1、會計學1高等數學多元函數積分學的應用肖萍高等數學多元函數積分學的應用肖萍第一頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用積分積分 定義定義1. 設為有界閉區域, 函數u=f (P)(P)為上的有界點函數. 將幾何體任意分成n個子閉區域1, 2, , n , 其中i表示第i個子閉區域, 也表示它的度量. 在i上任取一點 Pi, 作乘積 f (Pi) i ,并作和 如果當各子閉區域i的直徑中的 最大值趨近于零時, 這和式的極限存在, 則稱此極限 為點函數點函數f (P)在在 上的積分上的積分, 記為 即第1頁/共51頁第二頁，編輯于星期三：七點 四十五

2、分。其中稱為積分區域積分區域, f (P) 稱為被積函數被積函數, P稱為積分變量積分變量, f (P)d注注1.點函數積分的物理意義: 設一物體占有有界閉區域, 其密度為=f (P), 該物體的質量為稱為被積表達式被積表達式, d稱為度量微元度量微元.注注2. 特別地, 當 f (P) = 1時, 有第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用第2頁/共51頁第三頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用注注3. 點函數積分可分成以下六類： 1. 若=a,bR, f (P) = f (x), xa,b, 則這是 f (x)在a,b上

3、的定積分定積分. 當f (x)=1時, 是區間長.2. 若=LR2, 且L是一平面曲線, f (P) = f (x, y), (x, y)L, 則這是 f (x, y)在平面曲線L上的第第一類曲線積分一類曲線積分. 當f (x)=1時, 是平面曲線L的弧長.第3頁/共51頁第四頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用3. 若=R3, 且是一空間曲線, f (P) = f (x, y, z), (x, y, z), 則這是 f (x, y, z)在空間曲線上的第一第一類曲線積分類曲線積分. 當f (x , y, z)=1時, 是空間曲線 的弧長.

4、4. 若=DR2, 且D是一平面區域, f (P) = f (x, y), (x, y)D, 則這是 f (x, y)在平面區域D上的二重積分二重積分. 當f (x , y)=1時, 是平面區域D的面積.第4頁/共51頁第五頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用5. 若=R3, 且是一空間曲面, f (P) = f (x, y, z), (x, y, z), 則這是 f (x, y, z)在空間曲面上的第一第一類曲面積分類曲面積分. 當f (x, y, z)=1時, 是空間曲面的面積.6. 若R3, 且是一空間區域, f (P) = f (x

5、, y, z), (x, y, z), 則這是 f (x, y, z)在空間區域上的三重積分三重積分. 當f (x, y , z)=1時, 是空間區域的體積.第5頁/共51頁第六頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用注注4. 點函數積分具有以下八條性質： 設 f (P), g(P)在有界閉區域上都可積, 則有 性質性質1 ( )( )d( )d( )d .f Pg Pf Pg P 性質性質2( )d( )d .kf Pkf P 線性性線性性性質性質312( )d( )d( )df Pf Pf P 其中12 = , 其中1與2無公共內點.區域可

6、加性區域可加性第6頁/共51頁第七頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用性質性質41dd(). 度量當 f (P)=1時, 有性質性質5( )d0.f P 若 f (P) 0, P, 則 推論1. 若 f (P) g(P), P, 則( )d( )d .f Pg P 保號性保號性 推論2. |( )d| ( )|d .f Pf P 性質性質6()( )d(),m Df PM D 設 f (P)在上的最大值為M, 最小值為m, 則其中D()為的度量.估值性質估值性質第7頁/共51頁第八頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積

