1、理解沖激信號的特性理解沖激信號的特性 第一章第一章 信號與系統信號與系統認識本課程領域的一些名詞、術語認識本課程領域的一些名詞、術語 學習信號運算規律、熟悉表達式與波形的對應關系學習信號運算規律、熟悉表達式與波形的對應關系了解本課程研究范圍、學習目標了解本課程研究范圍、學習目標 初步了解本課程用到的主要方法和手段初步了解本課程用到的主要方法和手段學習的主要內容：學習的主要內容： 什么是信號？什么是系統？為什么把這兩什么是信號？什么是系統？為什么把這兩個概念連在一起？個概念連在一起？系統的概念系統的概念1.1 1.1 緒論緒論第一章第一章 信號與系統信號與系統信號的概念信號的概念 l 消息消息

2、(message):l 信息信息 (information):l 信號信號 (signal):人們常常把來自外界的各種報道統稱為消息。人們常常把來自外界的各種報道統稱為消息。通常把消息中有意義的內容稱為信息。通常把消息中有意義的內容稱為信息。本課程中對本課程中對“信息信息”和和“消息消息”兩詞不加嚴格區分兩詞不加嚴格區分。信號是信息的載體，信號是信息的載體，通過信號傳遞信息。通過信號傳遞信息。一、信號的概念一、信號的概念信號實例 信號我們并不陌生。如信號我們并不陌生。如 剛才鈴聲剛才鈴聲聲信號聲信號，表示該上課了；，表示該上課了； 十字路口的紅綠燈十字路口的紅綠燈光信號光信號，指揮交通；，指揮

3、交通； 電視機天線接受的電視信息電視機天線接受的電視信息電信號電信號； 廣告牌上的廣告牌上的文字、圖象信號文字、圖象信號等等。等等。 信號的產生、傳輸和處理需要一定的物理裝置，信號的產生、傳輸和處理需要一定的物理裝置，這樣的物理裝置這樣的物理裝置常稱為系統。常稱為系統。l 一般而言，一般而言，系統系統( (system)system)是指若干相互關聯的是指若干相互關聯的事物組合而成具有特定功能的整體。事物組合而成具有特定功能的整體。 如手機、電視機、通信網、計算機網等都可以如手機、電視機、通信網、計算機網等都可以看成系統。它們所傳送的語音、音樂、圖象、文字看成系統。它們所傳送的語音、音樂、圖象

4、、文字等都可以看成信號。等都可以看成信號。l 系統的基本作用是對信號進行系統的基本作用是對信號進行傳輸和處理傳輸和處理。系統系統輸入信號輸入信號激勵激勵輸出信號輸出信號響應響應二、系統的概念二、系統的概念？信號處理對信號進行某種加工或變換。對信號進行某種加工或變換。目的：目的：l消除信號中的多余內容；消除信號中的多余內容；l濾除混雜的噪聲和干擾；濾除混雜的噪聲和干擾；l將信號變換成容易分析與識別的形式，便于估計和將信號變換成容易分析與識別的形式，便于估計和選擇它的特征參量。選擇它的特征參量。信號處理的應用已遍及許多科學技術領域。信號處理的應用已遍及許多科學技術領域。信號傳輸通信的目的是為了實現

5、消息的傳輸。通信的目的是為了實現消息的傳輸。l原始的光通信系統原始的光通信系統古代利用烽火傳送邊疆警報；古代利用烽火傳送邊疆警報；l聲音信號的傳輸聲音信號的傳輸擊鼓鳴金。擊鼓鳴金。l利用電信號傳送消息。利用電信號傳送消息。1837年，莫爾斯年，莫爾斯(F.B.Morse)發明電報；發明電報；1876年，貝爾年，貝爾(A.G.Bell)發明電話。發明電話。l利用電磁波傳送無線電信號。利用電磁波傳送無線電信號。1901年，馬可尼年，馬可尼(G.Marconi)成功地實現了橫渡大西洋成功地實現了橫渡大西洋的無線電通信；全球定位系統的無線電通信；全球定位系統GPS(Global Positioning

6、 System)；個人通信具有美好的發展前景。；個人通信具有美好的發展前景。 通信系統為傳送消息而裝設的全套技術設備為傳送消息而裝設的全套技術設備信號的描述信號的描述1.2 1.2 信號的描述和分類信號的描述和分類幾種典型確定性信號幾種典型確定性信號信號的分類信號的分類一、信號的描述一、信號的描述信號：信號：是信息的一種物理體現，它一般是隨時間是信息的一種物理體現，它一般是隨時間位位信號：信號：按物理屬性分：按物理屬性分：電信號電信號和和非電信號，非電信號，它們可它們可電信號的基本形式：電信號的基本形式：隨時間變化的電壓或電流。隨時間變化的電壓或電流。描述信號的描述信號的常用常用方法：方法：本

7、課程討論電信號本課程討論電信號-簡稱簡稱“信號信號”。（2 2）信號的圖形表示）信號的圖形表示-波形波形（1 1）表示為時間的函數）表示為時間的函數“信號信號”與與“函數函數”兩詞常相互兩詞常相互通用。通用。置變化的物理量。置變化的物理量。以以相互轉換。相互轉換。二、信號的分類二、信號的分類l 按實際用途劃分：按實際用途劃分：電視信號、雷達信號、控制信號、通信信號電視信號、雷達信號、控制信號、通信信號 信號的分類方法很多，可以從不同的角度對信信號的分類方法很多，可以從不同的角度對信號進行分類。號進行分類。l 按所具有的時間特性劃分：按所具有的時間特性劃分：確定信號和隨機信號；確定信號和隨機信號

