1、2021年12月7日星期二 1第第5章章 測量誤差及數據處理的基本知識測量誤差及數據處理的基本知識2021年12月7日星期二 2第第5 5章章 測量誤差及數據處理的基本知識 5.1 5.1 概述概述 5.2 5.2 測量誤差的種類測量誤差的種類 5.3 5.3 偶然誤差的特性及其概率密度函數偶然誤差的特性及其概率密度函數 5.4 5.4 衡量觀測值精度的指標衡量觀測值精度的指標 5.5 5.5 誤差傳播定律誤差傳播定律 5.6 5.6 同精度直接觀測平差同精度直接觀測平差 5.7 5.7 不同精度直接觀測平差不同精度直接觀測平差2021年12月7日星期二 3 測量與觀測值測量與觀測值 觀測觀測

2、與觀測值的分類與觀測值的分類 觀測條件觀測條件 等精度觀測和不等精度觀測等精度觀測和不等精度觀測 直接觀測和間接觀測直接觀測和間接觀測 獨立獨立觀測和非獨立觀測觀測和非獨立觀測5.1 5.1 測量誤差概述測量誤差概述2021年12月7日星期二 45.1 5.1 測量誤差概述測量誤差概述 測量誤差及其來源測量誤差及其來源 測量誤差的來源測量誤差的來源（1 1）儀器誤差：儀器誤差：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2 2）人為誤差：人為誤差：判斷力和分辨率的限制、經驗等。判斷力和分辨率的限制、經驗等。（3 3）外界條件的影響：外界條件的影響：溫度變化、風、大氣折光等

3、溫度變化、風、大氣折光等 測量誤差的表現形式測量誤差的表現形式 測量誤差（真誤差測量誤差（真誤差=觀測值-真值）Xl jiijllXl（觀測值與真值之差）（觀測值與觀測值之差）2021年12月7日星期二 5例：例： 誤差誤差 處理方法處理方法 鋼尺尺長誤差鋼尺尺長誤差 l ld d 計算改正計算改正 鋼尺溫度誤差鋼尺溫度誤差 l lt t 計算改正計算改正 水準儀視準軸誤差水準儀視準軸誤差I I 操作時抵消操作時抵消( (前后視等距前后視等距) ) 經緯儀視準軸誤差經緯儀視準軸誤差C C 操作時抵消操作時抵消( (盤左盤右取平均盤左盤右取平均) ) 2.2.系統誤差系統誤差 誤差出現的大小、符

4、號相同，或按誤差出現的大小、符號相同，或按 規律性變化，具有規律性變化，具有積累性積累性。 系統誤差可以消除或減弱系統誤差可以消除或減弱。 ( (計算改正、觀測方法、儀器檢校計算改正、觀測方法、儀器檢校) )測量誤差分為：測量誤差分為：粗差粗差、系統誤差系統誤差和和偶然誤差偶然誤差5.2 5.2 測量誤差的種類測量誤差的種類1.1.粗差粗差( (錯誤錯誤) )超限的誤差超限的誤差2021年12月7日星期二 63.3.偶然誤差偶然誤差誤差出現的大小、符號各不相同，誤差出現的大小、符號各不相同， 表面看無規律性。表面看無規律性。 例：估讀數、氣泡居中判斷、瞄準、對中等誤差，例：估讀數、氣泡居中判斷

5、、瞄準、對中等誤差， 導致觀測值產生誤差導致觀測值產生誤差 。 準確度(測量成果與真值的差異） 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值） 測量平差（求解最或是值并評定精度）4.4.幾個概念幾個概念: : 精（密）度（觀測值之間的離散程度）2021年12月7日星期二 7舉例舉例: : 在某測區，等精度觀測了在某測區，等精度觀測了358358個三角形的內個三角形的內 角之和，得到角之和，得到358358個三角形閉合差個三角形閉合差 i i( (偶然誤偶然誤 差，也即真誤差差，也即真誤差) ) ，然后對三角形閉合差，然后對三角形閉合差 i i 進行分析。進行分析。 分析結果表明，分析結果表明，當觀測次

