1、專題六二次函數(shù)壓軸題1.1.主要類型主要類型: :(1)(1)線段及周長最值問題線段及周長最值問題(2)(2)面積最值問題面積最值問題(3)(3)存在性問題探究存在性問題探究2.2.規(guī)律方法規(guī)律方法: :(1)(1)解決線段和的最小值或三角形周長最小問題解決線段和的最小值或三角形周長最小問題, ,主要主要依據(jù)是依據(jù)是“兩點之間兩點之間, ,線段最短線段最短”, ,具體方法是利用軸對具體方法是利用軸對稱將兩條線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長稱將兩條線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長, ,然后求出該條然后求出該條線段的長線段的長. .(2)(2)解決圖形面積的最值問題解決圖形面積的最值問題, ,通常先設(shè)出動點坐

2、標通常先設(shè)出動點坐標, ,然然后表示出圖形面積后表示出圖形面積, ,利用二次函數(shù)性質(zhì)來求最大值或最利用二次函數(shù)性質(zhì)來求最大值或最小值小值, ,表示不規(guī)則圖形的面積時表示不規(guī)則圖形的面積時, ,通常采用割補法把其通常采用割補法把其轉(zhuǎn)化為易于表示面積的圖形轉(zhuǎn)化為易于表示面積的圖形( (有一邊在坐標軸上或平行有一邊在坐標軸上或平行于坐標軸于坐標軸).).(3)(3)解決存在性問題要先假設(shè)結(jié)論成立解決存在性問題要先假設(shè)結(jié)論成立, ,然后根據(jù)所探然后根據(jù)所探究特殊圖形的有關(guān)性質(zhì)究特殊圖形的有關(guān)性質(zhì), ,利用分類討論的數(shù)學思想構(gòu)造利用分類討論的數(shù)學思想構(gòu)造全等或相似圖形全等或相似圖形, ,進而求出字母的取

3、值進而求出字母的取值. .3.3.滲透的思想滲透的思想: :分類討論、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)分類討論、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等與方程等. .類型一線段及周長最值問題類型一線段及周長最值問題【考點解讀【考點解讀】1.1.考查范疇考查范疇: :線段和周長最值問題主要包括線段和的最線段和周長最值問題主要包括線段和的最小值、周長和的最小值和線段差的最大值三種情況小值、周長和的最小值和線段差的最大值三種情況. .2.2.考查角度考查角度: :利用二次函數(shù)解析式確定有關(guān)點的坐標利用二次函數(shù)解析式確定有關(guān)點的坐標, ,結(jié)合某個動點考查兩條線段和或差的最值問題結(jié)合某個動點考查兩條線段和或差的最值問題

4、. .【典例探究【典例探究】典例典例1(20181(2018宜賓節(jié)選宜賓節(jié)選) )在平面直角坐標系在平面直角坐標系xoyxoy中中, ,已知已知拋物線的頂點坐標為拋物線的頂點坐標為(2,0),(2,0),且經(jīng)過點且經(jīng)過點(4,1),(4,1),如圖如圖, ,直線直線y= xy= x與拋物線交于與拋物線交于a,ba,b兩點兩點, ,直線直線l為為y=-1.y=-1.14(1)(1)求拋物線的解析式求拋物線的解析式. .(2)(2)在在l上是否存在一點上是否存在一點p,p,使使pa+pbpa+pb取得最小值取得最小值? ?若存在若存在, ,求出點求出點p p的坐標的坐標; ;若不存在若不存在, ,

5、請說明理由請說明理由. .【思路點撥【思路點撥】(1)(1)由拋物線的頂點坐標為由拋物線的頂點坐標為(2,0),(2,0),可設(shè)拋可設(shè)拋物線的解析式為物線的解析式為y=a(x-2)y=a(x-2)2 2, ,由拋物線過點由拋物線過點(4,1),(4,1),利用利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式. .(2)(2)聯(lián)立直線聯(lián)立直線abab與拋物線解析式組成方程組與拋物線解析式組成方程組, ,通過解方通過解方程組可求出點程組可求出點a,ba,b的坐標的坐標, ,作點作點b b關(guān)于直線關(guān)于直線l的對稱點的對稱點b,b,連接連接abab交直線交直線l于點于點p,p,此時

