1、精品歡迎下載可修改全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試題一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選 項是符合題目要求的.請將所選項前的字母填在答題紈指定位置上.1 - cos Jx_ r > 0(1)若函數/(# = ax在x連續，則b,x<Q(A) ab = g.(B) ab = .(C) ab = 0.(D) ab = 2.【答案】A【詳解】由lim -=，_ = b,得出? = L.ax 2a2(2)設函數可導，且。)>0則(A) /(1)>/(-1).(B) / </(T).© |/W|>|/(-l)

2、|- 刈<|-1)卜【答案】C【詳解】/(刈=弓2ro,從而廣(冷單調遞增，尸>(3)函數/。,乂2)=犬+ 在點(1,2,0)處沿著向量 =(1,2,2)的方向導數為(A) 12.(B) 6.(C) 4.(D)2 .【答案】D1 9【詳解】方向余弦cosa = -,cos = cosy = §，偏導數f； = 2xy,f； = xf! = 2z，代入 cos af； + cos /f： + cos yf；即可.(4)甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10(單位：m)處.圖中，實線表示甲的速度曲 線y = H«)(單位：m/s),虛線表示乙的速度曲線=匕(。(

3、單位：in/s),三塊陰影部分面積 的數值一次為10, 20, 3,計時開始后乙追上甲的時刻記為(單位：s),則(A) r0 =10.(B) 15<t0 <20 . (C) 0 = 25.(D) t0>25.【答案】C【詳解】在。=25時，乙比甲多跑10m,而最開始的時候甲在乙前方10m處.(5)設a為維單位列向量，七為階單位矩陣，則(A)七一勿肝不可逆.(B) E+aaT不可逆.(C) E+2a«i 不可逆.(D)不可逆.【答案】A【詳解】可設Q = (l,o,0)、則或/的特征值為L0,0,從而E 皿丁的特征值為0,因此E 不可逆.(2(6)設有矩陣4= 000

4、 0、2 1,8 =0 b101fl 、2 0 , C= 20 J12)(A)A與C相似，8與。相似.(B) A與C相似，8與C不相似.(C) A與C不相似，3與C相似. (D) A與C不相似，6與C不相似.【答案】B【詳解】A,夕的特征值為2,2,1,但A有三個線性無關的特征向量，而B只有兩個，所以 A可對角化，3則不行.(7)設A,8為隨機事件，若0<尸(A)<1, 0<尸(6)<1,則尸(A| 5) >(切用的充分必要條件(A) P(BA)>P(BA).(B) P(B|A)<P(B|A).(C) P(B | A) > P(B | A).【答

5、案】A(D) P(B I A) < P(B I A).【詳解】由 P(AB)>P(AB)得尸(AB) P(AB) 尸(A) P(AB)> =P(B) P(B) i-P(B)由尸(51 A)尸(引A)也可得尸(A6)P(A)P(6)._1 ”(8)設&,乂,./“(22)為來自總體%(,1)的簡單隨機樣本，記=則下列結論不正確的是乞區一服從/分布.(B) 2(X”-XJ2服從/分布.i=l(C)之氏一用2服從片分布.(D) (又一 4尸服從二分布.1=1【答案】B【詳解】N(o,i)£(Xj-“A -x)2 -r(7?-i)；11=1J=1N/2(1)； X“

6、_XN(0,2),(X：X)-L(l). n2二、填空題：914小題，每小題4分，共24分.請將答案寫在答題組指定位置上.(9)已知函數/(乃二，/(0) =.1 + x-【答案】0【詳解】/(勸= = 1一工2+/ + -(-1工1),沒有三次項. 1 + JT(10)微分方程y + 2y' +3y = 0的通解為.【答案】y = e'(geosZ5x+Gsin/5x)(詳解】特征方程產+ 2r+3 = 0 得 r = -l +,因此 y = (G cos/2x+ C2 sin0x).(11)若曲線積分/嚶策與在區域£=卜，沖：2 +卡1內與路徑無關，則”【答案】-

