1、第二章第二章 一元二次方程一元二次方程 第六節第六節應用一元二次方程（一）應用一元二次方程（一）橫水初中橫水初中 黃斌黃斌學習目標：學習目標： 1、經歷分析具體問題中的數量關系、建立方程模型并解決問題的過程，體會一元二次方程是刻畫現實世界中數量關系的一個有效數學模型； 2、能夠利用一元二次方程解決有關實際問題，能根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性，進一步培養分析問題、解決問題的意識和能力。x8m110m7m6m解：由勾股定理可知，滑動前梯解：由勾股定理可知，滑動前梯子底端距墻子底端距墻_m _m 如果設梯子底端滑動如果設梯子底端滑動x mx m，那么，那么滑動后梯子底端距墻滑動后梯子底端距

2、墻 m m根據題意，可得方程：根據題意，可得方程：7 72 2(x(x6)6)2 210102 26(x6)還記得本章開始時梯子下滑的問題嗎？還記得本章開始時梯子下滑的問題嗎？. .如圖一個長為如圖一個長為10m10m的梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距的梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離為離為8m8m如果梯子的頂端下滑如果梯子的頂端下滑1m1m，那么梯子的底端滑動多少米？，那么梯子的底端滑動多少米？10m數學化解得：解得：651, 65121xx（舍）（舍） 答：答：梯子的底端滑動了 米。651（1）在這個問題中）在這個問題中,梯子頂端下滑梯子頂端下滑 1 m 時，梯子底端滑動的距

3、時，梯子底端滑動的距離大于離大于 1 m，那么梯子頂端下滑幾米時，梯子底端滑動的距離，那么梯子頂端下滑幾米時，梯子底端滑動的距離和它相等呢？和它相等呢？數學化(8-x)(8-x)2 2(x(x6)6)2 210102 2x8mx(8-x)m(8-x)m6m10m解得：解得：x1=0, x2=2（2）如果梯子的長度是）如果梯子的長度是 13 m，梯子頂端與地面的垂直距離為，梯子頂端與地面的垂直距離為 12 m，那么梯子頂端下滑的距離與梯子的底端滑動的距離可，那么梯子頂端下滑的距離與梯子的底端滑動的距離可能相等嗎？如果相等，那么這個距離是多少？能相等嗎？如果相等，那么這個距離是多少？數學化(12-

4、x)(12-x)2 2(x(x5)5)2 213132 213 m13 m12 m12 mx12mx(12-x)m(12-x)m5m13m解得：解得：x1=0, x2=7如圖如圖2-8,2-8,某海軍基地位于點某海軍基地位于點A A處處, ,在其正南方向在其正南方向200200海里處有一海里處有一重要目標重要目標B,B,在在B B的正東方向的正東方向200200海里處有一重要目標海里處有一重要目標C.C.小島小島D D位位于于ACAC的中點的中點, ,島上有一補給碼頭島上有一補給碼頭; ;小島小島F F位于位于BCBC上且恰好處于小島上且恰好處于小島D D的正南方向的正南方向. .一艘軍艦從一

5、艘軍艦從A A出發出發, ,經經B B到到C C勻速巡航勻速巡航, ,一艘補給船同一艘補給船同時從時從D D出發出發, ,沿南偏西方向勻速直線航行沿南偏西方向勻速直線航行, ,欲將一批物品送達軍艦欲將一批物品送達軍艦. .(1) (1) 小島小島D D和小島和小島F F相距多少海里相距多少海里? ? 例題賞析例題賞析 1ABDCEF圖圖 2-82-8北北東東(2) (2) 已知軍艦的速度是補給船的已知軍艦的速度是補給船的2 2倍倍, ,軍艦在由軍艦在由B B到到C C的途中與補給船的途中與補給船相遇于相遇于E E處處, ,那么相遇時補給船航行那么相遇時補給船航行了多少海里了多少海里?(?(結果

6、精確到結果精確到0.10.1海里海里, ,其中其中 ) )449.26 如圖如圖2-8,2-8,某海軍基地位于點某海軍基地位于點A A處處, ,在其正南方向在其正南方向200200海里處有一重要目標海里處有一重要目標B,B,在在B B的正東方向的正東方向200200海里處有一重要目標海里處有一重要目標C.C.小島小島D D位于位于ACAC的中點的中點, ,島上有一補給島上有一補給碼頭碼頭; ;小島小島F F位于位于BCBC上且恰好處于小島上且恰好處于小島D D的正南方向的正南方向. .一艘軍艦從一艘軍艦從A A出發出發, ,經經B B到到C C勻速巡航勻速巡航, ,一艘補給船同時從一艘補給船同

