1、會計學1行列式的展開行列式的展開(zhn ki)定理定理第一頁，共47頁。引例引例(yn l),312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 2223113233aaaaa 可見，三階可見，三階(sn ji)行列式可通過二階行列式來表示行列式可通過二階行列式來表示2123123133aaaaa 2122133132aaaaa 第1頁/共47頁第二頁，共47頁。定義定義(dngy)在

2、在 n 階行列式階行列式 中將元素中將元素 所在的所在的ijadet()ija第第 i 行行與第與第 j 列劃去，剩下列劃去，剩下 個元素按原位置個元素按原位置2(1)n 次序構成一個次序構成一個 階的行列式，階的行列式，1n 111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1jjniijijiniijijinnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaa稱之為元素稱之為元素 的的余子式余子式, ,記作記作 ijMija第2頁/共47頁第三頁，共47頁。( 1)ijijijAM 令令稱稱 之為元素之為元素 的的代數余子式代數余子式ijaijA注：注： 行列式中每一個行

3、列式中每一個(y )(y )元素分別對應著一個元素分別對應著一個(y )(y )余子式余子式和一個和一個(y )(y )代數余子式代數余子式無關，只與該元素所在行列式中的位置無關，只與該元素所在行列式中的位置(wi zhi)(wi zhi)有有關關 元素元素 的余子式和代數余子式與的余子式和代數余子式與 的大小的大小ijaija第3頁/共47頁第四頁，共47頁。511 111 3351111 1155 0M 例如例如(lr)(lr)3 333511( 1)11 1155 0A 第4頁/共47頁第五頁，共47頁。元素除元素除 外都為外都為 0，則，則ija.ijijDa

4、 A 1.1.引理引理若若n 階行列式階行列式 D = 中的第中的第 i 行所有行所有det()ija第5頁/共47頁第六頁，共47頁。511 111 3351111 1155 0M 例如例如(lr)(lr)3 333511( 1)11 1155 0A 3 33333331 ( 1).Da AM 第6頁/共47頁第七頁，共47頁。證：證： 先證的情形，即先證的情形，即11ijaa 11212221200nnnnnaaaaDaaa 由行列式的定義由行列式的定義(dngy)(dngy)，有，有1 2121 2()12( 1)nnnj jjjjnjj jjDaaa 222(

5、)112( 1)nnnjjjnjjjaaa 第7頁/共47頁第八頁，共47頁。222112nnnnaaaaa 1111.a A 1111a M 結論結論(jiln)(jiln)成立成立. .一般一般(ybn)(ybn)情形：情形：111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,10000jjjniijijijinijiijijijinnn jnjn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa第8頁/共47頁第九頁，共47頁。111,111,1111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,10000( 1)ijjjjniiijijijini

6、ijijijinnn jnjn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 1111,11,11111,1,11,11,11,1,1,11,11,11,1,1,10000( 1)( 1)ijjjjnijijiijijinijiijijinnjnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 第9頁/共47頁第十頁，共47頁。2( 1)ijijija M ( 1)ijijija M ( 1).ijijijijijaMa A 結論結論(jiln)(jiln)成立成立. .111,11,1121,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1( 1)jjnijiijijinij

7、iijijinnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaa 第10頁/共47頁第十一頁，共47頁。例例1.1.計算計算(j sun)(j sun)行列式行列式 311 2513420111533D 解：解： 11130153D 511 0005 11 51111 1155 0 51162055 0 1 362( 1)55 40 第11頁/共47頁第十二頁，共47頁。2.定理定理(dngl)行列式行列式 D D 等于等于(dngy)(dngy)它的任一行（列）的各元素與其它的任一行（列）的各元素與其對應對應(duyng)(duyng)的代數余子式乘積之和，即的代數余子式乘積之和，即112

8、2jjjjnjnjDa Aa Aa A1122iiiiininDa Aa Aa A1nikikka A 1,2,in 1nkjkjka A 1,2,jn 或或行列式按行（列）展開法則行列式按行（列）展開法則1111121211nnDa Aa Aa A第12頁/共47頁第十三頁，共47頁。證：證： 11121121200 0000niiinnnnnaaaaaaDaaa 1122iiiiinina Aa Aa A11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa ni, 2 , 1 第13頁/共47頁第十四頁，

