數列,則這個三角 形的形狀是【解析】三邊a, b, C成等比數列，即b2=ac ,根據余弦建理F = /+c2_2MCOSB =/+<? TC = M，即(d-c)2=0, d = c.故為等邊三角形.3. 已知AABC三內角A、B、C的對邊分別是b、c ,若 = Z?CoSC+csinB ,且sin2 A = Siir B + sin2 C->2sin Bsin C，則 AC 的形狀為【解析】由正弦泄理得SinA = SinZJcosC+sinBSinC,即Sin(B + C) = SinBcosC+SinBSinC,所以 COSBSinC = SinBSin C > A

12、 = £.又 a' = b' + c' - 2bc至，由余弦泄理得 COS A =,所以 422COSB = SinB.B = -,所以C = -B = -,所以ABC為等腰直角三角形.424如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個新的三角形的形狀為【解析】不妨設AABC為直角三角形，C = 9OS則a2+b2=c2 ,設三邊增加的長度為加(加>0),則新 三角形A'B'Cf的三邊長度分別為a + nb + m,c+mt則COSC'=+ "-+"')二" +» ,而2(a +

13、m)(b+m)(d + ?) +(b + m) -(c + ,") = 2(a+b-c)n + nr >0 .所以COSC, >O » 因此新三角形為銳角三角形.5. 對于 ABC，有如下命題：(1) 若sin2A = sin2B,則公ABC-為等腰三角形.(2) 若sinA = siM,則厶ABC-為等腰三角形.若Sin2A + sin + cos2C V 1，則MBC一泄為鈍角三角形.(4)若tanA + tanB + tanC>O,則厶為銳角三角形.則英中正確命題的序號是 (把所有正確的命題序號都填上)【解析】(1)2A = 2B或2A + 2B =

14、 , ABC為等腰或直角三角形(2)正確：由 sin2 + Sin2B + cosC < 1 可得 SiIrA + sin'B < SilrC 由正弦左理可得' +b <c2 再由余弦定理可得COSC < O, C為鈍角，命題(3)正確(4) ,tcmA+tanB = tan(A+B)(l - tanAtanB) = -tanC (1 - tanAtanB)：.taA+tanB + tanC = tCUiAtanBtanC > O /. ABC 全為銳角，命題(4)疋確故其中正確命題的序號是,(3),(4)考點五：三角形個數1. 己知aABC中，A

15、 =45°，d = l,若 ABC僅有一解，則be【解析】由題中已知中，4 = 45°，a = .則角A所對的髙線長可表示為bsin45<3,因為三角形形狀唯一，所以三角形為直角三角形或鈍角三角形，則所以b = y2a=>2 或0<bl.2. 在三角形A3C中，根據下列條件解三角形,其中有兩個解的是A. /7 = 10, = 45o, B = 70oB t = 60, c = 48t = 60oC. = 7,方=5, A=80。D t = 14, /? = 16, A = 45o【解析】A已知兩角一邊，三角形確定的，只有一解，B已知兩邊及夾角用余弦立理，只

16、有一解，C中已知兩邊及一邊對角，但已知的是大邊所對的角，小邊所對角只能是銳角，不可能有兩解，D中，SinA = 16sin45o = 8>2 <«</?» 有兩解.故選：D.3在A3C中，角兒B、Q的對邊分別為a, b 6則滿足« = 10, /7 = 18, A = 30°的三角形解的個數ab99【解析】根據正弦定理得到：-一,故sinB = . l>sinB = ->sinASlnA SInB1010故滿足條件的三角形共有2個故答案為：2.4. 若滿足條件C = 60。, AB = JMBC = 的三角形ABC有兩個，那

17、么a的取值范圍是【解析】根據正弦立理可知空-=蘭J ,代入可求得SinA = -因為C = 60%所以e(60 J20 ) Sin C Sin A2若滿足有兩個三角形ABe則£<彳<1所以(3,2).考點六：取值范圍1. 在ZXABC中，角45C所對的邊分別為gb,c, ZABC = I20o, ZABC的平分線交AC于點Q，且BD = I,則4“ +C的最小值為【解析】由題意可知，SABC=SMBD+S“CD，由角平分線性質和三角形面積公式得6ZCSin 120o = -a××Sin60° +c× 1 ×Sin60

18、76; > 化簡得ac = a + c,- + - = 1,因此 222a C5 + 22. AABC中，內角A, B9 C所對的邊分別為a, b, C 已知a=hcosC+csinB , Rb = Q 則 WC面積的最大值是.【解析】由a = /2COSC+CSinB及Tr弦左理得，SinA = SillBCOSC+SinCSinB,即 Sin(B + C) = SinBCOSC+SinCSinB ,又 Sin(B + C) = SinBcosC+CosBsinC,于是可得 SinB = COSB » RPtanB = I, 3 = 45'. 在 AABC 中,由余弦

