1、33第6章四邊形之與正方形有關的其他題型一、單選題1如圖，四邊形是正方形，是的中點，連接與對角線相交于點，連接并延長，交于點，連接交于點以下結論：；其中正確結論的個數有（ ）A1B2C3D4【答案】D【分析】證明ABEDCE，可得結論正確；由正方形的性質可得AB=AD=BC=CD，BE=CE，DCE=ABE=90°，ABD=CBD=45°，可證ABEDCE，ABGCBG，可得BCF=CDE，由余角的性質可得結論；證明DCECBF可得結論，證明CHFCBF即可得結論正確【詳解】解：四邊形ABCD是正方形，點E是BC的中點，AB=AD=BC=CD，BE=CE，DCE=ABE=9

2、0°，ABD=CBD=45°，ABEDCE（SAS）DEC=AEB，BAE=CDE，DE=AE，故正確，AB=BC，ABG=CBG，BG=BG，ABGCBG（SAS）BAE=BCF，BCF=CDE，且CDE+CED=90°，BCF+CED=90°，CHE=90°，CFDE，故正確，CDE=BCF，DC=BC，DCE=CBF=90°，DCECBF（ASA），CE=BF，CE=BC=AB，BF=AB，AF=BF，故正確，BCF+BFC=90°，DEC=BFCBCF+DECC=90°，CHE=90°CHE=FB

3、C又DEC=BFCCHFCBF BC=2CE， 故選：D【點評】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質，勾股定理等知識，熟練運用這些性質進行推理是本題的關鍵2如圖，正方期ABCD的邊長為4，點E在對角線BD上，且為F，則EF的長為（ ） A2BCD【答案】D【分析】在AF上取FG=EF，連接GE，可得EFG是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得EG=，EGF=45°，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得BAE+AEG=EGF，然后求出BAE=AEG=22.5°，根據等角對等邊可得AG=EG，再根據正

4、方形的對角線平分一組對角求出ABD=45°，然后求出BEF是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得BF=EF，設EF=x，最后根據AB=AG+FG+BF列方程求解即可【詳解】解：如圖，在AF上取FG=EF，連接GE，EFAB，EFG是等腰直角三角形，EG=EF，EGF=45°，由三角形的外角性質得，BAE+AEG=EGF，BAE=22.5°，EGF=45°，BAE=AEG=22.5°，AG=EG，在正方形ABCD中，ABD=45°，BEF是等腰直角三角形，BF=EF，設EF=x，AB=AG+FG+BF，4=x+x+x，解得x=故

5、選：D【點評】本題考查了正方形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，難點在于作輔助線構造出等腰直角三角形并根據正方形的邊長AB列出方程3如圖，已知正方形ABCD的邊長為12，BEEC，將正方形邊CD沿DE折疊到DF，延長EF交AB于G，連接DG，現在有如下4個結論：ADGFDG；GB2AG；GDB45°；SBEF 在以上4個結論中，正確的有（）A1B2C3D4【答案】C【解析】試題解析：由折疊可知，DF=DC=DA，DFE=C=90°，DFG=A=90°，ADGFDG，正確；正方形邊長是12，BE=EC=EF=6，設AG=FG=x，則EG=x+6，BG=12-x，由

6、勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：（x+6）2=62+（12-x）2，解得：x=4AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，正確；BE=EF=6，BEF是等腰三角形，易知GED不是等腰三角形，錯誤；SGBE=×6×8=24，SBEF=SGBE=，正確故選C考點：正方形綜合題.4如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P是對角線BD上一點，于點E，于點F，連接AP，給出下列結論：；四邊形PECF的周長為8；一定是等腰三角形；的最小值為其中正確結論的序號為( ) ABCD【答案】A【分析】根據正方形的對角線平分對角的性質，得是等腰直角三角形，在中，求得；根據等腰直角三角形和矩形

7、的性質可得其周長為2BC，則四邊形PECF的周長為8；根據P的任意性可以判斷不一定是等腰三角形；由PECF為矩形，則通過正方形的軸對稱性，證明；當AP最小時，EF最小，EF的最小值等于【詳解】如圖，延長FP交AB與G，連PC，延長AP交EF與H，       PEBC，PFCD，BCD=90°，四邊形PECF為矩形，PF=CE，GFBC，DPF=DBC，四邊形ABCD是正方形，DBC=45°DPF=DBC=45°，PDF=DPF=45°，PF=EC=DF，在RtDPF中，DP2=DF2