6、此時pa+pbpa+pb取得最小值取得最小值, ,根據(jù)點根據(jù)點b b的坐標可得出點的坐標可得出點bb的坐標的坐標, ,根據(jù)點根據(jù)點a,ba,b的坐標利用的坐標利用待定系數(shù)法可求出直線待定系數(shù)法可求出直線abab的解析式的解析式, ,再利用一次函數(shù)再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出點圖象上點的坐標特征即可求出點p p的坐標的坐標. .【自主解答【自主解答】略略【規(guī)律方法【規(guī)律方法】解決線段和最小值問題的方法解決線段和最小值問題的方法(1)(1)解題的基本依據(jù)是解題的基本依據(jù)是“兩點之間兩點之間, ,線段最短線段最短”, ,如圖所如圖所示示, ,若若a,ba,b是兩個定點是兩個定點, ,動點

7、動點p p在直線在直線m m上上, ,求求pa+pbpa+pb的最小的最小值的方法是值的方法是: :作點作點a a關(guān)于直線關(guān)于直線m m的對稱點的對稱點a,a,當當a,p,ba,p,b三點共線時三點共線時pa+pbpa+pb最小最小. .(2)(2)確定動點確定動點p p的位置后的位置后, ,再根據(jù)兩條直線的解析式聯(lián)立再根據(jù)兩條直線的解析式聯(lián)立組成方程組組成方程組, ,進而求出交點進而求出交點p p的坐標的坐標. .【題組過關(guān)【題組過關(guān)】1.(20191.(2019煙臺中考煙臺中考) )如圖如圖, ,頂點為頂點為m m的拋物線的拋物線y=axy=ax2 2+ +bx+3bx+3與與x x軸交于

8、軸交于a(-1,0),ba(-1,0),b兩點兩點, ,與與y y軸交于點軸交于點c,c,過點過點c c作作cdycdy軸交拋物線于另一點軸交拋物線于另一點d,d,作作dexdex軸軸, ,垂足為點垂足為點e,e,雙雙曲線曲線y= (x0)y= (x0)經(jīng)過點經(jīng)過點d,d,連接連接md,bd.md,bd.6x(1)(1)求拋物線的解析式求拋物線的解析式. .(2)(2)點點n,fn,f分別是分別是x x軸軸,y,y軸上的兩點軸上的兩點, ,當以當以m,d,n,fm,d,n,f為頂點為頂點的四邊形周長最小時的四邊形周長最小時, ,求出點求出點n,fn,f的坐標的坐標. .(3)(3)動點動點p

9、p從點從點o o出發(fā)出發(fā), ,以每秒以每秒1 1個單位長度的速度沿個單位長度的速度沿ococ方方向運動向運動, ,運動時間為運動時間為t t秒秒, ,當當t t為何值時為何值時,bpd,bpd的度數(shù)最的度數(shù)最大大?(?(請直接寫出結(jié)果請直接寫出結(jié)果) )略略2.(20192.(2019賀州中考賀州中考) )如圖如圖, ,在平面直角坐標系中在平面直角坐標系中, ,已知已知點點b b的坐標為的坐標為(-1,0),(-1,0),且且oa=oc=4ob,oa=oc=4ob,拋物線拋物線y=axy=ax2 2+ +bx+c(a0)bx+c(a0)圖象經(jīng)過圖象經(jīng)過a,b,ca,b,c三點三點. .世紀金榜

10、導學號世紀金榜導學號(1)(1)求求a,ca,c兩點的坐標兩點的坐標. .(2)(2)求拋物線的解析式求拋物線的解析式. .(3)(3)若點若點p p是直線是直線acac下方的拋物線上的一個動點下方的拋物線上的一個動點, ,作作pdacpdac于點于點d,d,當當pdpd的值最大時的值最大時, ,求此時點求此時點p p的坐標及的坐標及pdpd的最大值的最大值. .【解析【解析】(1)oa=oc=4ob=4,(1)oa=oc=4ob=4,故點故點a,ca,c的坐標分別為的坐標分別為(4,0),(0,-4).(4,0),(0,-4).(2)(2)拋物線的解析式為拋物線的解析式為:y=a(x+1)(

11、x-4)=a(x:y=a(x+1)(x-4)=a(x2 2-3x-4),-3x-4),即即-4a=-4,-4a=-4,解得解得:a=1,:a=1,故拋物線的解析式為故拋物線的解析式為:y=x:y=x2 2-3x-4.-3x-4.(3)(3)直線直線caca過點過點c,c,設(shè)其函數(shù)解析式為設(shè)其函數(shù)解析式為:y=kx-4,:y=kx-4,將點將點a a坐坐標代入上式并解得標代入上式并解得:k=1,:k=1,故直線故直線caca的解析式為的解析式為:y=x-4,:y=x-4,過點過點p p作作y y軸的平行線交軸的平行線交acac于點于點h,h,oa=oc=4,oac=oca=45oa=oc=4,o