7、1【詳解】有題意可得絲=空，解得a = -1. dx dx8(12)哥級數X(在內的和函數S(x)= n=l【答案】1(1+1尸【詳解】Z(T)"加x"Tfl=l= -f(T)”卜H=11(X+l)2%, % %是3維線性無關的列向量，則(AarA4,A%)的秩T 0 P (13) A= 1 1 2 a i b 為.【答案】2 【詳解】r(Aa1,Aa2,Aai) = r(A) = 2x4(14)設隨即變量X的分布函數尸(x) = 0.5*) + 0.5(萬)其中為標準正態分 布函數，則以二.【答案】2【詳解】EX=xfMdx = Q x0,5x) + )dLr = 2.三

8、、解答題：1523小題，共94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請將答 案寫在答題里指定位置上.(15)(本題滿分10分).心dx2設函數/(i)具有2階連續偏導數，y = /(ecosx),求夕 ax【答案】vy = f(ecosx).半= £%=/： sin x, ax.知=0 =水1,1)學=(兀靖- £： sinx)ex +- £, sinx)smx-f cosxdx- -|x= 0 = /1,1) + /； (1,1)-/2(1,1) ax(16)(本題滿分10分).求 lini 二 ln(l + ±).“->oo n-n【答案

9、】i ( 1 i 八 1、2 n 2、n . . n=lim - ln(l + ) + 111(1 + ln(l + )n- n n n nn n1 1 .K22nn=lim 111(1 + ) + ln(l + ln(l + )"-n i nnnnnn=ln(l + x)dx = J； ln(l + x)d ； x2 j '2 1 + x1 ,1 r1= -x2ln(l + x) -20 J。= -hi2-irix2-l + l J。1 + xdx= 12-1£ (x-l)dx+ J。= |hl2-1(|x2-x)ln(l + x)； (17)(本題滿分10分).

10、已知函數y(x)由方程V +一3工+3一2 = 0確定，求y(x)的極值.【答案】r+ y-3x+3y 2 = 0，方程兩邊對x求導得：3x2 + 3y2y _3 + 3y' = 0,令y' = 0,得3/=3,x = ±l.當x = l時y = l,當工=-1時y = 0.方程兩邊再對x求導：6x + 6y(y')2 + 3儼y + 3y" = 0,令 y' = 0, 6x+(3y2 + l)y" = 0 ,3.當x = l,=1時/'=-2，當x = -l, y = 0時y" = 6.所以當x=l時函數有極大值

11、，極大值為1,當工=一1時函數有極小值，極小值為0.(18)(本題滿分10分).設函數/(x)在區間0,1上具有2階導數，且.證明: 5 X(I)方程/(X)= 0在區間(0,1)內至少存在一個實根;(n)方程=0在區間(0,1)內至少存在兩個不同實根.【答案】(l)v由極限的局部保號性，三。£(0,方),使儂。)<0,又/(1)0,由零XT。' X點存在定理知，3e(c,l),使得，/() = 0.(2)構造 F(x) = /(x)/V)，/(0) = /(0)尸(0) = 0，/(鄉=/(/記)=0，/ liin<0,/'(0) <0,由拉格朗日

12、中值定理知王7£ (0,1), /一)=/ '(")> 0,f x1-0(0)/'<0,所以由零點定理知書(0)u(0,l),使得"&) = 0，尸&)=，&)/6) = 0,所以原方程至少有兩個不同實根。(19)(本題滿分10分).設薄片型物體S是圓錐面Z = yjx2 + y2被z? = 2x割下的有限部分，其上任意一點處的密度為(x, y, z) = 9/x2 + z)，記圓錐面與柱面的交線為C；(I)求C在xOy平面上的投影曲線的方程；(II)求S的質量M?！敬鸢浮?1)C的方程為：=口萬，投影到wy平面