6、數很多時，偶然當觀測次數很多時，偶然 誤差的出現，呈現出統計學上的規律性。誤差的出現，呈現出統計學上的規律性。而而 且，觀測次數越多，規律性越明顯。且，觀測次數越多，規律性越明顯。5.3 5.3 偶然誤差的特性偶然誤差的特性2021年12月7日星期二 82021年12月7日星期二 9用用頻率直方圖頻率直方圖表示的偶然誤差統計：表示的偶然誤差統計：頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近， 對稱于對稱于y軸。軸。頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現在該區頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現在該區 間的頻率間的頻率k/n，而所有條形的，而所

7、有條形的總面積等于總面積等于1。各條形頂邊中點各條形頂邊中點連線經光滑后的曲連線經光滑后的曲線形狀，表現出偶線形狀，表現出偶然誤差的普遍規律然誤差的普遍規律 圖5-1 誤差統計直方圖2021年12月7日星期二 10從誤差統計表和頻率直方圖中，可以歸納出偶然誤從誤差統計表和頻率直方圖中，可以歸納出偶然誤 差的差的四個特性四個特性：特性(1)、(2)、(3)決定了特性(4)，特性特性(4)具有實用意義。具有實用意義。 3.3.偶然誤差的特性偶然誤差的特性(1)(1)在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定 的限值的限值( (有界性有界性) )

8、；(2)(2)絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的機會多絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的機會多( (趨向性趨向性) )；(3)(3)絕對值相等的正誤差和負誤差出現的機會相等絕對值相等的正誤差和負誤差出現的機會相等( (對稱性對稱性) )；(4)(4)當觀測次數無限增加時，偶然誤差的算術平均值趨近于零當觀測次數無限增加時，偶然誤差的算術平均值趨近于零 ( (抵償性抵償性) )： 0limlim21nnnnn2021年12月7日星期二 11偶然誤差具有正態分布的特性偶然誤差具有正態分布的特性當觀測次數當觀測次數n n無限增多無限增多(n(n)、誤差區間誤差區間d d 無限縮小無限縮小( (d

9、d 0)0)時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，這條曲線稱為這條曲線稱為“正態分布曲正態分布曲線線”，又稱為，又稱為“高斯誤差分高斯誤差分布曲線布曲線”。所以偶然誤差所以偶然誤差具有具有正態分布正態分布的特性。的特性。圖5-1 誤差統計直方圖2021年12月7日星期二 121.1.方差與標準差方差與標準差 由正態分布密度函數 22221axex式中 、 為常數；a =2.72828ex=y正態分布曲線(a=0)令：令： ，上式為：ax22221)(efy5.4 5.4 衡量精度的指標衡量精度的指標2021年12月7日星期二 13標準差 的數學意義2222

10、1)(efy 表示表示 的的離散程度離散程度x=y較小較大nnnnlimlim2稱為標準差標準差：nnnnnlimlim22222122上式中， 稱為方差：方差：2021年12月7日星期二 14測量工作中，用中誤差中誤差作為衡量觀測值精度的標準。中誤差中誤差: :觀測次數無限多時，用標準差觀測次數無限多時，用標準差 表示偶然誤差的離散情形：表示偶然誤差的離散情形：nnlim上式中，偶然誤差上式中，偶然誤差 為觀測值為觀測值 與真值與真值X之差：之差：觀測次數觀測次數n n有限有限時，用時，用中誤差中誤差m表示偶然誤差的離散情形：表示偶然誤差的離散情形：nnmn22221i=i - X2021年

11、12月7日星期二 15P123表5-22021年12月7日星期二 16 m m1 1小于小于m m2 2, ,說明第一組觀測值的誤差分布比較說明第一組觀測值的誤差分布比較集中集中， 其其精度較高精度較高；相對地，第二組觀測值的誤差分布比；相對地，第二組觀測值的誤差分布比 較較離散，離散，其其精度較低：精度較低： m1=2.7是第一組觀測值的中誤差； m2=3.6是第二組觀測值的中誤差。2021-12-7第五章測量誤差的基本知識17【例例】l有甲、乙兩組各自用相同的條件觀測了六個三角有甲、乙兩組各自用相同的條件觀測了六個三角形的內角，得三角形的閉合差（即三角形內角和形的內角，得三角形的閉合差（即

