1、. 微專題：構造函數法解選填壓軸題高考中要取得高分，關鍵在于選準選好的解題方法，才能省時省力又有效果。近幾年各地高考數學試卷中，許多方面尤其涉及函數題目，采用構造函數法解答是一個不錯的選擇。所謂構造函數法 是指通過一定方式，設計并構造一個與有待解答問題相關函數，并對其進行觀察分析，借助函數本身性質如單調性或利用運算結果，解決原問題方法，簡而言之就是構造函數解答問題。怎樣合理的構造函數就是問題的關鍵，這里我們來一起探討一下這方面問題。幾種導數的常見構造：1對于xgxf，構造xgxfxh若遇到0aaxf，則可構axxfxh2對于0 xgxf，構造xgxfxh3對于( )( )0fxf x，構造xf

2、exhx4對于( )( )fxf x或( )( )0fxf x，構造( )( )xf xh xe5對于0 xfxxf，構造xxfxh6對于0 xfxxf，構造xxfxh一、構造函數法比較大小例1已知函數( )yf x的圖象關于y 軸對稱, 且當(,0),( )( )0 xfxxfx成立，0.20.22(2)af，log 3(log 3)bf，33log 9(log 9)cf, 則, ,a b c的大小關系是 ( ) .a abc.b acb.c cba.d bac【解析】因為函數( )yf x關于y軸對稱 , 所以函數( )yxf x為奇函數 . 因為( )( )( )xf xfxxfx, 所

3、以當(,0)x時,( )( )( )0 xfxf xxfx, 函數( )yxf x單調遞減 , 當(0,)x時, 函數( )yxfx單調遞減 . 因為0.2122,0131og,3192og, 所以0.23013219ogog, 所以bac, 選 d. 變式 : 已知定義域為r的奇函數( )fx的導函數為( )fx，當0 x時，( )( )0f xfxx，若111(),2( 2),ln(ln 2)222afbfcf，則下列關于, ,a b c的大小關系正確的是（d ）.a abc.b acb.c cba.d bac例 2已知( )f x為r上的可導函數，且xr，均有( )( )f xfx，則有

4、a2016( 2016)(0)eff，2016(2016)(0)fefb2016( 2016)(0)eff，2016(2016)(0)fef. c2016( 2016)(0)eff，2016(2016)(0)fefd2016( 2016)(0)eff，2016(2016)(0)fef【解析】構造函數( )( ),xf xg xe則2( )()( )( )( )( )()xxxxfx eef xfxf xgxee，因為,xr均有( )( )f xfx ， 并且0 xe，所以( )0gx，故函數( )( )xf xg xe在 r 上單調遞減，所以( 2016)(0)(2016)(0)gggg，即2

5、0162016( 2016)(2016)(0)(0)ffffee，也就是20162016( 2016)(0)(2016)(0)efffef，故選 d變式 : 已知函數( )f x為定義在r上的可導函數，且( )( )f xfx對于任意xr恒成立，e為自然對數的底數，則（c ）2016. (1)(0)(2016)(0)a fe ffef、2016. (1)(0)(2016)(0)b fe ffef、2016. (1)(0)(2016)(0)c fe ffef、2016. (1)(0)(2016)(0)d fe ffef、例 3在數列na中，1()n 1,()nnann則數列na中的最大項為( )

6、a2b33c55d不存在【解析】由已知12a，323a，4342a，545a易得12234,.aa aaa. 猜想當2n時，na是遞減數列又由11nnan知ln(1)ln1nnan，令ln( )xf xx，則221ln1ln( )xxxxfxxx當3x時，ln1x，則1ln0 x，即( )0fx( )f x在3,內為單調遞減函數，2n時，lnna是遞減數列，即na是遞減數列又12aa，數列na中的最大項為323a故選 b練習1 已知函數)(xfy對任意的)22(，x滿足( ) cos( ) sin0fxxfxx, 則（）a)4(2)0(ff b. )3(2)0(ff c. )4()3(2ff

7、d. )4()3(2ff提示：構造函數( )( )cosf xg xx，選 d. 二、構造函數法解恒成立問題例 1若函數y=)(xf在r上可導且滿足不等式( )( )0 xfxf x恒成立， 對任意正數a、b，若ab，則必有（）a( )( )af bbf ab( )( )bf aaf bc( )( )af abf bd( )( )bf baf a【解析】由已知( )( )0 xfxf x構造函數)()(xxfxf，則( )fx( )( )0 xfxf x， 從而)(xf在r上為增函數。ab( )( )f af b即( )( )af abf b，故選 c。例 2已知)(xf是定義在（ 0，+）上

