1、- 1 - 重慶南開中學2020 級高三第三次教學質量檢測考試數學（理科）一、選擇題：本題共12 小題，每小題5 分，共 60 分. 在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的1. 已知集合1,2,3,4,5u，2|30axxxz，則ua =e（）a. 5b. 4,5c. 3,4,5d. 2,3,4,5【答案】 c 【分析】化簡集合a，進而求補集即可. 【詳解】1,2a，又1,2,3,4,5u，ua =e3,4,5，故選 c 【點睛】本題考查補集的概念及運算，考查計算能力，屬于基礎題. 2. 已知復數21aii為純虛數，則實數a（）a. 4 b. 3 c. 2 d. 1 【答案】

2、c 【分析】根據復數的除法運算，化簡得到2i22i1i22aaa，再由題意，即可得出結果. 【詳解】因為2(1)22(2)221(1)(1)222aiiaiaiaaaiiii為純虛數，所以202a，因此2a. 故選 c 【點睛】本題主要考查由復數的類型求參數，熟記復數的除法運算即可，屬于基礎題型. 3. 已知平面向量182ambmrr，則“4m”是“/ /abrr”的（）a. 充要條件b. 既不充分也不必要條件- 2 - c. 必要不充分條件d. 充分不必要條件【答案】 d 【分析】根據題意，由向量共線的坐標表示，以及充分條件與必要條件的概念，即可得出結果. 【詳解】因為平面向量182ambm

3、rr，若4m，則18 24，rrab，所以2rrba，因此/ /abrr；即“4m”是“/ /abrr”的充分條件若/ /abrr，則(2)80m m，解得4m或2m；所以“4m”不是“/ /abrr”的必要條件；綜上，“4m”是“/ /abrr”的充分不必要條件. 故選 d 【點睛】本題主要考查命題的充分不必要條件的判定，熟記充分條件與必要條件的概念，以及向量共線的坐標表示即可，屬于常考題型. 4. 函數sin3cosfxxx 的一條對稱軸為（）a. 6xb. 3xc. 6xd. 3x【答案】 a 【分析】先整理函數2sin3fxx，再由,32xkkz，求出對稱軸，即可得出結果. 【詳解】因

4、為sin3cos2sin3fxxxx，由,32xkkz得5,6xkkz，當1k時，6x. 故選 a 【點睛】本題主要考查求三角函數的對稱軸，熟記正弦函數的對稱軸即可，屬于常考題型. 5. 已知等比數列na的前n項和為ns，120a a，4236aaa，則43ss（）- 3 - a. 157b. 53c. 53d. 157【答案】 b 【分析】先設等比數列na的公比為q，根據題中條件求出公比，再由等比數列的求和公式，即可求出結果 . 【詳解】設等比數列na的公比為q，由120a a，4236aaa得21222206a qa qaa q，即2060qqq，解得2q，因此443311 1615511

5、 893sqqs. 故選 b 【點睛】 本題主要考查等比數列前n項和的基本量運算，熟記等比數列的通項公式與求和公式即可，屬于常考題型. 6. 已知非零平面向量a brr，滿足64ababbarrrrrr，則ar與br的夾角為（）a. 6b. 3c. 23d. 56【答案】 c 【分析】先由題意得到226650rrrrrr rrababaa bb，推出22rrra ba，再由向量夾角公式，即可得出結果. 【詳解】因為64ababbarrrrrr，所以226650rrrrrr rrababaa bb，因此2265160rr rraa ba，即22rrra ba，所以2221cos,24rr rr

6、rr rraa ba ba ba，- 4 - 因此ar與br的夾角為23. 故選 c 【點睛】本題主要考查向量的夾角運算，熟記平面向量數量積的運算法則即可，屬于常考題型. 7. 已知定義在r上的函數fx滿足20fxfx，當1x時，2fxx，則不等式0fx的解集為（）a. 12，b. 0，c. 0 2，d. 012，【答案】 d 【分析】先求出1x，0fx的解集；再由題意求出1x時，函數的解 +析式，進而求出不等式的解集 . 【詳解】當1x時，2fxx，由0fx可得12x；若1x，則21x，因此222fxxx，又定義在r上的函數fx滿足20fxfx，所以( )2f xfxx，即1x時，fxx，由

