1、專題08 一元一次方程及其應(yīng)用一、方程與整式、等式的區(qū)別（1）從概念來看：整式：單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。等式：用等號來表示相等關(guān)系的式子叫做等式。如2+3=5，mnnm等都叫做等式，而像3a+2b，3 m2n不含等號，所以它們不是等式，而是代數(shù)式。方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。如5x311。理解方程的概念必須明確兩點(diǎn)：是等式；含有未知數(shù)。兩者缺一不可。（2）從是否含有等號來看：方程首先是一個等式，它是用“”將兩個代數(shù)式連接起來的等式，而整式僅用運(yùn)算符號連接起來，不含有等號。（3）從是否含有未知量來看：等式必含有“”，但不一定含有未知量；方程既含有“”，又必須含有未知數(shù)。但整式必不含有等號，不

2、一定含有未知量，分為單項(xiàng)式和多項(xiàng)式。二、一元一次方程的概念1.一元一次方程：一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式是：ax+b=0(其中x是未知數(shù)，a,b是已知數(shù)，且a0)。要點(diǎn)詮釋：一元一次方程須滿足下列三個條件：（1）只含有一個未知數(shù)；（2）未知數(shù)的次數(shù)是1次；（3）整式方程注意：方程要化為最簡形式，且一次項(xiàng)系數(shù)不能為零。2.方程的解：判斷一個數(shù)是否是某方程的解,將其代入方程兩邊，看兩邊是否相等三、一元一次方程的解法1.方程的同解原理（等式的基本性質(zhì)）性質(zhì)1：等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式。性質(zhì)2：等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果仍是等式。注意

3、：分?jǐn)?shù)的分子、分母同時乘以或除以同一個不為0的數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變。2.解一元一次方程的一般步驟：（1）去分母。在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)，依據(jù)等式基本性質(zhì)2，注意防止漏乘（尤其整數(shù)項(xiàng)），注意添括號。（2）去括號。一般先去小括號，再去中括號，最后去大括號，依據(jù)去括號法則、分配律，注意變號，防止漏乘。（3）移項(xiàng)。把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊(記住移項(xiàng)要變號)，依據(jù)等式基本性質(zhì)1，移項(xiàng)要變號，不移不變號。（4）合并同類項(xiàng)。把方程化成axb(a0)的形式，依據(jù)合并同類項(xiàng)法則，計算要仔細(xì)，不要出差錯。（5）系數(shù)化為1。在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解xb/

4、a ,依據(jù)等式基本性質(zhì)2，計算要仔細(xì)，分子分母勿顛倒。說明：理解方程ax=b在不同條件下解的各種情況，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用:a0時，方程有唯一解xb/a ；a=0，b=0時，方程有無數(shù)個解；a=0，b0時，方程無解。四、列一元一次方程解應(yīng)用題1.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟：（1）審審題：認(rèn)真審題，弄清題意，找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系。（2）設(shè)設(shè)出未知數(shù)：根據(jù)提問，巧設(shè)未知數(shù)（3）列列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，利用等量關(guān)系寫出等式，即列方程。（4）解解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值（5）答檢驗(yàn)，寫答案：檢驗(yàn)所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實(shí)際，檢驗(yàn)后寫出答案，注意帶上單位。2.常

5、見的一些等量關(guān)系（1）行程問題：距離=速度·時間（2）工程問題：工作量=工效·工時（3）比率問題：部分=全體·比率（4）順逆流問題：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度（5）商品價格問題：售價=定價·折·，利潤=售價-成本，（6）周長、面積、體積問題：c圓=2r，c長方形=2(a+b)，c正方形=4a，s圓=r2，s長方形=ab， s正方形=a2，s環(huán)形=(r2-r2),v長方體=abc，v正方體=a3，v圓柱=r2h ，v圓錐=r2h.【例題1】（2020重慶）解一元一次方程12（x+1）1-13x時，去分母正確的是（）