8、+PF2=EC2+EC2=2EC2，DP=EC故正確；四邊形PECF為矩形，四邊形PECF的周長=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8，故正確；點P是正方形ABCD的對角線BD上任意一點，ADP=45，當PAD=45或67.5或90時，APD是等腰三角形，除此之外，APD不是等腰三角形，故錯誤；四邊形PECF為矩形，PC=EF，由正方形為軸對稱圖形，AP=PC，AP=EF，故正確；BD=，由EF=PC，當PC最小時，EF最小，則當PCBD時，即PC=BD=時，EF的最小值等于，故正確；綜上所述，正確，故選：A【點評】本題考查了正方形的性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理的應用本題難度較

9、大，綜合性較強，在解答時要認真審題5如圖，在正方形中，點是上一動點，點是的中點，繞點順時針旋轉90°得到，連接，給出結論：；若正方形的邊長為2，則點在射線上運動時，有最小值其中結論正確的是（ ）ABCD【答案】B【分析】延長AE交DC的延長線于點H，由“AAS”可證AMEHCE，可得AEEH，由直角三角形的性質可得AEEFEH，即可判斷；由四邊形內角和定理可求2ADE2EDF270°，可得ADF135°，即可判斷；由連接AC，過點E作EPAD于點P，過點F作FNEP于N，交CD于G，連接CF，由梯形中位線定理可求PE（AMCD），由“AAS”可證APEENF，可得

10、APNEAD，即可求AM2DG2×DF，即可判斷；由垂線段最短，可得當CFDF時，CF有最小值，由等腰直角三角形的性質可求CF的最小值，即可判斷【詳解】如圖，延長AE交DC的延長線于點H，點E是CM的中點，MEEC，ABCD，MAEH，AMEHCE，AMEHCE（AAS），AEEH，又ADH90°，DEAEEH，AE繞點E順時針旋轉90°得到EF，AEEF，AEF90°，AEDEEF，故正確；AEDEEF，DAEADE，EDFEFD，AEFDAEADEEDFEFD360°，2ADE2EDF270°，ADF135°，CDFAD

11、FADC135°90°45°，故正確；EPAD，AMAD，CDAD，AMPECD，1，APPD，PE是梯形AMCD的中位線，PE（AMCD），FDC45°，FNCD，DFGFDC45°，DGGF，DFDG，AEPFEN90°，AEPEAP90°，FENEAP，又AEEF，APEENF90°，APEENF（AAS），APNEAD，PE（AMCD）NENPADNP，AMNPDG，AM2DG2×DF，故錯誤；如圖，連接AC，過點E作EPAD于點P，過點F作FNEP于N，交CD于G，連接CF，EPAD，FNEP，

12、ADC90°，四邊形PDGN是矩形，PNDG，DGN90°，CDF45°，點F在DF上運動，當CFDF時，CF有最小值，CD2，CDF45°，CF的最小值，故正確；故選：B【點評】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，旋轉的性質，平行線分線段成比例，梯形中位線的定理等知識，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵6如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD的中點，連接AF、DE交于點P，過B作BGDE交AD于G，BG與AF交于點M對于下列結論：AFDE；G是AD的中點；GBPBPE；SAGM：SDEC1：4正確的個數是（）A1

13、個B2個C3個D4個【答案】C【分析】根據正方形性質得出；，證，推出，求出即可判斷；證明四邊形GBED為平行四邊形，則可知正確；由平行線的性質可得正確；證明，可得出：則不正確【詳解】解：正方形ABCD，E，F均為中點ADBCDC，ECDFBC，在ADF和DCE中，ADFDCE（SAS），AFDDEC，DEC+CDE90°，AFD+CDE90°DGF，AFDE，故正確，四邊形GBED為平行四邊形，GDBE，BEBC，GDAD，即G是AD的中點，故正確，GBPBPE，故正確，AFDE，AFBG，ANGADF90°，GAMFAD，AGMAFD，設AGa，則AD2a，AF