9、共47頁。例例2. .計算計算n階行列式階行列式 00 000 0.0 0 00 00na ba bDa bba 解：解： (1)0 000 00 00 00nna baDaa ba 111( 1)nnna ab b 1( 1).nnnab 1(1)00 00 0( 1)0 000 0nnba bbba b 考慮按照考慮按照(nzho)第第一行或是最后一行或一行或是最后一行或是最后一列展開是最后一列展開第14頁/共47頁第十五頁，共47頁。例例3.3.證明證明(zhngmng)(zhngmng)范德蒙行列式范德蒙行列式 1232222123111111231111()nnnijj i nnnn

10、nnxxxxxxxxDxxxxxx 特點：特點：1.第一行都是第一行都是1。2.第二行是基本元素第二行是基本元素(yun s)行。行。3.從第一行開始每一行是第二行的冪形式。從第一行開始每一行是第二行的冪形式。第15頁/共47頁第十六頁，共47頁。213113221()()()()()()nnnnxxxxxxxxxxxx 1()ijj i nxx 213132121()()()()()()nnnnxxxxxxxxxxxx 第16頁/共47頁第十七頁，共47頁。先證明先證明(zhngmng)3(zhngmng)3階范德蒙行列式階范德蒙行列式 312322213123213132111()()()

11、().ijj iDxxxxxxxxxxxxxx 證明證明(zhngm(zhngmng)ng)32112322212313111()0rrxxxxxx xxx x 211213122212313111() 00rrxxxxxxx xxx x 3D第17頁/共47頁第十八頁，共47頁。213132()()().xxxxxx213122212313xxxxxx xxx x 21312311()()xxxxxx第18頁/共47頁第十九頁，共47頁。證：用數學證：用數學(shxu)(shxu)歸納法歸納法. . 時，時， 211211.xxxx2n 01 假設對于假設對于 階范德蒙行列式結論成立即階范德

12、蒙行列式結論成立即1n 02結論結論(jiln)(jiln)成立成立23222231222223111()nnnijj i nnnnnxxxxxxDxxxxx 第19頁/共47頁第二十頁，共47頁。把把 從第從第 n 行開始，后面一行減去前面一行的行開始，后面一行減去前面一行的nD倍，得倍，得1x21311222212313112121221231311111000nnnnnnnnnnnnxxxxxxxx xxx xxx xDxx xxx xxx x 下證對于下證對于 n 階范德蒙行列式階范德蒙行列式 結論也成立結論也成立.nD第20頁/共47頁第二十一頁，共47頁。2131122133112

13、222213311()()()()()()nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 23222232131122223111()()()nnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxx第21頁/共47頁第二十二頁，共47頁。1()ijj i nxx 范德蒙行列式范德蒙行列式 中至少兩個相等中至少兩個相等120,nnDx xx 注注：213111()()()nnxxxxxx D 213112()()()()nijj i nxxxxxxxx 范德蒙行列式另一形式范德蒙行列式另一形式(xngsh)：211112121221333211111nnnnnnnxxxxxxxxxxxx

14、第22頁/共47頁第二十三頁，共47頁。第一節的例第一節的例2：解方程：解方程21 112 30.4 9xx 第23頁/共47頁第二十四頁，共47頁。例例4.4.計算計算(j sun)2n(j sun)2n階行列式階行列式 22nnababDbaba 其中其中(qzhng)未標明的元素都是未標明的元素都是0.第24頁/共47頁第二十五頁，共47頁。解：解： 2(21)00000 0000000 00 0nnababDaba bbaa 2(22)0000000nabababa bba 21 12(22)0000( 1)000nnababbba bba 222(1)()nab D 22 22(2)

15、()nabD 2212()nabD 221()na babb a 22()nab 21(21)0000 00( 1)0 000000 00 0nnababbbabab 第25頁/共47頁第二十六頁，共47頁。3.推論推論(tuln)行列式任一行行列式任一行(yxng)(yxng)（列）的元素與另一行（列）的元素與另一行(yxng)(yxng)（列）的（列）的對應元素的代數對應元素的代數(dish)(dish)余子式乘積之和等于零，即余子式乘積之和等于零，即11220,ijijninja Aa Aa Aij11220,ijijinjna Aa Aa Aij11211222120nna Aa Aa

16、 A第26頁/共47頁第二十七頁，共47頁。證證行展開，有行展開，有按第按第把行列式把行列式jaDij)det( 11111111,niinjjjnjnjjnnnnaaaaa Aa Aaaaa可得可得換成換成把把), 1(nkaaikjk 第27頁/共47頁第二十八頁，共47頁。11111111,niinijinjniinnnnaaaaa Aa Aaaaa行行第第 j行行第第 i相同相同11220,ijijninja Aa Aa Aij11220.ijijinjna Aa Aa A 當當 時時, ,ij 同理可證同理可證, ,第28頁/共47頁第二十九頁，共47頁。 10nikjkkDija

