1、鄔曉紅鄔曉紅信號與系統1. LTI系統對復指數信號的響應系統對復指數信號的響應 (Ch.3.1)2. 連續時間周期信號的傅立葉級數表示連續時間周期信號的傅立葉級數表示 (Ch.3.2)3. 收斂性和吉伯斯現象收斂性和吉伯斯現象 (Ch.3.3)4. 傅立葉級數與傅立葉級數與LTI系統系統(Ch.3.8)5. 濾波濾波 (Ch.3.9)第三章第三章 周期信號的傅立葉級數表示周期信號的傅立葉級數表示 (Fourier Series Representation of (Fourier Series Representation of Periodic Signals)Periodic Signal

2、s)傅里葉傅里葉(17681830)周期信號都可以表示為成周期信號都可以表示為成諧波關系的正弦信號的加諧波關系的正弦信號的加權和。權和。 非周期信號都可以用正弦非周期信號都可以用正弦信號的加權積分來表示。信號的加權積分來表示。最重要的兩個貢獻：最重要的兩個貢獻：第三章第三章 傅立葉級數傅立葉級數3.1 LTI系統對復指數信號的響應系統對復指數信號的響應The Response of LTI Systems to Complex Exponentials時域基本信號單元單位：脈沖和單位沖擊信號本章所關心的基本信號單元是：LTI系統的特征函數(Eigenfunctions)。2.具有普遍性，能夠用

3、以構成相當廣泛的信號。具有普遍性，能夠用以構成相當廣泛的信號。 1.本身簡單，且本身簡單，且LTI系統對它的響應能簡便得到。系統對它的響應能簡便得到。n從分解信號的角度出發，基本信號單元必須滿足兩個要求：從分解信號的角度出發，基本信號單元必須滿足兩個要求：一一. 連續時間連續時間LTI 系統：系統： Stetx SteSHty其中：其中： dtethSHStS復變量復變量上式為上式為 的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換 th證明：證明： thtxty dhtx dhetS SHedeheStSStLTI SHetySt SH對固定對固定 值的特征值值的特征值Ste系統的特征函數系統的特征函數S注：假

4、設注：假設 tetx2,t那么那么 222HeSHetytSSt,t假如：假如： kSktkeatxtStStSeaeaea221100因：因：輸入輸入輸出輸出tStSeSHaea00000tStSeSHaea00000輸入輸入輸出輸出 tStSeSHaea11111tStSeSHaea22222那么：那么： kSktkeatx tStStSeSHaeSHaeSHaty222111000kSktkkeSHa二二. 離散時間系統：離散時間系統： nZnx nZZHnyLTI其中：其中： nnZnhZHZ復變量復變量上式為上式為 的的 變換變換 nhZ證明：證明： nxnhny kknknkkZk

5、hZZkhknxkh ZHZn nZZHny ZHnZ系統特征值對固定系統特征值對固定 值）值）系統特征函數系統特征函數Z注：假設注：假設 nnx2那么那么 222HZHZnynZn,n,n假如：假如： nkkkZanx 輸入輸入nkZ輸出輸出nkkZZH因為因為 nkkkknkkkZZHanyZanx3. 2 連續時間周期信號的傅里葉級數表示連續時間周期信號的傅里葉級數表示一一. 成諧波關系的復指數信號的線性組合：成諧波關系的復指數信號的線性組合：1. Ttxtx,t周期信號周期信號 0minTT20基波周期基波周期基波頻率基波頻率令：令： tjktjkkTeet203, 2, 1, 0k為

6、一組成諧波關系的復指數信號，頻率為為一組成諧波關系的復指數信號，頻率為 整數倍整數倍0任意連續周期信號任意連續周期信號 tjkkkeatx0傅里葉級數傅里葉級數FS) kaFS系數系數2. 對對 Ttxtx,t周期信號周期信號且：且： txtx為周期實信號為周期實信號 tjkkkeatx0 tjkkkeatx0令令kmtjkkkea0令令kmtjmmmea0（2）（1） txtx由由1）（）（2）kkaa或或kkaa共軛對稱共軛對稱3. 傅里葉級數的三角函數表示實信號）傅里葉級數的三角函數表示實信號）設設 Ttxtx,t txtx為周期實信號為周期實信號 tjkkkeatx01000ktjkk

7、tjkkeaeaakkaa1000ktjkktjkkeaeaa100Re2ktjkkeaa（1令令kjkkeAakkaA k ka 1002kktkCosatx（2令令kkkjCBa 10002kkktSinkCtCoskBatx二二. 連續時間周期信號傅里葉級數表示的確定：連續時間周期信號傅里葉級數表示的確定：1. 令令 tnkjkktjnktjkktjneaeeaetx0000 TtnkjkktjnTdteadtetx00kTtnkjkdtea0（1對對nk TtnkjTdte0（2對對nk 0001nkjTnkjTotnkjeenkjdte01000Tnkjnkjenkje20T120n

