1、2 第五章數(shù) 列 第 1 課時(shí)數(shù)列的概念及其簡(jiǎn)單表示法 一、填空題 2 4 6 8 1. 數(shù)列，n 刁，一；，的第 10 項(xiàng)是 _ . 3 5 7 9 20 答案：21 解析：所給數(shù)列呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)形式，且正負(fù)相間，求通項(xiàng)公式時(shí)，我們可以把符號(hào)、分母、 2n 分子每一部分進(jìn)行分解，就很容易歸納出數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為 an= ( 一 1)n+1 亦匚，故 20 a1o= zr. 21 2. 已知數(shù)列a n滿足 an+ 2= an+1 an,且 a1 = 2, a2= 3,貝U a2 016 的值為 _ . 答案：1 解牛析：由題意，彳得 a3 a2 a1 1, a4 a3 a2 2, asa4 a3

2、3, a6as a4 1, a7= a6 a5= 2,.數(shù)列an是周期為 6 的周期數(shù)列.而 2 016 = 6X 336, a 2 016 = a6= 1. 3. 數(shù)列 7, 9, 11,，2n 1 的項(xiàng)數(shù)是 _ . 答案：n 3 解析：易知 a1 =乙 d = 2,設(shè)項(xiàng)數(shù)為 m 貝 U 2n 1 = 7+ (m 1) x 2, m= n 3. 4. 已知數(shù)列a n的前 n 項(xiàng)和為 S,且 anM0(n N)，又 anan+1= Sn,則 a3 a1= _ . 答案：1 解析：因?yàn)?anan+1 = S,所以令 n = 1 得 a1a2= S= a1，即卩 a2= 1.令 n = 2,得 a

3、2a3 = S2 = a1 + a2, 即卩 a3 = 1 + a1，所以 a3一 a1 = 1. 5. _ 已知數(shù)列a n的前 n項(xiàng)和 Sn= n2+ 2n+ 1，則an的通項(xiàng)公式為 _ 解析：當(dāng) n = 1 時(shí)，a1 = Si = 4;當(dāng) n2 時(shí)，an = S S-1 = 2n + 1, a 6. 已知數(shù)列a n的前 n項(xiàng)和為 Sn,且S= 2an 1(n N*)，貝U as= _ 答案：16 解析：當(dāng) n = 1 時(shí)，S= 2a1 1 ,. a 1= 1; 當(dāng) n2 時(shí)，Sn = 2an 1, Sn 1 = 2an 1 1,則有 a n = 2an 2an 1 , a n = 2an

4、1. - - a n是 等比數(shù)列，且 a1= 1, q= 2，故 as= a1 x q4= 24= 16. 2 1 7. _ 若數(shù)列a n的前n項(xiàng)和 S = 3an+ -，則a n的通項(xiàng)公式 an= _ 3 3 答案：an = 4 (n= 1), 2n+ 1 (n2) =4 (n= 1), n 2n+ 1 (n2) 解析：當(dāng) n= 1 時(shí)，a1 = 1;當(dāng) n2時(shí), 2 2 an Sn Sn 1 3an 38.-1, an 則訂=2,得an =(2) 8.設(shè)數(shù)列a n滿足 a1= a, an +1 = a22 an + 1 (n N).若數(shù)列an是常數(shù)列，則 a= 答案：2 解析：因?yàn)閿?shù)列an

5、是常數(shù)列，所以 a2 = al-2 a1 + 1 a2-2 a+ 1， 即 a(a + 1) = a2 2,解得 a 2 答案：(一 2)n 1=2. 9. _ 數(shù)列a n的前 n項(xiàng)積為 n2,那么當(dāng) n2時(shí)，an= _ 2 n答案: (n 1) 3 T n 解析：設(shè)數(shù)列an的前 n項(xiàng)積為 Tn,貝y Tn= n，當(dāng) n2時(shí)，&= T n 10. _ 數(shù)列a n滿足：ai= 1,且對(duì)任意的 mn N 都有 an+心 an+ am+ nm 則 aioo= _ 答案：5 050 解析：令 m= 1，貝U an+1 = an+ 1 + n? an+1 an= n +1 ? aioo= (a

