1、高中必修一一些重點函數(shù)值域求法十一種2復合函數(shù)9一、復合函數(shù)的概念9二、求復合函數(shù)的定義域：9復合函數(shù)單調性相關定理10函數(shù)奇偶性的判定方法10指數(shù)函數(shù)：12冪函數(shù)的圖像與性質15函數(shù)值域求法十一種1. 直接觀察法對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。 例1. 求函數(shù)的值域。解：顯然函數(shù)的值域是： 例2. 求函數(shù)的值域。解：故函數(shù)的值域是： 2. 配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。 例3. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)配方得：由二次函數(shù)的性質可知：當x=1時，當時，故函數(shù)的值域是：4，8 3. 判別式法 例4. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)化為關于x的一元二次方程（1）當時，解得：

2、（2）當y=1時，而故函數(shù)的值域為 例5. 求函數(shù)的值域。解：兩邊平方整理得：（1）解得：但此時的函數(shù)的定義域由，得由，僅保證關于x的方程：在實數(shù)集R有實根，而不能確保其實根在區(qū)間0，2上，即不能確保方程（1）有實根，由 求出的范圍可能比y的實際范圍大，故不能確定此函數(shù)的值域為?？梢圆扇∪缦路椒ㄟM一步確定原函數(shù)的值域。代入方程（1）解得：即當時，原函數(shù)的值域為：注：由判別式法來判斷函數(shù)的值域時，若原函數(shù)的定義域不是實數(shù)集時，應綜合函數(shù)的定義域，將擴大的部分剔除。 4. 反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。 例6. 求函數(shù)值域。解：由原函數(shù)式可得：則其反

3、函數(shù)為：，其定義域為：故所求函數(shù)的值域為： 5. 函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學過函數(shù)的有界性，反客為主來確定函數(shù)的值域。 例7. 求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：解得：故所求函數(shù)的值域為 例8. 求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：，可化為：即即解得：故函數(shù)的值域為 6. 函數(shù)單調性法 例9. 求函數(shù)的值域。解：令則在2，10上都是增函數(shù)所以在2，10上是增函數(shù)當x=2時，當x=10時，故所求函數(shù)的值域為： 例10. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化為：令，顯然在上為無上界的增函數(shù)所以，在上也為無上界的增函數(shù)所以當x=1時，有最小值，原函數(shù)有最大值顯然，故原函數(shù)的值域為 7.

4、換元法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。 例11. 求函數(shù)的值域。解：令，則又，由二次函數(shù)的性質可知當時，當時，故函數(shù)的值域為 例12. 求函數(shù)的值域。解：因即故可令故所求函數(shù)的值域為 例13. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：可令，則有當時，當時，而此時有意義。故所求函數(shù)的值域為 例14. 求函數(shù)，的值域。解：令，則由且可得：當時，當時，故所求函數(shù)的值域為。 例15. 求函數(shù)的值域。解：由，可得故可令當時，當時，故所求函數(shù)的值域為： 8. 數(shù)形結合法其題型是函數(shù)解析式具

5、有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數(shù)形結合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。 例16. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化簡得：上式可以看成數(shù)軸上點P（x）到定點A（2），間的距離之和。由上圖可知，當點P在線段AB上時，當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，故所求函數(shù)的值域為： 例17. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：上式可看成x軸上的點到兩定點的距離之和，由圖可知當點P為線段與x軸的交點時，故所求函數(shù)的值域為 例18. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)變形為：上式可看成定點A（3，2）到點P（x，0）的距離與定點到點的距離之差。即：由圖可知：（1）當點P在x軸

6、上且不是直線AB與x軸的交點時，如點，則構成，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有即：（2）當點P恰好為直線AB與x軸的交點時，有綜上所述，可知函數(shù)的值域為：注：由例17，18可知，求兩距離之和時，要將函數(shù)式變形，使A、B兩點在x軸的兩側，而求兩距離之差時，則要使A，B兩點在x軸的同側。如：例17的A，B兩點坐標分別為：（3，2），在x軸的同側；例18的A，B兩點坐標分別為（3，2），在x軸的同側。 9. 不等式法利用基本不等式，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。 例19. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為：當且