8、kjTnkjeeTnkTnktnkjnkTdte, 00 nTkktjnTankTadtetx0 TtjnndtetxTa01 TtjndtetxT01那么：傅里葉級數公式那么：傅里葉級數公式 tjkkkeatx0 TtjkkdtetxTa01 ka稱為傅里葉系數或稱為傅里葉系數或 的頻譜系數的頻譜系數 tx可表示為：可表示為： txaFSk傅里葉級數表明：傅里葉級數表明： 連續時間周期信號可以按傅立葉級數分解成無數多個連續時間周期信號可以按傅立葉級數分解成無數多個復指數諧波分量的線性組合。復指數諧波分量的線性組合。例例3.1 ：對連續時間周期信號：對連續時間周期信號 tCostCostSin

9、tx000221確定其傅里葉級數的系數確定其傅里葉級數的系數 ka解：解： tjtjtjtjtjtjeeeeeejtx0202000021211tjtjtjtjeejeje0200022121112112110a21111jaa2122aa, 0ka2k tjtjtjktjkkeaeaaeaeatx022010010第三章第三章 傅立葉級數傅立葉級數1001110 100 00 02sin11Tjktjkt TkTTkTaedteTjkTkT101111010010002sin222Sa()sinc()TkTTTTkTkTkTTTTsinSa( )xxxsinsinc( )xxx其中其中10T

10、0Tt( )x t例例3.2 已知一周期方波信號已知一周期方波信號 見下圖，求見下圖，求 的傅里葉級數的傅里葉級數 tx tx第三章第三章 傅立葉級數傅立葉級數3.2 連續時間周期信號的傅立葉級數表示連續時間周期信號的傅立葉級數表示 根據根據 可繪出可繪出 的頻譜圖。的頻譜圖。 稱為占空比稱為占空比ka( )x t102TT0( )Sa x1x0121sin ( )c x1x1第三章第三章 傅立葉級數傅立葉級數3.2 連續時間周期信號的傅立葉級數表示連續時間周期信號的傅立葉級數表示10212TT10214TT10218TT不變不變 時時0T1T 第三章第三章 傅立葉級數傅立葉級數3.2 連續時

11、間周期信號的傅立葉級數表示連續時間周期信號的傅立葉級數表示10212TT10214TT10218TT1T不變不變 時時0T 第三章第三章 傅立葉級數傅立葉級數3.2 連續時間周期信號的傅立葉級數表示連續時間周期信號的傅立葉級數表示周期性矩形脈沖信號的頻譜特征：周期性矩形脈沖信號的頻譜特征： 1. 1. 離散性離散性 2. 2. 諧波性諧波性 3. 3. 收斂性收斂性 考查周期考查周期 和脈沖寬度和脈沖寬度 改變時頻譜的變化：改變時頻譜的變化：0T12T當當 不變，改變不變，改變 時，隨時，隨 使占空比減小，譜使占空比減小，譜線間隔變小，幅度下降。但頻譜包絡的形狀不變，線間隔變小，幅度下降。但頻

12、譜包絡的形狀不變，包絡主瓣內包含的諧波分量數增加。包絡主瓣內包含的諧波分量數增加。2. 2. 當當 改變，改變， 不變時，隨不變時，隨 使占空比減小，使占空比減小，譜線間隔不變，幅度下降。頻譜的包絡改變，包譜線間隔不變，幅度下降。頻譜的包絡改變，包絡主瓣變寬。主瓣內包含的諧波數量也增加。絡主瓣變寬。主瓣內包含的諧波數量也增加。1T1T 0T0T 1T0T第三章第三章 傅立葉級數傅立葉級數3.3 連續時間傅立葉級數的收斂連續時間傅立葉級數的收斂 3.3 傅里葉級數的收斂傅里葉級數的收斂 ，在任何周期內信號絕對可積。，在任何周期內信號絕對可積。 在任何有限區間內，只有有限個極值點，且極值為在任何有

13、限區間內，只有有限個極值點，且極值為有限值。有限值。 在任何有限區間內，只有有限個第一類間斷點。在任何有限區間內，只有有限個第一類間斷點。0( )Tx tdt 0000011( )( )jktkTTax t edtx t dtTT 因而，信號絕對可積就保證了因而，信號絕對可積就保證了 的存在。的存在。ka第三章第三章 傅立葉級數傅立葉級數3.3 連續時間傅立葉級數的收斂連續時間傅立葉級數的收斂幾個不滿足幾個不滿足DirichletDirichlet條件的信號條件的信號第三章第三章 傅立葉級數傅立葉級數3.3 連續時間傅立葉級數的收斂連續時間傅立葉級數的收斂二二.Gibbs.Gibbs現象現象第

