1、加速度檢測儀數據校正摘要 本文針對聲屏障檢測儀內部加速度檢測器的數據校正，利用題中所給的加速度數據，在校正的過程中，我們結合物理運動規律、離散型隨機變量等知識，建立了加速度-速度、加速度-位移仿真模型，運用組合辛普森算法、卡爾曼濾波器、正負補償法等方法消除了隨機誤差和系統誤差的影響，使物體運動規律符合實際情況，并將模型推廣運用到其他領域。 針對問題一中聲屏障的速度、位移的仿真計算以及誤差分析，我們基于基本物理公式建立計算聲屏障運動速度和位移的仿真模型，采用高精度的組合辛普森積分公式，通過仿真計算分別繪制出三種情形下的速度、位移-時間關系圖，將仿真圖與理想情況相對比，我們發現存在系統誤差和隨機誤

2、差。因此我們分別從系統誤差和隨機誤差2個角度對數據進行定性和定量的誤差分析。 問題二中，利用問題一中速度和位移的數值積分計算模型和誤差分析結果，以盡量消除系統誤差與隨機誤差，使得速度和位移的計算結果基本符合物體運動事實為目標，對加速度數據進行校正。我們利用卡爾曼濾波對加速度數據進行降噪處理，然后利用正負補償法消除系統誤差，有效的校正了數據，將校正后的數據代入問題一所建模型中建議，發現物體運動規律符合實際情況，即最終速度為0，位移為一穩定值。問題三中，改進后的加速度數據校正模型可以推廣應用到生產生活中，如電梯的加速度測量、油井示功圖位移測量技術、慣性導航系統、胎兒心率檢測儀等等。 本文最大的特色

3、在于利用精確度較高的組合辛普森算法，并且綜合卡爾曼濾波法和正負補償法分別減小了隨機誤差和系統誤差的影響，具有一定的可靠性。關鍵詞：組合辛普森算法、卡爾曼濾波、正負補償法、數據校正一、問題提出 聲屏障是一種控制鐵路、公路、高速鐵路等各種道路行車對周圍環境的噪聲污染有效措施之一，隨著列車的大幅度加速，脈動風交替出現在列車兩側，從而引起對聲屏障的拉壓作用，聲屏障發生擺動。正常狀態下，聲屏障的擺動應當在一定的范圍內，當超過正常范圍則需要對其進行加固維修。由于聲屏障維修或重建費用高昂，故需聲屏障檢測儀對聲屏障的工作狀態進行檢測，有針對性的對聲屏障進行維修。聲屏障檢測儀的工作原理是：通過內部的加速度傳感器

4、來記錄車輛經過時聲屏障振動而產生的加速度數值(密集采樣)。將加速度數據通過數值積分，按照加速度-位移的物理公式將加速度數據轉化為震動的位移，并通過震動位移對聲屏障狀態進行判斷。在試驗中，傳感器測得的數據通常會存在誤差，誤差包括系統誤差、隨機誤差。其中系統誤差，又稱為固有誤差，一般其存在是具有一定的規律性，是可以被分析掌握的；隨機誤差，又稱為測量誤差，一般它的出現是不具有規律并且不可避免的。由于誤差的存在，在使用數值積分方法計算振動位移的過程中，就會累積較多的干擾，故而在測得數據后，需要經過系統誤差校正、隨機誤差數據濾波等對數據進行校正。現在請建立數學模型解決如下問題：1.建立適當的數學模型，基

5、于加速度-速度和加速度-位移物理公式，通過數值積分的方法計算聲屏障的速度、位移，并基于給定數據對模型進行仿真計算，判斷聲屏障檢測儀是否存在明顯誤差，從隨機誤差、系統誤差2個角度對數據進行誤差分析；2.基于速度和位移的數值積分計算模型和誤差分析結果，建立數學模型來對加速度數據進行校正，要求能盡量消除系統誤差與隨機誤差，使得速度和位移的計算結果基本符合物體運動事實；3.對你所建立的數據處理方法和模型進行推廣，所改進過的加速度檢測儀除了可以用于聲屏障監測以外，還可以應用于哪些場景，請結合改進方案闡述理由。二、基本假設1、假設：在三組數據采集過程中，加速度檢測儀所處外界環境基本相同；2、假設：在加速度