12、三角形內角和的真誤差）分別為：的真誤差）分別為： 甲：甲：+3、+1、-2、-1、0、-3； 乙：乙：+6、-5、+1、-4、-3、+5。 試分析兩組的觀測精度。試分析兩組的觀測精度。【 解解 】用中誤差公式（用中誤差公式（5-6）計算得：）計算得：3 . 465341560 . 26301213222222222222 ）（乙甲nmnm18l從上述兩組結果中可以看出，從上述兩組結果中可以看出，甲組甲組的中誤差較的中誤差較小（小（ 2.0），所以觀測），所以觀測精度高于乙組（精度高于乙組（ 4.3）。l而直接從觀測誤差的分布來看，也可看出而直接從觀測誤差的分布來看，也可看出甲組甲組觀測的小誤差

13、比較集中，離散度較小，因而觀觀測的小誤差比較集中，離散度較小，因而觀測精度高于乙組。測精度高于乙組。l在測量工作中，在測量工作中，普遍采用中誤差來評定測量成普遍采用中誤差來評定測量成果的精度。果的精度。2021年12月7日星期二 192.2.容許誤差容許誤差(極限誤差) 根據誤差分布的密度函數，誤差出現在微分區間d內的概率為：demdfPm22221)()(誤差出現在K倍中誤差區間內的概率為：kmkmmdemkmP22221)( 將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現在一倍、二倍、三倍中誤差區間內的概率： P(| m)=0.683=68.3 P(|2m)=0.954=95.4 P

14、(|3m)=0.997=99.7 測量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限差：|容|=3|m| 或 |容|=2|m|2021年12月7日星期二 20 3.3.相對誤差相對誤差(相對中誤差) 誤差絕對值與觀測量之比。 用于表示距離距離的精度。用分子為1的分數表示。分數值較小相對精度較高；分數值較大相對精度較低。 K2K1，所以距離，所以距離S2精度較高。精度較高。例例2 2：用鋼尺丈量兩段距離分別得用鋼尺丈量兩段距離分別得S S1 1=100=100米米,m,m1 1=0.02m=0.02m； S S2 2=200=200米米,m,m2 2=0.02m=0.02m。計算。計算S S

15、1 1、S S2 2的相對誤差。的相對誤差。 0.02 1 0.02 1 K1= = ； K2= = 100 5000 200 10000解：解：2021年12月7日星期二 21一一.一般函數的中誤差一般函數的中誤差令 的系數為 ， (c)式為：ixiixFf由于 和 是一個很小的量，可代替代替上式中的 和 ： ixidxdznnxxFxxFxxF2211(c)代入(b)得對(a)全微分：nndxxFdxxFdxxFdZ2211(b)設有函數：),(21nxxxFZ為獨立獨立觀測值ix設 有真誤差 ，函數 也產生真誤差ixixZ(a)5.5 5.5 誤差傳播定律誤差傳播定律2021年12月7日

16、星期二 22)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2() 1 () 1 (22) 1 (11) 1 (knnkkknnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf對Z觀測了k次，有k個式(d)對(d)式中的一個式子取平方：（i，j=1n且ij）jijinnxxffxxffxxffxfxfxf2223131212122222221212(e)對K個(e)式取總和：njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)2021年12月7日星期二 23njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)(f)式兩邊除以K，得(g)式：(g)nj

17、ijijijinnKxxffKxfKxfKxfK1,222222212122由偶然誤差的抵償性知：0limnxxjin(g)式最后一項極小于前面各項，可忽略不計，則：則：前面各項KxfKxfKxfKnn22222221212即即22222221212xnnxxzmfmfmfm(h)2021年12月7日星期二 2422222221212xnnxxzmfmfmfm(h)考慮考慮 ，代入上式，得中誤差關系式：，代入上式，得中誤差關系式：iixFf2222222121nnZmxFmxFmxFm(6-10)上式為上式為一般函數的中誤差公式一般函數的中誤差公式，也稱為，也稱為誤差傳播定律誤差傳播定律。20