14、三章第三章 傅立葉級數傅立葉級數3.3 連續時間傅立葉級數的收斂連續時間傅立葉級數的收斂 用有限項傅里葉級數表示有間斷點的信號時，用有限項傅里葉級數表示有間斷點的信號時，在間斷點附近不可避免的會出現振蕩和超量。在間斷點附近不可避免的會出現振蕩和超量。 超量的幅度不會隨所取項數的增加而減小。超量的幅度不會隨所取項數的增加而減小。 只是隨著項數的增多，振蕩頻率變高，并向間只是隨著項數的增多，振蕩頻率變高，并向間斷點處壓縮，從而使它所占有的能量減少。斷點處壓縮，從而使它所占有的能量減少。3.4 連續時間傅里葉級數性質連續時間傅里葉級數性質一一. 線性性：線性性：假設假設 , 是兩個周期是兩個周期 T

15、的周期信號：的周期信號： tx ty kFSatx kFSbty那么：那么： kkFSBbAatBytAx二二. 時移性：時移性：假設假設 kFSatx那么那么000tjkkFSeattx（自證）（自證）三三. 反折：反折：假設假設 kFSatx那么那么kFSatx證：證： tjkkkeatx0tjkkkeatx0lk令令ktjkktjllleaea00kFSatx四四. 尺度變換尺度變換:假如假如 的周期為，那么的周期為，那么 的周期為的周期為 且且 txtxTtjkkkeatx0五五. 乘積特性：乘積特性：假設假設 周期為周期為T ,tx ty那么：那么： llklkFSbahtytx六六

16、. 共軛與共軛對稱性：共軛與共軛對稱性：假設假設 ,kFSatx那么那么 *kFSatx實信號實信號 *kkaatxtx證：證： tjkkkeatx0 tjkkkeatx0*lk令令ktjkktjllleaea0*0* *kFSatx七七. 微分性微分性:假設假設 ,kFSatx那么那么 kFSajktxdtd0證：證： tjkkkeatx0 tjkkkeadtddttdx0tjkkktjkkkeajkedtda000)(得證得證例例3.3 確定下列信號的傅里葉級數系數確定下列信號的傅里葉級數系數解解1：在例：在例3.2中中令令40T11T由上圖，在例由上圖，在例3.2中，令中，令, 40T1

17、1T tgtx211得得 ktjkkktjkkeaeatx20)2422(00T其中：其中：kkSinTkTSinkak220010令令 ktjkkktjkkebebtg20)22, 4(000TT 211 txtg212122122tjkkjkkktjkkktjkkeeaeaeb要使上等式成立，有：要使上等式成立，有：kb2jkkea210a0k0k22jkekkSin0k0k0)214122(010TTa2.令令 ktjkkebtg0 ktjkkectq0 tqdtdtgktjkkktjkkktjkkecjkecdtdeb00000jkcbkk0jkbckk0k 2110dttqTcT八八

18、. 帕斯瓦爾定理帕斯瓦爾定理 TkkadttxT221說明：一個周期信號的總平均功率等于它的全部諧波分量的平均說明：一個周期信號的總平均功率等于它的全部諧波分量的平均功率之和。功率之和。3.5 離散時間周期信號的傅里葉級數表示離散時間周期信號的傅里葉級數表示DFS)周期信號：周期信號： NnxnxN是周期是周期 NknNjkkeanx2 nNjkNkkenxNa21 kDFSanx 3.6 FS和和LTI系統系統知：知： Stetx SteSHty SH其中：其中： dtethSHStS為復數為復數系統函數系統函數取取 那么那么,jS tjetx tjejHtyjH其中：其中： dtethjH

19、tj頻響頻響即：即：輸入輸入輸出輸出tjtjejHe令令, 0kotjkotjkejkHe0otjkokktjkkkejkHaea0即傅里葉級數：即傅里葉級數：otjkoktjkkejkHaea0 tjkkkeatx0 otjkokkejkHaty例例3.4 知知 ,033tjkkkeatx1,2To, 1oa,4111aa,2122aa3133aajH tx ty求：求： ?ty解：解： 332033kktjktjkkkeaeatx ktjkkekjHaty2332kjH210 jH212jH212jH00k1k1k其它其它 tjtjtjoejHaejHaejHaty21210220tjtjee22214121411tCos24113.7 濾波濾波一一. 頻率成形濾波器：用于改變各頻譜分量的相對大小。頻率成形濾波器：用于改變各頻譜分量的相對大小。如：微分濾波器如：微分濾波器 txdtdty令令 tjetx tjejHty且且 tjtjejedtdtxdtdt