6、檢測儀工作的初始時刻,聲屏障的加速度、速度、位移均為0；3、假設：不考慮環境因素如溫度，氣候對加速度監測儀的影響；4、假設：聲屏障發生的形變總是彈性形變，側向外力消除后可恢復原狀并回復原位；5、假設：試驗過程中，僅考慮聲屏障在水平方向的運動，即僅存在水平方向的加速度。三、符號說明符號意義單位備注采樣周期本題中為0.001s時刻測得的加速度 時刻加速的實際值 時刻物體的速度 時刻物體的位移第個區間上速度的增量第個區間上位移的增量 樣本容量三個測量過程的值各不相同隨機誤差 系統誤差第個過程樣本的偏差四、問題分析 本文主要解決的是加速度檢測儀數據校正的問題。 對于問題一，基于和物理公式，以及組合辛普

7、森積分公式，通過matlab程序給出基于給定數據的模型仿真。將實際值與理論值進行對比，判斷聲屏障檢測儀是否存在明顯誤差。根據隨機誤差的正向分布，采用貝塞爾公式求出三組數據的偏差，判斷隨機誤差的大小。其次，通過對三組加速度數據積分所得速度-時間圖像、位移-時間圖像對比，總結出系統誤差規律。 對于問題二，我們的研究思路如下：原始數據隨機誤差模型卡爾曼濾波器消除隨機誤差后的數據系統誤差模型曲線平滑處理消除系統、隨機誤差后的數據仿真計算仿真結果是否符合運動事實否 是結束對于問題三，總結上述對加速度檢測儀所采集數據的校正方法，將其合理推廣于加速度變化情況與之相似的場景中，并作合理闡述。五、模型的建立與求

8、解5.1 問題一模型建立與求解5.1.1 問題一的分析首先，基于物理學基本公式建立計算聲屏障運動速度和位移的數值積分模型；其次采用高精度的組合辛普森求積公式，通過仿真計算分別繪制出三種情形下的速度、位移-時間關系圖；最后將仿真圖與理想情況相對比，從系統誤差和隨機誤差2個角度對數據進行誤差分析5.1.2.1數值積分模型的建立用加速度儀的采樣周期作為時間間隔，將聲屏障的振動過程分成個大小相同的區間；：分析每個區間上速度的增量（或者位移的增量）， 第個區間上速度的增量和位移的增量為 ：依據加速度-速度和加速度-位移物理公式得出數值積分模型， 時刻聲屏障運動的速度和位移為 對于單方向運動從A-B的過程

9、；從C-D，再從D-C的雙向運動過程；從E點到F點，再由F到E，并再重復一次的過程；5.1.2.2引用組合辛普森公式求解數值積分模型 由于加速度傳感器采樣頻率較高，且采集次數較多，因此在不增加計算量并且保證精確度足夠高的條件下，可引用組合辛普森積分公式近似求解，過程如下： 設區間被等距節點，分為寬度為的個子區間,個子區間的組合辛普森公式表示的定積分為：同理可得的定積分表達式為：組合辛普森公式計算誤差為 ，其中為. 由于每個時間區間與整個運動全程相比是非常小的，因此我們假設在區間范圍內是呈線性變化的，這樣即可求出的函數表達式。5.1.2.3模型的參數計算采樣周期設=4，即將區間分為8個子區間，

10、則子區間寬度, 節點5.1.2.4數值積分仿真結果利用上述組合辛普森數值積分算法編程，在matlab中進行仿真計算，得到三組數據下速度-時間關系圖和位移-時間關系圖：（1）單方向運動的加速度-時間關系圖（2）單方向運動的速度-時間關系圖（3）單方向運動的位移-時間關系圖 圖5-1 單方向仿真結果（1）從運動的加速度-時間關系圖（2）從運動的速度-時間關系圖（3）從運動的位移-時間關系圖圖5-2 單方向仿真結果 (1)從運動的加速度-時間關系圖(2)從運動的速度-時間關系圖(3)從運動的速度-時間關系圖圖5-3 從運動的仿真結果5.1.2.4數值積分仿真結果的分析 由積分運算的性質知，原始數據中

