1、會計學1ch函數的極值與最大值最小值函數的極值與最大值最小值;0)(,)(lnlim;0)(), 0(,)(lnlim443030 xfxaxxxfUxaxxxx使使充充分分大大的的正正數數即即使使即即.ln0)(,ln)無根無根所以方程所以方程，恒小于恒小于時，時，即即當當最大最大axxxfeaaaf10111.ln,ln)2有唯一根有唯一根時，方程時，方程即即當當最大最大axxeaaaf1011時，時，即即當當最大最大eaaaf10011,ln)3又在區間又在區間(0,1/a)上，上，f (x)單調遞增；在區間單調遞增；在區間(1/a，+ )上，上，f (x)單調遞減，單調遞減，所以方程所

2、以方程lnx=ax有兩個根有兩個根. .第1頁/共42頁問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方ABC第2頁/共42頁;),()(,2)()()2(,),(212121內的圖形是凸的內的圖形是凸的在在那末稱那末稱恒有恒有內任意兩點內任意兩點如果對如果對baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸內的圖形是凹內的圖形是凹在在那末稱那末稱的的或凸或凸內的圖形是凹內的圖形是凹且在

3、且在內連續內連續在在如果如果baxfbabaxf定義定義;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121內的圖形是凹的內的圖形是凹的在在那末稱那末稱恒有恒有兩點兩點內任意內任意如果對如果對內連續內連續在在設設baxfxfxfxxfxxbabaxf 第3頁/共42頁xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞減遞減)(xf 0 y定理定理.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內內若在若在二階導數二階導數內具有內具有在在上連續上連續在在如果如果bax

4、fxfbaxfxfbababaxf 第4頁/共42頁例例6 6.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,32xy ,6xy 時，時，當當0 x, 0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,(時，時，當當0 x, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0.)0 , 0(點點是曲線由凸變凹的分界是曲線由凸變凹的分界點點注意到注意到,第5頁/共42頁連續曲線上凹凸的分界點稱為連續曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點曲線的拐點.1.1.定義定義2.2.拐點的求法拐點的求法方法方法: :,)(0)()(00不存在不存在或或的的設函數設函數xfxfxf ;)(,(,)()1(000即為拐點即為拐點點點變

5、號變號兩近旁兩近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐點不是拐點點點不變號不變號兩近旁兩近旁xfxxfx 第6頁/共42頁例例7 7.14334凹、凸的區間凹、凸的區間的拐點及的拐點及求曲線求曲線 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點拐點拐點拐點)1 , 0()2711,32(.32, 0).,32,0 ,(凸區間為凸區間為凹區間為凹區間為第7頁/共42頁例例8 8.3的拐點的拐點求曲線求曲線xy 解解,0時時當當 x,3

6、132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可導點是不可導點yyx , 0,)0 ,( y內內但在但在;0 ,(上是凹的上是凹的曲線在曲線在 , 0,), 0( y內內在在.), 0上是凸的上是凸的曲線在曲線在.)0 , 0(3的拐點的拐點是曲線是曲線點點xy .)()(,(,)(000的拐點的拐點是連續曲線是連續曲線也可能也可能點點不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意: :第8頁/共42頁一、函數極值的定義一、函數極值的定義二、函數極值的求法二、函數極值的求法5 函數的極值與最大值最小值函數的極值與最大值最小值三、最值的求法三、最值的求法四、應用舉例四、應用舉例五、小結五、小

7、結第9頁/共42頁oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x第10頁/共42頁.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一個極小值的一個極小值是函數是函數就稱就稱均成立均成立外外除了點除了點任何點任何點對于這鄰域內的對于這鄰域內的的一個鄰域的一個鄰域如果存在著點如果存在著點的一個極大值的一個極大值是函數是函數就稱就稱均成立均成立外外除了點除了點任何點任何點對于這鄰域內的對于這鄰域內的的一個鄰域的一個鄰域如果存在著點如果存在著點內的一個點內的一個點是是內有定義內有定義在區間在區間設函數設函數xfxfxfxfxxxxfxfxfxf

