1、第一節(jié)第一節(jié) 映射與函數(shù)映射與函數(shù) 一、集合一、集合 二、映射二、映射 三、函數(shù)三、函數(shù) 四、小結(jié)四、小結(jié)一、集合一、集合二、映射二、映射三、函數(shù)三、函數(shù)一、集合一、集合1.1.集合集合: :具有某種特定性質(zhì)的事物的具有某種特定性質(zhì)的事物的總體總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集無限集無限集,Ma ,Ma .,的的子子集集是是就就說說則則必必若若BABxAx .BA 記作記作數(shù)集分類數(shù)集分類:N-自然數(shù)集自然數(shù)集Z-整數(shù)集整數(shù)集Q-有理數(shù)集有理數(shù)集R-實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系數(shù)集間的關(guān)系:.,

2、RQQZZN .,相相等等與與就就稱稱集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2 , 1 A例如例如,0232 xxxC.CA 則則不含任何元素的集合稱為不含任何元素的集合稱為空集空集.)(記作記作例如例如,01,2 xRxx規(guī)定規(guī)定 空集為任何集合的子集空集為任何集合的子集.集合的運(yùn)算集合的運(yùn)算（1）集合的并）集合的并|,BxAxxBABABABABA 或或即即的并，記為的并，記為與與稱為稱為，的所有元素構(gòu)成的集合的所有元素構(gòu)成的集合和和，由，由和和設(shè)有集合設(shè)有集合（2）集合的交）集合的交|,BxAxxBABABABABA 且且即即的的交交，記記為為與與集集合合，稱稱為為的的所所有有公公共

3、共元元素素構(gòu)構(gòu)成成的的和和，由由和和設(shè)設(shè)有有集集合合（3）集合的差）集合的差|,BxAxxBABABABABA 且且即即的的差差，記記為為與與的的集集合合，稱稱為為的的所所有有元元素素構(gòu)構(gòu)成成而而不不屬屬于于，屬屬于于和和設(shè)設(shè)有有集集合合（4）集合的補(bǔ)）集合的補(bǔ)|,AAxUxxAAAU 且且即即的補(bǔ)集，記為的補(bǔ)集，記為為為的元素構(gòu)成的集合，稱的元素構(gòu)成的集合，稱中所有不屬于中所有不屬于全集全集集合的運(yùn)算律集合的運(yùn)算律（1）交換律：）交換律：ABBAABBA （2）結(jié)合律：）結(jié)合律：)()()()(CBACBACBACBA （3）分配律：）分配律：)()()()()()(CBCACBACBCAC

4、BA （4）摩根律：）摩根律：)()(BABABABA 2.2.區(qū)間區(qū)間: :是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).,baRba 且且bxax 稱為開區(qū)間稱為開區(qū)間,),(ba記作記作bxax 稱為閉區(qū)間稱為閉區(qū)間,ba記作記作oxaboxabbxax bxax 稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間,),ba記作記作,(ba記作記作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限區(qū)間有限區(qū)間無限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義區(qū)間長度的定義: :兩端點(diǎn)間的距離兩端點(diǎn)間的距離(線段的長度線段的長度)稱為區(qū)間的長度

5、稱為區(qū)間的長度.3.3.鄰域鄰域: :. 0, 且且是兩個(gè)實(shí)數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)與與設(shè)設(shè)a).(0aU 記記作作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點(diǎn)點(diǎn)a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 . )( axaxaUxa a a ,鄰鄰域域的的去去心心的的點(diǎn)點(diǎn) a. 0)( axxaU,鄰域鄰域的的稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)數(shù)集數(shù)集 aaxx 4.4.常量與變量常量與變量: : 在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量常量,注意注意常量與變量是相對(duì)常量與變量是相對(duì)“過程過程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a, b, c等表示常量等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為而數(shù)值變化的量稱為變量變量.常量與變