11、的微小誤差會隨著積分運算的過程不斷累加形成巨大誤差，如圖中速度-時間關系圖和位移-時間關系圖都與實際情況存在較大出入。我們以單方向運動為例分析：圖5-4 單方向運動速度、位移-時間關系圖理想情況下，當速度-時間關系圖中a點之前b點之后的區域加速度為0，速度也為0，曲線圖應靠近虛線部分；對應的位移-時間關系圖中c點之后的位移達到最大值，位移曲線應當靠近虛線，而實際仿真的波形圖顯示結果并非如此，因此認為聲屏障檢測儀存在明顯誤差。下面我們就從系統誤差、隨機誤差2個角度對誤差進行定量和定性分析。5.1.3誤差分析 加速度測量值與理論值之間存在測量誤差。測量誤差一般是由隨機誤差與系統誤差組成，即有：。5

12、.1.3.1隨機誤差的分析 隨機誤差也成為偶然誤差，它的出現從表面上看是毫無規律的。在任何測量中，隨機誤差都是不可避免的，而且在同一條件下重復進行的各次測量中，隨機誤差的出現或大或小，或正或負，其大小和方向均不固定。隨著測量次數的增加，正負誤差可以相互補償，誤差的平均值將趨向于0。但就其總體來說,卻具有某些內在的共性，利用概率論的一些理論和統計學的一些方法，可以掌握隨機誤差的若干規律，并對誤差大小進行估算：正負誤差出現的概率相等，小誤差出現的概率大，大誤差出現的概率小，總體按照誤差大小服從正態分布。由于密集采樣過程中，樣本容量均遠大于30，故認為隨機誤差服從正態分布，亦稱高斯分布，它滿足的概率

13、密度分布函數為：在實際測量中，由于樣本容量不能無限大，故此時的算術平均值不是真值，對標準誤差的實際處理只能進行估算。利用數理統計理論，可以得到對偏差進行估計的貝塞爾公式：為樣本容量，是的最佳估計值。借助excel軟件，可得到本次實驗中的三組數據的標準偏差分別為： 由概率密度分布函數可知，測量值的隨機誤差出現在范圍內的概率為99.7%，即認為所測得的全部數據中，將有99.7%的數據其隨機誤差落入置信區間。5.1.3.2系統誤差的分析系統誤差的出現一般是有規律的，在同一測量條件下，多次重復測量同一值時，觀測值總往一個方向偏差，測量誤差的絕對值和正負號在重復多次測量中幾乎相同，都保持基本不變。產生系

14、統誤差的原因可能各不相同，但是它們具有共同的特點，即確定的變化規律。由于加速度散點圖圖像密集不易區分判斷，故這里采用組合辛普森積分公式對加速度積分后，得到的速度-時間圖像進行分析。此外，用組合辛普森積分產生的誤差可以表示為，其中為一個極小的常數，又因為，所以積分過程對速度以及位移的影響極小，故在此忽略不計。圖5-5 三組數據速度-時間關系比較圖根據圖5-5速度-時間分布規律，不難看出，每經過一次單方向運動后的速度值總會減小，亦即加速度散點圖中的波峰積分值小于波谷積分值。從物理學角度講，即認為聲屏障檢測儀所測得的反向加速度值普遍高于正向運動時的加速度值，認為此類誤差為定值系統誤差。5.2 問題二

15、模型建立與求解5.2.1 問題二的分析此問利用問題一中速度和位移的數值積分計算模型和誤差分析結果，以盡量消除系統誤差與隨機誤差，使得速度和位移的計算結果基本符合物體運動事實為目標，對加速度數據進行校正。為消除數據中存在的誤差，我們首先利用卡爾曼濾波法對加速度數據進行降噪處理，有效的消除隨機誤差，然后進行系統誤差研究，對于本題中這種定值系統誤差，因測量誤差的絕對值和正負號在重復多次測量中幾乎相同的特性，我們可以利用反向補償法來消除系統誤差，即改變原加速度方向是誤差符號相反，從而抵消不變得系統誤差。5.2.2 問題二模型的建立結合問題分析，我們須引用以下算法：卡爾曼濾波法：一個動態系統的狀態由于受