7、僅當即當時，等號成立故原函數(shù)的值域為： 例20. 求函數(shù)的值域。解：當且僅當，即當時，等號成立。由可得：故原函數(shù)的值域為： 10. 一一映射法原理：因為在定義域上x與y是一一對應的。故兩個變量中，若知道一個變量范圍，就可以求另一個變量范圍。 例21. 求函數(shù)的值域。解：定義域為由得故或解得故函數(shù)的值域為 11. 多種方法綜合運用 例22. 求函數(shù)的值域。解：令，則（1）當時，當且僅當t=1，即時取等號，所以（2）當t=0時，y=0。綜上所述，函數(shù)的值域為：注：先換元，后用不等式法 例23. 求函數(shù)的值域。解：令，則當時，當時，此時都存在，故函數(shù)的值域為注：此題先用換元法，后用配方法，然后再運用

8、的有界性?？傊?，在具體求某個函數(shù)的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特征，然后再選擇恰當?shù)姆椒ǎ话銉?yōu)先考慮直接法，函數(shù)單調性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。復合函數(shù)一、復合函數(shù)的概念如果y是u的函數(shù)，而u是x的函數(shù)，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y關于x的函數(shù)y = f g ( x ) 叫做函數(shù)f 與 g 的復合函數(shù)，u 叫做中間變量。注意：復合函數(shù)并不是一類新的函數(shù)，它只是反映某些函數(shù)在結構方面的某種特點，因此，根據(jù)復合函數(shù)結構，將它折成幾個簡單的函數(shù)時，應從外到里一層一層地拆，注意不要漏層。另外，在研究有關復合函數(shù)的問題時，要注意復合函數(shù)的存在

9、條件，即當且僅當g ( x )的值域與f ( u )的定義域的交集非空時，它們的復合函數(shù)才有意義，否則這樣的復合函數(shù)不存在。例：f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u2 與g ( x ) = x + 1 兩個函數(shù)復合而成。二、求復合函數(shù)的定義域：（1）若f(x)的定義域為a x b,則f g ( x ) 中的a g ( x ) b ，從中解得x的范圍，即為f g ( x )的定義域。 例1、y = f ( x ) 的定義域為 0 ， 1 ，求f (

10、2x + 1 )的定義域。 答案： -1/2 ，0 例2、已知f ( x )的定義域為（0，1），求f ( x 2)的定義域。 答案： -1 ，1（2）若f g ( x ) 的定義域為（m , n）則由m < x < n 確定出g ( x )的范圍即為f ( x )的定義域。例3、已知函數(shù)f ( 2x + 1 )的定義域為（0，1），求f ( x ) 的定義域。 答案： 1 ，3 （3）由f g ( x ) 的定義域，求得f ( x )的定義域后，再求f h ( x ) 的定義域。例4、已知f ( x + 1 )的定義域為-2 ，3,求f ( 2x 2 2 ) 的定義域。 答案：-

11、3/2 ，-33/2 ，3三、求復合函數(shù)的解析式。1、待定系數(shù)法：在已知函數(shù)解析式的構造時，可用待定系數(shù)法。例1 設是一次函數(shù)，且，求解：設 ，則 2、 配湊法：已知復合函數(shù)的表達式，求的解析式，的表達式容易配成的運算形式時，常用配湊法。但要注意所求函數(shù)的定義域不是原復合函數(shù)的定義域，而是的值域。 例2 已知 ，求 的解析式解：， 3、換元法：已知復合函數(shù)的表達式時，還可以用換元法求的解析式。與配湊法一樣，要注意所換元的定義域的變化。例3 已知，求解：令，則， 復合函數(shù)單調性相關定理1、引理1 已知函數(shù)y=fg(x).若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，其值域為(c，d)，又函數(shù)y=f(

12、u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，那么，原復合函數(shù)y=fg(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)證 明 在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩個數(shù)x1,x2，使ax1x2b.因為u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，所以g(x1)g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d).因為函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，所以f(u1)f(u2),即fg(x1)ff(x2)，故函數(shù)y=fg(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).2、引理2 已知函數(shù)y=fg(x).若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，其值域為(c，d)，又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，復合函

13、數(shù)y=fg(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).證明 在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩個數(shù)x1,x2，使ax1x2b.因為函數(shù)u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，所以g(x1)g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d).因為函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，所以f(u1)f(u2),即fg(x1)ff(x2)，故函數(shù)y=fg(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).3、總結同增異減函數(shù)奇偶性的判定方法1定義域判定法例1判定的奇偶性（非奇非偶）2定義判定法f(x)與f（-x）關系例2判斷的奇偶性（偶）3等價形式判定法例3判定的奇偶性（奇）評注：常用等價變形形式有

