1、共線向量與共面向量共線向量與共面向量1. 平面向量共線的充要條件平面向量共線的充要條件:若若 不共線不共線,則平面內任一向量則平面內任一向量,a b 2.平面向量基本定理平面向量基本定理:1212(,)pabR 復習平面向量復習平面向量那么空間向量共線、共面的條件是什么?R)R)( ( b b a a) )0 0b b( ( b b a aacb零向量與任意向量共線零向量與任意向量共線一、共線向量一、共線向量1.2.BCBCABAB A、B、C三點共線A、B、C三點共線例例1 1已知已知A A、B B、P P三點共線，三點共線，O O為空間任為空間任意一點，且意一點，且 ，求，求 的值的值.

2、. OPOAOBOABPal 1 , 1 OB t-1 ) OB( . PB,A, : 得得由由又又三點共線三點共線證明證明ttOAOPOBtOAOAtOAOPOAOBABABtOAOP 與直線與直線l l平行的向量平行的向量a叫做叫做直線直線l l的方向向量。的方向向量。二二. .共面向量共面向量: :1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量。叫做共面向量。OAaa注意：注意：空間任意兩個向量是共面的，但空間空間任意兩個向量是共面的，但空間任意三個向量就不一定共面的了。任意三個向量就不一定共面的了。ObAPp 2.2.共面向量定理（平面向量基本

3、定理）共面向量定理（平面向量基本定理）: : 如果兩個向量如果兩個向量 不共線不共線, ,則向量則向量 與向與向量量 共面的充要條件是存在實數對共面的充要條件是存在實數對 使使, a byx,Pxayb, a b paABC p, a b, a b p, a b, a b p, a b, a b推論推論: :空間四點空間四點 P P、A A、B B、C C 共面的充要條件共面的充要條件是存在有序實數對是存在有序實數對( (x, , y) 使使 或對空間任一點或對空間任一點O,O,有有 1 ; ACyABxAP(2) . OCz OByOA x OP只是向量的表示方法不相同共面向量定理中的與說明

4、, y P :baxACyABxAP其中其中x+y+z=1同。對空間任意一點對空間任意一點O和不共線的三點和不共線的三點A、B、C，滿，滿足向量關系式足向量關系式 （其中）的四點（其中）的四點P、A、B、C是否是否共面？共面？ OPxOAyOBzOC1xyz空間四點空間四點P、A、B 、C共面共面,xyCPxCAyCB （） 使得P88 思考思考AP=m AB+n ACAP=m AB+n AC將將AP=OP-OA,AB=OB-OA,AC=OC-OA代入可得。代入可得。存存在在唯唯一一實數對實數對例例2如圖，已知平行四邊形如圖，已知平行四邊形ABCD，過平，過平面面AC外一點外一點O作射線作射線

5、OA，OB，OC，OD在四條射線上分別取點在四條射線上分別取點E，F，G，H，并使，并使 求證：求證：E、F、G、H四點共面；四點共面； OEkOA OFkOBOGkOC OHkODHEFGDABCOkODOHOCOGOBOFOAOE 分析：由已知有分析：由已知有共面向量定理（平面向量基本定理）共面向量定理（平面向量基本定理）: : 如果兩個向量如果兩個向量 不共線不共線, ,則向量則向量 與向與向量量 共面的充要條件是存在實數對共面的充要條件是存在實數對 使使 p, a b, a bPxayb類似于平面向量基本定理，我們有空間向量基本定理：類似于平面向量基本定理，我們有空間向量基本定理：a,

6、 b, c叫做空間的一個叫做空間的一個基底基底，a, b, c 都叫做都叫做基向量。基向量。空間任何三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底。空間任何三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底。空間向量基本定理：空間向量基本定理：如果三個向量如果三個向量a, b, c不共面，不共面，那么對空間任一向量那么對空間任一向量p,存在有序實數組存在有序實數組x, y, z,使使得得 p=xa+yb+zc.三、三、 單位正交基底：單位正交基底：設設 為有公共起點為有公共起點O的三個兩兩垂直的單位向量，我們稱它們為的三個兩兩垂直的單位向量，我們稱它們為單位正交基底。單位正交基底。321 , , eee 在空