16、到外部的干擾時，可以分為兩個組成部分，一部分是由已知的運動方程正確的預測出來，另一部分可以看作是隨機變量，對于線性離散時間系統可以分為兩個部分，即使用維狀態方程和維測量方程描述： (2.1) (2.2)其中：是時刻的系統狀態，是時刻對系統的控制量，和是系統參數對于多模型系統，它們為矩陣，為時刻的測量值，為測量系統的參數，對于多測量系統，其為矩陣。分別表示過程噪聲和測量噪聲，它們被假設成高斯白噪聲，他們的協方差分別是。 首先我們要利用系統的過程模型，來預測下一狀態的系統。假設現在的系統狀態是k，根據系統的模型，可以基于系統的上一狀態而預測出現在狀態： (2.3)式中，是利用上一狀態預測的結果，是

17、上一狀態最優的結果，為現在狀態的控制量，如果沒有控制量，它可以為0。我們用表示協方差： (2.4)式中，是對應的協方差， 表示的轉置矩陣，是系統過程的協方差。 現在我們有了現在狀態的預測結果，然后我們再收集現在狀態的測量值。結合預測值和測量值，我們可以得到現在狀態的最優化估算值： (2.5)其中為卡爾曼增益：為了要另卡爾曼濾波器不斷的運行直到系統過程結束，我們還要更新狀態下的協方差：利用卡爾曼濾波法，在MATLAB環境下進行降噪處理，下圖為經過多次濾波后的散點圖：在數據進行有效消除隨機誤差之后我們利用正負補償法對其進行系統誤差處理，在聲屏障的每次運動當中，根據加速度的變化規律知道，聲屏障在速度

18、增大和減小的過程中存在對應的加速度點，其值互為相反數。我們將其近似處理為彈簧振子的震動，如圖：假設點的加速度理論值為，實際值為，誤差為，則有：。與其對稱的點加速度理論值為，實際值為，誤差為，則有：。此時與實際值的絕對值之差為。現對與的實際值取相反數，分別為：、，則為反向加速度，為正向加速度。將新得到的正向與反向加速度分別與原來的正、反向加速度相加后取平均值：則得到新的正反向加速度分別為：，。由于，故可知新得到的加速度比原始數據的誤差小，且正向、反向加速度大小相同5.2.3 問題二模型的求解5.3問題三的求解聲屏障檢測儀的工作原理是：通過內部的加速度傳感器來記錄車輛經過時聲屏障振動而產生的加速度

19、數值(密集采樣)。將加速度數據通過數值積分，按照加速度-位移的物理公式將加速度數據轉化為震動的位移，并通過震動位移對聲屏障狀態進行判斷。在現實生活中，油井示功圖位移測量技術可以了解油井實時動態及抽油裝置是否合理，其核心硬件為加速度信號調理電路。加速度傳感器負責采集油桿上下運動的加速度信號，并對原始數據進行奇異值處理、相應濾波技術處理以最大限度的將噪聲信號剔除，通過加速度雙重積分得到示功圖測試儀的位移和沖程。因此我們可以將改進后的加速度檢測儀應用于此，從而消除加速度信號由于電源紋波和信號干擾的影響所引起波形的微小畸變。改進后的加速度檢測儀還可以應用于慣性導航系統。慣性導航系統是通過對加速度測量值

20、進行積分而完成定位的。因此，雖然慣性傳感器測量值中的誤差、噪聲可能非常小，系統在一小段時間內的相對定位精度也可能很高，但是這些測量誤差、噪聲在積分計算過程中會隨著時間的推移而積累成越來越大的定位誤差，再不采取任何措施的情況下定位誤差最終可達無窮大，因此我們可以將改進后的加速度檢測儀應用于此，以消除系統的測量誤差和噪聲。該加速度檢測儀還可以用于測量電梯的加速度。電梯上升和下降的過程加速度變化情況也與聲屏障類似，服從一個正弦變換。速度的變化也是先快速增大，緩慢達到極值，速度下降由慢到快，直至速度降為0，且最終的位移也是一個穩定值。而對測量出的電梯的加速度積分求出其位移，可以用來判斷電梯是否有故障。