6、ioo a99)+ (a 99 a98)+ + (a 3 a2)+ (a 2 aj + a1 = 1OO + 99 + 2 + 1 = 5 O5O. 二、解答題 11. 數(shù)列a n的通項(xiàng)公式是 an= n2 7n + 6. (1) 這個(gè)數(shù)列的第 4 項(xiàng)是多少？ (2) 15O 是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？ (3) 該數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始各項(xiàng)都是正數(shù)？ 解：(1)當(dāng) n = 4 時(shí)，a4= 4 4X 7+ 6 = 6. (2) 令 an= 15O ,即卩 n2 7n+ 6= 15O,解得 n= 16 或 n= 9(舍去)，即 15O 是數(shù)列的第 16項(xiàng). (3) 令 an= n

7、2 7n + 6O，解得 n6 或 nv 1(舍)，二 從第 7 項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù). 2 2 12. 已知數(shù)列an滿足前 n項(xiàng)和 S= n2 + 1,數(shù)列bn滿足 bn= ，且前 n項(xiàng)和為 Tn. an+ 1 設(shè) Cn = T2n+ 1 Tn. (1) 求數(shù)列b n的通項(xiàng)公式； (2) 判斷數(shù)列Cn的增減性. 解：(1) a 1= 2, an = Sn Sn1 = 2n 1(n 2), 2 1 3(n = 1), I b n=- 1 ；52). n (2) T C n= bn + 1 + bn+ 2+ b2n+ 1 1 1 1 = + + - n+ 1 n+ 2 2n+ 1 C n+ 1 Cn

8、 . 數(shù)列C n為遞減數(shù)列. 1 * 13. - 已知數(shù)列an中，an= 1+ (n N , a R,且 a*0). a+ 2 (n 1) (1) 若 a = 7,求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值； (2) 若對(duì)任意的 n N,都有 anW a6成立，求 a 的取值范圍. ” 1 * 口 解：(1) / a n= 1+ (n N, a R,且 a*0), a+ 2 (n 1)(n 1) C n+ 1 Cn = 1 2n+ 2+ 1 2n+ 3 1 2n+ 3 1 2n+ 2 1 (2n+ 3)( 2n+ 2) 0, 1 an = 1 + a + 2 (n 1) 2 廠：，對(duì)任意的 n N ,都

9、有 an a6成立，結(jié)合函數(shù) 4 2 _ a 526，即一 10a 8,即 a 的取值范圍是（一 10, 8).第 2 課時(shí)等差數(shù)列 一、填空題 1. 在等差數(shù)列an中，as= 33,公差 d= 3，則 201 是該數(shù)列的第 _ 項(xiàng). 答案：61 解析：T a n = as + (n 5)d , 201 = 33 + 3(n 5) , n = 61. 2. 已知a n為等差數(shù)列，a1+ a3 + as= 105, a2+ a4+ a6= 99,貝U a20= _ . 答案：1 解析：T a1 + a3+ a5= 105,即 3a3= 105,解得 a3= 35,同理 a2+ a4+ a6= 9

10、9,得 a4 = 33. T d= a4 a3= 33 35 = 2,. a 20= a4 + (20 4)d = 33 + 16X ( 2) = 1. 3. 在等差數(shù)列an中，已知 a2+ a8= 11,貝U 3as+ an的值為 _ . 答案：22 解析：3a3+ an = a3+ a3+ a3+ an = a3+ a2+ a4+ an = a3 + a2 + a7 + a8= 2(a 2+ as) = 11 x 2= 22. 4. 若等差數(shù)列an的前 5 項(xiàng)和 S5= 25,且 a4= 3,貝U a?= _ . 答案：3 5 (a1 + a5) 解析：S5= 25? = 25? a3=