14、a，ADFDCE，SAGM：SDEC1：5故錯誤故選：C【點評】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，平行線的性質，平行四邊形的判定與和性質等知識，熟練掌握正方形的性質是解題的關鍵7如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC上的點，且CE=2BE，連接AE、DE，分別交BD、AC于點P、Q，過點P作PFAE交CB的延長線于點F，下列結論：AED+EAC+EDB90°；AP=FP；AE=AO；若四邊形OPEQ的面積為2，則該正方形的面積為36；CE·EF=EQ·DE其中正確的結論有（）A1個B2個C3個D4個【答案】B【分析】先根據

15、正方形的性質證得AOP是直角，再利用三角形的外角的性質即可判定；直接利用四點共圓可證AFP=ABP=45°；設BE=a則EC=2a，然后利用勾股定理得到AE和OA的長，即可得出結論；利用相似得到BP與DP的比導出BP與OP的比，同理求出OQ與QC的比，設BEP的面積為S，再利用同高時面積比即為底的比求出OPE和OQE的面積，表示出四邊形OPEQ的面積，求出S的值，再通過正方形面積是24S即可求出結果；如果當E是BC邊中點時可得FPEDCE，可得結論，因為已知中EC=2BE時，所以FPE與DCE不相似，所以錯誤【詳解】解：如圖，連接OE、 AF，ABCD是正方形，ACBD，AOP=90

16、°，AED+EDB=APO，AED+EAC+EDB=APOEAC=90°，故正確；PFAE，APF=ABF=90°，即A、P、B、F四點共圓，AFP=ABP=45°，PAF=PFA=45°，PA=PF，故正確；設BE=a，則EC=2a，則AE=a，OA=OC=OB=OD=a， ，AE=AO，故錯誤；連接OE，CE=2BE，BE：EC：BC=1：2：3AD/BCBEPDAP，EQCDQA，BP：DP=1：3，CQ：AQ=2：3，BP：OP=1：1，OQ：CQ=1：4，設SBEP=S，則SOPE=S，則SBEO=2S，SECO=4S，SOEQ=，S

17、BCO=2S+4S=6S，四邊形OPEQ的面積是2，S+=2，S=，正方形ABCD的面積=4SBCO=24S=，故錯誤；BE=2ECPEBCED，且FPE不一定與DCE相似， ，又EQPE，CE·EFEQ·DE，故錯誤；共有2個正確故選：B【點評】本題主要考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，綜合性強，難度大，靈活運用所學知識解決問題是解答本題的關鍵8如圖，四邊形是邊長為2的正方形，點為線段上的動點，為的中點，射線交的延長線于點，過點作的垂線交于點、交的延長線于點，則以下結論：；當點與點重合時；當時，成立的是ABCD【答案】C【分

18、析】利用正方形的性質、全等三角形的性質、勾股定理等知識一一判斷即可【詳解】解：如圖1，四邊形是正方形，故正確；，故不正確；當點與點重合時，如圖2，是的中點，在和中，設，則，中，故正確；如圖3，是的中點，中，中，在和中，故不正確；本題成立的結論有：；故選：【點評】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的性質和判定、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用全等三角形解決問題二、填空題9如圖，已知矩形中，點，分別在邊，上，沿著折疊矩形，使點，分別落在，處，且點在線段上（不與兩端點重合），過點作于點，連接當四邊形為正方形時，_；若，則折疊后重疊部分的面積為_【答案】 【分析】根據正方形的

19、性質證明，令，則，求得，得到，再證明，得到，即可得到結果；【詳解】解：四邊形為正方形，令，則，（不符合題意，舍去），即為的中點，折疊后重疊部分的面積為：，故答案為：；【點評】本題主要考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質，準確分析計算是解題的關鍵10如圖，將邊長為1的正方形繞點逆時針旋轉30°到正方形的位置，則圖中陰影部分的面積為_【答案】【分析】過點作于點，利用正方形的性質和旋轉的性質可證得ADE為等邊三角形，由等腰三角形的判定可得MDE為等腰三角形，繼而求得，然后設，則，根據勾股定理列方程求解可得，進而由三角形面積公式即可求解【詳解】如圖，過點作于點，四邊形為正方形，正方形繞