7、分學的應用多元函數積分學的應用性質性質7( )df P設 f (P)在上的連續, 則至少有一點P*, 使得其中 稱為函數f (P)在在上的平均值平均值. ( )d()f PD*()(),f PD積分中值定理積分中值定理性質性質8 (對稱性質對稱性質)1. (1) 對于二重積分和第一類平面曲線積分有: 若f (P)C(), 關于x(y)軸對稱, 1為被x(y)軸切割的一半區域, 則12( )d ,( ,)( , );( )d0, ( ,)( ,(, )( , )(), ),.f Pf xyf x yf Pf xfx yf x yfx yfyf x yx y第8頁/共51頁第九頁，編輯于星期三：七

8、點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用(2) 對于三重積分, 第一類空間曲線積分和第一類曲面積分有:若 f (P) C(), 關于xoy面 (yoz面) (zox面) 對稱, 1為被xoy面 (yoz面) (zox面)切割的一半區域, 則12( )d , ( , ,)( , , )( )d0, (, , )( , ( , ,), )(, , )( , ), )f Pf x yzf x y zf Pffx y zf x y zfxx yzf x y zy zf x y z( , )( , , )f xy zf x y z( , )( , , )f xy zf x

9、y z第9頁/共51頁第十頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用2. (1) 對于二重積分和第一類平面曲線積分有: 若f (P)C(), 關于原點對稱, 1為被過原點的任一條直線切割的一半區域, 則12( )d ,(,)( , );( )d0, (,)( , ).f Pfxyf x yf Pfxyf x y (2) 對于三重積分, 第一類空間曲線積分和第一類曲面積分有:若 f (P) C(), 關于原點對稱, 1為被過原點的任一平面切割的一半區域, 則第10頁/共51頁第十一頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應

10、用多元函數積分學的應用12( )d , (,)( , , );( )d0, (,)( , , ).f Pfxyzf x y zf Pfxyzf x y z 3. (輪換對稱性)(1)對于二重積分和第一類平面曲線積分有: 若f (P)C(), 關于y=x對稱, 則( , )d( , )d .f x yf y x第11頁/共51頁第十二頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用(2) 對于三重積分, 第一類空間曲線積分和第一類曲面積分有:若 f (P) C(), 且x, y, z三個變量在的表示中地位一樣, 則( , , )d( , , )d( ,

11、, )d .f x y zf y z xf z x y注注. 輪換對稱性對第二類的線面積分也成立.第12頁/共51頁第十三頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用積分學在幾何上的應用積分學在幾何上的應用 占有平面區域D的平面圖形的面積為 空間曲面: z=z(x,y)的面積為第13頁/共51頁第十四頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用 以 xoy 平面上曲線 L 為準線, 母線平行于 z 軸的柱面被曲面 : z=z(x, y)所截, 位于 與 xoy 坐標面之間的部分的面積為zxyoL(x,

12、y)dsz(x, y)第14頁/共51頁第十五頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用例例1. 求由 y = 4 x2, y = 3x, x =1所圍成的平面圖形的面積S.D1D24y = 4 x2x = 1y = 3xyOx223S 第15頁/共51頁第十六頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用例例2. 求曲線 (x2 + y2)2 = 2a2(x2 y2)和x2 + y2 a2所圍成的平面圖 形的面積S.2( 3)3Sa第16頁/共51頁第十七頁，編輯于星期三：七點 四十五分。例例3. 求

13、由 y2 = px, y2 = qx, x2 = ay, x2 = by (0 p q, 0 a 0)內部的那部分面積S.yzx解解: 由對稱性, S=4S1zyxDx y :222yxazDxy: x2+y2 ax, y 0.S=4S1=2( 2)a2第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用第18頁/共51頁第十九頁，編輯于星期三：七點 四十五分。例例5.求由拋物線 z=x2 上從 x=1 到 x=2 的一段繞z 軸旋轉一周所生成的旋轉曲面的面積S.z=x22o1xyzDxy解解: : z=x2+y2Dxy: 1 x2+y2 22222441)()(1yxyzxz221 4(