11、5,所以 d= a4 a3= 2, a7= a4+ (7 4)d = 3 6 =3. 5. 在等差數(shù)列an中，a1= 7,公差為 d,前 n項(xiàng)和為 Sn,當(dāng)且僅當(dāng) n = 8 時(shí)，Sn取最大 值，貝 U d 的取值范圍是 _ . 答案：1d0, ao0, 7+ 8d0，即一 1d0, a7 + av 0，則當(dāng) n= _ 時(shí)，a n的前 n 項(xiàng)和最大. 答案：8 解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，得 a7 + a8 + ao= 3a8, a8 0,又 a?+ aev 0,所以 a8+ aov 0, 所以 aov 0,所以 S8S7, S8So,故數(shù)列an的前 8 項(xiàng)和最大. 7. 若一個(gè)等差數(shù)列an的前

12、3 項(xiàng)和為 34,最后 3 項(xiàng)的和為 146，且所有項(xiàng)的和為 390, 則這個(gè)數(shù)列有 _ 項(xiàng). 答案：13 解析：a1 + a2 + a3 + an-2 + an-1 + an= 34 + 146= 180,所以 3(a 1+ an) = 180,即 a1 + an = 60. 由 S = 390,知“(葦 昂)=390,所以 三60 = 390，解得 n = 13. 8. 記等差數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為 Sn.已知 a1= 2,且數(shù)列 Sn也為等差數(shù)列，則 a13的 值為 _ . 答案：50 解析：數(shù)列S為等差數(shù)列，得，S + .SB= 2 S2,即 2 + 6+ 3d = 2 4 + d,則

13、 d= 4, a13 = a1 + 12d = 50. S3 1 SB 9. 已知等差數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為 S,若二=；,則；T= _ . Ss 3 S12 答案：10 S3 3ai+ 3d 1 S6 解析：由等差數(shù)列的求和公式可得 S = 6a + 15d = 3 可得 a1= 2d,且 d0,所以 瓦=f(x) =-7的單調(diào)5 6ai+ 15d 27d 3 12ai+ 66d 90d 10 10. 在等差數(shù)列an中，a2 = 5, a6= 21,記數(shù)列 丄，啲前 n項(xiàng)和為 S,若Sn+1 對(duì) 0 15 n N*恒成立，則正整數(shù) m 的最小值為 _ . 八 答案：5 1 . 解析：由a2=

14、 5, a6= 21易得等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an = 4n- 3，所以訂石二.故 1 1 1 1 1 Sn+ 1 S= + + + + + - . a2n + 1 a2n a2n-1 Nn +2 Nn+1 Tn Sn + 1 Sn，貝 H Tn + 1 S(n + 1) + 1 Sn+ 1 S2n + 3 + 1 , 所以 Tn+ 1 Tn= (S2n +3 Sn+1) (S 2n+ 1 Sn) (S 2n+ 3 Sn +1) (S n + 1 S) 111 1 1 1 + 8n+ 9+ 8n+ 5 _ 4n+ 1 8n+ 2 + 8n+ 2 4n+ 1 = 8n+ 2 4n+ 1 所以

15、Tn+ 1 Tn0,即卩 Tn + 18.故 d 的取值范圍是 d0，前 n項(xiàng)和為 Sn, a? as 45, a1+ a5 18. (1)求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式. 2n+ 1 + a2n+ 3 a2n+ 2 an+1 4 (2n + 3) 3 4 (2n + 2) 3 4 ( n+ 1) 3 1111112 1 0. S2n+ 1 SnW 對(duì) 15 詳，所以正整 3 a1 7, 解得* d = 3, 6 令 bn =(n N*),是否存在一個(gè)非零常數(shù) c,使數(shù)列bn也為等差數(shù)列？若存在, n十 c 求出 c 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解：(1)由題設(shè)，知an是等差數(shù)列，且公差 d0,7

16、n (1 + 4n 3) 2 n + c 1 T c 豐 0,. 可令 c = 2，得到 bn= 2n. / bn+1 bn= 2(n + 1) 2n = 2(n N), 數(shù)列bn是公差為 2 的等差數(shù)列. 1 即存在一個(gè)非零常數(shù) c = 2，使數(shù)列bn也為等差數(shù)列.第 3 課時(shí) 等比數(shù) 列 一、填空題 1. 等比數(shù)列a n的公比大于 1, a5 a = 15, a4 a2= 6，貝U a3= _ . 答案：4 解析：由 a5 a1 = 15, a4 a2= 6(q1)，得 q= 2, a= 1，貝U a3= 4. 1 S4 2. 設(shè)等比數(shù)列an的公比 q=-,前 n項(xiàng)和為 S,則一= 2 a