13、的方程為： <；7；)-+曠=1"=jj u(x, y, zMS = JJ 9yjx2+y2 + z2ds = 9 應 Jj x2-y2 + x2±y2dSZEE=18彳d可：6"2十源處=18j-cos3/6> t 0弓3士296H cosedG = 96(yxl) = 64 (20)(本題滿分U分).設3矩陣A =(6,%, %)有3個不同的特征值，% = 4 + 2%(I)證明：r(A) = 2;(ID若夕= 4 + % + %，求方程組At = 的解.【答案】4 =% 十 % + 2% % = 0，二.(見，4，。3, 2 = 0,故4 = 0

14、是A的特征值又A有三個不同的特征值，故4 = 0為單根，且A一定能相似對角化.4 A,.J(A) = r(A) = 2.(2)由(1), Ax=0的通解為女(12-1)，門./7 = 4 + % + %，故有=夕，即4(1,1,1)7=夕./. Ax =2的通解為火(1,2,T)t + (U,l),(k為任意常數).(21)(本題滿分11分).設二次型 /(xpx2,x3) = 2x;-x;+ ax; + 2M占 -8占& + 2xzx3 在正交變換x = Qy 下的標準形為4弁+4只，求。的值及一個正交矩陣?。(21 -4、(21)【答案】二次型的矩陣4= 1-11,、-4 1 a)

15、因為二次型在正交變換下的標準形為4立+4為，故A有特征值o,.,.同=0,故a = 2.2-2 -14由 plE A|= -1 A + l -1 =+3)(/1 - 6) = 0 得特征值為4-1 2-24 = -3,4 = 6,4 = o.解齊次線性方程組(4上-A卜=0,求特征向量.-5 -14、0-nT、對4=_3, -3E-A =-1 -2-1-011，得囚=-14 -1 -50°,J;'4 -14）q0r對丸，=6 , 6E A =-1 7-1 -010，得見 =014 -1000/-2 -1 4、o -rT對43 = 0, OE A =-1 1 -1-01 -2，

16、得見 =24 -1 -2z、00 0/3因為名,。2，%屬于不同特征值，已經正交，只需規范化:令4=言=擊（1，一口），A =奇=擊（to"/ =9（1,2"所求正交矩陣為。=1 蕭2V61漪IF o 1721 月V3JLV3，對應標準形為f = -3y+6資.（22）（本題滿分11分）.設隨機變量x與y相互獨立，且x的概率分布為尸x=o=Px = 2 = g, y的概2y,0<y <1 a其他.（I）求產YKEY（ID求%=乂 + 丫的概率密度。22、【答案】（1）七丫 =。/（丁2，= £尸2%），=|,.尸卜"= £ fY。，

17、四=。2必=：（2） Z的分布函數為Fz (z) = PZ<z=PX + Y<z,X = 0+ PX + Y<z,X=2= px = o, y<z+px = 29 r+2 < = ipr < z+ pr < z - 2= ；K(z)+4(z-2)故z的概率密度函數為0,Z <0Z, 0<2 <1Z,0<<1&。=理(力=入/仁)+ /(2)=.0,1<<2 = <Z-2, 2Vz<3Z-2, 2Vz<30, 其它.0,z>3（23）（本題滿分11分）.某工程師為了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質量做n次測量，該物體的質量 是已知的.設n次測量結果X”相互獨立且均服從正態分布N。/,/）.該工程師記錄的是11次測量的絕對誤差Z =區冰i = 1,2,.利用4,Z?,Z”估計（I）求Z：的概率密度；（II）利用一階矩求。的矩估計量；（in）求。的最大似然估計量.【答案】乙的分布函數為七（z） = P4«z=PxKz=p"W 4,%«0時,心口）=0；所以Zj的概率密度均為/Z（N）= 1 6/0,產 2 -三令，=/ 2cr f+x -四7乙許限=后工出=Z > 0令 EZ|