1、 目 錄摘 要2引言21正項級數的定義22正項級數收斂性的一般判別原則33比式判別法和根式判別法54積分判別法95拉貝判別法9結束語12參考文獻13致謝14摘 要級數理論部分是數學分析的重要組成部分，其中的正項級數又是級數理論中重要的組成部分，級數的收斂性更是級數理論的核心問題，要想解決正項級數的求和問題必須先解決正項級數收斂性判斷。現今正項級數收斂性判斷的方法雖然較多，但使用起來仍有一定的技巧，歸納總結正項級數收斂性判斷的一些典型方法，比較這些方法的不同特點，總結出一些典型的正項級數，根據不同的題目特點分析、判斷選擇適宜的方法進行判斷，能夠最大限度的節約時間，提高效率，特別是一些典型問題，運

2、用典型方法，才能事半功倍。本文主要討論了幾種常用的判定正項級數斂散性的方法。在充分了解正項級數定義以及基本性質的理論基礎上，對當前已經運用于正項級數斂散性判定的多種多樣的方法進行篩選。關鍵詞：正項級數 收斂性 判定 方法 引言數學分析作為數學與應用數學專業的重要專業基礎課程，對學習好其他科目具有重要幫助作用。級數理論是數學分析的一個重要組成部分，級數理論的功能并不僅僅在于引進非初等函數，更重要的是給出了研究這些函數的有效方法，而且即使是初等函數，給出了它們的級數形式，有時會更便于研究它們的性質。在實際生活中的運用也較為廣泛，如經濟等問題。而正項級數又是級數理論中重要的組成部分，級數的收斂性更是

3、級數理論的核心問題，要想解決正項級數的求和問題必須先解決正項級數收斂性判斷。正項級數收斂性判斷的方法雖然較多，但使用對于不同類型的正項級數到底該用哪種方法，我們要充分分析和發掘不同正項級數不同點和相同點，從而判斷選擇適宜的方法進行判斷，能夠最大限度的節約時間，在面對一些典型問題，運用典型方法，往往能達到出人意料的事半功倍1正項級數的定義 若級 中各項都是非負的( 即)，則稱該級數為正項級數.由正數和零構成的級數稱為正項級數.2正項級數收斂性的一般判別原則 若級數各項的符號都相同，則稱為同號級數。而對于同號級數，只須研究各項都由正數組成的級數正項級數.如果級數的各項都是負數，則它乘以-1后就得到

4、一個正項級數，它們具有相同的斂散性. 定理1如果 的部分和數列 的極限存在，即： 則稱級數 收斂 ，S為級數的和.記為：.如果不存在，則稱級數發散. 定理2 正項級數收斂的充要條件 正項級數部分和數列有界，即存在某正數M，對，有.證明：由于對，故是遞增的，因此，有 收斂收斂有界.定理3（比較原則） 設和均為正項級數，如果存在某個正數N，使得對都有 ， (1)則 （i）若級數收斂，則級數也收斂； （ii）若級數發散，則級數也發散證 因為改變級數的有限項并不影響原有級數的斂散性，因此不妨設不等式(1)對一切正數都成立現分別以和記級數和的部分和由（1）式推得，對于一切正整數,都有 （2）若收斂，即存

5、在，則由（2）式對于一切有，即正項級數的部分和數列有界，由定理2級數收斂這就證明了（i）；（ii）為（i）的逆否命題，自然成立例1 考察的收斂性解 由于當時，有 .因為正項級數收斂，故此定理成立，級數收斂.推論 設 ， （3） （4） 是兩個正項級數，若 ， （5）則（i）當時，級數（3）、（4）同時收斂或者同時發散；（ii）當且級數（1）收斂時，級數（3）也收斂；（iii）當且級數（4）發散時，級數（3)也是發散的.證 由（5），對于給的正數，存在某正數，當時，恒有 或 . （6）由定理比較原則及（6)式推得，當（這里的），級數（3）與（4）同時收斂或同時發散.這就證得（i）.對于（ii），

6、當時，由（6）式有半部分及比較原則可得：若級數（4）收斂，則級數（3）也收斂.對于（iii），若，即對任給的正數， 存在相應的正數，當時，都有 或 .于是由比較原則知道，若級數（4）發散，則級數（3）也發散.例2 級數 是收斂的，因為 以及等比級數收斂，所以根據推論，級數也是收斂.3比式判別法和根式判別法根據比較原則，可以利用已知收斂或者發散級數作為比較對象來判別其他級數的斂散性.本段所介紹的兩個方法是以等比級數作為比較對象而得到的.只有知道一些重要級數的收斂性，并加以靈活應用，才能熟練掌握比較判別法。至今為止，我們熟悉的重要的已知級數包括等比級數、調和級數以及級數等.要應用比較判別法來判別給

