1、第三節一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲線積分與路徑無關的二、平面上曲線積分與路徑無關的 等價條件等價條件機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 格林公式及其應用 第九章 LD區域 D 分類單連通區域 ( 無“洞”區域 )多連通區域 ( 有“洞”區域 )域 D 邊界L 的正向正向: 域的內部靠左域的內部靠左定理定理1. 設區域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,則有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函數在 D 上具有連續一階偏導數,LDyxyQxPyxQPdddd或一、一、 格林公式格林公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證明證明: 1)

2、 若D 既是 X - 型區域 , 又是 Y - 型區域 , 且bxaxyxD)()(:21dycyxyD)()(:21則yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxxQCBEyyxQd),(CAEyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcyddcyxoECBAbaD定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結束 即yxxQDddLyyxQd),(同理可證yxyPDddLxyxPd),(、兩式相加得:LDyQxPyxyPxQdddd定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結束 yxoL2) 若D不滿足以上條件, 則可通過加輔助線將其分割1DnD2DnkDyx

3、yPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd為有限個上述形式的區域 , 如圖)(的正向邊界表示kkDD證畢定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結束 推論推論: 正向閉曲線 L 所圍區域 D 的面積LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 橢圓20,sincos:byaxL所圍面積LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 設 L 是一條分段光滑的閉曲線, 證明0dd22yxxyxL證證: 令,22xQyxP則yPxQ利用格林公式 , 得yxxyxLdd22022xxDy

4、xdd00機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 計算,dd2Dyyxe其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 為頂點的三角形閉域 . 解解: 令, 則2, 0yexQPyPxQ利用格林公式 , 有Dyyxedd2Dyyexd2yexOAyd2yeyyd102)1(211exy oyx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BD2ye機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 計算,dd22Lyxxyyx其中L為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線.解解: 令,022時則當 yx22222)(yxxyxQ設 L 所圍區域為D,)0 , 0(時當D由格林公式知0dd

5、22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxoL機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 dsincos2022222rrr2,)0 , 0(時當D在D 內作圓周,:222ryxl取逆時針方向,1D, 對區域1D應用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dloyx記 L 和 l 所圍的區域為林公式 , 得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、平面上曲線積分與路徑無關的等價條件二、平面上曲線積分與路徑無關的等價條件定理定理2. 設D 是單連通域 ,),(),(yxQyxP在D 內具有一階連續偏導數

6、,(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有.0ddLyQxP(2) 對D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在 D 內每一點都有.xQyPLyQxPdd與路徑無關, 只與起止點有關. 函數則以下四個條件等價:在 D 內是某一函數的全微分,即 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明說明: 積分與路徑無關時, 曲線積分可記為 證明證明 (1) (2)設21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP為D 內任意兩條由A 到B 的有向分段

7、光滑曲線, 則(根據條件(1)BAyQxPddAByQxPdd定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證明證明 (2) (3)在D內取定點),(00yxA因曲線積分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux則),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可證yu),(yxQ因此有yQxPuddd和任一點B( x, y ),與路徑無關,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函數 定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證明證明 (3) (4)設存在函數 u ( x ,

8、 y ) 使得yQxPuddd則),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在 D 內具有連續的偏導數,xyuyxu22所以從而在D內每一點都有xQyPxyuxQyxuyP22,定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證明證明 (4) (1)設L為D中任一分段光滑閉曲線,DD (如圖) ,上因此在DxQyP利用格林公式格林公式 , 得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所圍區域為證畢定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結束 yx說明說明: 根據定理2 , 若在某區域內,xQyP則2) 求曲線積分時, 可利用格林公式簡化計算,3) 可用積分法求d u = P dx + Q dy在域 D 內的原函

9、數:Dyx),(00及動點,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x則原函數為yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;取定點1) 計算曲線積分時, 可選擇方便的積分路徑;定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結束 yA xoL例例4. 計算,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 為上半24xxy從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段,AOD它與L 所圍原式yxyxyxAOLd)(d)3(22Dyxd

10、d4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圓周區域為D , 則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .3648 例例5. 驗證yyxxyxdd22是某個函數的全微分, 并求出這個函數. 證證: 設,22yxQyxP則xQyxyP2由定理2 可知, 存在函數 u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6. 驗證22ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 內存在原函數 , 并求出它. 證證: 令22

11、22,yxxQyxyP則)0()(22222xyQyxxyxP由定理定理 2 可知存在原函數),()0, 1(22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 oxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7. 設質點在力場作用下沿曲線 L :xycos

12、2由)2, 0(A移動到, )0,2(B求力場所作的功W解解:)dd(2Lyxxyrk令,22rxkQrykP則有)0()(22422yxryxkyPxQ可見, 在不含原點的單連通區域內積分與路徑無關. )(22yxr其中LBAyox),(2xyrkFsFWLd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 :AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2思考思考: 積分路徑是否可以取?OBAO取圓弧LBAyox為什么？注意, 本題只在不含原點的單連通區域內積分與路徑無關 !機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結1. 格林公式LyQxPdd2

13、. 等價條件在 D 內與路徑無關.yPxQ在 D 內有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd對 D 內任意閉曲線 L 有0ddLyQxP在 D 內有設 P, Q 在 D 內具有一階連續偏導數, 則有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習1. 設,4:, 1:222412yxlyxL且都取正向, 問下列計算是否正確 ?Lyxxyyx22d4d) 1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Do2y1x2LlDd5415Lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41Dd2412提示提示:時022 yxyPxQ) 1(yPxQ)2(機動 目錄 上

14、頁 下頁 返回 結束 2. 設, )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu).,(yxu求提示提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422),(yxuyox),(yx)0 ,(xxxxd04yyyxyd)56(0422C551x322yxCy 5xxyxd)4(34yyyxd)56(422),()0 , 0(yxC第四節 目錄 上頁 下頁 返回 結束 CCCDyxoaaC 備用題備用題 1. 設 C 為沿yxaxyxaxxayCd)ln(2d22222222ayx從點), 0(a依逆時針), 0(a的半圓, 計算解解: 添加輔助線如圖 ,利用格林公式 .原式 =321aaayayd)ln2(D222xaya222xayyxddC到點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D2. 質點M 沿著