7、0fx可得，0 x. 綜上，不等式0fx的解集為012，. 故選 d 【點睛】本題主要考查解不等式，熟記一次函數單調性，以及函數解+析式的求法即可，屬于常考題型 . 8. 明代數學家程大位在算法統宗中提出如下問題“九百九十六斤綿，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數來言，務要分明依次第，孝和休惹外人傳. ”意思是將996 斤綿分給八個人，從第二個人開始，每個人分得的綿都比前一個人多17 斤，則第八個人分得綿的斤數為（）a. 150 b. 167 c. 184 d. 201 - 5 - 【答案】 c 【分析】設第一個孩子分配到a1斤錦，利用等差數列前n項和公式得：8187812sa7996

8、，從而得到a165，由此能求出第八個孩子分得斤數【詳解】解：設第一個孩子分配到a1斤錦，則由題意得：8187812sa7996，解得a165，第八個孩子分得斤數為a865+717184故選 c【點睛】本題考查等差數列的第八項的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用9. 函數lncosxyx的圖象大致為（）a. b. - 6 - c. d. 【答案】 a 【分析】先判斷lncosxyx在01x和12x的正負，再判斷lncosxyx在2x上的正負，即可得出結果. 【詳解】當01x時，cos0 x，ln0 x，所以ln0cosxx，當12x時，cos0 x，ln0 x，所以l

9、n0cosxx，排除 cd ；當2x時，cos0 x，ln0 x，所以ln0cosxyx，圖像應在x軸下方，排除b；故選 a 【點睛】本題主要考查函數圖像的識別，靈活運用排除法，熟記余弦函數與對數函數的性質即可，屬于常考題型. - 7 - 10. 在abc中，3acab， 點m，n分別在acab，上， 且2ambn，bmcn,則abc的面積為（）a. 9 1011b. 8122c. 4511d. 18 1011【答案】 a 【分析】先由題意，得到23amacuuuu ruu u r，13uu u ruuu ranab，再由bmcn得到21033uuuu r uuu ru uu ruuu ruu

10、 u ruu u rbmcnacababac，求出9cos11a，得到2 10sin11a，再由三角形面積公式，即可求出結果. 【詳解】因為點m，n分別在acab，上，且2ambn，3acab，所以23amacuuuu ru uu r，13uuu ruuu ranab，所以23uuuu ruuuu ruuu ruuu ruuu rbmamabacab，13uu u ruuu ruuu ru uu ruuu rcnanacabac，又bmcn，所以21033uu uu r uuu ruuu ruu u ruuu ruuu rbm cnacababac，即2211210933u uu r uuu

11、ruuu ruu u rab acacab，所以11cos909u uu r uuu rab aca，因此9cos11a，所以2 10sin11a，所以abc的面積為19 10sin211abcsab aca=. 故選 a 【點睛】本題主要考查求三角形的面積，熟記平面向量基本定理，向量的數量積運算，以及三角形面積公式即可，屬于常考題型. 11. 在abc中，內角abc， ，所對的邊分別為abc， ，若2 coscaab， 則3acb的最小值為（）- 8 - a. 2b. 3c. 2 2d. 3 【答案】 c 【分析】先由2 coscaab，結合余弦定理得到2bcaa，代入3acb得到32aca

12、bbba，根據基本不等式，即可求出結果. 【詳解】因為2 coscaab，由余弦定理可得：22222acbcaaac，整理得：2bcaa，所以2232222 2baacaba babbbaba，當且僅當2abba，即2ba時，取等號 . 故選 c 【點睛】本題主要考查解三角形，熟記余弦定理，靈活運用基本不等式即可，屬于常考題型. 12. 已知數列na，nb滿足：*113122lnnnnnnnnaabbabnnn，110ab，給出下列四個命題：數列nnab單調遞增；數列+nnab單調遞增；數列na從某項以后單調遞增這三個命題中的真命題是（）a. b. c. d. 【答案】 a 【分析】根據題意，

13、求出1131ln-nnnnnababn，由特殊值驗證，可判斷的真假；再由題意得到113133ln3()ln(1)3lnnnnnnnnabababnnn，求出1113lnnnnababn，即可判斷出的真假；根據1131ln-nnnnnababn，由累加法，求出112ln (1)!ln+nnababnn， 再與1113lnnnnababn聯立，- 9 - 求出111113ln (1)!22+nnababan，即可判斷的真假. 【詳解】因為*113122lnnnnnnnnaabbabnnn，對于，1131ln-nnnnnababn，即311ln1=nnnnnababn，當1n時，22111ln02=