17、4 - 答案：15 a1 (1 q ) 3匕 S4 1 q 解析：S4= 1q , a4= a1q，所以 = q3 (1 q) = 15. 3. 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an中，若 log 2a2 + log 2a8= 1，則 a3a?= _ . 答案：2 解析：由 log 2a2 + log 2a8= 1 得 log 2(a 2a8) = 1，所以 a2a8= 2，由等比數(shù)列性質(zhì)可得 asa? =a2a8= 2. 4. 已知等比數(shù)列a n的前 n項(xiàng)和為 Sn,且 4a1, 2a2, a3依次成等差數(shù)列，若 a1 = 1,則 S5 = _ . 答案：31 解析：因?yàn)?4a1, 2a2, a3

18、依次成等差數(shù)列，4a2= 4a + a3,所以 4ag = 4a+ ay2,所以 q =2.又 a1= 1, 所以 S5= a_f = 31. 1 q S20 5. 設(shè) S 是等比數(shù)列a n的前 n項(xiàng)和，若 a5 + 2a10= 0,則三的值是 _ . S10 答案：5 4 解析：當(dāng) q = 1 時(shí)，a5= a10= 0 不合題意， 5 a10 1 , , S20 公比 qH 1. q = =;，因而 = a5 2 S10 6. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加 增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座 7 層塔共掛了 381 盞燈，且相鄰兩 層中

19、的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的 2 倍，則塔的頂層共有燈 _ 盞. 答案：3 解析：設(shè)塔的頂層共有燈 x盞，則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為 x,公比為 2 的等比數(shù)列， x x( 1 2 ) 結(jié)合等比數(shù)列的求和公式有： 匕 =381，解得 x = 3，即塔的頂層共有燈 3 盞. 7. 設(shè)等比數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為 Sn,若 S3= 7, $ = 63，貝U a? + a*+ a9=_ . 答案：448 解析：由 S3= 7, S6= 63,得 a1 + a2 + a3= 7, 7 + a4+ a5+ a6= 63，貝V a4+ a5+ a6= (a 1 + a2 3則由 a2a3= 45, ai +

20、a5= 18, (a1 + d) ( a1 + 2d) = 45, ai +( ai + 4d) = 18, 解得d1;1 = a n= 4n 3(n N) 由 bn = Sn n + c 20 1q 10 1 5 花=1 + q = 1 + =. 1 q 4 4 n+ c 8 3 3 + a3)q = 56, q = 8, a7+ a8 + a9= (a 4+ a5 + a6)q = 56x 8= 448. 8. 已知等比數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為 Sn,若 S= 2a2+ 3, S= 2a3+ 3,則公比 q 的值為9 答案：2 2 2 解析：T S 2= 2a2+ 3, S3= 2a3+ 3

21、,. a 1 = aiq + 3, ai(1 + q) = aiq + 3,. q 2q= 0, qz 0，則公比 q = 2. 9. 在等比數(shù)列an中，已知 ai= 1, a4= 8,設(shè)為該數(shù)列的前 3n項(xiàng)和，Tn為數(shù)列a： 的前 n項(xiàng)和.若 S3n= tTn,則實(shí)數(shù) t 的值為 _ . 答案：7 1 23n 解析：Ta 4 = a1 q3= q? = 8,. q = 2, Sn = _ ? = 8 1.由題意知，數(shù)列a 是首項(xiàng)為 n . 1 8 1 門(mén) Tn = =-(8 1) 由 S3n = tTn,得 t = 7. 1 8 / 10. _ 在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，右 a4 + a3 2a