19、定理得 Cr + c2 2ccos45 = 2，即 a2 + C2 2ac = 2， 又因為/ + c2 2cc , 2 = a + c -2ac (2-ac ,2由此可得ac<-= = 2 + 2 t當且僅當Q = C時等號成立，. AABC面積S=-csinB = <二(2 +渥)=i ,故AEC面積S最大值為遲二！.故答案為VA 24 ' 丿 2223. 在銳角aA3C中，A, B, C分別為"IBC三邊, b, C所對的角，若COSB+ JJsin B = 2，且* 亠 cos3 COSC 2sin Asin B rtl口?兩足關系式1=則ci +C餉取值

20、氾用是b C3 sin C【解析】cos + 3sin = 2 得 Sin B + I = It 又芻 <8 + ?<二，所以 B = ：.丿6633在銳角中，-<<-,由正弦尬理得：62(2IT-A I = 23sin I A + ICOSB cosC _ CCOSB+ /?COSC _ SinCCOSB+ sinBcosC _ SinA _ 2SinASinB b Cbe? SinC SinC 3sinC所以b =-=y/3 , 所以a + c= & (Sin A + sinC) = 2Sin A + 2Sin 2 sin BSinB,所以弊Sin(A+乞&

21、lt;1,所以rt + c(3,234. 設d, b, C分別為ABC內角A, B, C的對邊.已知2"二® =衛乂 ,則空匚蘭的取值范COS BCOS Cac【解析】因為二，所以(2。一 J5b) cos C = JJc cos B (cos B cos CH 0),COS B COS C所以(2 SinA- >5 SinB )CoSC = >Tsin C cos B即 2sin AcosC = >3sin(C + B) = V3sin A ,又SinA >0,所以COSC =(C '( 5y0,_U2丿12 6；因為COSBH0,所以而=

22、2COSs 故 67+rzr (-3,)u(,2).故答案為：(710)U(0,2).5. 在銳角三角形ABC中，已知2sin2A + sin2B = 2sin2C則一!一 +一 + !的最小值為. tan A tan B tan C【解析】由正弦定理,得：2a2+b2=2c2如圖，作 BD 丄 AC 于設 AD = X9 CD = y, BD = h t 因為 2a2+b2=2c2,所以，2(y2 + A2) + (x + y)2 = 2(x2 + A2),化簡，得：x2-2xy-3=0,解得：x=3ytan(A + C) = - tan B ,1 1 1+tan A tan B tan C

23、tan A + tan CC1 - tan tan C1=-tan B , = _ 1 - tan A tan Ctan A + tan C tan B1 1+tan A tan Ctan A tan C 一 1+tan A + tan C=÷F=I÷f*當且僅當h=師時取得最小值孚考法七：解析幾何中運用1.如圖AABC9在，已知點D在邊BC上，4D丄AC9 SinZBAC =攀込邁43,則他的長為2. ABC的兩邊長分別為1, 3 ,第三邊上的中線長為1，則貝外接圓的直徑為【解析】AB = 1,AC = 3, = 1，設BD = CD = x,在 AABD 中，AB- =

24、 AD2 + BD2 -2AD BDCoSZADB，即 1 = 1 + /_2XCoSzAD3，在 ACD 中，同理可得 3 = 1+ -2cos ZADC,ZADB + ZADC = yCoSZADB + CoSZADC = 0 ；(p+得，4 = 2 + 2x2,x = l,ABD為等邊三角形, 兀BC 一的_2B = -, ABC的外接圓直徑為喬&一丁亍一3，3. 在A3C中，ABBC "CCA ObA".則SinA：SinB:SinC =543 R RCf A (9AA R ., 【解析】設 ZW 處= CZA = CZ=t9 所以 AB BC = 5t.B

25、CCA = 4t,CAAB = 3t.所以-accos B = 5/, -abcos C = 4人一be cos A = 3t , 所以c?+/慶=-0t.b2 +a2 -C2 =-St,c2 +h2 -a2 =一6/ 得 = -y9t,b = -J7f, c = - J?/ > 所以 sin A: Sin B: SinC = 6/: ?: C= : JT: 4在 ABC 中，點 D 在 AC 上，AB 丄 BD , BC = 33 > BD = 5 , Sin【解析】利用余弦立理求解.因為 Sin ZBC = Sin ZDBC + - = cos ADBC =迫在厶DBC 中，由