6、量的表示方法：常量與變量的表示方法：用字母用字母x, y, t等表示等表示變變量量.5.5.絕對(duì)值絕對(duì)值: : 00aaaaa)0( a運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì):;baab ;baba .bababa )0( aax;axa )0( aax;axax 或或絕對(duì)值不等式絕對(duì)值不等式:二、映射二、映射1 1 映射概念映射概念 設(shè)設(shè) 是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則 ,使得對(duì)于使得對(duì)于 中每個(gè)元素中每個(gè)元素 ，按法則，按法則 在在 中有唯中有唯一確定的元素一確定的元素 與之對(duì)應(yīng)，則與之對(duì)應(yīng)，則 稱為從稱為從 到到 的映射，的映射，記作記作 其中其中 稱為元素稱為元素 （在映射

7、（在映射 下）的像，并記作下）的像，并記作 ，即即 而元素而元素 稱為元素稱為元素 （在映射（在映射 下）的一個(gè)原像；集下）的一個(gè)原像；集合合 稱為映射稱為映射 的定義域，記作的定義域，記作 ，即，即 ；中所有元素的像所組成的集合稱為映射中所有元素的像所組成的集合稱為映射 的值域，的值域，記作記作 或或 ，即，即YX、fxfXYyfXYYXf:yxf)(xf)(xfy xyfXffDXDf XffR)(Xf| )()(XxxfXfRf 從上述映射的定義中，需要注意的是：從上述映射的定義中，需要注意的是： （1 1）構(gòu)成一個(gè)映射必須具備以下三個(gè)要素：集）構(gòu)成一個(gè)映射必須具備以下三個(gè)要素：集合合

8、，即定義域，即定義域 ；集合；集合 ，即值域的范，即值域的范圍：圍： ；對(duì)應(yīng)法則；對(duì)應(yīng)法則 ，使對(duì)每個(gè)，使對(duì)每個(gè) ，有唯，有唯一確定的一確定的 與之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng). .XXDf YYRf fXx )(xfy （2 2）對(duì)每個(gè)）對(duì)每個(gè) ，元素，元素 的像的像 是唯一的；而對(duì)是唯一的；而對(duì)于每個(gè)于每個(gè) ，元素，元素 的原像不一定是唯一的；映射的原像不一定是唯一的；映射 的值域的值域 是是 的一個(gè)子集，即的一個(gè)子集，即 ，不一定，不一定 . .Xx xyfRy yffRYYRf YRf 滿射、單射與雙射滿射、單射與雙射 設(shè)設(shè) 是從集合是從集合 到集合到集合 的映射，若的映射，若 ，即，即 中中任一元素

9、任一元素 都是都是 中某元素的像，則稱中某元素的像，則稱 為為 到到 上的上的映射或滿射；若對(duì)映射或滿射；若對(duì) 中任意兩個(gè)不同元素中任意兩個(gè)不同元素 ，它們的像它們的像 ，則稱，則稱 為為 到到 的單射；若的單射；若映射映射 既是單射又是滿射，則稱既是單射又是滿射，則稱 為一一映射（或雙射）為一一映射（或雙射）fXYYRf YyXYfffYXXXf21xx )()(21xfxf 2.2.逆映射與復(fù)合映射逆映射與復(fù)合映射 設(shè)設(shè) 是從集合是從集合 到集合到集合 的映射，則由定義，對(duì)每個(gè)的映射，則由定義，對(duì)每個(gè) 有唯一的有唯一的 ，適合，適合 .于是，可以定于是，可以定義一個(gè)從義一個(gè)從 到到 的新映

10、射的新映射 ，即，即 對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè) ，規(guī)定，規(guī)定 ，這，這 滿足滿足 . 這個(gè)這個(gè)映射映射 稱為稱為 的逆映射，記作的逆映射，記作 ，其定義域，其定義域 ，值域值域 fXYfRy Xx yxf )(fRXgXRgf:fRy xyg )(xyxf )(f1 fgffRD 1XRf 1注意：注意：只有單射才存在逆映射只有單射才存在逆映射.復(fù)合映射：復(fù)合映射：設(shè)有兩個(gè)映射設(shè)有兩個(gè)映射 其中其中 .則有映射則有映射 可以定義一個(gè)從可以定義一個(gè)從 的對(duì)應(yīng)法則，它將每個(gè)的對(duì)應(yīng)法則，它將每個(gè) 映成映成 . 顯然，顯然，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則確定了一個(gè)從這個(gè)對(duì)應(yīng)法則確定了一個(gè)從 的映射，這個(gè)映射的映射，這個(gè)映射稱為映射