17、Aij 10nkikjkDija Aij 綜合定理及推論，有關于綜合定理及推論，有關于(guny)(guny)代數余子式的重代數余子式的重要性質：要性質：第29頁/共47頁第三十頁，共47頁。代數代數(dish)(dish)余子式三種和形式比余子式三種和形式比較較11222.0,ijijinjna Aa Aa Aij11221.iiiiininijna Aa Aa ADa定理定理(dngl)(dngl)推論推論(tuln)(tuln)1121314111213141MMMMAAAA11112411113.,niiijjnnnnaaAAAaaaa 2和和3的解題思的解題思路：根據行列路：根據行列

18、式式D構造新的構造新的行列式。行列式。第30頁/共47頁第三十一頁，共47頁。例例5. .設設 求求 35211105,1 3132413D 解：解：11121314AAAA111111051 3132413 4. 和和11213141.MMMM11121314AAAA第31頁/共47頁第三十二頁，共47頁。11213141MMMM11213141AAAA15211 10513131413 0. 第32頁/共47頁第三十三頁，共47頁。自然科學自然科學(zrnkxu)與工程技術中，我們會碰到未知與工程技術中，我們會碰到未知數的數的個數很多的線性方程組個數很多的線性方程組如如n元一次線性方程組元

19、一次線性方程組11112211211222221122,(1).nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb 它的解也有類似二元、三元它的解也有類似二元、三元(sn yun)一次線性方程組的一次線性方程組的結論結論.三、克拉默法則三、克拉默法則(fz)（Cramer,瑞士，瑞士，17041752）第33頁/共47頁第三十四頁，共47頁。定理定理(dngl) 如果線性方程組（如果線性方程組（1）的系數行列）的系數行列式式 1112121222120,nnnnnnaaaaaaDaaa 則方程組則方程組()有唯一有唯一(wi y)解解1212,nnDDDxxxDDD（2

20、）Cramer法則法則(fz)第34頁/共47頁第三十五頁，共47頁。其中其中是把行列式是把行列式中第中第 列列(1,2, )jDjn Dj所得所得(su d)的一個的一個 n 級行列式，即級行列式，即的元素用方程組（的元素用方程組（1）的常數項代換）的常數項代換 12,nb bb111,111,11212,122,121,1,1jjnjjnjnn jnn jnnaabaaaabaaDaabaa 1122jjnnjb Ab Ab A1.nssjsb A 第35頁/共47頁第三十六頁，共47頁。注解注解(zhji)1(zhji)1：克拉默克拉默(Cramer)(Cramer)法則法則(fz)(f

21、z)中包含著兩個前提和三個結論：中包含著兩個前提和三個結論：前提前提(qint)：（1 1）線性方程組（）線性方程組（1 1）中方程的個數等于未知量的個數；）中方程的個數等于未知量的個數；（2 2）線性方程組（）線性方程組（1 1）的系數矩陣的行列式不等于零）的系數矩陣的行列式不等于零. .結論：結論：（1）線性方程組（）線性方程組（1）有解；）有解；（2）線性方程組（）線性方程組（1）的解是唯一的；）的解是唯一的；（3）線性方程組（）線性方程組（1）的解由公式（）的解由公式（2）給出）給出.第36頁/共47頁第三十七頁，共47頁。例例 5 用克拉默法則用克拉默法則(fz)解方程解方程組組 .

22、 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解：解：6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 方程組的系數方程組的系數(xsh)行列式行列式第37頁/共47頁第三十八頁，共47頁。12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 第38頁/共47頁第三十九頁，共47頁。60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 ,

23、 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx第39頁/共47頁第四十頁，共47頁。程的個數與未知量的個數不等時程的個數與未知量的個數不等時, , 就不能用克拉就不能用克拉(kl)(kl)通過上述例子通過上述例子, , 我們我們(w men)(w men)看到用克拉默法則看到用克拉默法則求解求解線性方程組時線性方程組時, ,要計算要計算(j sun) n+1 (j sun) n+1 個個 n n 階行列式階行列式, ,這個這個計算量是相當大的計算量是相當大的, , 所以所以, , 在具體求解線性方程在具體求解線性方程組時組時, , 很少用克拉默法則很少用克拉默法則. .另外另外, , 當方程組中方當方程組中方默法則求解默法則求解. .注解