7、定級數的收斂性，就必須給定級數的一般項與某一已知級數的一般項之間的不等式。但有時直接建立這樣的不等式相當困難，為應用方便，我們給出比較判別法的極限形式.使用比較判別法或其極限形式，需要找到一個已知級數作比較，這多少有些困難。下面介紹的幾個判別法，可以利用級數自身的特點，來判斷級數的收斂性.比式判別法（達朗貝爾判別法）：適合與有公因式且 存在或等于無窮大的情形.定理4 設為正項級數，且存在某正整數及常數q().（i）若對于一切,成立不等式 ， （7）則級數收斂. （ii）若對于一切，成立不等式 ， （8）則級數發散.推論1（比式判別法的極限形式） 若為正項級數，且 ，則 （i）當時，級數收斂；

8、（ii）當或，級數發散.例4 級數 ，由于 ，根據推論1級數是收斂的. 根式判別法（柯西判別法） 設為正項級數，且存在某個正整數及正常數，（1）若對，有 ，則級數收斂；（2）若對，有 ，則級數發散.證明：由比較判別法即可得.推論1 （根式判別法的極限形式） 設為正項級數，且 ，則 （1）當時，級數收斂；（2）當（可為）時，級數發散；（3）當時，級數可能收斂，也可能發散。如：，.例5 討論級數 的斂散性.解：由于 所以級數是收斂的。若在(13)式中=1，則根式判別法仍無法對級數的斂散性作出判斷例如，對都有 但是收斂的，而卻是發散的。若(13)式的極限不存在，則可根據根式的上極限來判斷。推論2 設

9、為正項級數，且 ,則當（i）<1時級數收斂； (ii) >1時級數發散.本推論的證明可仿照推論1的證法進行.增加例題考察級數其中.解 由于 及 因此級數是收斂的,但若應用比式判別法，則由于 ， 則無法應用根式判別法的推論2判斷其收斂性. 我們知道，若 ,則必有 .這說明凡能由比式判別法鑒別收斂性的級數，它也能由根式判別法來判斷，而且可以說，根式判別法較之比式判別法更有效.例6 級數由于 故由比式判別法無法鑒別此級數的收斂性。但應用根式判別法來考察這個級數例7 可知此級數是收斂的.說明：因 這就說明凡能用比式判別法判定收斂性的級數，也能用根式判別法來判斷，即根式判別法較之比式判別法更

10、有效,但反之不能.4積分判別法積分判別法是利用非負函數的單調性和積分性質，并以反常積分為比較對象來判斷正項級數的斂散性.定理5 設為上非負減函數，那么正項級數與反常積分同時收斂或同時發散.例8 討論級數的斂散性.解 函數，當時在上是非負減函數.由于反常積分在時收斂，時發散.故由定理5得當時收斂，當時發散.至于的情形，則由級數收斂的柯西準則推論知道它也是發散的.5拉貝判別法 比試判別法和根式判別法是基于把所要判斷的級數與某一等比級數相比較的想法而得到的，也就是說，只是那些級數的通項收斂于零的速度比某一等比級數收斂速度快的級數，這兩個方法才能鑒定出它的收斂性，如果級數的通項收斂速度較慢，它們就無能

11、為力了，因此為了獲得判別范圍更大的一類級數，就必須尋找級數的通項收斂于零較慢的級數作為比較標準.定理 6（拉貝爾判別法） 設是正項級數，且存在自然數及常數r，（i）若對于一切，成立不等式 ，則級數收斂；（ii）若對于一切，成立不等式 ，則級數發散.拉貝判別法的極限形式：（1）當時，級數收斂；（2）當時，級數發散.（3）當時，拉貝判別法無法判斷結論比較審斂法是判別正項級數斂散性的一種常用且非常有效的方法.比較審斂法如果正項級數收斂，且滿足，則收斂；如果正項級數發散，且滿足，則發散；比較審斂法只適用于正項級數斂散性的判別，而尋求合適的級數是解題的關鍵.幾何級數和p-級數常用來充當比較審斂法中的級數

12、.例9 證明級數是收斂的.證由于，所以，而級數為p=2 的p-級數且收斂，故由比較審斂法，級數是收斂的.例10 判別下列級數的斂散性.分析這是一個典型的例題，通項是關于的一個有理分式。應注意分母和分子中的最高冪次之差，通項為關于的一個有理分式的級數和相應的p-級數有相同的斂散性。本題中這一差數為，故應和p=1的p-級數做比較.解，而級數與有相同的斂散性，即同時發散，故由比較審斂法，級數是收斂的.在例中，由于級數的通項比較復雜，使得斂散性的判別過程較為復雜，為使比較審斂法的應用更為方便，給出其極限形式.比較審斂法的極限形式設和為兩個正項級數，如果()，則級數和有相同的斂散性.如果正項級數發散，且