20、點逆時針旋轉30°到正方形的位置， ADE為等邊三角形，MDE為等腰三角形，.在中，設，則，解得：，（舍去），故答案為：【點評】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，等邊三角形判定與性質，解直角三角形，利用等邊三角形和等腰三角形的性質求出，是解題的關鍵11如圖，正方形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上，AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結論：BEDF，AEB75°，EGFG且AGE90°，BEFGSABESCEF其中正確結論是_（填序號）【答案】【分析】通過條件可以得出ABEADF，從而得出BAEDAF，BEDF，AEB75°；由正方形的性質

21、就可以得出ECFC，得AC垂直平分EF，得EGFG且AGE90°；設ECx，BEy，由勾股定理就可以得出x與y的關系，表示出BE與EF，利用三角形的面積公式分別表示出SCEF和2SABE，再通過比較大小就可以得出結論【詳解】解：四邊形ABCD是正方形，ABBCCDAD，BBCDDBAD90°AEF等邊三角形，AEEFAF，EAF60°BAE+DAF30°在RtABE和RtADF中，RtABERtADF（HL），BEDF，所以故正確；BAEDAF，BAE+DAF30°，BAEDAF15°，AEB75°，所以正確；BCCD，BC

22、BECDDF，即CECF，AEAF，AC垂直平分EF，EGFG且AGE90°，所以正確；設ECx，由勾股定理，得EFx，AEEFx，FGBGCGx，EAG30°，AGx，ACAG+CGx+x，ABx，BEBCCExxx，BEFG，所以錯誤；SCEFCE2x2，SABEABBE×xxx2，SABE×x2SCEF，所以正確綜上所述，正確，故答案為：【點評】本題考查正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，等邊三角形的性質的運用，三角形的面積公式的運用，解答本題時運用勾股定理的性質解題時關鍵12如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD

23、相交于點O，E為BC上一點，CE=5，F為DE的中點若CEF的周長為18，則OF的長為_ 【答案】【分析】由直角三角形的中線，求出DE的長度，利用三角形中位線定理和勾股定理，求出BE的長度，即可求出答案【詳解】解：四邊形ABCD是正方形，DCE=90°，OD=OB，DF=FE，CF=FE=FD，EC+EF+CF=18，EC=5，EF+FC=13，DE=13，DC=， BC=CD=12，BE=BC-EC=7，OD=OB，DF=FE，OF=BE=；故答案為：【點評】本題考查正方形的性質，三角形的中位線定理，直角三角形斜邊中線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型13

24、如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，對角線AC、BD相交于點O，AE平分BAC交BD于點E，則BE的長為_【答案】【分析】過作于，根據正方形性質得出，由勾股定理求出，在中，由勾股定理得：，求出即可【詳解】解：過作于，四邊形是正方形，則由勾股定理得：，平分，AE=AE,，,四邊形是正方形，在中，由勾股定理得：，即，故答案為：【點評】本題考查了角平分線性質和正方形性質，勾股定理的應用，注意：角平分線上的點到線段兩個端點的距離相等14如圖，正方形ABCD中，AB3，點E為對角線AC上一點，EFDE交AB于F，若四邊形AFED的面積為4，則四邊形AFED的周長為_【答案】4+2【分析】連接BE，DF，

25、過E作ENBF于點N，證明DCEBCE和BEF為等腰三角形，設AF=x，用x表示DE與EF，由根據四邊形ADEF的面積為4，列出x的方程求得x，進而求得四邊形ADEF的周長【詳解】解：如圖，連接BE，DF，過E作ENBF于點N，四邊形ABCD為正方形，CB=CD，BCE=DCE=45°，在BEC和DEC中，DCEBCE（SAS），DE=BE，CDE=CBE，ADE=ABE，DAB=90°，DEF=90°，ADE+AFE=180°，AFE+EFB=180°，ADE=EFB，ABE=EFB，EF=BE，DE=EF，設AF=x，則BF=3-x，FN=