6、a3（x+1）12xb2（x+1）13xc2（x+1）63xd3（x+1）62x【答案】d【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)將方程兩邊都乘以6可得答案【解析】方程兩邊都乘以6，得：3（x+1）62x，【對點(diǎn)練習(xí)】解方程：（1）4x=3（2x）；（2）【答案】見解析。【解析】（1）去括號得：4x=63x，移項(xiàng)得：x+3x=64，合并得：2x=2，系數(shù)化為1得：x=1（2）去分母得：5（x1）2（x+1）=2，去括號得：5x52x2=2，移項(xiàng)得：5x2x=2+5+2，合并得：3x=9，系數(shù)化1得：x=3【點(diǎn)撥】按照解一元一次方程的步驟解就可以，注意移項(xiàng)時正負(fù)號的變化?！纠}2】（2020杭州）以下是圓圓解

7、方程x+12-x-33=1的解答過程解：去分母，得3（x+1）2（x3）1去括號，得3x+12x+31移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得x3圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程【答案】見解析?！窘馕觥恐苯永靡辉淮畏匠痰慕夥ㄟM(jìn)而分析得出答案圓圓的解答過程有錯誤，正確的解答過程如下：去分母，得：3（x+1）2（x3）6去括號，得3x+32x+66移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得x3【對點(diǎn)練習(xí)】（2019湖南湘西）若關(guān)于x的方程3xkx+20的解為2，則k的值為【答案】4【解析】考查一元一次方程的解關(guān)于x的方程3xkx+20的解為2，3×22k+20，解得：k4【點(diǎn)撥】將解帶入方程，得到含有

8、k的方程，再解這個方程即可?！纠}3】（2020內(nèi)江）我國古代數(shù)學(xué)著作增刪算法統(tǒng)宗記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托折回索子卻量竿，卻比竿子短一托”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺設(shè)繩索長x尺則符合題意的方程是（）a12x（x5）5b12x（x+5）+5c2x（x5）5d2x（x+5）+5【答案】a【分析】設(shè)繩索長x尺，則竿長（x5）尺，根據(jù)“將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解【解析】設(shè)繩索長x尺，則竿長（x5）尺，依題意，得：12x（x5）5【對點(diǎn)練習(xí)】（20

9、19襄陽）九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)名著，卷七“盈不足”中有題譯文如下：今有人合伙買羊，每人出5錢，會差45錢；每人出7錢，會差3錢問合伙人數(shù)、羊價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x人，所列方程正確的是（）a5x457x3b5x+457x+3cd【答案】b 【解析】設(shè)合伙人數(shù)為x人，依題意，得：5x+457x+3【點(diǎn)撥】以養(yǎng)總價格為不變量列含有未知數(shù)的等式?！纠}4】（2019湖北黃石）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步”（出自九章算術(shù)）意思是：同樣時間段內(nèi)，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步假定兩者步長相等，據(jù)此回答以下問題：（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，問孰

10、至于前，兩者幾何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人開始追趕，當(dāng)走路慢的人再走600步時，請問誰在前面，兩人相隔多少步？（2）今不善行者先行兩百步，善行者追之，問幾何步及之？即：走路慢的人先走200步，請問走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？【答案】（1）當(dāng)走路慢的人再走600步時，走路快的人在前面，兩人相隔300步（2）走路快的人走500步才能追上走路慢的人【解析】（1）設(shè)當(dāng)走路慢的人再走600步時，走路快的人的走x步，根據(jù)同樣時間段內(nèi)，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步列方程求解即可。由題意得x：600100：60x10001000600100300所以當(dāng)走路慢的人