8、xxxbaxbaxf 定義定義函數的極大值與極小值統稱為函數的極大值與極小值統稱為極值極值,使函數取得使函數取得極值的點稱為極值的點稱為極值點極值點.第11頁/共42頁 設設)(xf在在0 x處取得極值處取得極值, ,那末那末必定必定0)(0 xf或或不存在不存在)(0 xf. . 定理定理1 1( (必要條件必要條件) )定義定義.)()0)(的駐點的駐點做函數做函數叫叫的實根的實根即方程即方程使導數為零的點使導數為零的點xfxf 注意注意:.,)(一定是極值點一定是極值點但駐點或不可導點卻不但駐點或不可導點卻不導點導點點或不可點或不可的極值點必定是它的駐的極值點必定是它的駐函數函數xf例如

9、例如,3xy , 00 xy.0不是極值點不是極值點但但 x.,)(點卻不一定是其極值點點卻不一定是其極值點但駐但駐點點的極值點必定是它的駐的極值點必定是它的駐可導函數可導函數xf第12頁/共42頁(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值. .(2)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. .(3)(3)如果當如果當),(00 xxx 及及),(00 xxx時時, , )(x

10、f符號相同符號相同, ,則則)(xf在在0 x處無極值處無極值. .定理定理2(2(第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x (是極值點情形是極值點情形)第13頁/共42頁xyoxyo0 x0 x 求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求導數求導數);()()2(0可能不止一個可能不止一個不存在的點不存在的點求駐點及使求駐點及使xxf ;,)()3(0判斷極值點判斷極值點點左右的正負號點左右的正負號在在檢查檢查xxf .)4(求極值求極值(不是極值點情形不是極值點情形)第14頁/共42頁例例1 1解解.593)(23的極值的極值求出函數求出函數 xxxxf963)(2

11、xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點得駐點列表討論列表討論x)1,( ), 3()3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極大值極小值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx第15頁/共42頁 設設)(xf在在0 x處具有二階導數處具有二階導數, ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那末那末(1)(1)當當0)(0 xf時時, , 函數函數)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值; ;(2)(2)當當0)(0 xf時時, , 函數函數)(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. .定理定理3(3(第二充分

12、條件第二充分條件) )注意：注意：第二充分條件只適合于在第二充分條件只適合于在x0處一階導數為處一階導數為零而二階導數不為零的情形；零而二階導數不為零的情形；. 2,)(,0)(00仍用定理仍用定理處不一定取極值處不一定取極值在點在點時時xxfxf 第16頁/共42頁例例2 2解解.20243)(23的極值的極值求出函數求出函數 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得駐點得駐點)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故極大值故極大值,60 )2(f, 018 )2(f故極小值故極小值.48 第17頁/共42頁注意注意: :函

13、數的不可導點函數的不可導點,也可能是函數的極值點也可能是函數的極值點.例例3 3解解.)2(1)(32的極值的極值求出函數求出函數 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在時時當當xfx 時，時，當當2 x; 0)( xf時，時，當當2 x. 0)( xf.)(1)2(的極大值的極大值為為xff 第18頁/共42頁oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上的最大值與最小值存上的最大值與最小值存在在為零的點，則為零的點，則并且至多有有限個導數并且至多有有限個導數處可導，處可導，上連續，除個別點外處上連續，除個別點外處在在若函數若函數baxfbaxf注：最值點不一定是

14、內點注：最值點不一定是內點. .第19頁/共42頁步驟步驟: :1.求駐點和不可導點求駐點和不可導點;2.求區間端點及駐點和不可導點的函數值求區間端點及駐點和不可導點的函數值,比比較大小較大小,哪個大哪個就是最大值哪個大哪個就是最大值,哪個小哪個哪個小哪個就是最小值就是最小值;注意注意: :1 1、如果區間內只有一個極值如果區間內只有一個極值,則這個極則這個極值就是最值值就是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)2 2、如果在實際問題中，如果在實際問題中，f(x)在定義區間內只有在定義區間內只有一個駐點一個駐點x0，且根據問題本身的實際情況，且根據問題本身的實際情況,f(x)一定有最值且一定在