14、：若或，則為奇函數(shù)；若或，則為偶函數(shù)（其中）4性質判定法例4若，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，試判定的奇偶性評注：在兩個函數(shù)（常函數(shù)除外）的公共定義域關于原點對稱的前提下：兩個偶函數(shù)的和、差、積都是偶函數(shù)；兩個奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù)，積是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)5、練習（1）.()函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則y=f(|x+1|)的一個單調遞減區(qū)間是_ (,1（2）()若函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0<x1<x2),且在x2,+上單調遞增，則b的取值范圍是_(,0）_.(1)令t=|x+1|,則t在(,1上遞減，又y=f

15、(x)在R上單調遞增，y=f(|x+1|)在(,1上遞減. (2)f(0)=f(x1)=f(x2)=0,f(0)=d=0.f(x)=ax(xx1)(xx2)=ax3a(x1+x2)x2+ax1x2x，b=a(x1+x2),又f(x)在x2,+單調遞增，故a>0.又知0x1x,得x1+x2>0,b=a(x1+x2)0.2.奇偶性記F(x)=fg(x)復合函數(shù)，則F(-x)=fg(-x)， 如果g(x)是奇函數(shù)，即g(-x)=-g(x) => F(-x)=f-g(x)， 則當f(x)是奇函數(shù)時，F(xiàn)(-x)=-fg(x)=-F(x)，F(xiàn)(x)是奇函數(shù)； 當f(x)是偶函數(shù)時，F(xiàn)(-

16、x)=fg(x)=F(x)，F(xiàn)(x)是偶函數(shù)。 如果g(x)是偶函數(shù)，即g(-x)=g(x) => F(-x)=fg(x)=F(x)，F(xiàn)(x)是偶函數(shù)。 所以由兩個函數(shù)復合而成的復合函數(shù)，當里層的函數(shù)是偶函數(shù)時，復合函數(shù)是偶函數(shù)，不論外層是怎樣的函數(shù)；當里層的函數(shù)是奇函數(shù)、外層的函數(shù)也是奇函數(shù)時，復合函數(shù)是奇函數(shù)，當里層的函數(shù)是奇函數(shù)、外層的函數(shù)是偶函數(shù)時，復合函數(shù)是偶函數(shù)。在其它的場合，就不能如此單純地判斷復合函數(shù)的奇偶性了。二 加減函數(shù) 1.增減性 對于F(x)=g(x)+f(x) ，增+增=增 ，減+減=減， 減+增則無定則 2.奇偶性 對于F(x)=g(x)+f(x) , 奇+奇

17、=奇, 奇-奇=奇, 偶+偶=偶 ,偶-偶=偶.奇+偶無定則三 相乘函數(shù) 1.增減性 對于F(x)=g(x)*f(x) ,一切皆無定則.知道你會不信 ,很好 ,我來舉個例子:f(x)=g(x)=-x ,都是減函數(shù),而F(x)=x2,有增有減. 2.奇偶性 對于F(x)=g(x)*f(x), 同樣滿足乘法定則(其實這名字是我取的,不要說出去,不然沒人聽的懂). 即 奇*偶=奇 ,偶*偶=偶 ,奇*奇=偶 除法就不用說了,F(x)=g(x)/f(x) ,可以看成F(x)=g(x)1/f(x), 自己推.指數(shù)函數(shù)：定義：函數(shù)叫指數(shù)函數(shù)。定義域為R，底數(shù)是常數(shù)，指數(shù)是自變量。要求函數(shù)中的a必須。因為若

18、時，當時，函數(shù)值不存在。，當，函數(shù)值不存在。時，對一切x雖有意義，函數(shù)值恒為1，但的反函數(shù)不存在，因為要求函數(shù)中的。1、對三個指數(shù)函數(shù)的圖象的認識。圖象特征與函數(shù)性質：圖象特征函數(shù)性質（1）圖象都位于x軸上方；（1）x取任何實數(shù)值時，都有；（2）圖象都經(jīng)過點（0，1）；（2）無論a取任何正數(shù)，時，；（3）在第一象限內(nèi)的縱坐標都大于1，在第二象限內(nèi)的縱坐標都小于1，的圖象正好相反； （3）當時， 當時，（4）的圖象自左到右逐漸上升，的圖象逐漸下降。（4）當時，是增函數(shù)，當時，是減函數(shù)。對圖象的進一步認識，（通過三個函數(shù)相互關系的比較）：所有指數(shù)函數(shù)的圖象交叉相交于點（0，1），如和相交于，當時，

