1、層級快練（五十三）1. (2018 廣東清遠一模)已知直線 11： ax+ 2y + 1= 0 與直線 l2： (3 a)x y + a = 0,若 11B. 2D. 1 或 2答案 p = 2.又垂足(1 , 2)在直線 2x 5y+ n= 0 上，則解得 n = 12.4.若 1仁 x+ (1 + m)y+ (m 2) = 0, 12： mx+ 2y + 6= 0 平行，則實數 m 的值是()A. m= 1 或 m= 2D. m 的值不存在答案 A11 + m m 2解析方法一：據已知若 m=0，易知兩直線不平行，若 說 0,則有 m=工盲？叱1或 m= 2.方法二：由 1X2= (1 +

2、 m)m 得 m= 2 或 m= 1./ l2,則 a 的值為（A. 1C. 6解析直線 11： ax+ 2y + 1 = 0 與直線 12： （3 a）x y+ a = 0 的斜率都存在，且l11I 12,a,- k1= k2,即一 2= 3 a,解得 a= 6.故選 C.2. （2018 山西忻州檢測）在平面直角坐標系中，點（0, 2）與點（4 , 0）關于直線 1 對稱，則直線 l 的方程為（A. x + 2y 2 = 0C. 2x y 3 = 0B. x2y =0D. 2x y + 3= 0答案 C解析 因為點（0 , 2）與點（4 , 0）關于直線 I 對稱，所以直線 I 的斜率為

3、2,且直線1 過點(2 ,1).故選 C.3.若直線 mx+ 4y 2 = 0 與直線 2x 5y + n = 0 垂直,垂足為（1 , p）,則實數 n 的值為（A. 12C. 0答案B.D. 10由 2m- 20 = 0,得 m= 10.由垂足(1 , p)在直線 mx+ 4y 2 = 0 上，得 10 + 4p 2 = 0.解析B. m= 1C. m= 22當 m= 2 時，丨1: x y 4 = 0, 12： 2x+ 2y + 6 = 0，平行.3當 nn= 1 時，li： x+ 2y 1 = 0, l2： x + 2y+ 6 = 0,平行.5.對任意實數 a，直線 y = ax 3a

4、 +2 所經過的定點是()A. (2 ， 3)D. (3 , 2)答案 B解析 直線 y = ax 3a+ 2 變為 a(x 3) + (2 y) = 0.又 a R, . y3= 解得 y =3,得12 y= 0,iv=2,定點為(3 , 2).答案|x 5+ 3x 1|由已知可得 P(x,5 3x)，則點 P 到直線 x y 1 = 0 的距離為 d =22= 2,1+(1)B. 22解析由點到直線的距離公式，得 d=|C0S02+Sin021= 2 2sin(0+手)，又0 R,cos0 +sin04dmax= 2 + 二 29. 光線沿直線y= 2x + 1 射到直線 y= x 上,被

5、 y = x反射后的光線所在的直線方程為()11 1B. (3 , 2)C. ( 2, 3)6. (2017 保定模擬)分別過點 A(1 , 3)和點 B(2 , 4)的直線 I1和丨2互相平行且有最大距離,A.C.l1的方程是(x y 4= 0B.D.答案解析連接 AB,當kl1=x+ y 4 = 0y=3l2之間有最大距離且d= |AB|，此時 kAB1，貝Uy 3 = (x 1)，即 x+ y 4= 0.l1與 12分別與 AB 垂直時，l1與7.已知點 P 在直線 3x + y 5 = 0 上，且點 P 到直線x y 1 = 0 的距離為，2,則點 P 的坐標為(A. (1 , 2)C

6、. (1 , 2)或(2 , 1)B.D.(2 , 1)(2 , 1)或(1, 2)解析則|4xk 4x 6 = 2,所以 x = 1 或 x= 2,所以點 P 的坐標為(1 , 2)或(2 , 1).占八6| = 2,A(1 , 1)到直線 xcos0+ ysin0 2 = 0 的距離的最大值是()A.2 + .；2答案 CC.D. 44A.y = 一 x 1y 2B. y = _ x -y2 21 11C.y= 2x+2D. y=x + 15答案 B又直線 y = 2x + 1 上一點(0,1)關于直線 y= x 對稱的點(1 , 0)在所求直線上,y 一 0 x 一 1x 1所求直線方程

7、為一一二一，即 y =22.10.若曲線 y = x4的一條切線 I 與直線 x+ 4y 8= 0 垂直，則 I 的方程為()A.4x y 3 = 0B. x+ 4y 5= 0C. 4x y + 3 = 0D. x+ 4y + 3= 0答案 A解析 令 y = 4x5= 4,得 x = 1,.切點為(1 , 1) , I 的斜率為 4.故 I 的方程為 y 1 = 4(x 1)，即 4xy 3= 0.11. (2017 唐山一模)雙曲線 x6 y2= 4 左支上一點 P(a , b)到直線 y = x 的距離為. 2，則 a+ b =()A. 2B. 2C.4D. 4答案 B上一點，故應在直線

8、 y= x 的上方區域，所以 a b0, X0= 1，點 P 的坐標為(1 , 1),此時點 P 到直線 y = x + 2 的距離為 一 =.2,故選 B.6解析由 |V=2X+1， y= x,得 Xy=- 1,即直線過(1,1)解析 利用點到直線的距離公式，得2b|=2，即|a b| = 2,又 P(a , b)為雙曲線左支6解析 當點 P 為直線 y= x+ 2 平移到與曲線 y = x2 Inx 相切的切點時，點 P 到直線 y= x + 221 1 的距離最小.設點P(xo, y) , f(x) = x Inx，則 f (x0) = 1.vf，(x) = 2x 一， 2xxXO73答