22、2 2a1 = 6,貝U as+ a6的最小值為 _ 答案：48 解析：設(shè) a 2 + a1 = x,等比數(shù)列的公比為 2 2a2 2a1 = 6，得 xq = 6 + 2x，x q,貝U a4+ a3 = xq2, a+ a6 = xq4.再由 a4 + a3 4 6 4 6q 2 0, q 1.a 5 + a6 = xq =-= q 2 q 2 1,公比為 8 的等比數(shù)列, 10 6 q2 2 + P4 + 4 6 X (4 + 4) = 48，當(dāng)且僅當(dāng) q2 2= 2 時(shí)，等號(hào)成立，故 a5+ a6的最小 k q 2 丿 值為 48. 二、解答題 11. 已知a n是首項(xiàng)為 a1,公比

23、q 為正數(shù)(qz 1)的等比數(shù)列，其前 n項(xiàng)和為 S，且 5S =4S4. (1) 求 q 的值. (2) 設(shè) bn= q+ Sn,請(qǐng)判斷數(shù)列bn能否為等比數(shù)列？若能，請(qǐng)求出 a1的值；若不能， 請(qǐng)說(shuō)明理由. 解：(1)由題意知，5S2= 4S4, 2 4 5a1 (1 q ) 4a1 (1 q ) 1 q 1 q 4 2 1 4q 5q + 1 = 0，解得 q= 二 b n= q + Sn= + 2a1 a1 2 4 1 b n能為等比數(shù)列，此時(shí) a1= 4. 12. 已知等差數(shù)列a n的公差 d 不為 0，且 ak1, ak2,，akn,(k 10,且 qz 1, T S= a1 =2a

24、1 .；n- 1, 當(dāng)且僅當(dāng) + 2a1= 0，即 a1= 4 時(shí)，bn= 62, n+ 1 2 262,. n + 16, n5, n + 1 使 S + n2 62 成立的正整數(shù) n的最小值為 6.第 4 課時(shí) 數(shù)列的求和 一、填空題 1. 在數(shù)列an中，若 a1= 2,且對(duì)任意的 n N*有 2an+1= 1 + 2an,則數(shù)列an前 10 項(xiàng) 的和為 _ . 1 1 解析：由 2an+1= 1 + 2an得 an+1 an= 2，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公差為 2 的等差數(shù)列， 十,、，一 一 ，10X( 10 1) 1 5 所以 Sio= 10X( 2)+ 2 X 2=?. 整理，得

25、 a1(2k2 k1 ks) = d(k k k2 k ks+ 2k2). 因?yàn)?k2= k1ks,所以 a1(2k2 k ks) = d(2k 2 k ks). a1 因?yàn)?2k2工 k1 + ks，所以 a1 = d，即=1. d 當(dāng) =1 時(shí)，an= a1+ (n 1)d = nd,所以 akn= knd. d 因?yàn)?akn = ak1qn1= k1dqn 1，所以 kn= kgn1. k k n 所以一 =+= q，數(shù)列kn為等比數(shù)列. kn k1 q 綜上，當(dāng)a1= 1 時(shí)，數(shù)列k n為等比數(shù)列. d 13. (2017 蘇州期中)已知等比數(shù)列an的公比 q1，且滿足 a2+ as+

26、 a4= 28，且 as+ 2 是 a2, a4的等差中項(xiàng). (1) 求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式； (2) 若 bn= anlog 1an, S= b1+ b2+ 求使 S+ n2 n+162 成立的正整數(shù) n的最小 2 值. 解：(1) / a s+ 2 是 a2, a4的等差中項(xiàng)， 2(a s + 2) = a2 + a4, 代入 a2+ as+ a4= 28,可得 as= 8, - a 2+ = , a/ = 8, s a1q+ ag = 20, Ia1 = 2 解得 q=2 q= a1 = 2, / q1 , 數(shù)列a n的通項(xiàng)公式為 q = 2, (2) / b n= anlog 1an=