26、BN=BF=，AN=AF+FN=，BAC=DAC=45°，ANF=90°，EN=AN=，DE=EF=，四邊形AFED的面積為4，SADF+SDEF=4，×3x+×，解得，x=-7（舍去），或x=1，AF=1，DE=EF=，四邊形AFED的周長為：3+1+=4+，故答案為：4+.【點評】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理，等腰三角形的性質，解題的關鍵是由面積列出x的方程，屬于中考選擇題中的壓軸題15如圖，正方形ABCD的邊長為1，AC、BD是對角線，將DCB繞著點D順時針旋轉45°得到DGH，HG交AB于點E，連接DE交AC于

27、點F，連接FG則下列結論：四邊形AEGF是菱形；HED的面積是1；AFG135°；BC+FG其中正確的結論是_（填入正確的序號）【答案】【分析】依據四邊形AEGF為平行四邊形，以及，即可得到平行四邊形AEGF是菱形；依據，即可得到的面積；依據四邊形AEGF是菱形，可得；根據四邊形AEGF是菱形，可得，進而得到【詳解】解：正方形ABCD的邊長為1，由旋轉的性質可知：，和均為直角邊為的等腰直角三角形，在和中，且，四邊形AEGF為平行四邊形，平行四邊形AEGF是菱形，故正確；，的面積，故正確；四邊形AEGF是菱形，故正確；四邊形AEGF是菱形，故不正確故答案為：【點評】本題考查旋轉的性質，

28、正方形的性質，全等三角形的判定和性質，菱形的判定和性質，等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是掌握旋轉的性質：對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等16如圖，以RtABC的斜邊AB為一邊，在AB的右側作正方形ABED，正方形對角線交于點O，連接CO，如果AC=4，CO=，那么BC=_【答案】8【分析】通過作輔助線使得CAOGBO，證明COG為等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG后，即可求出BC的長【詳解】如圖，延長CB到點G，使BG=AC根據題意，四邊形ABED為正方形，4=5=45°，EBA=90°，1+2=90°又三角形BCA為直角三

29、角形，AB為斜邊，2+3=90°131+5=3+4，故CAOGBO，在CAO和GBO中，故CAOGBO，COGO=，7=6，7+8=90°，6+8=90°，三角形COG為等腰直角三角形，CG=，CG=CB+BG，CB=CGBG=124=8，故答案為8【點評】本題主要考查正方形的性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，根據題意建立正確的輔助線以及掌握正方形的性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質是解答本題的關鍵三、解答題17已知正方形ABCD，點E在AB上，點G在AD，點F在射線BC上，點H在CD上（1）如圖1，DEF

30、G，求證：BFAE+AG；（2）如圖2，DEDF，P為EF中點，求證：BEPC；（3）如圖3，EH交FG于O，GOH45°，若CD4，BFDG1，則線段EH的長為 【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）作GMBC于M證DAEGMF，得AEFM，AGBM所以BFAE+AG（2）作EQCP交BC于Q證EQ2CP，EQBE可得BECP（3）作BMGF交AD于M，作BNEH交CD于N，得BMGF，BFMG1，BNEH，延長DC到P，使CPAM2，證BAMBCP得ABMCBP，BMBP，再證MBNPBN得MNPN，設CNx，則MNPNCN+PCx+2，DN4x，在RtDMN中

31、，由DM2+DN2MN2求得x，再在BCN中利用勾股定理求解可得【詳解】解：（1）如圖1，過點G作GMBC于M，則GMBGMF90°，四邊形ABCD是正方形，ADAB，AB90°，四邊形ABMG是矩形，AGBM，DEGF，ADE+DGFADE+AED90°，AEDDGF，又DGFMFG，AEDMFG，DAEGMF（AAS），AEMF，則BFBM+MFAG+AE；（2）如圖2，過點E作EQPC，交BC于點Q，P是EF的中點，PC是EQF的中位線，則EQ2PC，QCCF，ADCEDF90°，ADECDF，又ADCF90°，ADCD，ADECDF（A

32、SA），AECFQC，ABBC，BEBQ，則BEQ45°，EQBE，則2PCBE，BEPC；（3）如圖3所示，作BMGF交AD于M，作BNEH交CD于N，則四邊形BFGM和四邊形BEHN是平行四邊形，BMGF，BFMG1，BNEH，DG1，CDAD4，AM2，延長DC到P，使CPAM2，BABC，ABCP90°，BAMBCP（SAS），ABMCBP，BMBP，GOH45°，BNEH，BMGF，MBN45°，ABM+CBN45°，CBP+CBN45°，即PBN45°，MBNPBN（SAS），MNPN，設CNx，則MNPNCN+