21、 在這三個場景中，均需通過加速度來求位移，而正反方向的加速度應該對稱，因此用我們的處理數據的方法同樣可以減小誤差，最后使位移趨于一個穩定值而不是一個變化的值。六、模型的評價與推廣6.1 模型的評價對于問題一，在根據原加速度數據求解速度和位移的過程中我們采用了組合辛普森積分算法，考慮到加速度監測儀采樣頻率為1000HZ求速度和位移會產生很小的誤差，可以忽略不計，該算法不僅保證了模型的精確度，而且避免了繁瑣的計算過程。在誤差分析的過程中，我們從定性分析和定量計算兩個方面分析了該加速度檢測儀的系統誤差和隨機誤差，并且運用了卡爾曼濾波算法和3次7點平滑濾波法盡可能地減小了隨機誤差和系統誤差。

22、經我們改進后的模型和數據處理方法具有普適性和一般性，在大樣本情況下依然能夠快速地對數據進行有效處理，可以推廣應用到許多生產和生活中，具有很強的說服力和可靠性。但是我們建立的模型也有一些缺點，比如說建模方法較單一，對于同一個問題沒有建立多個模型進行比較，就第一問來說，我們可以利用精確度更高而計算量等同的龍貝格算法。再比如說減少了系統誤差和隨機誤差之后所得到的一些數據還是會產生一定的不可避免的誤差，而且我們也沒有較全面地分析系統誤差在有無脈動風時的差異性，這些都需要我們對模型做進一步的改進。6.2 模型的推廣6.2.1推廣領域 基于加速度傳感器的油井示功圖位移測量技術研究6.2.2原理介紹 基于加

23、速度傳感器的示功圖測試儀的硬件框圖如圖1所示，主要分為四部分：電源管理系統、載荷信號調理電路、加速度信號調理電路、主控及輔助設備電路。其中，加速度傳感器負責采集油桿上下運動的加速度信號，通過積分算法而得到位移和沖程，是示功圖測試儀硬件的設計核心。 示功圖測試儀的位移和沖程是通過加速度雙重積分得到的，考慮到油桿上下周期性運動的特點，將一個周期加速度測量值減去其平均值，令邊界條件為零，對修正后的加速度積分得到速度；令邊界條件為零，對修正后的速度積分得到沖程。示功儀加速度在兩次去除邊界積分后并不能得到準確的沖程，往往對于同一口井會得出兩個差異很大的沖程。因為加速度量的電壓信號很小，3V供電系統造成加

24、速度與電壓的比例系數很小(0.56V/g)，MCU采集加速度電壓信號受干擾嚴重，所以必須對采集的加速度信號進行合適的濾波后再雙重積分得到沖程。首先，將采集到一個周期的加速度的數據存放在RAM中，對加速度數據進行奇異值的濾除；然后對加速度進行3次7點平滑窗濾波，最大限度地將噪聲信號濾除；最后，應用周期去邊界的雙重積分得到各點的位移值，對應各點載荷量，在液晶屏上畫出示功圖，并將油井信息和示功圖信息儲存到外部EEPROM中。七、參考文獻1 美Charles K. Chui，中 Guanrong Chen等, 卡爾曼濾波及其實時應用 （第四版），清華大學出版社，

25、2014年4月2 施滸立,趙彥,誤差設計新理念與方法，北京：科學出版社，2007年：43 趙黎，王豐，大學物理實驗，上海：復旦大學出版社，2013年：7-4 陳為真，汪秉文，胡曉婭，基于時域積分的加速度信號處理，華中科技大學學報(自然科學版，第38卷，第1期，2010年1月 5 吳暢，淺析系統誤差消除法，計量技術，2001年6 司守奎等，數學建模算法及應用，國防工業出版社，2014 年 6 月7 卓金武等，MATLAB在數學建模中的應用，北京航空航天大學出版社，2011年4月 八、附錄8.1 附錄清單附錄1：求解問題一的LINGO程序附錄2：求解問題二的Mathematica程序附錄3：求解問題一的中間數據附錄4：問題二的完整數據結果8.2 附錄正文附錄1：求解問題一的matlab程序附錄2：求解問題二的matlab程序format long gA_value=textread('A.txt','%n',1395);subplot(1,2,1),plot(A_value,'k+-');hold on grid ontitle('fontsize20A組數據原始圖');set(gca,'xtick',0:200:1500);%對A組數據進行二次卡爾曼濾波 消除隨機誤差N=1395;A_filt