8、； 連續信號和離散信號；連續信號和離散信號；周期信號和非周其信號；周期信號和非周其信號； 能量信號和功率信號；能量信號和功率信號；一維信號和多維信號；一維信號和多維信號； 因果信號與反因果信號；因果信號與反因果信號；實信號與復信號；實信號與復信號； 左邊信號與右邊信號。左邊信號與右邊信號。1. 確定信號和隨機信號確定信號和隨機信號可用確定的時間函數表示的信號：可用確定的時間函數表示的信號：f f( (t t) )隨機信號：隨機信號：確定性信號：確定性信號：偽隨機信號：偽隨機信號： 貌似隨機而遵循嚴格規律產生的信號：貌似隨機而遵循嚴格規律產生的信號：電子系統中的起伏電子系統中的起伏熱噪聲、雷電干

9、擾信號。熱噪聲、雷電干擾信號。但實際傳輸的信號是不確定的，常受但實際傳輸的信號是不確定的，常受到各種到各種干擾干擾及及噪聲噪聲的影響。的影響。取值具有不確定性的信號：取值具有不確定性的信號：偽隨機碼。偽隨機碼。 2. 連續信號和離散信號連續信號和離散信號l連續時間信號：連續時間信號：在一定的連續的時間范圍內，對于在一定的連續的時間范圍內，對于值域連值域連續續值域不連值域不連續續任意的時間值，都有對應的函數值任意的時間值，都有對應的函數值 “連續連續”指函數的指函數的定義域定義域時間連續，但可含時間連續，但可含間斷點間斷點簡稱連續信號。簡稱連續信號。，至于值域可連續也可不連續。，至于值域可連續也

10、可不連續。l離散時間信號：離散時間信號：僅在一些離散的瞬間才有定義的信號，簡稱離散信號。僅在一些離散的瞬間才有定義的信號，簡稱離散信號。 定義域定義域時間是離散的時間是離散的離散點間隔離散點間隔離散時刻離散時刻tk(k = 0,1,2,)有定義有定義 Tk= tk+1- -tk可以相等也可不等；可以相等也可不等；其余時間無定義。其余時間無定義。通常取等間隔通常取等間隔T，表示為，表示為f(kT)，簡寫為，簡寫為f(k)；等間隔的離散信號稱為等間隔的離散信號稱為序列序列，其中，其中k稱為序號稱為序號。上述離散信號可簡畫為：上述離散信號可簡畫為：用表達式可寫為：用表達式可寫為： k，k，k,k,k

11、,.k,k,kf其他04130221510211)(或寫為：或寫為：f(k)= ，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，k=0=0 對應某序號對應某序號k的序列值稱為第的序列值稱為第k k個樣點的個樣點的“樣值樣值”。 模擬信號、抽樣信號、數字信號數字信號：數字信號：模擬信號：模擬信號：抽樣信號：抽樣信號：量化量化Ot tf抽樣抽樣連續信號連續信號幅值幅值時間時間均連續均連續時間時間幅值幅值離散離散連續連續時間時間幅值幅值均離散均離散離散信號離散信號模擬信號模擬信號數字信號數字信號3. 周期信號和非周期信號周期信號和非周期信號 定義在定義在(- -，)區間，每隔一定時間區間，每隔一定時間T (

12、或或整數整數N），），按相同規律重復變化的信號。按相同規律重復變化的信號。連續周期信號連續周期信號f(t)滿足滿足 f(t) = f(t + mT)，m = 0,1,2,離散周期信號離散周期信號f(k)滿足滿足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,1,2,滿足上述關系的最小滿足上述關系的最小T T( (或整數或整數N N) )稱為該信號的稱為該信號的周期周期。不具有周期性的信號稱為不具有周期性的信號稱為非周期信號非周期信號。連續周期信號舉例例例 判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期。判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期。（1 1）f1(t) = sin2t + cos

13、3t （2）f2(t) = cos2t + sint分析分析 兩個周期信號兩個周期信號x(t)，y(t)的周期分別為的周期分別為T1和和T2，若其，若其周期之比周期之比T1/T2為有理數，則其和信號為有理數，則其和信號x(t)+y(t)仍然是周仍然是周期信號，其周期為期信號，其周期為T1和和T2的最小公倍數。的最小公倍數。解答解答解答（1）sin2t是周期信號，其角頻率和周期分別為是周期信號，其角頻率和周期分別為 1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= s cos3t是周期信號，其角頻率和周期分別為是周期信號，其角頻率和周期分別為 2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3)

14、 s由于由于T1/T2= 3/2為有理數，故為有理數，故f1(t)為周期信號，其周期為為周期信號，其周期為T1和和T2的最小公倍數的最小公倍數2。（2） cos2t 和和sint的周期分別為的周期分別為T1= s， T2= 2 s，由于，由于T1/T2為無理數，故為無理數，故f2(t)為非周期信號。為非周期信號。離散周期信號舉例1例例 判斷正弦序列判斷正弦序列f(k) = sin(k)是否為周期信號，若是，是否為周期信號，若是，確定其周期。確定其周期。解解 f (k) = sin(k) = sin(k + 2m) ， m = 0,1,2,mN)mN)sinsin (k (k 2 2 m mk

