1、第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.7 解三角形的綜合應(yīng)用教師用書 理 蘇教版1.仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖).2.方向角相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等.3.方位角指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為(如圖).【知識(shí)拓展】1.三角形的面積公式S (p)，Srp(R為三角形外接圓半徑，r為三角形內(nèi)切圓半徑，p).2.坡度(又稱坡比)：坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比.【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1

2、)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為180°.(×)(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為0，.(×)(3)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系.()(4)方位角大小的范圍是0，2)，方向角大小的范圍一般是0，).()1.(教材改編)如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為_ m.答案50解析由正弦定理得，又B30°，AB50(m).2.輪船A和輪船B在中午1

3、2時(shí)同時(shí)離開海港C，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25 n mile/h，15 n mile/h，則下午2時(shí)兩船之間的距離是_n mile.答案70解析設(shè)兩船之間的距離為d，則d25023022×50×30×cos 120°4 900，d70，即兩船相距70 n mile.3.(教材改編)海面上有A，B，C三個(gè)燈塔，AB10 n mile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC_ n mile.答案5解析如圖，在ABC中，AB10，A60°，B75°，BC5.4.如

4、圖所示，D，C，B三點(diǎn)在地面的同一直線上，DCa，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為60°，30°，則A點(diǎn)離地面的高度AB_.答案a解析由已知得DAC30°，ADC為等腰三角形，ADa，又在RtADB中，ABADa.5.在一次抗洪搶險(xiǎn)中，某救生艇發(fā)動(dòng)機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動(dòng)，失去動(dòng)力的救生艇在洪水中漂行，此時(shí)，風(fēng)向是北偏東30°，風(fēng)速是20 km/h；水的流向是正東，流速是20 km/h，若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向?yàn)楸逼珫|_，速度的大小為_ km/h.答案60°20解析如圖，AOB60°，由余弦定理知OC220220280

5、0cos 120°1 200，故OC20，COY30°30°60°. 題型一求距離、高度問(wèn)題例1(1)如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高AD是60 m，則河流的寬度BC_ m.(2)如圖，A，B是海平面上的兩個(gè)點(diǎn)，相距800 m，在A點(diǎn)測(cè)得山頂C的仰角為45°，BAD120°，又在B點(diǎn)測(cè)得ABD45°，其中D是點(diǎn)C到水平面的射影，則山高CD_ m.答案(1)120(1)(2)800(1)解析(1)如圖，在ACD中，CAD90°30°60

6、°，AD60 m，所以CDAD·tan 60°60(m).在ABD中，BAD90°75°15°，所以BDAD·tan 15°60(2)(m).所以BCCDBD6060(2)120(1) (m).(2)在ABD中，BDA180°45°120°15°.由，得AD800(1)(m).CD平面ABD，CAD45°，CDAD800(1) m.思維升華求距離、高度問(wèn)題應(yīng)注意(1)理解俯角、仰角的概念，它們都是視線與水平線的夾角；理解方向角的概念.(2)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，

7、要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.(3)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.(1)一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東60°，行駛4 h后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°，這時(shí)船與燈塔的距離為_ km.(2)如圖所示，為測(cè)一樹的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)分別測(cè)得樹尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點(diǎn)間的距離為60 m，則樹的高度為_m.答案(1)30(2)3030解析(1)如圖，由題意，BAC30

8、6;，ACB105°，B45°，AC60 km，由正弦定理，BC30 km.(2)在PAB中，PAB30°，APB15°，AB60，sin 15°sin(45°30°)sin 45°cos 30°cos 45°sin 30°××，由正弦定理得，PB30()，樹的高度為PB·sin 45°30()×(3030)(m).題型二求角度問(wèn)題例2甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9海里的B處，并以20海里每小時(shí)的速度沿南偏

9、西15°方向行駛，若甲船沿南偏東的方向，并以28海里每小時(shí)的速度行駛，恰能在C處追上乙船.問(wèn)用多少小時(shí)追上乙船，并求sin 的值.(結(jié)果保留根號(hào)，無(wú)需求近似值)解設(shè)用t小時(shí)，甲船追上乙船，且在C處相遇，那么在ABC中，AC28t，BC20t，AB9，ABC180°15°45°120°，由余弦定理，得(28t)281(20t)22×9×20t×()，128t260t270，解得t或t(舍去)，所以AC21(海里)，BC15(海里)，根據(jù)正弦定理，得sinBAC，cosBAC .又ABC120°，BAC為銳角

10、，所以45°BAC，sin sin(45°BAC)sin 45°cosBACcos 45°sinBAC.思維升華解決測(cè)量角度問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義；(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步；(3)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用.(1)(2016·蘇州模擬)如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船

11、朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，則cos 的值為_.答案解析在ABC中，AB40，AC20，BAC120°，由余弦定理得BC2AB2AC22AB·AC·cos 120°2 800BC20.由正弦定理，得sinACB·sinBAC.由BAC120°，知ACB為銳角，則cosACB.由ACB30°，得cos cos(ACB30°)cosACBcos 30°sinACBsin 30°.題型三三角形與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題例3(2016·揚(yáng)州調(diào)研)在斜三角形ABC中，tan Atan Bta

12、n Atan B1.(1)求C的值；(2)若A15°，AB，求ABC的周長(zhǎng).解(1)方法一因?yàn)閠an Atan Btan Atan B1，即tan Atan B1tan Atan B，因?yàn)樵谛比切蜛BC中，1tan Atan B0，所以tan(AB)1，即tan(180°C)1，即tan C1，因?yàn)?°<C<180°，所以C135°.方法二由tan Atan Btan Atan B1，得1，化簡(jiǎn)得sin Acos Bsin Bcos Asin Asin Bcos Acos B，即sin(AB)cos(AB)，所以sin Ccos