27、 2nlog 12n= n 2 n, n an= 2 . - S n= (1 X 2 + 2X2 ， n n+1 + n 2 ) 2n+1 , 2 (1 2n) 1 2 n 2 n+1= 2n+1 2 n n+ 1 12 2“ 一 1 321 2. _ 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是 an=產(chǎn)，其前 n項(xiàng)和 S = ，則項(xiàng)數(shù) n = _ 答案：613 1111 1 3. 數(shù)列 12, 3才5 , 7 池，(2n 1) +尹 的前 n項(xiàng)和 S= 答案： 2彳1 n + 1 于 解析： 1 1 1 該數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an= (2n 1) + 歹，則 S = 1 + 3 + 5+-+ (2n 1) +

28、(- + 1 2 1 + + 衛(wèi))=n+ 1 -n. 2 2 4. 已知等差數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為 Sn, a5= 5, S5= 15,則數(shù)列 的前 100 項(xiàng)和為 a“an+1 一 100 答案：而 那么數(shù)列bn的前 n項(xiàng)和 Sn = n= 6. 解析：T a 5 = 5, S5= 15, 5 (a1+ a5) a5 a1 d 4 1，a n 2 = 15，則 a1= 1, 1 n, 1 1 anan+1 n (n + 1) n n+7. 設(shè)數(shù)列 =+丄丄1丄=型 -! 匕00 101 丿 101 101 2 5.已知數(shù)列a 的前 n項(xiàng)和 S = n 6n,則|a |的前 n項(xiàng)和 T = 和

29、為 Tn，貝U T100 = anan+ 1 的前 n項(xiàng) f 2 6nn (1wnW3), 答案：* 2 n 6n+ 18 (n3) 解析：由 Sn= n2 6n得an是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為5,公差為 2, an = 5+ (n 1) X2 6n (1 W nW 3), n2 6n+ 18 (n3). =2n 7,.當(dāng) nW3 時(shí)，an3 時(shí)，an0,. Tn= 6. 數(shù)列a n的前 n項(xiàng)和為 S,已知 S= 1 2+ 3 4 + ( 1)n,則 S7= _ . 答案：9 解析：S17= 1 2 + 3 4+ 5 6+-+ 15 16+ 17= 1+ ( 2+ 3) + ( 4+ 5) + (

30、6+ 7) + + ( 14+ 15) + ( 16 + 17) = 1 + 1 + 1 + + 1 = 9. 112 12 3 7. 已知數(shù)列an: , 3+ 3，4+ 4+4， 1 2 3 9 卄 ，石+兀+兀+而.右bn = 10 1 anan +1 1 解析：T an= 1 2n，- S 1 111 1 2n = n (2 + 4+8+ 1 n 1 +夕，可得出 14 8. 已知數(shù)列a n滿足 an+ 2= an(n N+)，且 a1= 1, a2= 2,則數(shù)列a n的前 2 014 項(xiàng)的 和為 _ .答案: 4n n+ 1 1 + 2 + 3 + n n+ 1 n 2, 1 n =

31、a a 3+ nn+1=41n+i =曇. 4 n (n+ 1) S n= 4 15 答案：3 解析： a n + 2 =- an =- ( an 2), n 2 ,數(shù)列an是以 4 為周期的周期數(shù)列. S 014 =503(a i + a2 + a3 + a4)+ a2 013 + a2 014 = 503(a 1 + a2 ai a2)+ a503x4+1 + a503x4+2= ai + a2 = 3. * 1 9. 設(shè)數(shù)列a n滿足 a1 = 1，且 an + 1 an= n + 1(n N)，則數(shù)列前10 項(xiàng)的和為 解析：T a1 = 1, an+1 an= n + 1, a 2 a

32、1 = 2, a3 a2= 3，an an 1 = n.將以上 n ,r zi=r n (n +1) 2 n (n+1)人 1 ., 1 個(gè)式子相加得 an a1 = 2 + 3+ n= ，即 an= .令 b= ，故 2 2 an 2 0 1 111 1 1 20 bn= = 2 ，故 So= b1 + b2 + b10= 2x (1 卞 + 卞一 3+ 喬一石)= . n( n +1) jn + 仃 2 2 3 101111 二、解答題 bn 5 (n為奇數(shù))， 10. 已知數(shù)列an的通項(xiàng) an=0, S 是數(shù)列an的前 n項(xiàng)和，若 Sn取得 最大值，貝 U n = _ . 答案：9 0,