15、k sinsin式中式中稱為數字角頻率，單位：稱為數字角頻率，單位：rad。由上式可見：。由上式可見： 僅當僅當2/ 為整數時為整數時，正弦序列才具有周期，正弦序列才具有周期N = 2/ 。當當2/ 為有理數時為有理數時，正弦序列仍為具有周期性，但其周，正弦序列仍為具有周期性，但其周期為期為N= M(2/ )，M取使取使N為整數的最小整數。為整數的最小整數。當當2/ 為無理數時為無理數時，正弦序列為非周期序列。，正弦序列為非周期序列。離散周期信號舉例2例例 判斷下列序列是否為周期信號，若是，確定其周期。判斷下列序列是否為周期信號，若是，確定其周期。 （1）f1(k) = sin(3k/4) +

16、 cos(0.5k) （2）f2(k) = sin(2k)解解 （1 1）sin(3k/4) 和和cos(0.5k)的數字角頻率分別為的數字角頻率分別為 1 = 3/4 rad， 2 = 0.5 rad由于由于2/ 1 = 8/3， 2/ 2 = 4為有理數，故它們的周期為有理數，故它們的周期分別為分別為N1 = 8 ， N2 = 4，故，故f1(k) 為周期序列，其周期為為周期序列，其周期為N1和和N2的最小公倍數的最小公倍數8。 （2 2）sin(2k) 的數字角頻率為的數字角頻率為 1 = 2 rad；由于；由于2/ 1 = 為無理數，故為無理數，故f2(k) = sin(2k)為非周期

17、序列為非周期序列 。舉例由上面幾例可看出：由上面幾例可看出：連續正弦信號一定是周期信號，而正弦序列不一定連續正弦信號一定是周期信號，而正弦序列不一定是周期序列。是周期序列。兩連續周期信號之和不一定是周期信號，而兩周期兩連續周期信號之和不一定是周期信號，而兩周期序列之和一定是周期序列。序列之和一定是周期序列。例例1 1例例2 2例例3 3連續周期信號示例連續周期信號示例離散周期信號示例離散周期信號示例1離散周期信號示例離散周期信號示例24能量信號與功率信號能量信號與功率信號 將信號將信號f (t)施加于施加于1電阻上，它所消耗的瞬時功率電阻上，它所消耗的瞬時功率為為| f (t) |2，在區間，

18、在區間( , )的能量和平均功率定義為的能量和平均功率定義為（1）信號的能量）信號的能量E ttfEd)(2def（2）信號的功率）信號的功率P 222defd)(1limTTTttfTP 若信號若信號f (t)的能量有界，即的能量有界，即 E ,則稱其為能量有則稱其為能量有限信號，簡稱限信號，簡稱能量信號能量信號。此時。此時 P = 0 若信號若信號f (t)的功率有界，即的功率有界，即 P 0，則將，則將f ()右移；否則左移。右移；否則左移。如：如：3.信號的展縮(尺度變換） 將將 f (t) f (a t) ， 稱為對信號稱為對信號f (t)的的尺度變換尺度變換。t 2t 壓縮壓縮t

19、0.5t 擴展擴展離散信號：離散信號：由于由于 f (a k) 僅在為僅在為a k 為為整數整數時才有意義，時才有意義， 進行進行尺度尺度如：如：若若a 1 ，則波形沿橫坐標壓縮；若，則波形沿橫坐標壓縮；若0 a 1 ，則擴展，則擴展 。變換變換時可能會使時可能會使部分信號丟失部分信號丟失。因此一般不作波形的尺度變換。因此一般不作波形的尺度變換。4. 混合運算舉例例例1 1例例3 3平移與反轉相結合平移與反轉相結合平移、反轉、尺度變換相結合，正逆運算。平移、反轉、尺度變換相結合，正逆運算。 abtafbatftf例例2 2平移與尺度變換相結合平移與尺度變換相結合注意：注意：l 對正向運算，先平

20、移，后反轉和展縮不易出錯；對正向運算，先平移，后反轉和展縮不易出錯；意意一切變換都是相對一切變換都是相對t而言；而言；對逆運算，反之。對逆運算，反之。l 混合運算時，三種運算的次序可任意。但一定要注混合運算時，三種運算的次序可任意。但一定要注平移與反轉平移與反轉相結合相結合舉例例例 已知已知f (t)如圖所示，畫出如圖所示，畫出 f (2 t)。 解答解答 法一法一：先平移先平移f (t) f (t +2) 再反轉再反轉 f (t +2) f ( t +2)法二法二：先反轉先反轉 f (t) f ( t) 再右移再右移 f ( t) f ( t +2)左移左移右移右移= f (t 2)平移與展

21、縮平移與展縮相結合相結合舉例例例 已知已知f (t)如圖所示，畫出如圖所示，畫出 f (3t + 5) 解答解答Ot)(tf1 11t)5( tf6 14 5 Ot)53( tf12 34 時移時移 尺度尺度變換變換尺度尺度變換變換時移時移平移、展縮、反折平移、展縮、反折相結合相結合舉例例例 已知已知f (t)如圖所示，畫出如圖所示，畫出 f (- - 2t - - 4)。 解答解答壓縮，得壓縮，得f (2t 4)反轉，得反轉，得f ( 2t 4)右移右移4，得，得f (t 4)也可以也可以先壓縮、再平移、最后反轉先壓縮、再平移、最后反轉。壓縮，得壓縮，得f (2t)右移右移2，得，得f (2