11、再走600步時，走路快的人在前面，兩人相隔300步（2）設(shè)走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根據(jù)同樣時間段內(nèi)，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及問題可列方程求解由題意得y200+yy500所以走路快的人走500步才能追上走路慢的人【對點(diǎn)練習(xí)】（2019湖南岳陽）岳陽市整治農(nóng)村“空心房”新模式，獲評全國改革開放40年地方改革創(chuàng)新40案例據(jù)了解，我市某地區(qū)對轄區(qū)內(nèi)“空心房”進(jìn)行整治，騰退土地1200畝用于復(fù)耕和改造，其中復(fù)耕土地面積比改造土地面積多600畝（1）求復(fù)耕土地和改造土地面積各為多少畝？（2）該地區(qū)對需改造的土地進(jìn)行合理規(guī)劃，因地制宜建設(shè)若干花卉園和休閑小廣場，要求

12、休閑小廣場總面積不超過花卉園總面積的，求休閑小廣場總面積最多為多少畝？【答案】見解析。【解析】（1）設(shè)改造土地面積是x畝，則復(fù)耕土地面積是（600+x）畝根據(jù)“復(fù)耕土地面積+改造土地面積1200畝”列出方程并解答；由題意，得x+（600+x）1200,解得x300則600+x900所以改造土地面積是300畝，則復(fù)耕土地面積是900畝。（2）設(shè)休閑小廣場總面積是y畝，則花卉園總面積是（300y）畝，根據(jù)“休閑小廣場總面積不超過花卉園總面積的”列出不等式并解答由題意，得y（300y）解得y75故休閑小廣場總面積最多為75畝所以休閑小廣場總面積最多為75畝【點(diǎn)撥】根據(jù)“復(fù)耕土地面積+改造土地面積12

13、00畝”列出方程并解答是正確思路。一、選擇題1（2020金華）如圖，在編寫數(shù)學(xué)謎題時，“”內(nèi)要求填寫同一個數(shù)字，若設(shè)“”內(nèi)數(shù)字為x則列出方程正確的是（）a3×2x+52xb3×20x+510x×2c3×20+x+520xd3×（20+x）+510x+2【答案】d【分析】直接利用表示十位數(shù)的方法進(jìn)而得出等式即可【解析】設(shè)“”內(nèi)數(shù)字為x，根據(jù)題意可得：3×（20+x）+510x+22.（2019貴州畢節(jié)）如果3ab2m1與9abm+1是同類項(xiàng)，那么m等于（）a2 b1 c1 d0【答案】a 【解析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義得出m的方程解答即可根據(jù)

14、題意可得：2m1m+1，解得：m23.（2019杭州）已知九年級某班30位學(xué)生種樹72棵，男生每人種3棵樹，女生每人種2棵樹，設(shè)男生有x人，則（）a2x+3（72x）30b3x+2（72x）30c2x+3（30x）72d3x+2（30x）72【答案】d【解析】設(shè)男生有x人，則女生（30x）人，根據(jù)題意可得：3x+2（30x）724（2020湖南長沙模擬）某車間有26名工人，每人每天可以生產(chǎn)800個螺釘或1000個螺母，1個螺釘需要配2個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套設(shè)安排x名工人生產(chǎn)螺釘，則下面所列方程正確的是（）a2×1000（26x）=800x b1000（13x）=80

15、0xc1000（26x）=2×800x d1000（26x）=800x【答案】c【解析】題目已經(jīng)設(shè)出安排x名工人生產(chǎn)螺釘，則（26x）人生產(chǎn)螺母，由一個螺釘配兩個螺母可知螺母的個數(shù)是螺釘個數(shù)的2倍從而得出等量關(guān)系，就可以列出方程由題意得1000（26x）=2×800x，故c答案正確。二、填空題5（2020衢州）一元一次方程2x+13的解是x【答案】1【分析】將方程移項(xiàng)，然后再將系數(shù)化為1即可求得一元一次方程的解【解答】解；將方程移項(xiàng)得，2x2，系數(shù)化為1得，x16（2020株洲）關(guān)于x的方程3x8x的解為x【答案】4【分析】方程移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、把x系數(shù)化為1，即可求出解【