14、abab，即2211abab，顯然數列nnab不是遞增數列，故錯；對于，113133ln3()ln(1)3lnnnnnnnnabababnnn，所以11ln(1)3(ln)nnnnabnabn，因此，數列lnnnabn是以11ab為首項，以3為公比的等比數列，所以111ln3nnnabnab，即1113lnnnnababn，所以111111133ln(1)lnnnnnnnababababnn1111111123ln23ln 1nnnababnn，又110ab，*nn，所以11111123ln 10nnnnnabababn，即11nnnnabab，數列+nnab單調遞增，故正確；對于，因為311

15、ln3lnln(1)1=nnnnnababnnn，所以22113ln1ln 2=abab，33223ln 2ln3=abab，113ln(1)ln=nnnnababnn，以上各式相加得：112ln 22ln3.2ln(1)ln2ln (1)!ln=nnababnnnn，所以112ln (1)!ln+nnababnn，- 10 - 由111112ln (1)!ln3lnnnnnnababnnababn，解得111113ln (1)!22+nnababan因為110ab，13ny和ln (1)!yn單調遞增，所以數列na單調遞增，故正確；故選 a 【點睛】本題主要考查數列的綜合應用，熟記等比數列的

16、通項公式，會用構造法求數列的通項公式，熟記數列的單調性的判定方法即可，屬于常考題型. 二、填空題：本題共4 小題，每小題5 分，共 20 分13. 已知曲線3yxax在1x處的切線與直線21yx平行，則a的值為 _【答案】1【分析】先對函數求導，得到23yxa，求出切線斜率，再由題意列出方程，即可求出結果. 【詳解】由3yxax得23yxa，因此曲線3yxax在1x處的切線斜率為：13xkya，又切線與直線21yx平行，所以32a，解得1a. 故答案為1【點睛】本題主要考查由切線的斜率求參數，熟記導數的幾何意義即可，屬于常考題型. 14. 已知函數sinfxax，其中00a，的部分圖象如圖所示

17、，則_- 11 - 【答案】23【分析】先由 圖像得 到2a，2822433t， 求 出12，得 到12sin2fxx，根據圖像過點2,03，得到22,3kkz，即可求出結果. 【詳解】先由圖像可得：2a，2822433t，所以12，因此12sin2fxx，又圖像過點2,03，所以122sin023，即sin03，由圖像可得：2,3kkz，所以22,3kkz，又，所以23. 故答案為23【點睛】本題主要考查由三角函數部分圖像求參數的問題，熟記三角函數的圖像與性質即可，屬于常考題型. 15. 已知函數221xfxek x在0，上單調遞增，則實數k的取值范圍是_【答案】1e，【分析】先對 函數fx

18、求導，得到22 1xfxek x，根據 題意得到22 10 xfxek x在0，上恒成立，即1xekx在0，上恒成立，再令- 12 - ( )xeg xx，0 x，對其求導，用導數的方法求出其最小值，即可得出結果. 【詳解】由221xfxek x得22 1xfxek x，又函數221xfxek x在0，上單調遞增，所以22 10 xfxek x在0，上恒成立，即1xekx在0，上恒成立，令( )xeg xx，0 x，則22(1)( )xxxe xeexg xxx，由( )0g x得1x；由( )0gx得01x，所以函數( )xeg xx在(0,1)上單調遞減，在(1,)上單調遞增；因此min(

19、 )(1)g xge，所以min( )(1)g xge，故1ke，即1ke. 故答案為1e，【點睛】本題主要考查由函數在給定區間上的單調性求參數的問題，熟記導數的方法求函數的最值即可，屬于常考題型. 16. 已知平面向量a br r，滿足：2abrr，rrab，22230rr rrbb cc，則2acrr的最大值是 _【答案】 6 【分析】先由題意，不妨令uu u rroaa，obbuu u rr，以oauuu r方向為x軸，obuuu r方向為y軸，建立平面直角坐標系，得到(2,0)ra，(0, 2)rb，設( , )ruuu rcocx y，根據題意，得到22(3)1xy，即點( , )c