33、解得 n0，同理可得 n10 時(shí)，an 0,則 a3= ag , a2 = aq. a 1q = a1 + 2a1q,. q = 1 + 2q,解得 q= 1 + 2 3. _ 在數(shù)列a n中，Sn是其前 n項(xiàng)和，且S= 2an+ 1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式 an= _ . 答案：an= 2n 1 解析：依題意得 S+ 1 = 2an+ 1+ 1 , Sn= 2an + 1,兩式相減得 Sn+ 1 Sn= 2a. + 1 2an, 即 卩 a +1 =2an.又 S= 2a1 + 1 = a1,所以 a1 = 1,所以數(shù)列a n是以 a1 = 1 為首項(xiàng)，2 為公比的等 比數(shù)列，所以 an= 2n1

34、. 4. _ 等差數(shù)列a n的首項(xiàng)為 1,公差不為 0.若 a2, a3, a6成等比數(shù)列，則a n前 6 項(xiàng)的和 為 _ . 答案：24 解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為 d,由 a2, a3, a6成等比數(shù)列可得 a3= a?a6，即(1 + 2d) 2= (1 + d)(1 + 5d)，整理可得 d2 + 2d = 0.因?yàn)楣畈粸?0,所以 d= 2,數(shù)列的前 6 項(xiàng)和為 S = 5. _ 設(shè)等比數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為 S,若 S3, S9, S6成等差數(shù)列，且 a2+ as= 4,貝U a*的 值為 _ . 答案：2 解析：等比數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為 S,若 S3, S9, S6成等差數(shù)列，

35、且 a2+ as= 4, a1 (1 q9) a1 (1 q3) a1 (1 q6) 2 X = + , 1 .q 豐 1, 1 q 1 q 1 q 解得 aq= 8, q3= ?，二 a 8 a1q+ ag4 = 4, 7 32 1 ag = (a 1q)(q ) = 8X-= 2. 4 6. 在等差數(shù)列an中，已知首項(xiàng) a10，公差 d 0.若 a + 60, a2+ a3 100,則 5a + a5的最大值為 _ . 答案：200 解析：由 a1+ a260, a2 + as 100 得 2a1 + d 60, 2a1 + 3d 0, d 0.由線性 規(guī)劃的知識(shí)得 5a1+ a5= 6a

36、1 + 4d,過(guò)點(diǎn)(20 , 20)時(shí)，取最大值為 200. 7. 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an的前 n項(xiàng)和是 Sn, an和 ,Sn都是等差數(shù)列，則 弐蘭的最小值是 an 解析：設(shè)公差 d,由題設(shè)知 3(ai+ 3d) = an 0, 即 ai + (n 1) 33a1 當(dāng) n= 9 時(shí)，S 取得最大值. 或 1 ,2(舍), a9 + a10 a7 + a8 a9 (1 + q) a7 (1 + q) =q2= ( 一 2 + 1)2= 3 + 2 2. 6a1 + 2 d = 6x 1+ 匚衛(wèi) 2 X ( 2) = 20 答案：21 d、 d d a1 2 n+ 2.又Sn為等差數(shù)列，從而 a1 =

37、?,從而 an= a1 + (n ( 21 n= _ 答案：i6 解析：設(shè)每節(jié)竹竿的長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的數(shù)列為 an，公差為 d(d 0).由題意知 ai= iO, an + 2 ani + an 2= ii4, a6= aian.由 an + an i + an2= ii4,得 3ani = ii4,解得 an i = 38,. (a i + 2 2 5d) = ai(ani + d)，即(iO + 5d) = iO(38 + d)，解得 d= 2,. an-1 = ai+ (n 2)d = 38,即 iO + 2(n 2) = 38,解得 n = 16. 二、解答題 11. 設(shè)數(shù)列a n的前 n項(xiàng)和