33、PCx+2，DN4x，在RtDMN中，由DM2+DN2MN2可得22+（4x）2（x+2）2，解得x，則EHBN，故答案為：【點評】本題考查正方形背景中的線段和差，線段倍分，求線段長問題，掌握垂線的性質，平行線的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理等知識，引垂線構造全等，轉化線段的相等關系，利用平行線，構造中位線與等腰直角三角形，確定倍數關系，利用勾股定理解決線段的長度問題18已知正方形ABCD中AC與BD交于點O，點M在線段BD上，作直線AM交直線DC于點E，過D作DHAE于H，設直線DH交AC于點N（1）如圖1，當M在線段BO上時，求證：OMON；（2）如圖2，當M在線段OD上，連接NE

34、和MN，當ENBD時，求證：四邊形DENM是菱形；（3）在（2）的條件下，若正方形邊長為4，求EC的長【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）先證明： 再證明：，可得結論；（2）利用正方形的性質證明： 結合：，利用全等三角形的性質證明： 可得： 結合： 從而可得結論；（3）利用正方形的性質先求解 再利用菱形的性質可得：AH是DN的垂直平分線，證明 求解 再證明： 利用勾股定理可得答案【詳解】（1）證明：DHAE，DHA90°，NAH+ANH90°，ODN+DNO90°，ANHDNO，ODNNAH，在和中， ，（AAS），OMON；（2）證明： 正方

35、形， 由（1）可知，OMON，NMO45°CDO，EDNM，ENDM，四邊形DENM是平行四邊形，DNAE，平行四邊形DENM是菱形；（3）四邊形ABCD為正方形，AD4，AC，四邊形DENM是菱形，AH是DN的垂直平分線，ANAD4，NC，ENDM，ENCDOC90°，ECN45°，EC【點評】本題考查的是三角形全等的判定與性質，垂直平分線的性質，勾股定理的應用，平行四邊形的判定，菱形的判定，正方形的性質，掌握以上知識是解題的關鍵19如圖，在正方形ABCD中，E、F是對角線BD上兩點，且EAF45°，將ADF繞點A順時針旋轉90°后，得到AB

36、Q，連接EQ（1）求證：EA是QED的平分線；（2）已知BE1，DF3，求EF的長【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）直接利用旋轉的性質得出AQEAFE（SAS），進而得出AEQAEF，即可得出答案；（2）由全等三角形的性質可得QEEF，ADFABQ，再結合勾股定理得出答案【詳解】證明：（1）將ADF繞點A順時針旋轉90°后，得到ABQ，QBDF，AQAF，BAQDAF，EAF45°，DAF+BAE45°，QAE45°，QAEFAE，在AQE和AFE中，AQEAFE（SAS），AEQAEF，EA是QED的平分線；（2）由（1）得AQEAFE，QEE

37、F，ADFABQ，四邊形ABCD是正方形，ADBABD45°，ABQ45°，QBEABQ+ABD90°，在RtQBE中，QB2+BE2QE2，又QBDF，EF2BE2+DF21+910，EF【點評】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識，證明AQEAFE是解題關鍵20如圖1，在正方形ABCD中，E為邊BC上一點（不與點B、C重合），垂直于AE的一條直線MN分別交AB、AE、CD于點M、P、N（1）求證AEMN；（2）如圖2，若垂足P恰好為AE的中點，連接BD，交MN于點Q，連接EQ，并延長交邊AD于點F求AEF的度數；（3）如圖3，若該正方形

38、ABCD邊長為10，將正方形沿著直線MN翻折，使得BC的對應邊BC恰好經過點A，過點A作AGMN，垂足分別為G，若AG6，請直接寫出AC的長_【答案】（1）見解析；（2）AEF45°；（3）102【分析】（1）過點B作BFMN交CD于點F，則四邊形MBFN為平行四邊形，得出MNBF，BFAE，由ASA證得ABEBCF，得出AEBF，即可得出結論；（2）連接AQ，過點Q作HIAB，分別交AD、BC于點H、I，則四邊形ABIH為矩形，得出HIAD，HIBC，HIABAD，證DHQ是等腰直角三角形，得HDHQ，AHQI，由HL證得RtAHQRtQIE，得AQHQEI，證AQE90°