20、 x y在以(0,3)n為圓心， 以1為半徑的圓上運動，再由222(4)rracxy表示點( , )c x y與定點( 4,0)m之間的距離，根據點與圓位置關系，即可求出結果. - 13 - 【詳解】因為2abrr，rrab，不妨令uu u rroaa，obbuuu rr，以oauu u r方向為x軸，obuuu r方向為y軸，建立平面直角坐標系，則(2,0)ra，(0,2)rb，設( , )ruu u rcocx y，由22230rr rrbb cc可得22860yxy，即22(3)1xy，所以向量rc所對應的點( , )c x y在以(0,3)n為圓心，以1為半徑的圓上運動，又222(4)

21、rracxy表示點( , )c x y與定點( 4,0)m之間的距離，因此max116916cmmn. 故答案為6 【點睛】本題主要考查求向量模的最值，利用建系的方法，根據向量數量積的運算法則，以及向量模的幾何意義即可求解，屬于常考題型. 三、解答題：共70 分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17. 已知公差不為0 的等差數列na的前n項和為247nsaaa，成等比數列，且550s（1）求na；（2）求數列11nna a的前n項和【答案】（1）24nan； （ 2）123nn. 【分析】（1）先設等差數列的公差為d，根據題意，求出首項與公差，即可得出通項；- 14 - （2）由（ 1

22、）的結果，得到1112426nna ann，根據裂項相消法，即可求出結果. 【詳解】（1）先設等差數列的公差為d，由題知2224274444236aa aaadaddad，而0d，故46ad，由53355010saa，126da，24nan；（2）由（ 1）可得：1111112426423nna annnn，前n項和為11111114 344523nnl1 11433123nnn. 【點睛】本題主要考查求等差數列的通項，以及求數列的和，熟記數列的通項公式以及裂項相消法求數列的和即可，屬于常考題型. 18. 在abc中，23abacd，為bc邊上的中點（1）求sinsinbaddac的值；（2）

23、若2baddac，求ad【答案】（1）32； （2）54. 【分析】（1 ）根 據 題意，得 到abdadcss，由三角 形 面積公式 ， 得到11sinsin22ab adbadad acdac，進而可求出結果；（2）先由2baddac，得到3cos4dac，求出21cos2cos18baddac，根據余弦定理，以及bddc ，列出等式，求解，即可得出結果 . - 15 - 【詳解】（1）因為在abc中，23abacd，為bc邊上的中點，所以abdadcss，即11sinsin22ab adbadadacdac，sin3sin2badacdacab；（2）由2baddac得sin2sinco

24、sbaddacdac，所以3cos4dac，21cos2cos18baddac，在abc中，22142 28bdadad，在adc中，22392 34dcadad，而 bddc ，所以221342 292 384adadadad，解得54ad. 【點睛】本題主要考查解三角形，熟記三角形面積公式，以及余弦定理即可，屬于常考題型. 19. 某工廠生產一批零件，為了解這批零件的質量狀況，檢驗員從這批產品中隨機抽取了100件作為樣本進行檢測，將它們的重量（單位：g）作為質量指標值由檢測結果得到如下頻率分布直方圖分組頻數頻率45,478 47,4949,5151 53，16 0.16 53 55，4 0

25、.04 合計100 1 - 16 - （1）求圖中ab，的值；（2）根據質量標準規定：零件重量小于47 或大于 53 為不合格品，重量在區間47 49，和51 53，內為合格品，重量在區間49 51，內為優質品已知每件產品的檢測費用為5 元，每件不合格品的回收處理費用為20 元以抽檢樣本重量的頻率分布作為該零件重量的概率分布若這批零件共m件*100mmn，現有兩種銷售方案：方案一：不再檢測其他零件，整批零件除對已檢測到的不合格品進行回收處理，其余零件均按150 元/ 件售出； 方案二：繼續對剩余零件的重量進行逐一檢測，回收處理所有不合格品，合格品按150 元/件售出，優質品按 200 元 /

26、件售出 僅從獲得利潤大的角度考慮，該生產商應選擇哪種方案？請說明理由【答案】（1）0.24,0.04ab； （ 2）當1815m時，選方案一；當1814m時，選方案二【分析】（1）根據題中數據，得到0.080.042b，根據頻率之和1，進而可求出結果；（2）根據題中條件，得到兩種方案下的總收入，比較兩收入的大小，即可得出結果. 【詳解】（1）根據題中數據可得：0.080.042b，又頻率之和為1，則10.120.080.040.020.242a；（2）該工廠若選方案一：可收入121505 100 12201502540mm元；若選方案二：一件產品的平均收入為20 0.12 150 0.4200