22、t 4)反轉，得反轉，得f ( 2t 4)三微分和積分Ot tf2 2 Ot1 2 tf 1 2 2 Ot tf2 2 Ot1 tf d2 2 ddd tfttftf積積分分：，微微分分：沖激信號沖激信號l 階躍函數；階躍函數；l 沖擊函數；沖擊函數；l 階躍序列和單位樣值序列。階躍序列和單位樣值序列。1.4 1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數 函數本身有不連續點函數本身有不連續點( (跳變點跳變點) )或其導數與積或其導數與積分有不連續點的一類函數統稱為分有不連續點的一類函數統稱為奇異信號奇異信號或或奇異奇異函數。函數。一、一、單位階躍函數電路如圖：電路如圖：持續下去。持續下去。1

23、. 1. 定義定義 00)0(1)(tttut)(tu在在t=0t=0時刻，電路接入電源，時刻，電路接入電源，波形圖如上圖：波形圖如上圖：注意：注意：在在t=0處，發生跳變處，發生跳變,未定義未定義或或1/2。單位階躍函數單位階躍函數1且無限且無限2. 延遲單位階躍信號延遲單位階躍信號0 ,10)(0000 ttttttt 0 , 1 0)(0000 ttttttt 0100)(ttt 3. 階躍函數的性質階躍函數的性質（1）可以方便地表示某些信號）可以方便地表示某些信號 f(t) = (t) -(t-T) （2）用階躍函數表示信號的作用區間）用階躍函數表示信號的作用區間 (a)(b)f (t

24、)f(t) (t)oottot(c)f(t) (t- -t1)- - (t- -t2)t1t2（3）積分）積分 )(d)(ttt f(t) t1Tf(t) t 1 二二單位沖激函數 單位沖激函數單位沖激函數是個是個奇異函數奇異函數，它是對強度極大，它是對強度極大，l 矩形脈沖演變為沖擊函數；矩形脈沖演變為沖擊函數；l 狄拉克（狄拉克（Dirac)Dirac)定義定義；定義定義；l 沖擊函數與階躍函數關系；沖擊函數與階躍函數關系；l 沖擊函數的性質。沖擊函數的性質。作用時間極短一種物理量的理想化模型。作用時間極短一種物理量的理想化模型。1.矩形脈沖演變為沖擊函數矩形脈沖演變為沖擊函數(t)(li

25、m)(0deftpt 1含義：含義：寬為寬為 , ,高為高為/1/1 , ,面積為面積為1 1 變化：變化： 面積面積1 1不變，脈沖寬度不變，脈沖寬度 脈沖幅度脈沖幅度 t 0單位沖擊函數單位沖擊函數函數，在函數，在t=0點有一點有一“沖激沖激”，在在t=0t=0點以外各處，函數值為零。點以外各處，函數值為零。)(t 0 /1 注意：注意：如果矩形面積如果矩形面積=E，)(t )(t E沖激強度為沖激強度為E矩形脈沖矩形脈沖 如右圖：如右圖： )(tp )(tp 2. 狄拉克(Dirac)定義 1d)(0 0)(tttt 1d)(d)(00 tttt 函數值只在函數值只在t = 0時不為零；

26、時不為零； 積分面積為積分面積為1 1； t =0 時，時， ，為無界函數。，為無界函數。 t 3. (t)與與(t)的關系的關系tttd)(d)( tt d)()(求導求導積分積分引入沖激函數之后，間斷點的導數也存在引入沖激函數之后，間斷點的導數也存在f(t) = 2(t +1)- -2(t - -1)f(t) = 2(t +1)- -2(t - -1)求導求導三三 沖激函數的性質沖激函數的性質l 取樣性取樣性l 沖擊偶沖擊偶l 尺度變換尺度變換l 復合函數形式的沖擊函數復合函數形式的沖擊函數1. 取樣性(篩選性)()0()()(tftft 對于平移情況：對于平移情況： )(d)()(00t

27、fttftt 如果如果f f( (t t) )在在t t = 0= 0處連續，且處處有界，則有處連續，且處處有界，則有 )0(d)()(fttft )()()()(000tttftttf 取樣性證明分分t = 0和和t 0 兩種情況兩種情況討論討論 1. 當當t 0 時，時， (t)= 0， f(t)(t)= 0，積分結果為積分結果為0 0 2. 當當t = 0 時，時， (t) 0，f(t)(t)= f(0)(t) ， 00)0(d)()0(d)()0( fttfttf 積積分分為為 )0(d)()( fttft 即即)()0()()(tftft 取樣性質舉例)(22)()4sin()()4

28、sin(tttt ?d)1()4sin(03 ttt ?d)()4sin(91 ttt ?d)(211 t?d)()1(12 t 022 其它其它, 011,2tt(t) )(e2)()(e2)(e)(edd2222tttttttttt 22d)()4sin( ttt 2.沖激偶 規則函數求極限定義規則函數求極限定義S(t)tt)(/t 0 0 求求導導t)(t S/ /(t)t2/1 2/1 /1 求求導導沖激偶的性質)0( d)()( fttft dtttfttf)()( )()( dttft)()( f(t)(t) = f(0)(t) f (0) (t) 證明證明 f(t)(t) = f

29、(t)(t) + f (t) (t) f(t)(t) = f(t)(t) f (t) (t) = f(0)(t) f (0) (t) 證明證明 )0( f )()0()()(tftft )0(d)()(fttft 沖激偶的性質)0( d)()( fttft )0()1(d)()()()(nnnfttft )( d)()( 00tfttftt (n)(t)的定義：的定義：(t)的平移：的平移： tttt d)( 0d)(tt 不能按常規函數對待不能按常規函數對待t)(/t + +、- -面積抵消面積抵消3. 對(t)的尺度變換)(1|1)()()(taaatnnn taat 1 證明證明 taa