14、)d dxyDSxyx y(17 175 5)6S第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用第19頁/共51頁第二十頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用注注. 一般地, 由曲線 z= (x)(0 0)含在球面x2+y2+z2=a2內部的那部分面積S.yzx解解: 由對稱性, S=4S1zyxL,:2xaxyL0 x a2221dLSaxysS=4S1=4a2第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用第21頁/共51頁第二十二頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用

15、 以平面區域D為底,連續曲面z = f (x,y)為頂的曲頂柱體曲頂柱體的體積為 占有空間有界域 的立體的體積為第22頁/共51頁第二十三頁，編輯于星期三：七點 四十五分。例例7. 求曲面1: z = x2+y2+1上任一點的切平面與曲面2: z = x2+y2 所圍立體的體積 V .第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用例例8. 求半徑為a 的球面與半頂角為 的 內接錐面所圍成的立體的體積V.2V344(1 cos)3aV第23頁/共51頁第二十四頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用 平面曲線L的弧長為 空間曲線 的弧長

16、為第24頁/共51頁第二十五頁，編輯于星期三：七點 四十五分。例例9. 求空間曲線: x=3t, y=3t2, z=2t3從點(0, 0, 0) 到點(3, 3, 2)的 一段弧長.第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用內容小結：內容小結：利用我們學過的點積分求一些幾何形體的度量.5s第25頁/共51頁第二十六頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用積分學在物理上的應用積分學在物理上的應用 設幾何形體的質量分布密度為 (P), P則 dM= (P)d故( )dMP第26頁/共51頁第二十七頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第

17、 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用(1)平面薄板D, 質量面密度為(x, y), 則( , )d ;DMx y(2) 空間物體, 質量體密度為 (x, y, z), 則( , , )d ;Mx y zv(3) 曲線狀物體 L( ), 質量線密度為 (x, y) ( (x, y, z), 則( , )dLMx ys( , , )()d ;Mx y zs(4) 曲面狀物體, 質量面密度為 (x, y, z), 則( , , )d .Mx y zS第27頁/共51頁第二十八頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用例例1. 設球面x2

18、+y2+z2=2及錐面 圍成立體, 其質量體密度與立體中的點到球心的距離之平方成正比, 且在球面上等于1. 試求該立體的質量.22zxyzyxa4第28頁/共51頁第二十九頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用例例2. 一個圓柱面x2+y2=R2介于平面 z=0, z=H之間, 其質量面密度 等于柱面上的點到原點的距離之平方的倒數, 求其質量.21xyRRzH解解: : 2221( , , )x y zxyz(x, y, z)222dzyxSM第29頁/共51頁第三十頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函

19、數積分學的應用由力學知, 該質點系的質心坐標為設平面有n個質點, 分別位于(xk, yk), 其質量分別為mk (k=1,2,n).對y軸的靜力矩對x軸的靜力矩第30頁/共51頁第三十一頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用由力學知, 該質點系的質心坐標為設空間有n個質點, 分別位于(xk, yk, zk), 其質量分別為mk (k=1,2,n).對yoz面的靜力矩對xoz面的靜力矩對xoy面的靜力矩第31頁/共51頁第三十二頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用 設物體占有平面幾何形體 ,

20、其質量密度為(x, y)C(), 則質量微元為對x軸和y軸的靜力矩微元為對x軸和y軸的靜力矩為( , )d ,( , )dxyMyx yMxx y則的質心為( , )d( , )d,( , )d( , )dyxxx yyx yMMxyMMx yx y第32頁/共51頁第三十三頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用 設物體占有空間形體 ,其質量密度為(x, y, z)C(), 則質量微元為對yoz面, zox 面和xoy面的靜力矩微元為對yoz面, zox 面和xoy面的的靜力矩為( , , )d ,( , , )d , ( , , )dyzz

21、xxyMxx y zMyx y zMzx y z第33頁/共51頁第三十四頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用則的質心為( , , )d( , , )d,( , , )d( , , )d( , , )d .( , , )dyzzxxyxx y zyx y zMMxyMMx y zx y zzx y zMzMx y z第34頁/共51頁第三十五頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用在xoy面上, 面密度為(x, y)的平面薄片D的質心為 , 則 ),(yx( , )d( , )d,.( ,