39、;，得AQE是等腰直角三角形，即可得出結果；（3）延長AG交BC于E，則EGAG6，得AE12，由勾股定理得BE2，則CEBCBE102，由折疊的性質即可得出結果【詳解】（1）證明：四邊形ABCD是正方形，ABEBCD90°，ABBC，ABCD，過點B作BFMN交CD于點F，如圖1所示：四邊形MBFN為平行四邊形，MNBF，BFAE，ABF+BAE90°，ABF+CBF90°，BAECBF，在ABE和BCF中，ABEBCF（ASA），AEBF，AEMN；（2）解：連接AQ，過點Q作HIAB，分別交AD、BC于點H、I，如圖2所示：四邊形ABCD是正方形，四邊形AB

40、IH為矩形，HIAD，HIBC，HIABAD，BD是正方形ABCD的對角線，BDA45°，DHQ是等腰直角三角形，HDHQ，AHQI，MN是AE的垂直平分線，AQQE，在RtAHQ和RtQIE中，RtAHQRtQIE（HL），AQHQEI，AQH+EQI90°，AQE90°，AQE是等腰直角三角形，EAQAEQ45°，即AEF45°；（3）解：延長AG交BC于E，如圖3所示：則EGAG6，AE12，在RtABE中，CEBCBE102，由折疊的性質得：AC'CE102，故答案為：102【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質、平

41、行四邊形的判定與性質、矩形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、折疊的性質、垂直平分線的性質、勾股定理、平行線的性質等知識；熟練掌握正方形的性質和折疊的性質是解題的關鍵21如圖，在平面直角坐標系中，邊長為4的正方形的頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點現將正方形繞點O按順時針方向旋轉，旋轉角為，當點A第一次落在直線上時停止旋轉，旋轉過程中，邊交直線于點M，邊交x軸于點N（1）若時，求點A的坐標；（2）設的周長為P，在旋轉正方形的過程中，P值是否有變化？請證明你的結論；【答案】（1）（2，2）；（2）不變【詳解】解：（1）如圖1，過A作ADy軸，交y軸于點

42、DADy軸，正方形的邊長是4AD=2，OD=2A的坐標是（2，2）（2）P值無變化證明：延長BA交y軸于E點（如圖2）在OAE與OCN中OAEOCN（AAS）OE=ON，AE=CN在OME與OMN中，OMEOMN（SAS）MN=ME=AM+AE，MN=AM+CN，P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=8在旋轉正方形OABC的過程中，P值無變化【點評】此題主要考查了一次函數的綜合應用、全等三角形的判定與性質等知識，利用圖形旋轉的變化規律得出對應邊之間關系是解題關鍵22在ABC中，BAC90°，ABAC，點D為直線BC上一動點（點D不與B，C重合），以AD為邊在AD的

43、右側作正方形ADEF，連接CF（1）觀察猜想如圖1，當點D在線段BC上時，BC與CF的位置關系為： ；BC，CD，CF之間的數量關系為： （將結論直接寫在橫線上）（2）數學思考如圖2，當點D在線段CB的延長線上時，結論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立，請你寫出正確結論再給予證明，（3）拓展延伸如圖3，當點D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點G，連接GE若AB2，CD1，請求出GE的長【答案】（1）BCCF；BCCF+CD；（2）BCCF成立；BCCD+CF不成立，CDCF+BC，見解析；（3）【分析】（1）由題意易得BACDAF90°，則有BADCAF，進而可證DA

44、BFAC，然后根據三角形全等的性質可求解；由DABFAC可得CFBD，然后根據線段的數量關系可求解；（2）由題意易證DABFAC，則可得ACBABC45°，進而可得BCCF，然后根據線段的數量關系可求解；（3）過A作AHBC于H，過E作EMBD于M，ENCF于N，則有DHCH+CD3，進而可求四邊形CMEN是矩形，然后可得ADHDEM，則可證BCG是等腰直角三角形，最后根據勾股定理可求解【詳解】解：（1）正方形ADEF中，ADAF，DAF90°，BACDAF90°，BADCAF，在DAB與FAC中，DABFAC（SAS），BACF，ACB+ACF90°，