15、區間的內部（開區間）獲一定有最值且一定在區間的內部（開區間）獲得，則得，則x0就是最值點就是最值點(最大值點或最小值點最大值點或最小值點)。否則按一般函數處理。否則按一般函數處理。第20頁/共42頁例例4 4解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值與最小值上的最大值與最小值在在求函數求函數 xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx計算計算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f，最大值最大值142)4( f比較得比較得. 7)1( f最小值最小值第21頁/共42頁例例5 5要建造一個體積要建造一個體積V為為50m3的有

16、蓋圓柱形的有蓋圓柱形水池，問水池的高和底的半徑比例為多少時，水池，問水池的高和底的半徑比例為多少時，用料最??？用料最??？解解 (1)建立圓柱形水池表面積建立圓柱形水池表面積函數關系式函數關系式則圓柱形水池表面積函數則圓柱形水池表面積函數設水池底半徑為設水池底半徑為r，高為，高為h，則表面積則表面積rhrS 222 由已知：由已知：502 hrV 表達式，表達式，代入代入將將S502rh )0(1002)(2 rrrrS 第22頁/共42頁.)()2(的的最最小小值值點點求求rSS )(rS.10042rr , 0)( rS令令得唯一駐點得唯一駐點.253 r.12 時用料最省時用料最省：比例為

17、比例為故水池的高和底的半徑故水池的高和底的半徑.2522550r50h,25332223 時時當當r. 1:2r: h即：即：由問題的實際意義，唯一駐點即為最小值點由問題的實際意義，唯一駐點即為最小值點第23頁/共42頁實際問題求最值一般步驟實際問題求最值一般步驟: :(1)建立目標函數建立目標函數實際問題中變量間的實際問題中變量間的關系關系;(2)求最值求最值將實際問題轉化為求目標函將實際問題轉化為求目標函數在相應區間上的最值問題數在相應區間上的最值問題;值值或最小或最小所求的最大所求的最大則該點的函數值即為則該點的函數值即為一定在區間內部獲得，一定在區間內部獲得，有唯一駐點，且最值有唯一駐

18、點，且最值若目標函數在區間內只若目標函數在區間內只)(根據已知條件，將目標函數表示成關于一根據已知條件，將目標函數表示成關于一個變量的函數。個變量的函數。第24頁/共42頁.)(,)(的的一一條條漸漸近近線線就就稱稱為為曲曲線線那那么么直直線線的的距距離離趨趨向向于于零零到到某某定定直直線線如如果果點點窮窮點點時時沿沿著著曲曲線線移移向向無無上上的的一一動動點點當當曲曲線線xfyLLPPxfy 鉛直漸近線鉛直漸近線.)()(lim)(lim000的的一一條條鉛鉛直直漸漸近近線線就就是是那那么么或或如如果果xfyxxxfxfxxxx 水平漸近線水平漸近線.)()()(lim)(lim的的一一條條

19、水水平平漸漸近近線線就就是是那那么么為為常常數數或或如如果果xfybybbxfbxfxx 斜漸近線斜漸近線.)(),(0)()(lim0)()(lim的的一一條條斜斜漸漸近近線線就就是是那那么么為為常常數數或或如如果果xfybaxybabaxxfbaxxfxx 第25頁/共42頁兩坐標軸兩坐標軸0 x，0 y是否都是函數是否都是函數xxxfsin)( 的漸近線？的漸近線？ 0sinlim xxx0 y是是其其圖圖象象的的漸漸近近線線. 0 x不不是是其其圖圖象象的的漸漸近近線線. 1sinlim0 xxxxxysin 第26頁/共42頁利用函數特性描繪其圖形利用函數特性描繪其圖形.基本步驟基本