7、間直角坐標系在空間直角坐標系Ox y z中，對空間中，對空間任一點任一點 P,對應一個向量對應一個向量OP，于是存在唯一，于是存在唯一的有序實數組的有序實數組x,y,z，使，使 OP=x e 1+y e 2+z e3 在單位正交基底在單位正交基底 中中,與向量與向量OP對應對應的有序實數組的有序實數組(x,y,z)，叫做，叫做點點 P在此空間直角坐標在此空間直角坐標系中的坐標，記作系中的坐標，記作 P(x, y, z)，其中，其中x叫做點的叫做點的橫坐橫坐標標，y叫做點叫做點P 的的縱坐標縱坐標，z叫做點叫做點 P 的的豎坐標豎坐標.321 , , eeeBANCOMQP例例4、如圖，、如圖，

8、M，N分別是四面體分別是四面體OABC的邊的邊OA，BC的中點，的中點，P，Q是是MN的三等分點。用向量的三等分點。用向量 表示表示 和和 。,OA OB OC OP OQ 112311111()()23236111366O QO MM QO AM NO AO NO AO AO BO CO AO BO C OCOBOAMNOAMPOMOP3131613221練習：課本第98頁 第 6，7，8題.,.成成角角的的余余弦弦值值所所與與求求四四等等分分點點的的一一個個分分別別是是中中形形在在正正方方如如圖圖例例11111111111117135DFBEDCBAFEDCBAABCD .,.111111

9、余余弦弦值值進進而而求求出出它它們們所所成成角角的的它它們們的的數數量量積積與與模模計計算算出出的的坐坐標標表表示示我我們們可可以以通通過過此此因因所所成成的的角角與與就就是是所所成成的的角角與與分分析析DFBEDFBEDFBEABCD1D1C1B1A1F1EO1713 .圖圖ABCD1D1C1B1A1F1EOxyz1713 .圖圖則系基底建立空間直角坐標為單位正交分別以正方體的棱長為不妨設如圖解,.OxyzDDDCDA111713 ,1 ,41, 0,0 , 0 , 0,1 ,43, 1,0 , 1 , 111 FDEB ,1 ,41, 00 , 1 , 11 ,43, 11 BE所以所以

10、,1 ,41, 00 , 0 , 01 ,41, 01 DF ,1 ,41, 00 , 0 , 01 ,41, 01 DFABCD1D1C1B1A1F1EOxyz1713 .圖圖417|1 DF417|1 BE.16151141410011 DFBE.17154174171615|,cos111111 DFBEDFBEDFBE所以所以.1715,11所成角的余弦值是所成角的余弦值是與與因此因此DFBE.,.1111111118136DAEFBDBBFEDCBAABCD 的中點求證的中點求證分別是分別是中中方形方形在正在正如圖如圖例例1813 .圖圖ABCD1D1C1B1AFEOxyz則則角坐標

11、系角坐標系位正交基底建立空間直位正交基底建立空間直為單為單分別以分別以設正方體的棱長為設正方體的棱長為妨妨不不圖圖如如證明證明, 1,181 . 31OxyzDDDCDA .21,21,21,1 ,21,21,21, 1 , 1 EFFE所以所以 .1 , 0 , 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 111 DADA所以所以又又1813 .圖圖ABCD1D1C1B1AFEOxyz . 01 , 0 , 121,21,211 DAEF所以所以.,11DAEFDAEF 即即因此因此求求解解問問題題的的思思路路. .運運算算坐坐標標形形式式或或字字母母形形式式的的并并用用向向量量運運算算素素,

12、,體體會會用用向向量量表表示示相相關關元元零向量與任意向量共線零向量與任意向量共線. . 1.1.共線向量共線向量: :如果表示空間向量的如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合有向線段所在直線互相平行或重合, ,則這些則這些向量叫做共線向量向量叫做共線向量( (或平行向量或平行向量),),記作記作ba/ 2.2.共線向量定理共線向量定理: :對空間任意兩個向對空間任意兩個向量量 的充要條件是的充要條件是存在實數使存在實數使 ba / ), 0 ( , babba 三、課堂小結：三、課堂小結：3.3.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .4.4.共面向量定理共面向量定理: :如果兩個向量如果兩個向量 不共線不共線, ,則向量則向量 與向量與向量 共面的充要共面的充要條件是存在實數對條件是存在實數對 使使, a byx,Pxayb, a b P兩個推論兩個推論5、空間向量基本定理空間向量基本定理FEDCBA練習練習:如圖如圖,已知空間四邊形已知空間四邊形ABCD,連接連接AC,BD, E,F分別是分別是BC,CD中點中點.化簡下列各表達式化簡下列各表達式,并標并標出化簡結果的向量出化簡結果的向量:(1);1(2