18、21年12月7日星期二 25 通過以上誤差傳播定律的推導，我們通過以上誤差傳播定律的推導，我們可以總結出可以總結出求觀測值函數中誤差的步驟求觀測值函數中誤差的步驟： 1.列出函數式；列出函數式； 2.對函數式求全微分；對函數式求全微分； 3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。 2021年12月7日星期二 26 1.倍數函數的中誤差 設有函數式 (x為觀測值，K為x的系數) 全微分 得中誤差式xxZKmmKmKdxdZKxZ22例：例：量得 地形圖上兩點間長度 =168.5mm0.2mm, 計算該兩點實地距離S及其中誤差ms：l1000:1m2 . 0m5 .168

19、m2 . 0mm2002 . 01000100010001000SmmddlSlSlS解：解：列函數式 求全微分 中誤差式二二 .幾種常用函數的中誤差幾種常用函數的中誤差 2021年12月7日星期二 272.線性函數的中誤差線性函數的中誤差 設有函數式 全微分 中誤差式nnxkxkxkZ2211nndxkdxkdxkdz22112222222121nnZmkmkmkm例：例：設有某線性函數設有某線性函數 其中其中 、 、 分別為獨立觀測值，它們的中誤差分分別為獨立觀測值，它們的中誤差分 別為別為 求Z的中誤差 。 314121491144xxxZ321xxxmm6,mm2,mm3321mmmZ

20、m314121491144dxdxdxdzmm6 . 1623214121492144233222211xxxZmfmfmfm解：解：對上式全微分：由中誤差式得：2021年12月7日星期二 28 函數式 全微分 中誤差式 nnnnnllllx12111lnnlnlnddddx1211121221211222nnnnxmmmm3.算術平均值的中誤差式算術平均值的中誤差式 由于等精度觀測時， ，代入上式： 得mmmmn21nmmnnmX221n 由此可知，算術平均值的中誤差比觀測值的中誤差縮小了縮小了 倍。 對某觀測量進行多次觀測(多余觀測)取平均， 是提高觀測成果精度最有效的方法。2021年12

21、月7日星期二 294.和或差函數的中誤差和或差函數的中誤差 函數式： 全微分： 中誤差式：nxxxZ21ndxdxdxdz2122221nZmmmm當等精度觀測時： 上式可寫成：mmmmmn321nmmZ例：例：測定A、B間的高差 ，共連續測了9站。設測量 每站高差的中誤差 ，求總高差 的中 誤差 。 解：解： ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh2021-12-730【例例】水準測量中，已知后視讀數水準測量中，已知后視讀數a = =1.734 m，前視讀前視讀數數b= =0.476 m，中誤差分別為，中誤差分別為ma= =0.002 m，mb= =0.003 m，試求

22、兩點的高差及其中誤差。試求兩點的高差及其中誤差。解解：函數關系式為函數關系式為h=a- -b，屬和差函數，得，屬和差函數，得mmmmmmbahbah004.00036.0003.0002.0258.1476.0734.12222兩點的高差結果可寫為兩點的高差結果可寫為1.258 m0.004 m。2021-12-731【例例 】在斜坡上丈量距離，其斜距為在斜坡上丈量距離，其斜距為L= =247.50 m，中誤，中誤差差mL= =0.05 m，并測得傾斜角，并測得傾斜角= =1034，其中，其中誤差誤差m= =3，求水平距離，求水平距離D及其中誤差及其中誤差mDcosLD mD303.24334

23、10cos50.247864 3 .453410sin50.2473410sin830 9 . 03410cosLDLD解解: : 1 1）首先列出函數式）首先列出函數式 2 2）水平距離）水平距離這是一個非線性函數，所以對函數式進行全微分，這是一個非線性函數，所以對函數式進行全微分， 3 3）先求出各偏導值如下）先求出各偏導值如下 2021-12-732 5 5）得結果）得結果 ： D= =243.30 m0.06 m。mmDmLDmLD063. 03438 3)3864.45(05. 09830. 0 222222224 4）寫成中誤差形式：）寫成中誤差形式：2021-12-7第五章測量誤