30、at 11推論推論:(1)(|1)(taat )(|1)(00attatat(2t) = 0.5 (t) )()1()()()(ttnnn 當當a = 1時時 ( t) = (t) 為偶函數，為偶函數， ( t) = (t)為奇函數為奇函數舉例舉例(2)沖激信號尺度變換的證明Ot tp 12 2 Ot atp 1a2 a a2 , 0時時 ,ttp)()( )(1)(taatp 從從 定義看：定義看： )(t p(t)面積為面積為1， 強度為強度為1 t p(at)面積為面積為 ， 強度為強度為 a1a1 at 沖激信號尺度變換舉例例例1?d)2)(5(2ttt54的的波波形形。請請畫畫出出的

31、的波波形形，已已知知信信號號)()25(tftf 例例2舉例已知已知f(t)，畫出，畫出g(t) = f (t)和和 g(2t) 求導求導 o2tf (t)-24(4)o2tg(t) = f (t)-2-1(2)o1tg(2t)-1-1壓壓縮縮4. 復合函數形式的沖激函數復合函數形式的沖激函數 實際中有時會遇到形如實際中有時會遇到形如f(t)的沖激函數，其的沖激函數，其中中f(t)是普通函數。并且是普通函數。并且f(t) = 0有有n個互不相等的個互不相等的實根實根 ti ( i=1，2，n) ttftftftd)(d)()(dd )(dd)( 1)(tfttftf (t2 4)=1 (t+2

32、)+(t 2)f (t)t- -4- -22o1 f (t) 2- -2tof(t)圖示說明圖示說明 例例f(t)= t2 4 )2(41)2(41)2(221)2(221)2()2(21)4(dd21422ttttttttttt一般地，一般地，niiitttftf1)()( 1)(這表明，這表明，f(t)是位于各是位于各ti處，強度為處，強度為 的的n個個沖激函數構成的沖激函數序列。沖激函數構成的沖激函數序列。 )( 1itf)21(41)21(41)14(2 ttt 注意注意：如果：如果f(t)=0有重根，有重根，f(t)無意義。無意義。 ( t 2 4) =1 (t+2)+(t 2)沖激

33、函數的性質總結（1 1）取樣性）取樣性 )0(d)()(ftttf )()0()()(tfttf （2 2）奇偶性）奇偶性 )()(tt （3 3）比例性）比例性 taat 1)( （4 4）微積分性質）微積分性質tttd)(d)()(d)(tt（5 5）沖激偶）沖激偶 0d)(tt tttt)(d)( )()0()()0()()(tftfttf )0(d)()(ftttf 四. 序列序列(k)和和(k)(k 這兩個序列是這兩個序列是普通序列普通序列-非奇異函數非奇異函數1. 1. 單位單位( (樣值樣值) )序列序列(k) 0, 00, 1)(defkkk 取樣性質：取樣性質：f(k)(k)

34、 = f(0)(k)0()()(fkkfk f(k)(k k0) = f(k0)(k k0) 例例?)( kk ?)()5( kkk ?)( iik 定定義義k1 1-1-1-2-22 20 01 12. 單位階躍序列單位階躍序列(k) 定義定義 0, 00, 1)(defkkk o11-1k (k)23(k)與與(k)的關系的關系(k) = (k) (k 1) kiik)()( 或或 0)()(jjkk (k) = (k)+ (k 1)+定義定義l 系統的分類系統的分類l 系統的數學模型系統的數學模型l 系統的框圖描述系統的框圖描述1.5 系統的描述系統的描述一、一、系統的分類1.1.廣義定

35、義：廣義定義：是一個是一個由若干個有相互關聯的單元組合由若干個有相互關聯的單元組合而成的具有特定功能而成的具有特定功能的整體。的整體。如：如：通信系統、控制系統、計算機系統，但要注意通信系統、控制系統、計算機系統，但要注意其其概念概念很寬泛，不僅僅限于電路、通信等方面很寬泛，不僅僅限于電路、通信等方面課程：課程：電路、網絡、系統通用電路、網絡、系統通用2.2.系統的分類：系統的分類： 可以從多種角度來觀察、分析研究系統的特征，可以從多種角度來觀察、分析研究系統的特征，提出對系統進行分類的方法。提出對系統進行分類的方法。系統的分類 連續系統與離散系統連續系統與離散系統 動態系統與即時系統動態系統

36、與即時系統 但輸入單輸出與多輸入多輸出系統但輸入單輸出與多輸入多輸出系統 線性系統與非線性系統線性系統與非線性系統 時不變與時變系統時不變與時變系統 因果系統與非因果系統因果系統與非因果系統 穩定系統與不穩定系統穩定系統與不穩定系統常用分類方法：常用分類方法：系統的分類系統的分類 連續連續(時間時間)系統系統：系統的激勵和響應均為連續信號；系統的激勵和響應均為連續信號； 離散離散(時間時間)系統系統：系統的激勵和響應均為離散信號；系統的激勵和響應均為離散信號； 混合系統混合系統：連續系統與離散系統的組合；連續系統與離散系統的組合；是連續信號，一個為離散是連續信號，一個為離散信號。信號。 如如A

37、/D，D/A變換器，變換器，系統的激勵和響應一個是系統的激勵和響應一個是. .連續系統與離散系統連續系統與離散系統系統的分類系統的分類 若系統在任一時刻的響應不僅與該時刻的激勵若系統在任一時刻的響應不僅與該時刻的激勵有關，而且與它過去的歷史狀況有關有關，而且與它過去的歷史狀況有關，則稱為則稱為動態動態系統系統或或記憶系統記憶系統。 如：如：含有記憶元件含有記憶元件( (電容、電感等電容、電感等) )的電路是動態系統的電路是動態系統 否則稱：否則稱：即時系統即時系統或或無記憶系統無記憶系統（電阻串并聯）。（電阻串并聯）。 . .動態系統與即時系統動態系統與即時系統課程：課程：動態系統動態系統 二