12、ac=oca=45, ,phyphy軸軸,phd=oca=45,phd=oca=45, ,設(shè)點設(shè)點p(x,xp(x,x2 2-3x-4),-3x-4),則點則點h(x,x-4),h(x,x-4),pd=hpsinphdpd=hpsinphd= (x-4-x= (x-4-x2 2+3x+4)= x+3x+4)= x2 2+ x,+ x, 0,pd 0,pd有最大值有最大值, ,當當x=2x=2時時, ,其最大值為其最大值為 , ,此時點此時點p(2,-6).p(2,-6).2222222 22 2類型二面積最值問題類型二面積最值問題【考點解讀【考點解讀】1.1.考查范疇考查范疇: :以二次函數(shù)為

13、背景以二次函數(shù)為背景, ,面積最值問題主要包面積最值問題主要包括三角形面積問題和四邊形面積問題括三角形面積問題和四邊形面積問題. .2.2.考查角度考查角度: :建立幾何圖形面積與動點的坐標的二次函建立幾何圖形面積與動點的坐標的二次函數(shù)關(guān)系數(shù)關(guān)系, ,然后確定最值然后確定最值. .【典例探究【典例探究】 典例典例2(20192(2019海南中考節(jié)選海南中考節(jié)選) )如圖如圖, ,已知拋物線已知拋物線y=axy=ax2 2+bx+5+bx+5經(jīng)過經(jīng)過a(-5,0),b(-4,-3)a(-5,0),b(-4,-3)兩點兩點, ,與與x x軸的另一軸的另一個交點為個交點為c,c,頂點為頂點為d,d,

14、連接連接cd.cd.(1)(1)求該拋物線的解析式求該拋物線的解析式. .(2)(2)點點p p為該拋物線上一動點為該拋物線上一動點( (與點與點b,cb,c不重合不重合),),設(shè)點設(shè)點p p的的橫坐標為橫坐標為t.t.當點當點p p在直線在直線bcbc的下方運動時的下方運動時, ,求求pbcpbc的面的面積的最大值積的最大值. .【自主解答【自主解答】(1)(1)將點將點a,ba,b坐標代入二次函數(shù)解析式得坐標代入二次函數(shù)解析式得: : 解得解得: : 故拋物線的解析式為故拋物線的解析式為:y=x:y=x2 2+6x+5+6x+5, ,25a5b5016a4b53 ，a1b6，(2)(2)令

15、令y=0,y=0,則則x=-1x=-1或或-5,-5,即點即點c(-1,0),c(-1,0),如圖如圖, ,過點過點p p作作y y軸的平行線交軸的平行線交bcbc于點于點g,g,將點將點b,cb,c的坐標代入一次函數(shù)解析式并解得的坐標代入一次函數(shù)解析式并解得: :直線直線bcbc的表達式為的表達式為:y=x+1:y=x+1, ,設(shè)點設(shè)點g(t,t+1),g(t,t+1),則點則點p(t,tp(t,t2 2+6t+5),+6t+5),s spbcpbc= pg(x= pg(xc c-x-xb b)= (t+1-t)= (t+1-t2 2-6t-5)= -6t-5)= 0,s 0,spbcpbc

16、有最大值有最大值, ,當當t= t= 時時, ,其最大值其最大值為為 12322315tt622 ，325227.8【規(guī)律方法【規(guī)律方法】解決面積最值問題的方法解決面積最值問題的方法(1)(1)首先設(shè)出動點的坐標為首先設(shè)出動點的坐標為(x,ax(x,ax2 2+bx+c).+bx+c).(2)(2)求有一邊在坐標軸或與坐標軸平行的圖形面積時求有一邊在坐標軸或與坐標軸平行的圖形面積時, ,用該邊為底邊用含用該邊為底邊用含x x的式子表示出來的式子表示出來, ,結(jié)合圖形可用結(jié)合圖形可用x x的的代數(shù)式表示出該邊上的高代數(shù)式表示出該邊上的高; ;求三邊不在坐標軸上的三角求三邊不在坐標軸上的三角形或不