26、余弦左理可得 CD2 = BD2 + BC2 -IBD BCCoSZDBC = 16,所以CD = 4。5. 在 AABC 中，ZABC = 90 , AB = BC = 3 ,點 D 在線段 AC 上若 ZDBC = 45°，則 BD =，1. ABC中,角 A,B, C所對的邊分別為ayb.c 9 m = (>3-GCOSC), H = (z,cos A), Irllln » 則CoSA 的值為33【解析】因為Tillld 所以(V5-C)COS A = aCOSC . (y3 Sin B-SinC)COS A = SinACOSC：.3 Sin BCOS A =

27、 SinA COS C + Sin CCOS A ：. VJSin BCOS A = sin( + C) = Sin B . COS A =2. 在3C中，AC = 3,向量麗 在疋上的投影的數量為一2,SWe=3,則BC =【解析】向JAB在猶上的投影的數量為-2, AIABlCOS = -2.1 _3_V5,lzlfic=3, -I BII ACIsin A = -I ABIsin A = 3 , AlABlsinA = 2 2 2由得 tanA = -L VA 為 ABC 的內角，' A =竺，J" 一一"24SIn 4在AABC中，由余弦宦理得:BC$ =A

28、BU 一2. A® AC cos節= (2)2+32-2x2辰3x(一半) = 29,二 BC = 29 .3設分別是MBC的內角 A, B, C 的對邊，已知(/? +C)Sin(A+ C) = (rt + c)(sin-sinC),設 D 是BC邊的中點，且aABC的而積為JJ,貝J4A(d4 + DM)等于【解析】T ("+C)Sin(A+ C) = (+c)(sinA-SinC),由正弦泄理可得：(b+c)b = (+c)(a-c),整理可得：b1+c2-cr=-bc由余弦泄理可得：cosA = -i, 由AG (0,兀)，可得：A = J ,又ABC的而積為的，4

29、. 要測量電視塔M的高度，在C點測得塔頂的仰角是45° ,在D點測得塔頂的仰角是30° ,并測得水平面上的ZBCD=I2Qt, , CZt40m,則電視塔的高度是【解析】由題題意，設AB = x,則3D = Jx, BC = X在HDBC中，ZBCD = 20o, CD = 40, 根據余弦泄理，得BD2 = BC2 + CD2 - 2BC CD cosZDCB 即：(3x)2 = (40)2 + x2 - 2 × 40 x cos 20°整理得X2-20-800 = 0,解之得x = 40或X = -20(舍)即所求電視塔的髙度為40米.5. 設F,

30、F2分別是雙曲線+ 卡 = i(,b>o)的左、右焦點.若雙曲線上存在一點P,使PFl = 4PF2,且ZFlPF2=60則該雙曲線的離心率是【解析】片，耳分別是雙曲線t-g = l(,b>0)的左、右焦點,且雙曲線上的點P滿足PFl = 4PF2所因為ZFlPF2=GOa, FiF2 = 2c所以在三角形FfF?中由余弦泄理可得:2 =PFi +PF2-2PF'1PF2cosZF1PF2 ,代入可得:4疋=¥" +r -2×-×-× 化簡可得9莊=3a2，即啟=-Ur = 所以e = 【考法六取值范圍】1.在銳角月龐中，角

31、乂 B、Q所對的邊分別為a、b、6且-3aZ÷AABC中角A, B, C的對邊分別是, b, J 若SinA = 3sin Ccos B 且c = 3,則AABC的面積最大值為=l, c=b則3的取值【解析】因為宀屁+ i, i所以/+題C° SC = W產=弊=孕因為OVCV >所以C = 乂因為SinA SinB兀26Sin-o所以 a = 2SinAt b = 2sin B > B = A6y3c b = 2y3 Sin A- 2 Sin B = 2羽Sin A 2 Sin(-兀A)6=23 Sin A 一 2(Sin -cos -cos-sin A)0&

32、lt; A<-2O<-A<-6 26 6所以一VAV . < A< , < Sin(A ) < ,所以 j?>a /? (1,>3) 32 6632622.在銳角三角形AABC中，A. B、C成等差數列.b = ,則"+C的取值范用【解析】U B、C成等差數列所以A + C=2B,又5所以吒UbC 2y3K=f= = bsinA 方SinC 23 / ，.一、SinA SinB SinC 33 ; . + c = -+ ;= (sin A +sin C )SIrl B Sln B 32=- sin A + Sin (-A-B)J

33、=Sin A + Sin2A + =J SinA+ cos A = 2sin A + 3丿.sC是銳角三角形,所以OC茫且OVC =等從即所吩“W，所吧y晉,< Sin/ A + - 1 /. >3 < 2 sin/X4 A + 6 JI 6.3 22 即 y3 <a + c2.【解析】由正弦泄理可知，SinA = -,SinC =且 c = 32R.-SinA = BsinCcosB 變形為即-9c"又 MMBC內角,CoSB>0WBe 0,-t (0,9);. S.r = -acsinB = -×a×3×-ls-a2=-