38、、二、系統的數學模型 連續系統解析描述：連續系統解析描述：微分方程微分方程 離散系統解析描述：離散系統解析描述：差分方程差分方程1. 連續系統的解析描述連續系統的解析描述 圖示圖示RLC電路，以電路，以uS(t)作激勵，以作激勵，以uC(t)作為響作為響應，由應，由KVL和和VAR列方程，并整理得列方程，并整理得22dddd(0 )(0 )CCCSCCuuLCRCuuttuu，二階常系數線性微分方程二階常系數線性微分方程)()(d)(dd)(d01222tftyattyattya抽去具有的物理含義，微分方程寫成抽去具有的物理含義，微分方程寫成這個方程這個方程也可以描述下面的一個也可以描述下面的

39、一個二階機械減振系統二階機械減振系統機械減振系統機械減振系統其中，其中，k為彈簧常數，為彈簧常數，M為物體質為物體質量，量，C為減振液體的阻尼系數，為減振液體的阻尼系數，x為物體偏離其平衡位置的位移，為物體偏離其平衡位置的位移，f(t)為初始外力。其運動方程為為初始外力。其運動方程為)()(d)(dd)(d22tftkxttxCttxM 能用相同方程描述的系統稱為：能用相同方程描述的系統稱為：物理系統不同：物理系統不同： 數學模型相同數學模型相同2. 離散系統的解析描述離散系統的解析描述例：某人每月例：某人每月初初在銀行存入一定數量的款，月息為在銀行存入一定數量的款，月息為元元/月，求第月，求

40、第k個月初存折上的款數。個月初存折上的款數。 設第設第k個月初的款數為個月初的款數為y(k),這個月初的存款為這個月初的存款為f(k),上個上個月初的款數為月初的款數為y(k- -1)，利息為，利息為y(k- -1),則則 y(k)= y(k- -1)+y(k- -1)+f(k) 即：即： y(k)- -(1+)y(k- -1) = f(k)若設開始存款月為若設開始存款月為k=0，則有，則有y(0)= f(0)。 上述方程就稱為上述方程就稱為y(k)與與f(k)之間所滿足的差分方程。之間所滿足的差分方程。所謂所謂差分方程差分方程是指由未知輸出序列項與輸入序列項構成是指由未知輸出序列項與輸入序列

41、項構成的方程。未知序列項變量最高序號與最低序號的差數，的方程。未知序列項變量最高序號與最低序號的差數，稱為稱為差分方程的階數差分方程的階數。上述為。上述為一階差分方程。一階差分方程。由由n階差分方程描述的系統稱為階差分方程描述的系統稱為n階系統。階系統。三三系統的框圖描述l 連續系統的基本單元連續系統的基本單元l 離散系統的基本單元離散系統的基本單元l 系統模擬系統模擬系統的模型（微分方程、差分方程）：系統的模型（微分方程、差分方程）：微分微分差分差分運算運算包含包含表示表示單元符號并連接成系統單元符號并連接成系統加法加法乘法乘法1. 連續系統的基本單元連續系統的基本單元延延時時器器加加法法器

42、器積積分分器器數數乘乘器器乘乘法法器器注意：沒有微分器？注意：沒有微分器？實際：用積分單元代替實際：用積分單元代替2. 離散系統的基本單元離散系統的基本單元加法器加法器遲延單元遲延單元數乘器數乘器3. 系統模擬系統模擬實際系統實際系統方程方程模擬框圖模擬框圖 實驗室實現（模擬系統）實驗室實現（模擬系統）指導實際系統設計指導實際系統設計例例1 1例例2 2例例3 3例例4 4方程方程框圖用變換域方法和梅森公式簡單，后面討論?？驁D用變換域方法和梅森公式簡單，后面討論。由微分方程畫框圖例1例例1：已知已知y”(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，畫框圖。，畫框圖。解：解：將方程寫為將方

43、程寫為 y”(t) = f(t) ay(t) by(t)由微分方程畫框圖例2例2 請畫出如下微分方程所代表的系統的系統框圖請畫出如下微分方程所代表的系統的系統框圖。)(d)(d)(2d)(d3d)(d22tfttftyttytty)(d)(d)(2d)(d3d)(d22tfttftyttytty解：解：ttfttfttyttytyd)(d)(d)(2d)(3)( 32 解法二解解2：該方程含該方程含f(t)的導數，可引入輔助函數畫出框圖。的導數，可引入輔助函數畫出框圖。設輔助函數設輔助函數x(t)滿足滿足 x”(t) + 3x(t)+ 2x(t) = f(t) 可推導出可推導出 y(t) =

44、x(t) + x(t)，它滿足原方程。，它滿足原方程。例3由框圖寫微分方程例例3：已知框圖，寫出系統的微分方程。已知框圖，寫出系統的微分方程。設輔助變量設輔助變量x(t)如圖如圖x(t)x(t)x”(t)x”(t) = f(t) 2x(t) 3x(t) ,即即x”(t) + 2x(t) + 3x(t) = f(t) y(t) = 4x(t)+ 3x(t)根據前面，逆過程，得根據前面，逆過程，得 y”(t) + 2y(t) + 3y(t) = 4f(t)+ 3f(t)例4由框圖寫差分方程例例4：已知框圖，寫出系統的差分方程。已知框圖，寫出系統的差分方程。解：解：設輔助變量設輔助變量x(k)如圖如