22、)d( , )dyxDDDDxx yyx yMMxyMMx yx y線密度為(x, y)的平面曲線L的質心為 , 則 ( ,)x y( , )d( , )d,.( , )d( , )dyxLLLLxx ysyx ysMMxyMMx ysx ys第35頁/共51頁第三十六頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用體密度為(x, y, z)的空間立體的質心為 , 則 ( , , )x y z( , , )d( , , )d,( , , )d( , , )d( , , )d .( , , )dyzxzxyxx y zVyx y zVMMxyMMx y

23、zVx y zVzx y zVMzMx y zV第36頁/共51頁第三十七頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用線密度為(x, y, z)的空間曲線的質心為 , 則 ( , , )x y z( , , )d( , , )d,( , , )d( , , )d( , , )d .( , , )dyzxzxyxx y zsyx y zsMMxyMMx y zsx y zszx y zsMzMx y zs第37頁/共51頁第三十八頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用面密度為(x, y, z)的空間

24、曲面的質心為 , 則 ( , , )x y z( , , )d( , , )d,( , , )d( , , )d( , , )d .( , , )dyzxzxyxx y zSyx y zSMMxyMMx y zSx y zSzx y zSMzMx y zS注注.質量均勻分布的幾何形體的質心稱為的形心.第38頁/共51頁第三十九頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用例例3. 求 r = 2sin 和 r = 4sin 所圍均勻薄片 D 的形心.xyo例例4. 在底圓半徑為 R, 高為 H 的圓柱體上拼加一個半徑為 R 的半球體, 要使拼加后的整

25、個立體 的形心位球心處, 求 R 與 H 的關系.xyRz0H第39頁/共51頁第四十頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用由力學知, 該質點系對x軸, y軸和原點的轉動慣量分別為設平面有n個質點, 分別位于(xk, yk), 其質量分別為mk (k=1,2,n).第40頁/共51頁第四十一頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用由力學知, 該質點系對x軸, y軸, z軸和原點的轉動慣量分別為設空間有n個質點, 分別位于(xk, yk, zk), 其質量分別為mk (k=1,2,n).第41頁

26、/共51頁第四十二頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用設物體占有平面幾何形體 ,其質量密度為(x, y)C(),則質量微元為對x軸, y軸和原點的轉動慣量微元為對x軸, y軸和原點的轉動慣量為第42頁/共51頁第四十三頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用 設物體占有空間形體 ,其質量密度為(x, y, z)C(), 則質量微元為對x軸, y軸, z軸和原點的轉動慣量微元為第43頁/共51頁第四十四頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用對

27、x軸, y軸, z軸和原點的轉動慣量為2222() ( , , )d ,() ( , , )d ,xyIyzx y zIxzx y z22222() ( , , )d ,() ( , , )d .zoIxyx y zIxyzx y z第44頁/共51頁第四十五頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用例例4. 已知均勻矩形板(面密度為常數)的長和寬分別為b和h, 計算此矩形板對于通過其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉動慣量.例例5. 設螺旋形彈簧所對應的方程為x=acost, y=asint, z=bt(0t2), 其線密度為(x, y, z)=x2+y2+z2. 求該螺旋形彈簧對z軸的轉動慣量.xyouvo第45頁/共51頁第四十六頁，編輯于星期三：七點 四十五分。第第 5 章章 多元函數積分學的應用多元函數積分學的應用 設物體占有xoy面幾何形體 ,其質量密度為(x, y)C(), 現要計算對位于z軸上點M0(0, 0, a) (a0)處質量為m的質點的引力.oxyz(0,0,a)d (x, y, 0)對點M0處質點的引力微元在三坐標軸上的投影分別