45、即BCCF；故答案為：BCCF；由得：DABFAC，CFBD，BCBD+CD，BCCF+CD；故答案為：BCCF+CD；（2）BCCF成立；BCCD+CF不成立，CDCF+BC理由如下：正方形ADEF中，ADAF，DAF90°，BACDAF90°，BADCAF，在DAB與FAC中，DABFAC（SAS），ABDACF，BAC90°，ABAC，ACBABC45°ABD180°45°135°，BCFACFACB135°45°90°，BCCF，CDDB+BC，DBCF，CDCF+BC；（3）解：過A作

46、AHBC于H，過E作EMBD于M，ENCF于N，如圖3所示：BAC90°，ACAB2，BCAB4，AHBC，AHBCBHCH2，DHCH+CD3，四邊形ADEF是正方形，ADDE，ADE90°，BCCF，EMBD，ENCF，四邊形CMEN是矩形，NECM，EMCN，AHDADCEMD90°，ADH+EDMEDM+DEM90°，ADHDEM，ADHDEM（AAS），EMDH3，DMAH2，CNEM3，ENCM3，ABC45°，BGC45°，BCG是等腰直角三角形，CGBC4，GN1，在RtEGN中，由勾股定理得：EG【點評】本題主要考查

47、正方形的性質及矩形的性質與判定、等腰直角三角形的性質，數量掌握正方形的性質及矩形的性質與判定、等腰直角三角形的性質是解題的關鍵23如圖1，已知正方形頂點，分別在軸和軸上，邊交軸的正半軸于點（1）若，且，求點的坐標（2）在（1）的條件下，若，點的坐標（3）如圖2，連結交軸于點，點是點上方軸上一動點，以，為邊作平行四邊形，使點恰好落在邊上求證：【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析【分析】（1）由，得出（a-2）2=3，求出a2+4a+5=4，即可得出結果；（2）作DNOE于N，作AMDN于M，連AE，由AAS證得AOBAMD，得出AM=AO=4，求出EO=3，在RtAOE中，AE2=AO2+E

48、O2=25，在RtADE中，AD2+DE2=AE2，設D（4，m），代入求出m=2，即可得出結果；（3）作FPAD于P，連DF，在RtAFP中，得到，再證明BF=DF=GF，得出點P是DG的中點，從而根據勾股定理得出PF2+DP2=DF2，即，即可得出結果【詳解】（1），點的坐標為（2）作于點，作于點，連，如圖，即，四邊形為正方形，在和中，四邊形是正方形，在中，在中，在中，在中，設，則，（3）過點作于，連，如圖，四邊形是平行四邊形，四邊形是正方形，是等腰直角三角形，故，在和中，點是的中點，在中，即，【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的判定與性質、平行線的性質、全等三角形的判定與性質、

49、平行四邊形的性質、等腰三角形的性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理、坐標與圖形的性質等知識；熟練掌握正方形的性質和勾股定理是解題的關鍵24已知，四邊形ABCD是正方形，點E是正方形ABCD所在平面內一動點（不與點D重合），ABAE，過點B作DE的垂線交DE所在直線于F，連接CF提出問題：當點E運動時，線段CF與線段DE之間的數量關系是否發生改變？探究問題：（1）首先考察點E的一個特殊位置：當點E與點B重合（如圖）時，點F與點B也重合用等式表示線段CF與線段DE之間的數量關系： ；（2）然后考察點E的一般位置，分兩種情況：情況1：當點E是正方形ABCD內部一點（如圖）時；情況2：當點E是正方形ABCD外部一點（如圖）時在情況1或情況2下，線段CF與線段DE之間的數量關系與（1）中的結論是否相同？如果都相同，請選擇一種情況證明；如果只在一種情況下相同或在兩種情況下都不相同，請說明理由；拓展問題：（3）連接AF，用等式表示線段AF、CF、DF三者之間的數量關系： 【答案】（1）DECF；（2）在情況1與情況2下都相同，詳見解析；（3）AFCFDF或|AFCF|DF【分析】（1