45、圖x(k)x(k-1)x(k-2)即即 x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k) y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消去消去x(k) ，得，得 y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2) x(k)= f(k) 2x(k-1) 3x(k-2)l 系統的特性系統的特性l 系統的分析方法系統的分析方法1.6 系統的特性與分析方法系統的特性與分析方法一、系統的特性 連續系統與離散系統連續系統與離散系統 動態系統動態系統與即時系統與即時系統 但輸入單輸出與多輸入多輸出系統但輸入單輸出與多輸入多輸出系統 線性系統與非線性系統線性系

46、統與非線性系統 時不變與時變系統時不變與時變系統 因果系統與非因果系統因果系統與非因果系統 穩定系統與不穩定系統穩定系統與不穩定系統常用分類方法：常用分類方法： 系統的特性系統的特性 線性性質線性性質 時不變性時不變性 因果性因果性 穩定性穩定性1. 1. 線性線性 y(t): y(t):系統的響應、系統的響應、f(t):f(t):系統的激勵系統的激勵 線性性質：線性性質：齊次性齊次性和和可加性可加性可加性：可加性：齊次性齊次性：f() y() y() = T f () f () y() a f() a y() f1() y1() f2() y2() f1() +f2() y1()+y2()

47、af1() +bf2() ay1()+by2() 綜合，線性性質：綜合，線性性質：線性系統的條件線性系統的條件 動態系統動態系統響應響應不僅與激勵不僅與激勵 f () 有關，而且與有關，而且與可分解性可分解性 零狀態線性零狀態線性 y () = T f () , x(0) yzi()=T0，x(0)， yzs() = T f () , 0零輸入線性零輸入線性 動態系統動態系統是線性系統，要滿足下面是線性系統，要滿足下面3個條件：個條件：系統的系統的初始狀態初始狀態x(0)有關有關, 初始狀態也稱初始狀態也稱“內部激內部激勵勵”。線性系統的條件線性系統的條件可分解性：可分解性： y () = y

48、zi()+ yzs() 零狀態線性：零狀態線性： Taf1(t) +bf2(t) , 0 = aT f1 () , 0 +bT f2 () , 0 y () = T f () , x(0) yzi()=T0，x(0)， yzs() = T f () , 0零輸入線性：零輸入線性：T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0)舉例舉例1 1舉例舉例2 2線性線性系統（連續、離散）系統（連續、離散） 線性線性微分（差分）方程微分（差分）方程 判斷線性系統舉例例例1：判斷下列系統是否為線性系統？判斷下列系統是否為線性系統？ （1） y (t) = 3 x(0) +

49、2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)| （3） y (t) = x2(0) + 2 f (t)解解： （1） yzs(t) = 2 f (t) +1， yzi(t) = 3 x(0) + 1顯然，顯然， y (t) yzs(t) yzi(t) 不滿足可分解性，故為非線性不滿足可分解性，故為非線性（2） yzs(t) = | f (t)|， yzi(t) = 2 x(0) y (t) = yzs(t) + yzi(t) 滿足可分解性；滿足可分解性；由于由于 Ta f (t) , 0 = | af (t)| a yzs(t) 不

50、滿足零狀態線性。不滿足零狀態線性。故為非線性系統。故為非線性系統。（3） yzi(t) = x2(0)，T 0,a x(0) =a x(0)2 a yzi(t)不滿不滿足零輸入線性。故為非線性系統。足零輸入線性。故為非線性系統。例例2：判斷下列系統是否為線性系統？：判斷下列系統是否為線性系統？xxfxxtyttd)()sin()0(e)(0解：解：xxfxtyxtytzstzid)()sin()(),0(e)(0y (t) = yzs(t) + yzi(t) ， 滿足可分解性；滿足可分解性；Ta f1(t)+ b f2(t) , 0 xxfxxxfxxxfxfxtttd)()sin(bd)()

51、sin(ad)(b)()asin(0201021= aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，滿足零狀態線性；滿足零狀態線性；T0,ax1(0) + bx2(0) = e- -tax1(0) +bx2(0) = ae- -tx1(0)+ be- -tx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0), 滿足零輸入線性；滿足零輸入線性；所以，所以，該系統為線性系統。該系統為線性系統。2. 時不變性時不變性 時不變系統時不變系統：系統參數不隨時間變化系統參數不隨時間變化線性系統線性系統時不變時不變常系數微分方程常系數微分方程時變時變變系數微分方程變系數微分方程線性時不變系統：線性時不

52、變系統：yzs() = T f () , 0yzs( t-td) = T f (t-td) , 0yzs(k-kd) = T f (k-kd) , 0時不變性時不變性 f(t - - td) yzs(t - - td) f(t ) yzs(t ) 舉舉例例判斷時不變系統舉例例：例：判斷下列系統是否為時不變系統？判斷下列系統是否為時不變系統？ （1） yzs(k) = f (k) f (k 1) （2） yzs (t) = t f (t) （3） y zs(t) = f ( t)解解 (1) 令令g (k) = f(k kd) T0， g (k) = g(k) g (k 1) = f (k kd