7、時從D D出發出發, ,沿南偏西方向勻速直線航行沿南偏西方向勻速直線航行, ,欲將一批欲將一批物品送達軍艦物品送達軍艦. .(1) (1) 小島小島D D和小島和小島F F相距多少海里相距多少海里? ? 例題賞析例題賞析 1ABDCEF圖圖 2-82-8北北東東200?20045ABCABC為等腰直角三角形為等腰直角三角形連接連接DF,DF,根據題意得根據題意得, ,BCABBCDF , 90,90 ABCDFC海海里里海海里里200,200 BCAB 45 C CDF為等腰直角三角形為等腰直角三角形又點D是AC的中點DF=100海里 例題賞析例題賞析 1ABDCEF圖圖 2-82-8北北東東

8、100(2) (2) 已知軍艦的速度是補給船的已知軍艦的速度是補給船的2 2倍倍, ,軍艦在由軍艦在由B B到到C C的途中與補給船相遇于的途中與補給船相遇于E E處處, ,那么相遇時補給船航行那么相遇時補給船航行了多少海里了多少海里?(?(結果精確到結果精確到0.10.1海里海里, ,其中其中 ) )45200200如圖如圖2-8,2-8,某海軍基地位于點某海軍基地位于點A A處處, ,在其正南方向在其正南方向200200海里處有一重要目標海里處有一重要目標B,B,在在B B的正東方向的正東方向200200海里處有一重要目標海里處有一重要目標C.C.小島小島D D位于位于ACAC的中點的中點

9、, ,島上有一補給島上有一補給碼頭碼頭; ;小島小島F F位于位于BCBC上且恰好處于小島上且恰好處于小島D D的正南方向的正南方向. .一艘軍艦從一艘軍艦從A A出發出發, ,經經B B到到C C勻速巡航勻速巡航, ,一艘補給船同時從一艘補給船同時從D D出發出發, ,沿南偏西方向勻速直線航行沿南偏西方向勻速直線航行, ,欲將一批欲將一批物品送達軍艦物品送達軍艦. .?分析分析: 兩船速度之比為兩船速度之比為12 補補給給船船軍軍艦艦vv12 補補給給船船軍軍艦艦ss相同時間內兩船的行程之比為相同時間內兩船的行程之比為x若設相遇時補給船的行程若設相遇時補給船的行程DE為為x海里海里,則相遇時

10、軍艦則相遇時軍艦的行程應為的行程應為 海里海里. . 2 2x圖上哪一部分對應的是軍艦的行程圖上哪一部分對應的是軍艦的行程? ?2 2x449. 26 例題賞析例題賞析 1ABDCEF圖圖 2-82-8北北東東x100100(2) (2) 已知軍艦的速度是補給船的已知軍艦的速度是補給船的2 2倍倍, ,軍艦軍艦在由在由B B到到C C的途中與補給船相遇于的途中與補給船相遇于E E處處, ,那么那么相遇時補給船航行了多少海里相遇時補給船航行了多少海里?(?(結果精確結果精確到到0.10.1海里海里, ,其中其中 ) )4545200200200?解解: 若設相遇時補給船的行程若設相遇時補給船的行

11、程DE為為x海里海里,則相遇時軍艦的行程應則相遇時軍艦的行程應2x為為海里海里, , 即即海海里里海海里里xBEABxDE2, 另外三角形另外三角形DFC為等腰直角三角形為等腰直角三角形)( 100 海海里里 DFFCFCBEBCEF 1002002200 x)( 2300海海里里x 整理整理,得得根根據據勾勾股股定定理理可可得得方方程程中中, ,在在DEFRt 2222300100 xx 0100000120032 xx36100200 1 x361002002 x4 .1186 .281 449.26 DEAB 即即DE200(不合題意不合題意,舍去舍去)答答: :相遇時補給船航行了相遇時

12、補給船航行了約約118.4118.4海里海里. .小結 拓展 本節課選取了一些幾何和現實生活中的題材本節課選取了一些幾何和現實生活中的題材, ,讓大家讓大家經歷了列一元二次方程解決問題的過程經歷了列一元二次方程解決問題的過程. .當我們在建構當我們在建構方程數學模型方程數學模型, ,刻畫現實世界、解決實際問題時刻畫現實世界、解決實際問題時, ,應注應注意哪些重要環節意哪些重要環節? ?整體地、系統地審清問題整體地、系統地審清問題把握問題中的等量關系把握問題中的等量關系正確求解方程并檢驗解的合理性正確求解方程并檢驗解的合理性 你還有哪些新的、有價值的收獲嗎你還有哪些新的、有價值的收獲嗎?O東東北