24、差的基本知識33【例例】 圖根水準測量中，已知每次讀水準尺的中誤差為圖根水準測量中，已知每次讀水準尺的中誤差為m mi i= =2 mm2 mm，假定視距平均長度為，假定視距平均長度為50 m50 m，若以，若以3 3倍中倍中誤差為容許誤差，試求在測段長度為誤差為容許誤差，試求在測段長度為L L km km的水準路的水準路線上，圖根水準測量往返測所得高差閉合差的容許線上，圖根水準測量往返測所得高差閉合差的容許值。值。解解:1):1)每站觀測高差為：每站觀測高差為： 2)2)每站觀測高差的中誤差：每站觀測高差的中誤差：因視距平均長度為因視距平均長度為50 m，則每公里可觀測，則每公里可觀測10個

25、測站，個測站，L公里共觀測公里共觀測10L個測站，個測站，L公里高差之和為：公里高差之和為：L(km)(km)高差和的中誤差為：高差和的中誤差為：bahmm 222ihmmLhhhh1021mm 54221010LLmLmh2021-12-734往返高差的較差（即高差閉合差）為：往返高差的較差（即高差閉合差）為：高差閉合差的中誤差為：高差閉合差的中誤差為：以以3倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差的容許值為：倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差的容許值為：在第二章中，在第二章中，取取 作為閉合差的容許作為閉合差的容許值是考慮了除讀數誤差以外的其它誤差的影響值是考慮了除讀數誤差以外的其它誤差的影響（如外

26、界如外界環境的影響、儀器的環境的影響、儀器的i角誤差等）角誤差等）。mm 3810123LLmfhfh容mm 1042Lmmhf返往hhfhmm40 Lfh容2021年12月7日星期二 35觀測值函數中誤差公式匯總 觀測值函數中誤差公式匯總觀測值函數中誤差公式匯總 函數式 函數的中誤差一般函數倍數函數 和差函數 線性函數 算術平均值 ),(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmxFmxxZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkmnnnnnllllx12111nmmX2021年12月7日星期二 36誤差傳播定律

27、的應用誤差傳播定律的應用 用DJ6經緯儀觀測三角形內角時，每個內角觀測4個測回取平均，可使得三角形閉合差 m m1515 。例例1：要求三角形最大閉合差m15 ，問用DJ6經緯儀觀測三角形每個內角時須用幾個測回？ 123=(1+2+3)-180解：解：由題意：2m= 15,則 m= 7.5每個角的測角中誤差：3 . 435 . 7m測回即43 . 45 . 8,5 . 83 . 4,22nnnmmx由于DJ6一測回角度中誤差為：由角度測量n測回取平均值的中誤差公式：5 . 826m3 . 435 . 7 xm2021年12月7日星期二 37誤差傳播定律的應用誤差傳播定律的應用例2：試用中誤差傳

28、播定律分析視距測量的精度。 解:(1)測量水平距離的精度 基本公式： 2cosKlD 求全微分： dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2水平距離中誤差： 22222)2sin()cos( mKlmKmlD)206265( 其中： 2021年12月7日星期二 38誤差傳播定律的應用誤差傳播定律的應用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度。 解: (2)測量高差的精度 基本公式： 求全微分： dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2高差中誤差： 2222)2cos(2sin21 mKlmKmlh2sin21Klh )206265( 其中： 2021年12月7日星期

29、二 39誤差傳播定律的應用誤差傳播定律的應用例3:(1)用鋼尺丈量某正方形一條邊長為 求該正方形的周長S和面積A的中誤差.解: (1)周長 , lml (2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長為其中: 求該正方形的周長S和面積A的中誤差.iliml lllllmmmmmlllll43214321且lS4lSmm4 面積 , 2lAlAlmm2 周長的中誤差為 dldS4全微分:面積的中誤差為 全微分:ldldA22021年12月7日星期二 40解:(1)周長和面積的中誤差分別為 例3:(2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長為其中: 求該正方形的周長S和面積A的中誤差.iliml lllllmmmmm