19、的圖象在的圖象的上方，當，剛好相反，故有及。與的圖象關于y軸對稱。通過，三個函數(shù)圖象，可以畫出任意一個函數(shù)（）的示意圖，如的圖象，一定位于和兩個圖象的中間，且過點，從而也由關于y軸的對稱性，可得的示意圖，即通過有限個函數(shù)的圖象進一步認識無限個函數(shù)的圖象。2、對數(shù)：定義：如果，那么數(shù)b就叫做以a為底的對數(shù)，記作（a是底數(shù)，N 是真數(shù)，是對數(shù)式。）由于故中N必須大于0。當N為零的負數(shù)時對數(shù)不存在。（1）對數(shù)式與指數(shù)式的互化。由于對數(shù)是新學的，常常把不熟悉的對數(shù)式轉化為指數(shù)式解決問題，如：求 解：設評述：由對數(shù)式化為指數(shù)式可以解決問題，反之由指數(shù)式化為對數(shù)式也能解決問題，因此必須因題而異。如求中的，

20、化為對數(shù)式即成。（2）對數(shù)恒等式：由將（2）代入（1）得運用對數(shù)恒等式時要注意此式的特點，不能亂用，特別是注意轉化時必須冪的底數(shù)和對數(shù)的底數(shù)相同。計算： 解：原式。（3）對數(shù)的性質：負數(shù)和零沒有對數(shù)；1的對數(shù)是零；底數(shù)的對數(shù)等于1。（4）對數(shù)的運算法則：3、對數(shù)函數(shù)：定義：指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)。1、對三個對數(shù)函數(shù)的圖象的認識。圖象特征與函數(shù)性質：圖象特征函數(shù)性質（1）圖象都位于 y軸右側；（1）定義域：R+，值或：R；（2）圖象都過點（1，0）；（2）時，。即；（3），當時，圖象在x軸上方，當時，圖象在x軸下方，與上述情況剛好相反；（3）當時，若，則，若，則；當時，若，則，若時，則；（

21、4）從左向右圖象是上升，而從左向右圖象是下降。（4）時，是增函數(shù)；時，是減函數(shù)。對圖象的進一步的認識（通過三個函數(shù)圖象的相互關系的比較）：（1）所有對數(shù)函數(shù)的圖象都過點（1,0），但是與在點（1,0）曲線是交叉的，即當時，的圖象在的圖象上方；而時，的圖象在的圖象的下方，故有：；。（2）的圖象與的圖象關于x 軸對稱。（3）通過，三個函數(shù)圖象，可以作出任意一個對數(shù)函數(shù)的示意圖，如作的圖象，它一定位于和兩個圖象的中間，且過點（1,0），時，在的上方，而位于的下方，時，剛好相反，則對稱性，可知的示意圖。因而通過課本上的三個函數(shù)的圖象進一步認識無限個函數(shù)的圖象。4、對數(shù)換底公式：由換底公式可得：由換底公

22、式推出一些常用的結論：（1） （2）（3）（4）5、指數(shù)方程與對數(shù)方程*定義：在指數(shù)里含有未知數(shù)的方程稱指數(shù)方程。 在對數(shù)符號后面含有未知數(shù)的方程稱對數(shù)方程。由于指數(shù)運算及對數(shù)運算不是一般的代數(shù)運算，故指數(shù)方程對數(shù)方程不是代數(shù)方程而屬于超越方程。指數(shù)方程的題型與解法：名稱題型解法基本型同底數(shù)型不同底數(shù)型需代換型取以a為底的對數(shù)取以a為底的對數(shù)取同底的對數(shù)化為換元令轉化為的代數(shù)方程對數(shù)方程的題型與解法：名稱題型解法基本題對數(shù)式轉化為指數(shù)式同底數(shù)型轉化為（必須驗根）需代換型換元令轉化為代數(shù)方程冪函數(shù)的圖像與性質一、冪函數(shù)的定義一般地，形如（R）的函數(shù)稱為冪孫函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).如等都是冪函