27、 0.485148.6元，故總收入148.6m元；- 17 - 21502540148.618147mmm，故當1815m時，選方案一；當1814m時，選方案二【點睛】本題主要考查補全頻率分布直方圖，以及由頻率分布直方圖解決實際問題，熟記頻率的性質即可，屬于常考題型. 20. 已知函數2ln11fxaxxar存在極值點（1）求a的取值范圍；（2）設fx的極值點為0 x，若00fxx，求a的取值范圍【答案】（1）0a； （2）104a. 【分析】（1）先由題意確定函數定義域，再對函數求導，當0a得到函數單調，無極值點；當0a時，設2221h xaxax，分別討論0a和2a兩種情況，根據二次函數的

28、性質，即可得出結果；（2）先由（ 1）得2002210axax，推出00121axx，根據00fxx，得到000111ln1212xxx， 令1ln2g xxxx，根據函數g x單調性， 確定0 x的范圍，即可求出結果. 【詳解】（1）函數fx的定義域為1 +，21221211axaxfaxxxx，當0a時，0fx，即函數fx單調遞減，無極值點；當0a時，由00a或2a，設2221h xaxax，則110h當0a時，0h x的兩根一個小于1、一個大于1，故fx有一個極值點；當2a時，由對稱軸為12x，知0h x的兩根均小于1，故fx無極值點；綜上所述，0a；- 18 - （2）由（ 1）知0a

29、且2002210axax，00121axx，220000000000ln11ln1121xfxxaxxxxxxx，000111ln1212xxx，令1ln2g xxxx，顯然g x在0，上單增，又112g，011x即02x，0011214axx，104a【點睛】本題主要考查根據函數有極值點求參數，以及由不等式恒成立求參數的問題，通常需要對函數求導，用導數的方法研究函數的單調性與極值即可，屬于常考題型. 21. 已知橢圓2222:10 xycabab的左右焦點分別為12ff，離心率為32，點d在橢圓c上，且12df f的周長為4+23（1）求橢圓c的方程；（2）已知過點1 0，的直線與橢圓c交于

30、ab，兩點，點p在直線4x上，求222papbab的最小值【答案】（1）2214xy； （ 2）452. 【分析】（1）根據題意，得到322242 3caac，求出,a c，得到b，進而可求出橢圓方程；（2）當斜率為 0 時，得到2 02 04 0abp， ， ，易求出結果； 當直線不斜率為0 時，- 19 - 設112204a xyb xypy，設直線方程為1xmy，聯立直線與橢圓方程，根據韋達定理，以及弦長公式等，得到42422002222222243814672381307221818444mmmmmyympapbabmm，再令24tm，1ut，將原式化為216017456huuu，根據

31、二次函數性質，即可求出結果 . 【詳解】（1）由題意可得：322242 3caac，解得：23ac，所以2221bac；故橢圓方程為：2214xy；（2）當直線斜率為0 時，2 02 04 0abp， ， ，則22262456papbabpapbab，當直線不斜率為0 時：設112204a xyb xypy，設直線方程為1xmy，聯立方程22144xmyxy，得224230mymy，21630m，12224myym，12234y ym，所以2222222221012021212(4)()(4)()()()papbabxyyxyyxxyy2222221012021212(3)()(3)()()(

32、)myyymyyymymyyy2222221211001212186()(1)()22()(1)()m yymyyyyyymyy42422002222243814672381307221818 *444mmmmmyymmm令224 44tmmt，則*式223817416018ttt，- 20 - 又令1104ut，則2*16017456uu，記為216017456huuu，其對稱軸14u，開口向上，所以函數216017456huuu在104，u上單調遞減，所以min14542h uh【點睛】本題主要考查求橢圓標準方程，以及直線與橢圓位置關系的應用，熟記橢圓標準方程的求法，橢圓的簡單性質，以及弦長公式等即可，屬于常考題型，計算量較大. 請考生在第22、23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。作答時用2b鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑選修 4-4 ：坐標系與參數方程22. 在直角坐標系xoy中，直線l的參數方程為1cos1sinxtxytx（t為參數，0） ，以o為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線c的極坐標方