16、解析】方程3x8x，移項(xiàng)，得3xx8，合并同類項(xiàng)，得2x8解得x47（2020武威）暑假期間，亮視眼鏡店開展學(xué)生配鏡優(yōu)惠活動某款式眼鏡的廣告如下，請你為廣告牌填上原價原價：元暑假八折優(yōu)惠，現(xiàn)價：160元【答案】200【分析】設(shè)廣告牌上的原價為x元，根據(jù)現(xiàn)價原價×折扣率，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論【解析】設(shè)廣告牌上的原價為x元，依題意，得：0.8x160，解得：x2008.（2019張家界）田畝比類乘除捷法是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中有一個數(shù)學(xué)問題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何”意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長與寬共

17、60步，問它的長比寬多多少步？根據(jù)題意得，長比寬多步【答案】12 【解析】設(shè)長為x步，寬為（60x）步，x（60x）864，解得，x136，x224（舍去），當(dāng)x36時，60x24，長比寬多：362412（步）9.方程（12x）=（3x+1）的解為_.【答案】x=【解析】這是一個帶分母的方程，所以要先去分母，再去括號，最后移項(xiàng)，化系數(shù)為1，從而得到方程的解7（12x）=3×2（3x+1）7+14x=18x+64x=13x=10.（2019貴州黔西南州）某品牌旗艦店平日將某商品按進(jìn)價提高40%后標(biāo)價，在某次電商購物節(jié)中，為促銷該商品，按標(biāo)價8折銷售，售價為2240元，則這種商品的進(jìn)價是

18、元【答案】2000【解析】一元一次方程的應(yīng)用。設(shè)這種商品的進(jìn)價是x元，由題意，得（1+40%）x×0.82240解得x200011.（2019貴州畢節(jié)）某品牌旗艦店平日將某商品按進(jìn)價提高40%后標(biāo)價，在某次電商購物節(jié)中，為促銷該商品，按標(biāo)價8折銷售，售價為2240元，則這種商品的進(jìn)價是元【答案】2000【解析】設(shè)這種商品的進(jìn)價是x元，根據(jù)提價之后打八折，售價為2240元，列方程解答即可由題意得，（1+40%）x×0.82240解得：x200012.（2019湖南湘西州）若關(guān)于x的方程3xkx+20的解為2，則k的值為【答案】4【解析】關(guān)于x的方程3xkx+20的解為2，3&

19、#215;22k+20，解得：k4三、解答題13.解方程：【答案】x=【解析】這是一個帶分母的方程，所以要先去分母，再去括號，最后移項(xiàng)，化系數(shù)為1，從而得到方程的解左右同乘12可得：32x（x1）=8（x1），化簡可得：3x+3=8x8，移項(xiàng)可得：5x=11，解可得x=故原方程的解為x=14解方程（1）4（x1）3（20x）=5（x2）；（2）x=2【答案】見解析。【解析】（1）去括號得：4x460+3x=5x10移項(xiàng)得：4x+3x5x=4+6010合并得：2x=54系數(shù)化為1得：x=27；（2）去分母得：6x3（x1）=122（x+2）去括號得：6x3x+3=122x4移項(xiàng)得：6x3x+2x=1243合并得：5x=5系數(shù)化為1得：x=115（2020攀枝花）課外活動中一些學(xué)生分組參加活動，原來每組6人，后來重新編組，每組8人，這樣就比原來減少2組，問這些學(xué)生共有多少人？【答案】見解析。【分析】設(shè)這些學(xué)生共有x人，先表示出原來和后來各多少組，其等量關(guān)系為后來的比原來的少2組，根據(jù)此列方程求解【解析】設(shè)這些學(xué)生共有x人，根據(jù)題意得x6-x8=2，解得x48答：這些學(xué)生共有48人16（2020涼山州）解方程：x-x-22=1+2x-13【答案】見解析。【分析】根據(jù)解一元