53、) f (kkd 1 ) 而而 yzs (k kd) = f (k kd) f (kkd 1) 顯然顯然 T0，f(k kd) = yzs (k kd) 故該系統是時不變的。故該系統是時不變的。 (2) 令令g (t) = f(t td) T0， g (t) = t g (t) = t f (t td) 而而 yzs (t td)= (t td) f (t td) 顯然顯然T0，f(t td) yzs (t td) 故該系統為時變系統故該系統為時變系統(3) yzs(t) = f ( t) 令令g (t) = f(t td) , T0，g (t) = g ( t) = f( t td) 而而

54、yzs (t td) = f ( t td) 顯然顯然 T0，f(t td) yzs (t td) 故該系統為時變系統故該系統為時變系統直觀判斷方法：直觀判斷方法： 若若f ()前出現變系數，或有反轉、展縮變換，則前出現變系數，或有反轉、展縮變換，則系統為時變系統。系統為時變系統。 LTI系統的微分特性和積分特性系統的微分特性和積分特性本課程重點：本課程重點：討論線性時不變系統討論線性時不變系統。（2 2）微分特性）微分特性： 證證明明(Linear Time-Invariant)，簡稱，簡稱LTI系統。系統。（1 1）線性性質：）線性性質：齊次性和可加性齊次性和可加性(3) (3) 積分特性

55、積分特性：若若 f (t) yzs(t) f (t) yzs (t) 若若 f (t) yzs(t) ttzsdxxydxxf)()(3. 因果性因果性 因果系統：因果系統：即因果系統即因果系統: 激勵是原因，響應是結果，響應是不激勵是原因，響應是結果，響應是不輸出不超前于輸入輸出不超前于輸入。 判斷方法：判斷方法：舉舉例例綜合舉例綜合舉例指零狀態響應不會出現在激勵之前的系統。指零狀態響應不會出現在激勵之前的系統。有有t t0 ，yzs(t) = 0t =t0時時f(t)加入：加入： 可能在激勵施加之前出現的?？赡茉诩钍┘又俺霈F的。因果系統判斷舉例如下列系統均為如下列系統均為因果系統：因果

56、系統： txxftyzsd)()(yzs(t) = 3f(t 1)而下列系統為而下列系統為非因果系統：非因果系統：(1) yzs(t) = 2f(t + 1)(2) yzs(t) = f(2t)因為，令因為，令t=1時，有時，有yzs(1) = 2f(2)因為，若因為，若f(t) = 0， t t0 ，有，有yzs(t) = f(2t)=0, t 0.5 t0 。因果系統與非因果系統因果系統與非因果系統 實際的物理可實現系統均為因果系統 非因果系統的概念與特性也有實際的意義，如信非因果系統的概念與特性也有實際的意義，如信號的壓縮、擴展，語音信號處理等。號的壓縮、擴展，語音信號處理等。 若信號的

57、自變量不是時間，如位移、距離、亮度若信號的自變量不是時間，如位移、距離、亮度等為變量的物理系統中研究因果性顯得不很重要等為變量的物理系統中研究因果性顯得不很重要。 因果信號( )( ) ( )f tf tt0,( )0tf t可表示為：可表示為：t = 0接入系統的信號稱為因果信號。接入系統的信號稱為因果信號。4. 穩定性穩定性 一個系統，若對有界的激勵一個系統，若對有界的激勵f(.)所產生的零狀態響所產生的零狀態響應應yzs(.)也是有界時，則稱該系統為也是有界時，則稱該系統為有界輸入有界輸出有界輸入有界輸出穩定穩定，簡稱，簡稱穩定穩定。即。即 若若f(.)，其，其yzs (.)0后：后：.

58、 起始條件起始條件yzi(0+)若有，利用若有，利用函數匹配法函數匹配法t0后：后：有輸入有輸入微分方程微分方程= =右端有沒有右端有沒有函數函數其中：其中：Czij要由起始條件要由起始條件yzi(j)(0+)定定 yzi（j) (0+) = yzi (j)(0-) = y (j)(0-)類似電路中的換路定則類似電路中的換路定則yzs(0+)由由 0-0-、f(t)f(t)共同決定共同決定零輸入響應零輸入響應 nitzijziieCy1 f(t)=0 t=0-yzi(j) (0-)存在存在零輸入響應和零狀態響應零輸入響應和零狀態響應舉例舉例例例1：描述某系統的微分方程為描述某系統的微分方程為

59、y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f (t) + 6f(t) 已知已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t) 求該系統的零輸入響應和零狀態響應。求該系統的零輸入響應和零狀態響應。 解解y yzizi(t)(t)形式同齊次方程：形式同齊次方程： yzi ”(t) + 3yzi (t) + 2yzi (t) = 0齊次方程的特征根為齊次方程的特征根為 ： 1， 2 yzi ,(0+)=yzi ,(0-)= y,(0-) yzi(0+)=yzi(0-)= y(0-)零輸入響應：零輸入響應： yzi (t) = Czi1e t + Czi2e 2t Czi1 Czi2 由由

60、yzi ,(0+)、yzi(0+)決定決定解得系數：解得系數：Czi1=4 ,Czi2= 2（1 1）零輸入響應）零輸入響應y yzizi(t)(t)零狀態響應零狀態響應y yzszs(t)(t)yzi(t) = 4e t 2e 2t ,t 0 （2 2）零狀態響應）零狀態響應yzs(t) 滿足下列方程滿足下列方程y zs(t)解的形式：同非齊次方程，由兩部分組成解的形式：同非齊次方程，由兩部分組成形式同齊次方程的解形式同齊次方程的解特解特解（滿足非齊次方程）（滿足非齊次方程）yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e -2t+C (對對t0后后y zs”(t) + 3yzs (t) + 2