23、數(shù)，冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)一樣，都是基本初等函數(shù).分數(shù)指數(shù)冪正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：（，、，且）負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：（，、，且）1、 冪函數(shù)的圖像與性質冪函數(shù)隨著的不同，定義域、值域都會發(fā)生變化，可以采取按性質和圖像分類記憶的方法熟練掌握，當?shù)膱D像和性質，列表如下從中可以歸納出以下結論： 它們都過點，除原點外，任何冪函數(shù)圖像與坐標軸都不相交，任何冪函數(shù)圖像都不過第四象限 時，冪函數(shù)圖像過原點且在上是增函數(shù) 時，冪函數(shù)圖像不過原點且在上是減函數(shù) 任何兩個冪函數(shù)最多有三個公共點奇函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyxOy例1、 右圖為冪函數(shù)在第一象限的圖

24、像，則的大小關系是（ ） 解：取，由圖像可知：，應選三兩類基本函數(shù)的歸納比較： 定義對數(shù)函數(shù)的定義：一般地，我們把函數(shù)（0且1）叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+）冪函數(shù)的定義：一般地，形如（R）的函數(shù)稱為冪孫函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).性質對數(shù)函數(shù)的性質：定義域：（0，+）；值域：R；過點（1，0），即當=1，=0；在（0，+）上是增函數(shù)；在（0，+）是上減函數(shù)冪函數(shù)的性質：所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義，圖象都過點（1，1）0時，冪函數(shù)的圖象都通過原點，在0，+上，、是增函數(shù)，在（0，+）上， 是減函數(shù)。例1已知函數(shù)，當 為何值時，：（1）是冪函數(shù)；（2）是冪函數(shù)，且是上

25、的增函數(shù)；（3）是正比例函數(shù)；（4）是反比例函數(shù)；（5）是二次函數(shù)；簡解：（1）或（2）（3）（4）（5）變式訓練：已知函數(shù)，當 為何值時，在第一象限內(nèi)它的圖像是上升曲線。簡解：解得：小結與拓展：要牢記冪函數(shù)的定義，列出等式或不等式求解。例2比較大?。海?） （2）（3）（4）解：（1）在上是增函數(shù)， （2）在上是增函數(shù)，（3）在上是減函數(shù)，；是增函數(shù)，；綜上， （4），例1 求下列函數(shù)的單調區(qū)間： y=log4(x24x+3)解法一：設 y=log4u,u=x24x+3.由 u0, u=x24x+3，解得原復合函數(shù)的定義域為x1或x3.當x(，1)時，u=x24x+3為減函數(shù)，而y=log4

26、u為增函數(shù)，所以(，1)是復合函數(shù)的單調減區(qū)間；當x(3，±)時，u=x24x+3為增函數(shù)y=log4u為增函數(shù)，所以，(3，+)是復合函數(shù)的單調增區(qū)間.解法二：u=x24x+3=(x2)21,x3或x1，(復合函數(shù)定義域)x2 (u減)解得x1.所以x(，1)時，函數(shù)u單調遞減.由于y=log4u在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以由引理知：u=(x2)21的單調性與復合函數(shù)的單調性一致，所以(，1)是復合函數(shù)的單調減區(qū)間.下面我們求一下復合函數(shù)的單調增區(qū)間.u=x24x+3=(x2)21,x3或x1，(復合函數(shù)定義域)x2 (u增)解得x3.所以(3，+)是復合函數(shù)的單調增區(qū)間.例2 求下列復合函數(shù)的單調區(qū)間： y=log (2xx2)解： 設 y=logu,u=2xx2.由 u0 u=2xx2解得原復合函數(shù)的定義域為0x2.由于y=logu在定義域(0，+)內(nèi)是減函數(shù)，所以，原復合函數(shù)的單調性與二次函數(shù)u=2xx2的單調性正好相反.易知u=2xx2=(x1)2+1在x1時單調增.由 0x2 （復合函數(shù)定義域） x1，(u增)解得0x1,所以(0，1是原復合函數(shù)的單調減區(qū)間.又u=(x1)2+1在x1時單調減，由 x2， (復合函數(shù)定義域) x1， (u減)解得1x2