8、的非負可導函數，且滿足)()(xfxf x0，對任意正數a、b，若ab，則必有（）a( )( )af bbf ab( )( )bf aaf bc( )( )af abf bd( )( )bf baf a【解析】xxfxf)()(，0)()()(2xxfxxfxf，故xxfxf)()(在（ 0，+）上是減函數，由ba，有bbfaaf)()(，即( )( )af bbf a。故選 a。變 式1. 設( )( )f xg x、是r上 的 可 導 函 數 ，( )( )fxg x、分 別 為( )( )f xg x、的 導 函 數 ， 且 滿 足( )( )( )( )0fx g xf x gx，則當

9、axb時，有（c ）.( ) ( )( ) ( )a f x g bf b g x.()()()(b fx g afa g x. ( ) ( )( ) ( )c f x g xf b g b.()()()(d fx g xfb g a變式 2. 設函數bxaxgxfbaxgxf則當且上均可導在),()(,)(),(時，有（ c ）a)()(xgxfb)()(xgxfc)()()()(afxgagxf d)()()()(bfxgbgxf例 3設函數( )f x在 r 上的導函數為( )fx，且22 ( )( )f xxfxx，下面不等式恒成立的是（）a0)(xfb0)(xfcxxf)(dxxf)

10、(【解析】由已知，首先令0 x得0)(xf，排除 b，d令2( )( )g xx f x，則( )2 ( )( )g xxf xxfx，當0 x時，有2( )2( )( )( )0gxf xxfxxg xx，所以函數( )g x單調遞增，所以當0 x時，( )(0)0g xg，從而0)(xf. 當0 x時，有2( )2( )( )( )0gxf xxfxxg xx，所以函數( )g x單調遞減，所以當0 x時，( )(0)0g xg，從而0)(xf綜上0)(xf故選 a例 4 如果22(1)(1)1xxyy，那么下面的不等式恒成立的是（）a0 xyb0 xyc0 xyd0 xy【解析】構造函數

11、2( )lg(1)()f xxxxr，易證( )f x在 r 上是奇函數且單調遞增22(1)(1)1xxyy2( )()l g(1 )fxfyxx+2lg(1)yy=22lg(1)(1)xxyy=lg1 = 0 ()()fxfy即：( )()f xfy又( )f x是增函數xy即0 xy。故選 b練習 1. 已知yxyx)5. 0(log)() 5. 0(log31313131，則實數yx,的關系是（ d ）a.0yx b. 0yx c. 0yx d.0 xy【解析】構造函數133( )(log 2)xf xx，( )fx是增函數，又( )()fxfy，0 xy， 故選 d練習 2. 已知函數

12、)(xfy是r上的可導函數，當0 x時，有0)()(xxfxf, 則函數xxxfxf1)()(的零點個數是 ( b ) a.0 b.1 c. 2 d.3【解析】由xxxfxf1)()(，得1( )xfxx， 構造函數g( )( )xxf x，則g ( )( )( )xf xx f x， 當0 x時，有0)()(xxfxf, 當0 x時，( )( )0 xfxf xx即當0 x時，g ( )( )( )0 xf xx f x，此時函數g( )x單調遞增，此時g( )g(0)0 x，當0 x時，g ( )( )( )0 xf xx f x，此時函數g( )x單調遞減，此時g( )g(0)0 x，作

13、出函數g( )x和函數1yx的圖象，（直線只代表單調性和取值范圍），由圖象可知函數xxxfxf1)()(的零點個數為1 個故選b三、構造函數法解不等式例 1. 函數 f(x)的定義域為r，f(1)2，對任意x r，( )2fx，則 f(x)2x4 的解集為 () a(1,1) b(1， )c(， 1) d(， ) . 【解析】構造函數g(x)f(x)2x4，所以( )( )2g xfx，由于對任意xr，( )2fx，所以( )( )2g xfx0 恒成立，所以g(x)f(x)2x4 是 r 上的增函數，又由于 g(1)f(1)2(1)40，所以 g(x)f(x) 2x40，即 f(x)2x 4

14、的解集為 ( 1， )，故選 b.變式 1. 已知函數)(rxxf滿足1)1(f，且21)( xf，則212)(xxf的解集為（）a. 11xxb. 1xxc. 11xxx或d. 1xx【解析】 構造新函數1( )( )()22xf xfx, 則11(1)(1)()1 1022ff，1( )( )2fxfx，對任意xr，有1( )( )02fxfx，即函數( )f x在 r上單調遞減，所以( )0f x的解集為(1,)，即212)(xxf的解集為(1,)，選 d. 變式2.定義在r上的函數( )f x，其導函數( )fx滿足( )1fx，且23f，則關于x的不等式1fxx的解集為(,2)變式