13、北1 1、九章算術九章算術“勾股勾股”章有一題章有一題:“:“今有二人同所立今有二人同所立. .甲行率七甲行率七, ,乙行率三乙行率三, ,乙東行乙東行, ,甲南行十步而斜東北與乙會甲南行十步而斜東北與乙會. .問甲乙行各幾何問甲乙行各幾何.”.”大意是說大意是說: :已知甲、乙二人同時從同一地點出發已知甲、乙二人同時從同一地點出發, ,甲的速度為甲的速度為7,7,乙的速度為乙的速度為3,3,乙一直向東走乙一直向東走, ,甲先向南走甲先向南走1010步步, ,后又斜向北偏東后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇方向走了一段后與乙相遇, ,那么相遇時那么相遇時, ,甲、乙各走了多遠甲、乙各走了多遠

14、? ?AB(不合題意不合題意,舍去舍去)(5 .2475 .3步步 甲的行程甲的行程:乙的行程乙的行程:)(5 .1035 .3步步解解:如圖所示如圖所示,甲、乙二人同時從點甲、乙二人同時從點0出發出發,在點在點B處相遇處相遇., 5 .3x 1 0 x2 根據題意得根據題意得222)x3(10)10 x7( 設相遇時甲的行程為設相遇時甲的行程為7x步步,乙的行程為乙的行程為3x步步,37vv 乙乙甲甲37ss 乙乙甲甲即即 步步步步步步x3OB,)10 x7(AB,10OA 103x7x -10隨堂練習隨堂練習2如圖，在如圖，在 RtACB 中，中， C = 90，點，點 P，Q 同時由同時

15、由 A，B 兩點出發分別沿兩點出發分別沿 AC，BC 方向向點方向向點 C 勻速移動（到點勻速移動（到點 C 為為止），它們的速度都是止），它們的速度都是 1 m/s經過幾秒經過幾秒 PCQ 的面積為的面積為 RtACB 面積的一半？面積的一半？問題解決問題解決解：解：經過X秒 PCQ 的面積為 RtACB 面積的一半。則由已知條件可得： （8-X）（6-X）=1/2 68 化簡得 X2-14X+24=0解得 x1=2, x2=12(舍)3如圖，一條水渠的斷面為梯形，已知斷面的面積為如圖，一條水渠的斷面為梯形，已知斷面的面積為 0.78 m2，上口比渠底寬，上口比渠底寬 0.6 m，渠深比渠底

16、少，渠深比渠底少 0.4 m，求渠深，求渠深問題解決問題解決4如圖，在如圖，在 RtACB 中，中， C = 90，AC = 30 cm，BC = 25 cm動點動點 P 從點從點 C 出發，沿出發，沿 CA 方向運動，速度是方向運動，速度是 2 cm/s；動點；動點 Q 從點從點 B 出發，沿出發，沿 BC 方向運動，速度是方向運動，速度是 1 cm/s幾秒后幾秒后 P，Q 兩點相距兩點相距 25 cm ？問題解決問題解決 有有100100米長的籬笆，想圍成一個矩形露天羊圈，米長的籬笆，想圍成一個矩形露天羊圈，要求面積要求面積不小于不小于600600平方米，在場地的北面有一堵長平方米，在場地

17、的北面有一堵長5050米的舊墻?，F請你設計矩形羊圈的長和寬使它符合要米的舊墻?，F請你設計矩形羊圈的長和寬使它符合要求，你有多少種設計方案呢？求，你有多少種設計方案呢？心動 不如行動充分利用充分利用5050米的舊墻，即矩形的一米的舊墻，即矩形的一邊長是邊長是5050米，米，用用100100米籬笆圍成矩形羊圈，米籬笆圍成矩形羊圈，則矩形的另一邊長為則矩形的另一邊長為2525米，米， S=50S=5025=1250 ( )25=1250 ( )所以設計符合要求所以設計符合要求有有100100米長的籬笆，想圍成一個矩形露天羊圈，要求面積米長的籬笆，想圍成一個矩形露天羊圈，要求面積不小不小于于60060

18、0平方米，在場地的北面有一堵長平方米，在場地的北面有一堵長5050米的舊墻?，F請你設米的舊墻?，F請你設計矩形羊圈的長和寬使它符合要求，你有多少種設計方案呢？計矩形羊圈的長和寬使它符合要求，你有多少種設計方案呢？m2心動 不如行動50502525有有100100米長的籬笆，想圍成一個矩形露天羊圈，要求面積米長的籬笆，想圍成一個矩形露天羊圈，要求面積不小于不小于600600平方米，在場地的北面有一堵長平方米，在場地的北面有一堵長5050米的舊墻?，F請你設計矩米的舊墻。現請你設計矩形羊圈的長和寬使它符合要求，你有多少種設計方案呢？形羊圈的長和寬使它符合要求，你有多少種設計方案呢？心動 不如行動 設矩形與墻垂直的一邊長為設矩形與墻垂直的一邊長為x x米，米， 則另一邊為（則另一邊為