30、lllll43213321且lSmm4lAlmm2 (2)周長 ;周長的中誤差為 lllllS44321 面積llllllSmmmmmmm24222224321 得周長的中誤差為 2243214LllllA全微分:432141414141dldldldldL 但由于LdLdA2llllllAlmmLmLmLmLmLm222222222244222243212021-12-741三、注意事項三、注意事項 應用誤差傳播定律應注意以下兩點：應用誤差傳播定律應注意以下兩點： 1要正確列出函數式要正確列出函數式例：用長例：用長30 m的鋼尺丈量了的鋼尺丈量了10個尺段，若每尺段的中個尺段，若每尺段的中誤

31、差為誤差為ml=5 mm，求全長，求全長D及其中誤差及其中誤差mD。 1）函數式）函數式 按倍數函數式求全長中誤差，將得出按倍數函數式求全長中誤差，將得出 2）實際上全長應是）實際上全長應是10個尺段之和，故函數式應為個尺段之和，故函數式應為 用和差函數式求全長中誤差，因各段中誤差均相等，用和差函數式求全長中誤差，因各段中誤差均相等，故得全長中誤差為故得全長中誤差為 按實際情況分析用和差公式是正確的，而用倍數公式按實際情況分析用和差公式是正確的，而用倍數公式則是錯誤的。則是錯誤的。 m 300301010lD1021lllDmm 1610lDmmmm5010lDmm2021-12-7422 2

32、在函數式中各個觀測值必須相互獨立，即互在函數式中各個觀測值必須相互獨立，即互不相關不相關。 如有函數式：如有函數式： 而：而：若已知若已知x的中誤差為的中誤差為mx，求，求Z的中誤差的中誤差mz。1 1）直接用公式計算）直接用公式計算, ,由（由（a a）式得：）式得：由（由（b b）式得：）式得：代入（代入（c c）式得）式得 （上面所得的結果是（上面所得的結果是 錯誤）錯誤）(a) 1221yyz)(22321bxyxy；xyxymmmm2321，)(42122cmmmyyzxxxzmmmm5)2(4)3(222021-12-743上面所得的結果是錯誤的。上面所得的結果是錯誤的。 因為因為

33、y1和和y2都是都是x的函數，它們不是互相獨立的的函數，它們不是互相獨立的觀測值，因此在觀測值，因此在（a）式的基礎上不能應用誤差式的基礎上不能應用誤差傳播定律。傳播定律。 正確的做法是：先把正確的做法是：先把(b)式代入式代入(a)式，再把同類式，再把同類項合并，然后用誤差傳播定律計算項合并，然后用誤差傳播定律計算。xmxxz7m 57x 1)22(23z2021-12-7第五章測量誤差的基本知識44等精度直接觀測平差等精度直接觀測平差l多余觀測多余觀測:對一個未知量，進行重復觀測對一個未知量，進行重復觀測.l多余觀測目的多余觀測目的 :提高觀測成果的質量，發現和消除錯提高觀測成果的質量，發

34、現和消除錯誤。有一個多余觀測，就會產生一個矛盾（閉和誤。有一個多余觀測，就會產生一個矛盾（閉和差），消除矛盾的過程，稱為差），消除矛盾的過程，稱為測量平差測量平差。l直接觀測平差直接觀測平差:重復觀測重復觀測.也就產生了觀測值之間互不也就產生了觀測值之間互不相等這樣的矛盾。如何由這些互不相等的觀測值求相等這樣的矛盾。如何由這些互不相等的觀測值求出觀測值的最佳估值，同時對觀測質量進行評估，出觀測值的最佳估值，同時對觀測質量進行評估，即對一個未知量的直接觀測值進行平差即對一個未知量的直接觀測值進行平差.l根據觀測條件，有根據觀測條件，有等精度直接觀測平差等精度直接觀測平差和和不等精度不等精度直接觀

35、測平差直接觀測平差。2021年12月7日星期二 45 觀測值的算術平均值觀測值的算術平均值(最或是值) 用觀測值的改正數用觀測值的改正數v v計算觀測值的計算觀測值的 中誤差中誤差 (即:白塞爾公式)5.6 5.6 同（等）精度直接觀測平差同（等）精度直接觀測平差2021年12月7日星期二 46 一一. .觀測值的觀測值的算術平均值算術平均值(最或是值、最可靠值) 證明算術平均值為該量的最或是值： 設該量的真值為X，則各觀測值的真誤差為 1= 1- X 2= 2- X n= n- X對某未知量未知量進行了n 次觀測，得n個觀測值1,2,n,則該量的算術平均值為：x= =1+2+nnn上式等號兩