13、滿足，則發散；例11 判別級數的斂散性.解因為，故由比較審斂法的極限形式得知此級數收斂。如果不用比較審斂法的極限形式，例中的級數斂散性的判別較為困難.例12 用比較審斂法的極限形式判別例中的級數的斂散性.解因為，故由比較審斂法得知此級數收斂.比值審斂法設正項級數的后項與前項的比值的極限等于：，(9)則當時級數收斂；時級數發散.例13 判別級數的斂散性.解因為，故，從而.由比值審斂法可知級數發散.易知，當級數的通項含有階乘或出現在指數位置時，一般可用比值審斂法判別其斂散性.例14 判別級數的斂散性.分析此級數的通項中既含有的階乘，又含有和，所以可用比值審斂法判斷其斂散性.解因為，所以從而，由比值

14、審斂法可知，此級數收斂.當(3)中等于時，用比值審斂法不能判別級數的斂散性。可用其它方法判別其斂散性.根值審斂法設正項級數的通項的次方根的極限等于：，(10)則當時級數收斂；時級數發散.例16 證明級數收斂.分析當級數的通項中含有或類似的表達式時，通常采用根值審斂法判別級數的斂散性。證因為()故由根值審斂法得知所給級數收斂.以上給出了正項級數的各種判別法,對于給定的正項級數，可以按照以下順序對其斂散性進行判別：1首先觀察其通項是否趣于零，如果通項不趣于零，則級數發散.2如果通項趣于零，可根據級數通項的特點，考慮用比較審斂法、比值審斂法或根值審斂法.結束語數學分析作為數學系的重要專業基礎課程，對

15、學習好其他科目具有重要作用。級數理論是數學分析的重要組成部分，在實際生活中的運用也較為廣泛，如經濟問題等。而正項級數又是級數理論中重要的組成部分，級數的收斂性更是級數理論的核心問題，要想解決正項級數的求和問題必須先解決正項級數收斂性判斷。判斷正項級數的一般順序是先檢驗通項的極限是否為0，若為0則發散，若不為0則判斷級數的部分和是否有界，有界則收斂，否則發散。若級數的一般項可以進行適當的放縮則使用比較判別法，或可以找到其等價式用等價判別法。當通項具有一定的特點時，則根據其特點選擇適用的方法，如比值判別法、根式判別法或拉貝判別法。當上述方法都無法使用時，根據條件選擇積分判別法、柯西判別法、庫默判別

16、法或高斯判別法。庫默爾判別法可以推出比式判別法、拉貝爾判別法與伯爾特昂判別法。當無法使用根式判別法時，通常可以選用比式判別法，當比式判別法也無法使用時，使用比較判別法，若比較判別法還是無法判別時再使用充要條件進行斷。由此，我們可以得到正項級數的判別法是層層遞進使用的，每當一種判別法無法判斷時，就出現一種新的判別法來進行判斷，因此正項級數的判別法有無窮多種。正項級數收斂性判斷的方法雖然較多，但使用起來仍有一定的技巧，根據不同的題目特點分析、判斷選擇適宜的方法進行判斷，能夠最大限度的節約時間，提高效率，特別是一些典型問題，運用典型方法，才能事半功倍。本文歸納總結正項級數收斂性判斷的一些典型方法，比

17、較這些方法的不同特點，總結出一些典型的正項級數，根據不同的題目特點分析、判斷選擇適宜的方法進行判斷。正項級數收斂判別法也可用于判定負項級數及變號級數的絕對收斂性，也可以推廣到傅立葉級數的斂散性判別，在復變函數中也可以用于判定級數在復平面上的斂散性和收斂半徑。由于時間倉促，本文尚有許多不足之處，歡迎大家提出意見和建議，同時希望通過本文能加深學習者對正項級數的了解。參考文獻1 華東師范大學數學系編數學分析M北京：高等教育出版社，2001第3版2 陳傳璋數學分析M北京：高等教育出版社，1983，第2版3 毛一波閉區間套定理的推廣J渝西學院學報，2005，14(2)：26274陳欣. 關于數項級數求和的幾種特殊方法 J . 武漢工業學院學報，2002，4.5陳金梅. 冪級數求和法例談 J . 石家莊職業技術學院報，2005，9.6夏學啟. 貝努利數的簡明表達法 J . 蕪湖職業技術學院學報，2006，2.7吳良森等編著. 數學分析習題精解 M . 北京：科學出版社，2002，2.8費定暉，周學圣編著. 吉米多維奇數學分析習題集題解 M . 濟南：山東科學技術出版社，2005，1.9周應編著. 數學