38、為 S,滿足 2S= an+1 2n+1 +1,且 ai, a?+ 5, aa成等差數(shù)列. (1) 求 ai, a2的值； (2) 求證：數(shù)列an+ 2n是等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. (1) 解：由已知，得 2ai = a2 3， 2(a i + a2)= a3 7 ， i)d = d n 2 , S = |n2, d S 2 (n+ i0) Sn + io an 2 2 2 (n+ iO) F + io.)2 t i 4 2i,即 n = ii 時(shí)，原式取到最小值 2i. 8.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步 不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)

39、，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”其大意 為：“有一個(gè)人走了 378 里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天 的一半，走了 6 天后到達(dá)目的地”問(wèn)此人第 4 天和第 5 天共走了 _ 里. 答案： t(t 1)，原式= =21,從而當(dāng) t = 36 解析: 由題意知，此人每天走的里數(shù)構(gòu)成公比為 2 的等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為 ai, ai 1 則有- 2 i i =378，解得 ai = i92，所以 a4= i92X 24, as = 24= i2, a4+ as= 24+ i2 1 8 2 i - 2 =36，所以此人第 4 天和第 5 天共走了 36 里. 9.已

40、知an , bn均為等比數(shù)列，其前 n項(xiàng)和分別為 S, Tn,若對(duì)任意的 n N, n s 3 + i a3 貝 y _= 4 bs 9 解析: n s Sn 3 + i 設(shè)a , b 的公比分別為 q, q ,： = -, 當(dāng) Tn 4 n=i 時(shí)，ai=bi.當(dāng) n=2 時(shí)，+=1 當(dāng) n=3 時(shí), 2 ai+ aiq bi+ biq + biq，2 7 2 a3 aiq 2= 9. 2q 5q= 3, 7q 2+ 7q q2 q+ 6= 0，解得 q = 9, q= 3,二 ， b3 biq iO.現(xiàn)有一根 n節(jié)的竹竿，自上而下每節(jié)的長(zhǎng)度依次構(gòu)成等差數(shù)列，最上面一節(jié)長(zhǎng)為 iO cm,最下

41、面的三節(jié)長(zhǎng)度之和為 ii4 cm,第 6 節(jié)的長(zhǎng)度是首節(jié)與末節(jié)長(zhǎng)度的等比中項(xiàng)，則 44i - + 42 44i ： t +丁+ i 4 22 又 ai, a2 + 5, a3成等差數(shù)列， 所以 ai + a3= 2a2 + 1O ， 解，得 ai = 1, a2= 5. (2) 證明：由已知，n N*時(shí)，2(Sn +i Sn) = an +2 an+i 2n+2+ 2n+1, 即卩 an+2= 3an +1+ 2n+1,2 23 即 an+1 = 3an+ 2 (n2), 由(1)得，a2 = 3ai+ 2, an+1 = 3an + 2n(n N*), 從而有 an+1 + 2 = 3an

42、+ 2 + 2 = 3an+ 3X2 = 3(a n+ 2 ) 數(shù)列an+ 2n是等比數(shù)列，且公比為 3, n n 1 n n n - a n+ 2 = (a 1 + 2) X3 = 3，即 an= 3 2 . 12. 商學(xué)院為推進(jìn)后勤社會(huì)化改革， 與桃園新區(qū)商定，由該區(qū)向建設(shè)銀行貸款 500 萬(wàn)元 在桃園新區(qū)為學(xué)院建一棟可容納一千人的學(xué)生公寓，工程于 付使用，公寓管理處采用收費(fèi)償還建行貸款形式 (年利率 除去物業(yè)管理費(fèi)和水電費(fèi) 18 萬(wàn)元，其余部分全部用于年底還建行貸款. (1) 若公寓收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)定為每生每年 800 元，問(wèn)到哪一年可償還建行全部貸款？ (2) 若公寓管理處要在 2025 年年底把貸款全部還清，則每生每年的最低收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是多 少元(精確到元)?(參考數(shù)據(jù)：lg 1.734 3 疋 0.239 1, lg 1.05 疋 0.021 2 , 1.05 疋 1.477 4) 解：(1)設(shè)公寓投入使用后 n年可償還全部貸款，則公寓每年收費(fèi)總額為 1