36、邊分別相加得和： lnX L= nlnlllLn21 nXl 2021年12月7日星期二 47當觀測無限多次時：nlXnnnlimlim得Xnlnlim兩邊除以n：由 lnX nlXn當觀測次數無限多時，觀測值的算術平均值就是該 量的真值；當觀測次數有限時，觀測值的算術平均 值最接近真值。所以，算術平均值是最或是值,或最可靠值。也稱最或然值。常用x表示。 L X nXl XLXnln 0)(limlimXLnnn2021年12月7日星期二 48觀測值改正數特點二二. .觀測值的改正數觀測值的改正數v v ： 以算術平均值為最或是值，并據此計算各觀測值的改正數 v ，符合vv=min 的“最小二

37、乘原則”。Vi = L - i (i=1,2,n)特點特點1 改正數總和為零：改正數總和為零：對上式取和：以 代入：通常用于計算檢核L= nv=nL- nv =n -=0v =0特點特點2 vv符合符合“最小二乘原則最小二乘原則”：則即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvv dx(x-)=0nx-=0 x= n2021-12-749二、評定精度二、評定精度（一）觀測值的中誤差（一）觀測值的中誤差1 1由真誤差來計算由真誤差來計算當觀測量的真值已知時當觀測量的真值已知時, ,可根據中誤差估值的定義即可根據中誤差估值的定義即由觀測值的真誤差來計算其中誤差。由觀測值的真誤差來計算其中誤差。n

38、m2 2由改正數（最或然值誤差由改正數（最或然值誤差v v）來計算）來計算 在實際工作中，觀測量的真值除少數情況外一般在實際工作中，觀測量的真值除少數情況外一般是不易求得的。是不易求得的。因此在多數情況下，我們只能按觀測因此在多數情況下，我們只能按觀測值的最或然值來求觀測值的中誤差。值的最或然值來求觀測值的中誤差。 1nvvm2021年12月7日星期二 50精度評定 比較前面的公式，可以證明，兩式根號內的部分是相等的，1nvvnnmnvvm1即在 與 中：精度評定精度評定用觀測值的改正數v計算中誤差1nvvm一.計算公式(即白塞爾公式)：2021年12月7日星期二 511nvvn證明如下：證明

39、如下：nnnnlxvlXlxvlXlxvlX22221111真誤差：真誤差：改正數：改正數：證明兩式根號內相等XlXlXlnn2211nnlLvlLvlLv2211iiiivXLv對上式取n項的平方和 vvvn22由上兩式得其中: 0lnLv2021年12月7日星期二 52證明兩式根號內相等 222222)(nnXlnnXnlXL njijijinn1,2222122122)( 02222nn vvnvvvn222nvvnn21nvvn中誤差定義:nm白塞爾公式:1nvvm2021年12月7日星期二 53解：解：該水平角該水平角真值未知真值未知，可用，可用算術平均值的改正數算術平均值的改正數V

40、 V計計 算其中誤差：算其中誤差：例：例：對某水平角等精度觀測了5次，觀測數據如下表， 求其算術平均值及觀測值的中誤差。算例1:次數觀測值VV V備注1764249-4162764240+5253764242+394764246-115764248-39平均764245 V =0VV=60 98315601 .nVVm4715983 .nmM7642451.74 2021年12月7日星期二 54距離丈量精度計算例算例算例2：對某距離用精密量距方法丈量六次，求對某距離用精密量距方法丈量六次，求該距離的算術該距離的算術 平均值平均值 ； 觀測值的中誤差觀測值的中誤差 ； 算術平均值的中誤算術平均值的中誤 差差 ； 算術平均值的相對中誤差算術平均值的相對中誤差 ：xxmMxM /凡是相對中誤差，都必須用分子為1的分數表示。2021-12-755 1）應設法提高單次觀測的精度，）應設法提高單次觀測的精度， 如如: 使用精度較高的儀器、使用精度較高的儀器、 提高觀測技能提