9、案一 351 ,解析 直線 m：x 2y+ 3= 0 的斜率是，：T丄 m直線 l 的斜率是2,故 tan a = 2,n2n2 552523-_2a -, sina= -5 , COSa=-, - - COS2a= 2COSa一 1 = 2X( 一 5) 1 = 5.114.若函數 y = ax + 8 與 y=尹+ b 的圖像關于直線 y = x 對稱，則 a + b = 答案 2解析 直線 y = ax + 8 關于 y = x 對稱的直線方程為 x= ay + 8,| 2k 2 + 4 3k|4k + 2+ 4 3k|.1+ k22- k = 2 或 k= 3.-Jr?所求直線 I 的

10、方程為 2x + 3y 18= 0 或 2x y 2 = 0.viA v17.在 ABC 中，BC 邊上的高所在直線 l1的方程為 x 2y + 1= 0, / A 的平分線所在的直線T/嚴212的方程為 y= 0 ,若點 B 的坐標為(1 , 2),求點 A C 的坐標.答案 A( 1 , 0) , C(5, 6)即 A( 1 , 0).1所以 x= ay+ 8 與 y= qx+ b 為同一直線，故得:i所以 a + b= 2.b= 4.-15.已知點 M(a , b)在直線 3x+ 4y = 15 上,貝/a+ b2的最小值為 2答案 3解析/ M(a, b)在直線 3x + 4y = 1

11、5 上, 3a+ 4b= 15.而.a2+ b2的幾何意義是原點到M 點的距離 |OM|，所以(pa2+ b2)min=3=3.16.已知直線 l 過點 P(3,4)且與點 A( 2,2) ,B(4 , 2)等距離，則直線 l 的方程為答案 2x + 3y 18 = 0 或 2x y 2= 0解析設所求直線方程為 y 4= k(x 3),即 kx y+ 4 3k = 0,由已知，得1 + k2解析如圖，設 C(x0, yo)，由題意知l1Al2= A,則x 2y + 1 = 0,y=0 x= 1,y= 0.8又T11丄 BC,kBC-kl1=1.9kBCkl由點斜式可得 BC 的直線方程為 y

12、 2= 2(x 1)，即 2x + y 4 = 0.又vi2： y= 0(x 軸)是/A的平分線，B 關于 l2的對稱點 B在直線 AC 上，易得 B點的坐標為(1 , 2)，由兩點式可得直線AC 的方程為 x+ y + 1 = 0.x0+ y0+ 1 = 0,x0= 5,由 C(xo, yo)在直線 AC 和 BC 上，可得？即 C(5, 6).|2xo+ yo 4 = 0|yo= 6.18.設一直線 I 經過點(1 , 1)，此直線被兩平行直線丨1： x + 2y 1 = 0 和丨2： x + 2y3 =0 所截得線段的中點在直線x y 1 = 0 上，求直線 I 的方程.答案 2x +

13、7y 5 = 0 x + 2y 1 = 0,xC= 1, ? 5+ 2、/石=9，當且僅當 時取等號.故選 C.講評 l1: Ax+ B1y + C1= 0, 12: Ax+ Ry + C2= 0.貝VI1/ 12? A1B2 A2B1= 0 且 AC2 AGM0.134.（2018 江西贛州模擬）若動點 A（xi, yi） , B（X2,汕分別在直線 l1： x + y 7= 0, l2： x+ y 5 = 0 上移動，則 AB 的中點 M 到原點距離的最小值為（）A. 3 2C. 3 3答案 A解析由題意知，點 M 所在直線與丨1,丨2平行且與兩直線距離相等.設該直線的方程為x +|c +

14、 7| |c + 5|y + c = 0,則-=-，解得 c = 6.點 M 在直線 x + y 6= 0 上.點 M 到原點的最小V2v2值就是原點到直線 x+ y 6 = 0 的距離，即 d=-= 3 2.故選 A.5.（2018 河北名校聯考）直線 y = a 分別與直線 y = 3x + 3,曲線 y = 2x + lnx 交于 A, B 兩點，則|AB|的最小值為（）B. 1答案 A解析 作與直線 y = 3x + 3 平行的直線與曲線 y = 2x + lnx 相切，易得切點為（1 , 2）.所以當4a= 2 時，|AB|min=.3x y6. 若直線一+匚=1 通過點 M（COS

15、a, sina），則（）a b2222A. a+bw1B. a+b11111C.2+1D.2+1abab答案 D解析 直線x+y= 1 通過點 M（COSa, sina），我們知道點 M 在單位圓上，此問題可轉化為a b直線+y= 1 和圓 x2+ y2= 1 有公共點，圓心坐標為（0 , 0），由點到直線的距離公式有 一IVVIV 1w1?2+2 1,故選 D.a b7.（2018 江蘇南京、鹽城第二次模擬）在平面直角坐標系xOy 中，直線 I 仁 kx y+ 2 = 0B23D42C.2 ,105D. 414a b1 1與直線 12： x+ ky 2= 0 相交于點 P,則當實數 k 變化時，點 P 到直線 x y 4 = 0 的距離的最大值為_ .15答案 3 2解析 由題意得，直線 l1： kx y + 2 = 0 斜率為 k,且經過點 A(0 , 2)，直線 I2： x + ky 2=0 經過點 B(2 , 0)，且直線 li丄 12，所以點 P