15、3.已知函數( )f x為定義在r上的可導函數， 且( )( )f xfx對于任意xr恒成立， 且(1)fe，則( )1xf xe的解集為(,1)變式 4.函數)(xf的定義域是r，2)0(f，對任意rx，( )( )1f xfx，則不等式1)(xxexfe的解集為（ a ）a. 0 xx b. 0 xx c. 1x-1xx或 d. 101xxx或例 2 設( )f x是定義在r 上的奇函數，且(2)0f，當0 x時，有2( )( )0 xfxf xx恒成立，則不等式2( )0 x f x的解集是解：因為當x0 時，有2( )( )0 xfxf xx恒成立，即 ( )f xx0 恒成立，所以(

16、 )f xx在(0,)內單調遞減因為(2)0f，所以在（ 0，2）內恒有( )0f x；在(2,)內恒有( )0f x又因為( )f x是定義在r 上的奇函數，所以在(, 2)內恒有( )0f x；在( 2,0)內恒有( )0f x又不等式2( )0 x f x的解集，即不等式( )0f x的解集所以答案為(, 2)（ 0， 2） 變式 1. 已知定義在)0 ,(上的可導函數，其導函數為( )fx，且有22 ( )( )f xxfxx，則不等式. 0)2(4)2014()2014(2fxfx的解集為（c）a)2012,( b. )02012(， c. )2016,( d. )02016(，變式

17、 2. 函 數( )f x的定義域為r，( 2)2016f，對任意xr，都有( )2fxx成立，則不等式2( )2012f xx的解集為（c） a. ( 2,2) b. ( 2,) c. (, 2) d. (,)變式3. 設)(xfy是定義在r上的函數，其導函數為( )fx，若( )( )1f xfx，(0)2017f, 則不等式( )2016xxf x ee的解集為（ d ）a. (2016,) b. (,0)(2016,) c. ),0()0,( d. ),0(變 式4.函 數)(xf是 定 義 在r上 的 偶 函 數 ,0)2(f, 且0 x時 ,( )( )0f xxfx, 則 不 等

18、 式0)(xxf的解集是 _ 2,02,)_（提示：構造的( )( )g xxf x為奇函數，(0)0f）例 4設( )( )fxg x、是r上的可導函數，( ) ( )( )( )0fx g xf x g x，( 3)0g， 則不等式( ) ( )0f x g x的解集為( 3,)變式 1設( )( )f xg x、分別是定義在r上的奇函數、 偶函數， 當0 x時，( ) ( )( )( )0fx g xf x gx，( 3)0g，則不等式( ) ( )0fx g x的解集為(,3 )( 0 , 3. 變式 2已知r上的函數( )( )fxg x、滿足( )( )xf xag x，且 ( )

19、 ( )( ) ( )f x g xf x g x，若( 1 )( 1 )5( 1 )( 1 )2ffgg，則關于x的不等式log1ax的解集為1( 0)2，.變式 3. 設奇函數)(xf定義在),0()0,(上，其導函數為( )fx，且02f，當x0時，sincos0fxxfxx，則關于x的不等式fx2sin6fx的解集為 _(,0)(,)66. （提示：構造的( )( )sinf xg xx為偶函數）四、構造函數法求值例 1設( )fx是r上的可導函數，且( )( )fxf x，(0)1f，21(2)fe.則(1)f的值為. 提示：由( )( )fxf x得( )( )0fxf x，所以(

20、 )( )0 xxe fxe f x，即( )0 xe f x，. 設函數( )( )xf xe f x，則 此時有1(2)(0)1ff，故( )( )1xf xe f x，1(1)fe變式 已知( )f x的導函數為( )fx，當0 x時，2( )( )f xxfx，且(1)1f，若存在xr，使2( )f xx，則x的值為1 .（提示：構造2( )( )f xg xx）例 2已知定義在r上的函數( )( )f xg x、滿足( )( )xf xag x，且( ) ( )( )( )fx g xf x gx，(1)( 1)5(1)( 1)2ffgg，若有窮數列*( )()( )f nnng n

21、的前n項和等于3132，則n等于5 . 解：( )( )( )( )fx g xf x gx，2( )( )g()( )g ( )0( )( )f xfxxf xxg xgx，即函數( )( )xf xag x單調遞減，0a1又(1)( 1)5(1)( 1)2ffgg，即152aa解得12a或 a=2（舍去）( )1()( )2xfxg x，即(n)1()(n)2nfg，數列1() 2n是首項為112a，公比12q的等比數列，11( )2nns，由1311()232nns，解得 n=5。變式 1已知)(xf,)(xg都是定義在 r上的函數，0)(xg，( )( )( )( )fxg xf x g x， 且)()(xgaxfx（0a，且1a） 。25)1() 1()1 ()1(gfgf，若數列)()(ngnf的前n項和大于62，則n的最小值為（ a ） a 8 b 7 c 6 d 5 變式2已知( )f x、( )g x都是定義在r 上的函數，( )( )( )( )0fx g xf x gx，( ) ( )xf x g xa，5(1) (1)( 1) ( 1)2fgfg在區間 3,0上隨機取一個數x，( )( )f x g x的值介于4 到 8 之間的概率