20、步驟1 1、確確定定函函數數)(xfy 的的定定義義域域, , 討討論論其其奇奇偶偶性性、周周期期性性、與與坐坐標標軸軸交交點點, ,求求出出)(xf和和)(xf; ; 2、求、求駐點駐點、拐點拐點、間斷點間斷點及及導數不存在的點導數不存在的點把函數的把函數的定義域劃分成幾個子區間定義域劃分成幾個子區間.4 4、確定函數圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其、確定函數圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢他變化趨勢; ;5、描描出出與與方方程程0)( xf和和0)( xf的的根根對對應應的的曲曲線線上上的的點點，有有時時還還需需要要補補充充一一些些點點，再再綜綜合合前前四四步步討討論

21、論的的結結果果畫畫出出函函數數的的圖圖形形. . 3、確定函數的增減性及凹凸性、確定函數的增減性及凹凸性（列表討論）（列表討論）第27頁/共42頁.2)1(4)(22的的圖圖形形作作函函數數例例 xxxf解解, 0: xD非奇非偶函數非奇非偶函數, ,且無對稱性且無對稱性. .,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得得駐駐點點, 0)( xf令令. 3 x得得特特殊殊點點x)3,( ), 0()2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐拐點點極值極值點點間間斷斷點點3 )926, 3( 列表列表第28頁/

22、共42頁2)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ;2 y得得水水平平漸漸近近線線2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得得鉛鉛直直漸漸近近線線:補補充充點點),2, 1( A),6 , 1(B).1 , 2(Cxyo2 3 2111 2 3 6ABC第29頁/共42頁2)1(4)(2 xxxf第30頁/共42頁.),()(內內具具有有連連續續導導數數在在區區間間設設函函數數baxfNRTA0 xMxxx xyo),(:00yxA基點基點,),(為為任任意意一一點點yxM規定：規定：;)1(增增大大的的方方向向一一致致曲曲線線的的正正向向與與 xAMs )2(號號

23、取正號，相反時，取負取正號，相反時，取負一致時，一致時，的方向與曲線的正向的方向與曲線的正向當當sAM第31頁/共42頁).(xss 單調增函數單調增函數),(yyxxN 設設如圖，如圖，22)()(yxMN .12dxyds 故故弧微分公式弧微分公式NMTRA0 xxxx xyoMNs 記：記：則有：則有：xMNMNMNxMNxs 時時，取取極極限限：0 x2211ydxdydxds 第32頁/共42頁曲率是描述曲線局部性質（彎曲程度）的量。曲率是描述曲線局部性質（彎曲程度）的量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段彎曲程度弧段彎曲程度越大轉角越大越大轉角越大轉角相同

24、弧段越轉角相同弧段越短彎曲程度越大短彎曲程度越大1.1.曲率的定義曲率的定義1 )第33頁/共42頁) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的的平平均均曲曲率率為為弧弧段段（設曲線設曲線C C是光滑的，是光滑的，.0是基點是基點M, sMM （. 切切線線轉轉角角為為MM定義定義sKs 0lim曲線曲線C C在點在點M M 處的曲率處的曲率,lim0存存在在的的條條件件下下在在dsdss .dsdK 第34頁/共42頁2.2.曲率的計算公式曲率的計算公式,)(二二階階可可導導設設xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctan y 有有.12dxyds 注意注

25、意:(1) 直線的曲率處處為零直線的曲率處處為零; ;(2)(2)圓上各點處的曲率等于半徑的倒數圓上各點處的曲率等于半徑的倒數, ,且半徑越且半徑越小曲率越大小曲率越大. .第35頁/共42頁?42上哪一點的曲率最大上哪一點的曲率最大拋物線拋物線例例cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 顯然顯然, ,2時時當當abx .最大最大k,)44,2(2為為拋拋物物線線的的頂頂點點又又aacbab .最最大大拋拋物物線線在在頂頂點點處處的的曲曲率率第36頁/共42頁定義定義D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(處處的的曲曲率率圓圓稱稱此此圓圓為為曲曲線線在在點點如如圖圖作作圓圓為為半半徑徑為為圓圓心心以以使使在在凹凹的的一一側側取取一一點點處