11、稱為映射 構(gòu)成的復(fù)合映射，記作構(gòu)成的復(fù)合映射，記作 ，即，即 ZYfYXg21:,:21YY fg和和ZX到到Xx Zxgf )(ZX到到fg和和gf ,:ZXgf注意：注意： 的值域的值域 必須包含在必須包含在 的定義域內(nèi)，即的定義域內(nèi)，即 ggRffgDR 因變量因變量自變量自變量.)(,000處的函數(shù)值處的函數(shù)值為函數(shù)在點(diǎn)為函數(shù)在點(diǎn)稱稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxfDx .),(稱為函數(shù)的值域稱為函數(shù)的值域函數(shù)值全體組成的數(shù)集函數(shù)值全體組成的數(shù)集DxxfyyW 數(shù)集數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的叫做這個(gè)函數(shù)的定義域定義域)(xfy 變量變量y按照一定法則總有按照一定法則總有確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱確定的數(shù)值和它對(duì)

12、應(yīng)，則稱y是是x的的函數(shù)函數(shù)，記作，記作定定義義 設(shè)設(shè)數(shù)數(shù)集集DR ，則則稱稱映映射射RDf:為為定定義義在在D上上的的函函數(shù)數(shù). . 即即對(duì)對(duì)于于每每個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)Dx , 三、函數(shù)三、函數(shù)()0 x)(0 xf自變量自變量因變量因變量對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素: : 定義域定義域與與對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則.xyDW約定約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值的一切實(shí)數(shù)值.21xy 例如，例如， 1 , 1 : D211xy 例如，例如，)1 , 1(: D定義定義: :.)(),(),(的圖形的圖形函數(shù)函數(shù)稱為稱為點(diǎn)集點(diǎn)集xfyDxxfy

13、yxC oxy),(yxxyWD 如果自變量在定如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)則叫與多值函數(shù)例如，例如，222ayx (1) 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyoxxx sgn(2) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超過表示不超過 的最大整數(shù)的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線x 是無理數(shù)時(shí)是無理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)

14、時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy01)(有理數(shù)點(diǎn)有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)1xyo(3) 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)(4) 取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg 0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, 對(duì)應(yīng)法則用不同的對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù)式子來表示的函數(shù),稱為稱為分段函數(shù)分段函數(shù).例例1 1.)3(,212101)(的定義域的定義域求函數(shù)求函數(shù)設(shè)設(shè) xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 1222

15、31xx1, 3 : fD故故M-Myxoy=f(x)X有界有界無界無界M-MyxoX0 x,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX （1）函數(shù)的有界性）函數(shù)的有界性:.)(否否則則稱稱無無界界上上有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)Xxf2 2、函數(shù)的特性、函數(shù)的特性（2）函數(shù)的單調(diào)性）函數(shù)的單調(diào)性:,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn)如果對(duì)于區(qū)間如果對(duì)于區(qū)間xxxxI ;)(上上是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有o)(xfy )(1xf)(2xfxyI)(xfy )(

16、1xf)(2xfxyoI;)(上是單調(diào)減少的上是單調(diào)減少的在區(qū)間在區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù)Ixf,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn)如果對(duì)于區(qū)間如果對(duì)于區(qū)間xxxxI ),()()2(21xfxf 恒有恒有（3）函數(shù)的奇偶性）函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)有有對(duì)于對(duì)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf xyx)( xf )(xfy o-x)(xf;)(為偶函數(shù)為偶函數(shù)稱稱xf有有對(duì)于對(duì)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf ;)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)稱稱xf奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(