17、規(guī)則圖形面積時形或不規(guī)則圖形面積時, ,要先采用割補的方法轉(zhuǎn)化成易要先采用割補的方法轉(zhuǎn)化成易于表示出面積的圖形于表示出面積的圖形. .(3)(3)用含有未知數(shù)用含有未知數(shù)x x的代數(shù)式表示圖形面積的代數(shù)式表示圖形面積. .(4)(4)利用二次函數(shù)的性質(zhì)來求最大值或最小值利用二次函數(shù)的性質(zhì)來求最大值或最小值. .【題組過關(guān)【題組過關(guān)】如圖如圖, ,在平面直角坐標系中在平面直角坐標系中, ,拋物線拋物線y=axy=ax2 2+bx-5+bx-5交交y y軸于軸于點點a,a,交交x x軸于點軸于點b(-5,0)b(-5,0)和點和點c(1,0),c(1,0),過點過點a a作作adxadx軸交軸交拋

18、物線于點拋物線于點d.d.(1)(1)求此拋物線的解析式求此拋物線的解析式. .(2)(2)點點e e是拋物線上一點是拋物線上一點, ,且點且點e e關(guān)于關(guān)于x x軸的對稱點在直線軸的對稱點在直線adad上上, ,求求eadead的面積的面積. .(3)(3)若點若點p p是直線是直線abab下方的拋物線上一動點下方的拋物線上一動點, ,當點當點p p運動運動到某一位置時到某一位置時, ,abpabp的面積最大的面積最大, ,求出此時點求出此時點p p的坐標的坐標和和abpabp的最大面積的最大面積. .略略類型三存在性問題探究類型三存在性問題探究【考點解讀【考點解讀】1.1.考查范疇考查范疇

19、: :以二次函數(shù)為背景的存在性問題包括探究以二次函數(shù)為背景的存在性問題包括探究等腰三角形、直角三角形、相似三角形和特殊四邊形等腰三角形、直角三角形、相似三角形和特殊四邊形的形狀的形狀. .2.2.考查角度考查角度: :考查是否存在某點考查是否存在某點, ,使圖形滿足某種特殊使圖形滿足某種特殊形狀形狀, ,根據(jù)圖形性質(zhì)解答問題根據(jù)圖形性質(zhì)解答問題. .【典例探究【典例探究】典例典例3 3已知拋物線已知拋物線y= y= 的圖象如圖所示的圖象如圖所示: :213xx22(1)(1)將該拋物線向上平移將該拋物線向上平移2 2個單位個單位, ,分別交分別交x x軸于軸于a,ba,b兩點兩點, ,交交y

20、y軸于點軸于點c,c,則平移后的解析式為則平移后的解析式為_._.(2)(2)判斷判斷abcabc的形狀的形狀, ,并說明理由并說明理由. .(3)(3)在拋物線對稱軸上是否存在一點在拋物線對稱軸上是否存在一點p,p,使得以使得以a,c,pa,c,p為為頂點的三角形是等腰三角形頂點的三角形是等腰三角形? ?若存在若存在, ,求出點求出點p p的坐標的坐標; ;若不存在若不存在, ,說明理由說明理由. .【思路點撥【思路點撥】(1)(1)根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律, ,可得新的可得新的函數(shù)解析式函數(shù)解析式. .(2)(2)根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關(guān)系根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關(guān)系

21、, ,可得可得a,b,ca,b,c的坐標的坐標, ,根據(jù)勾股定理及逆定理根據(jù)勾股定理及逆定理, ,可得答案可得答案. .(3)(3)根據(jù)等腰三角形的定義根據(jù)等腰三角形的定義, ,分類討論得到關(guān)于分類討論得到關(guān)于p p點縱坐點縱坐標的方程標的方程, ,解方程可得答案解方程可得答案. .【自主解答【自主解答】略略【規(guī)律方法【規(guī)律方法】探究等腰三角形存在性的方法探究等腰三角形存在性的方法(1)(1)假設(shè)結(jié)論成立假設(shè)結(jié)論成立. .(2)(2)分別表示三角形三條邊的長度分別表示三角形三條邊的長度, ,分三種情況進行討分三種情況進行討論論, ,根據(jù)兩邊相等列出方程根據(jù)兩邊相等列出方程, ,然后求出對應的未知數(shù)的然后求出對應的未知數(shù)的值值. .(3)(3)表示三邊長度往往需要用到點的坐標表示三邊長度往往需要用到點的坐標, ,要掌握拋物要掌握拋物線和直線與坐標軸的交點坐標求法線和直線與坐標軸的交點坐標求法, ,并