13、C，因?yàn)樾比切蜛BC，所以C135°.(2)在ABC中，A15°，C135°，則B180°AC30°.由正弦定理得2，故BC2sin 15°2sin(45°30°)2(sin 45°cos 30°cos 45°sin 30°)，CA2sin 30°1.所以ABC的周長(zhǎng)為ABBCCA1.思維升華三角形與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題，要借助三角函數(shù)性質(zhì)的整體代換思想，數(shù)形結(jié)合思想，還要結(jié)合三角形中角的范圍，充分利用正弦定理、余弦定理解題.(2016·南京學(xué)情調(diào)研)在A

14、BC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acos Bbcos A.(1)求的值；(2)若sin A，求sin(C)的值.解(1)方法一由acos Bbcos A，結(jié)合正弦定理得sin Acos Bsin Bcos A，即sin(AB)0.因?yàn)锳，B(0，)，所以AB(，)，所以AB0，即AB，所以ab，即1.方法二由acos Bbcos A，結(jié)合余弦定理得a·b·，即2a22b2，即1.(2) 因?yàn)閟in A，由(1)知AB，因此A為銳角，所以cos A.所以sin Csin(2A)sin 2A2sin Acos A，cos Ccos(2A)cos 2A12sin2

15、A.所以sin(C)sin Ccos cos Csin ××.10.函數(shù)思想在解三角形中的應(yīng)用典例(14分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇.(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理

16、由.思想方法指導(dǎo)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可以設(shè)出第三邊，利用余弦定理列方程求解；對(duì)于三角形中的最值問(wèn)題，可建立函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題解決.規(guī)范解答解(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，1分則S .3分故當(dāng)t時(shí)，Smin10，v30.6分即小艇以30海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小.7分(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇. 則v2t2400900t22·20·30t·cos(90°30°)，故v2900.10分0<v30，900900，即0，解得t.又t時(shí)，v30，故v30時(shí)，t取得最小值，且最小值等于.此時(shí)，在

17、OAB中，有OAOBAB20.13分故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30海里/小時(shí).14分1.(2017·蘇北四市聯(lián)考)一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是_海里.答案10解析如圖所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30°，ACB45°，根據(jù)正弦定理得，解得BC10(海里).2.在高出海平面200 m的小島頂上A處，測(cè)

18、得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45°與30°，此時(shí)兩船間的距離為_ m.答案200(1)解析過(guò)點(diǎn)A作AHBC于點(diǎn)H，由圖易知BAH45°，CAH60°，AH200 m，則BHAH200 m，CHAH·tan 60°200 (m).故兩船距離BCBHCH200(1) (m).3.江岸邊有一炮臺(tái)高30 m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距_m.答案10解析如圖，OMAOtan 45°30 (m)

19、，ONAOtan 30°30×10 (m)，在MON中，由余弦定理得，MN 10 (m).4.(2016·南京模擬)如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m，50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為_.答案45°解析依題意可得AD20(m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0°<CAD<180°，所以CAD45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.5.如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平

20、面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，測(cè)得BCD15°，BDC30°，CD30，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB_.答案15解析在BCD中，CBD180°15°30°135°.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB15×15.6.某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15°的看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上.若國(guó)歌長(zhǎng)度約為5

21、0秒，升旗手應(yīng)以_(米/秒)的速度勻速升旗.答案0.6解析在BCD中，BDC45°，CBD30°，CD10(米).由正弦定理，得BC20(米).在RtABC中，ABBCsin 60°20×30(米).所以升旗速度v0.6(米/秒).7.如圖，CD是京九鐵路線上的一條穿山隧道，開鑿前，在CD所在水平面上的山體外取點(diǎn)A，B，并測(cè)得四邊形ABCD中，ABC，BAD，ABBC400米，AD250米，則應(yīng)開鑿的隧道CD的長(zhǎng)為_米.答案350解析在ABC中，ABBC400米，ABC，ACAB400米，BAC.CADBADBAC.在CAD中，由余弦定理，得CD2AC2

22、AD22AC·AD·cosCAD400225022·400·250·cos122 500.CD350米.8.如圖，一艘船上午930在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午1000到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距8 n mile.此船的航速是_ n mile/h. 答案32解析設(shè)航速為v n mile/h，在ABS中，ABv，BS8，BSA45°，由正弦定理得，v32.9.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口

23、，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為_米. 答案50解析如圖，連結(jié)OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO60°.由余弦定理得OC2100215022×100×150×cos 60°17 500，解得OC50.*10.在RtABC中，C90°，A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且滿足abcx，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_.答案(1，解析xsin Acos Asin.又A，sin sinsin ，即x(1，.11.要測(cè)量

24、電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45°，在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30°，并測(cè)得水平面上的BCD120°，CD40 m，求電視塔的高度.解如圖，設(shè)電視塔AB高為x m，則在RtABC中，由ACB45°，得BCx.在RtADB中，ADB30°，則BDx.在BDC中，由余弦定理得，BD2BC2CD22BC·CD·cos 120°，即(x)2x24022·x·40·cos 120°，解得x40，所以電視塔高為40 m.12.(2015·天津)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知ABC的面積為3，bc2，cos A.(1)求a和sin C的值；(2)求cos的值.解(1)在ABC中，由cos A，可得sin A.由SABCbcsin A3，得bc24，又由bc2，解得b6，c4.由a2b2c22bccos A，可得a8.由，得sin C.(2)coscos 2A·cos sin 2A·sin(2cos2A1)×2sin A·cos A.*13.在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(1)海里