17、xfy （4）函數(shù)的周期性）函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)如果存在一個(gè)不為零的如果存在一個(gè)不為零的)()(xflxf 且且為周為周則稱則稱)(xf.)( ,DlxDxl 使得對(duì)于任一使得對(duì)于任一數(shù)數(shù).)(,的周期的周期稱為稱為期函數(shù)期函數(shù)xfl.恒成立恒成立例例2 2解解,01)( QxQxxD設(shè)設(shè).)().21(),57(的性質(zhì)的性質(zhì)并討論并討論求求xDDDD , 1)57( D, 0)21( D, 1)( xDDoxy1單值函數(shù)單值函數(shù), 有界函數(shù)有界函數(shù),偶

18、函數(shù)偶函數(shù),周期函數(shù)周期函數(shù)(無最小正周期無最小正周期)不是單調(diào)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函數(shù)函數(shù)oxyDW)(yx 反函數(shù)反函數(shù)o3 3、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1) 反函數(shù)反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)射射是單射，則它存在逆映是單射，則它存在逆映)(:DfDf的逆映射的逆映射為函數(shù)為函數(shù)則稱此映射則稱此映射ffDDff11,)(: )(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反函數(shù)反函數(shù) 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對(duì)稱對(duì)稱.xy （2）、復(fù)合函數(shù)）、復(fù)合函數(shù),uy 設(shè)設(shè),12xu 21xy 定義定義

19、: 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(ufy 的定義域的定義域fD, 而函數(shù)而函數(shù))(xu 的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?Z, 若若 ZDf, 則稱則稱函數(shù)函數(shù))(xfy 為為x的的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù). ,自自變變量量x,中中間間變變量量u,因變量因變量y注意注意: :1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的合函數(shù)的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成合構(gòu)成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv (1) 冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xyoxy)1 , 1(

20、112xy xy xy1 xy 4. 4. 初等函數(shù)初等函數(shù)(2)、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey (3)、對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( (4)、三角函數(shù)、三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)xycot 正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xysec xycsc 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc (5)、反三角函數(shù)、反三角函數(shù)xyarcsin

21、 xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)xyarctan xyarctan 反正切函數(shù)反正切函數(shù) 冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)基本初等函數(shù).xycot 反余切函數(shù)反余切函數(shù)arcxycot arc初等函數(shù)初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子一個(gè)式子表示表示的函數(shù)的函數(shù),稱為稱為初等函數(shù)初等函數(shù).例例3 3).(,0, 10, 2)

22、(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求設(shè)設(shè)解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 x或或, 12)( xx;20 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 1 x,1)(20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x綜上所述綜上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx 2sinhxxeex 雙曲正弦雙曲正弦xycosh xysinh ),(:D奇函數(shù)奇函數(shù).2coshxxeex 雙曲余弦雙曲余弦),(:D偶函數(shù)偶函數(shù).雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)xey21 xey 21

23、xxxxeeeexxx coshsinhtanh雙曲正切雙曲正切奇函數(shù)奇函數(shù),),(: D有界函數(shù)有界函數(shù),雙曲函數(shù)常用公式雙曲函數(shù)常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 反雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù),),(: D.),(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在;sinh xy 反反雙雙曲曲正正弦弦ar).1ln(sinh2 xxxyarsinhar xy.), 1內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在), 1 : D y反反雙雙曲曲余余弦弦coshar).1ln(cosh2 xxxyarxcosharx y.11ln21xx )1 , 1(: D奇函數(shù)奇函數(shù),.)1 , 1(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在 y反反雙雙曲曲正正切切tanharxytanh arxtanharx y四、小結(jié)四、小結(jié)基本概念基本概念集合集合, 區(qū)間區(qū)間, 鄰域鄰域, 常量與變量常量與變量, 絕對(duì)值絕對(duì)值.函數(shù)的概念函數(shù)的概念函數(shù)的特性函數(shù)的特性有界性有界性, ,單調(diào)性單調(diào)性, ,奇偶性奇偶性, ,周期性周期性. .反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)思考題