34、AleC 229681 f (81Y TJ +hJ ；= l-÷8kr=l=IXT = T,故答案為：T'pj / =耳，即(I =時，(SWC)ma4. 已知 A,3,C,D 四點共而，BC = 2, AB2+AC2 =201 CD = 3CA > 則IBril的最大值為.【解析】設C = ,由題意可得：DC = 3MB = 2O-7則：CoSC = - AC + IiC AIi- =,ABC 構成三角形，貝 I：" + 2> 茫E,解得：2<h<4,2ACxBC2mPZZ-2 < 20由余弦泄理：BD = yBC2 + CD2 -

35、2BC ×CD× COS C = J4+一 2 x 2 x 3m × 當加=4時.BQ取得最大值為10.5.在A3C 中,AB = I, BC = 2、則角C的取值范用是(A.B. 邁丿C. 62D.r <6,I>【解析】,Sin C Sin ABCI SinC = sin A . ' OvsinCS-, 2 2 Jr因AB<BC, C必為銳角,故Cel 0,-6. 已知銳角A3C中，角A5C所對的邊分別為Qbc ,若Z=( + c),則歸爲；Ij的取值范圍是.【解析】T b2 =a2 +c2 - IaC COS B、：. WC = C2

36、 - IaC COS B, . G = C- 2a Sin By. SinA = SinC 一 2sinAcosB = Sin(A+B) - 2sinAcosB = Sin(B-A),因為ABC為銳角三角形,所以A = B-A.B = 2A9,.O<A<O<B = 2A<p<.-A-B = ,-3A<5, J<A<J ,故4l=SiIL4e4,2)sm(3-A)22【考法八綜合運用】1.已知/'(x) = JJsin Xcos “一cos11 兀一扌，(XWR)若 ABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 , b ,(1)若c = 2,

37、/(C) = O,且MBC的而積為JJ,求a, b的值.(2)若SinC+sin(B-A) = Sin2A 9 試判斷 AABC 的形狀【解析】(1)由正弦的二倍角及余弦的降幕公式,結合輔助角公式化簡可得f(x) = 3sinXCOSX-Cos' X>sin2X-COS2x-l =Sin 2x- -1Z,又C(O,),故C =彳,V 7222I 6丿X(C) = sin 2C- -I = Ot 則2C_n = t + 2£/zawSWe = "sin C = 3 ,所以 H? = 42在AABC中由余弦左理可知4 = /+慶一 2bcosZ化簡可得+Z,2=8

38、,則可解得c=h = 2.3(2)由條件sinC+sin(B-A)=Sin2A,可知Sin(B+ 4)+Sin(B-A) = Sin24,化簡可得 Sin BCOS A = SinACOS A,則 CoS A = O或SinA = SinB,即 A = 90°或 = b,所以ABC為直角三角形或等腰三角形 2在WC中內角AAC的對邊分別為琢若2+阪= a2, SinB鳴(1)求SinC的值:(2)若b = 2,求zXA8C的而積.【解析】由W+g,可得W 亠如,所以“空二 ¥2bc又恥(U),所以心手.因為Sin-穹且毗(0,習,所以CwZ7習4/10105SinC = S

39、in(-A-B) = sin(A +B) = sinAcosB+cosAsinB =V×y + ×-2嚴Ib Sin C 厶 (2)由正弦定理可得丄一=一，所以C = -= = = 22 .SinB SinCSInB 10"w"所以 ABC 的而積 SWc = ?CSinA = × 2 × 2yjl × 1 = 2 .2 2 2COE C 2(、+ 3/?3 WC的內角45C所對的邊分別為Qbc,且滿足二_±_ +丄一 =0 COS A2a(I )求CoSq的值：(II)若AABC外接圓半徑為3 + c = 26,

40、RABC的而積Cc)SC 2c + 3/?【解析】(【)由一-+ =O及正弦左理得2sinAcosC+2cossinC+3cosAsiB = 0COSA Ia. 2從而2sin(4 + C) + ScosAsinB = 0 即 2siB + 3cosAsiB = 0又 AABC中SillB>0,. COSA = 一；.(II ) ABC外接圓半徑為3, SimA = 2,由正弦左理得r/ = 2?SilLA = 25再由余弦立理' =bzi AABC 中，因 c = JT，ZC = 由余弦左理得 c2 = Cr +b2 + CIb = 3 + c2 -2bccosA =(Z? + C) -2(l + cosA)Z?c,及b + c = 2>6得 bc