1、偏微分方程偏微分方程PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION(P.D.E)PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION(P.D.E)參考書目參考書目工程技術中的偏微分方程工程技術中的偏微分方程， 潘祖梁，浙江大學出版社。潘祖梁，浙江大學出版社。數學物理方程數學物理方程， 王明新，清華大學出版社。王明新，清華大學出版社。一一. . 偏微分方程的基本概念偏微分方程的基本概念),(21nxxxx自變量),()(21nxxxuxu未知函數0),(2121xuxuxuuxFn偏微分方程的一般形式PDE的階PDE的解 古典解廣義解一些概念是指這樣一個函數，它本身以及它的

2、偏導數在所考慮的區域上連續，同時用滿足方程。 線性PDE非線性PDE半線性PDE擬線性PDE完全非線性PDE線性線性PDE：PDE中對最高階導數是線性的。線性PDE中所有具同一最高階數的偏導數組成的部分，稱為線性方程的主部主部。半線性半線性PDE：擬線性擬線性PDE：擬線性PDE中，最高階導數的系數僅為自變量的函數。PDE中對所含未知函數及其各階導數的全體都是線性的。舉例舉例（未知函數為二元函數）（未知函數為二元函數）0 xu1.0 xuatu2.atxx變換解為：)( yfu 解為：)(atxfu0ua022222xuatu4.02txu3.解為：)()(thxguatxatx變換02u解為

3、：)()(atxhatxgu02222yuxu5.不易找出其通解，但還是可以找出一些特解任意解析函數 的實部和虛部均滿足方程。)(zfr1ln也是解22yxr0633xuxuutu6.特解都不易找到KDV方程7.uxteuuu擬線性擬線性PDE8.22vvvvvyyyxxx擬線性擬線性PDE9.)()(,(yxvyyxxvvevvyxa半線性半線性PDE10.uuuxtsin半線性半線性PDE11.222uuuxt非線性非線性PDE舉例舉例(多元函數多元函數)0222222zuyuxutuzuyuxu22222222222222tuzuyuxu拉普拉斯(Laplace)方程熱傳導方程波動方程二

4、二. . 定解問題的適定性定解問題的適定性定解問題PDE定解條件初值條件邊值條件初、邊值條件初值問題、邊值問題、混合問題經典的定解問題舉例經典的定解問題舉例波動方程的初值問題（一維）)(),()(),(,0 ),(0022222xtxtuxtxuRxttxfxuatutt經典的定解問題舉例經典的定解問題舉例熱傳導方程的初值問題（一維）)(),(,0 ),(0222xtxuRxttxfxuatut經典的定解問題舉例經典的定解問題舉例二維調和方程的邊值問題邊值問題)()()(),( ,022222xgnuxuxRyxyuxu0, 11,00,0第一邊值問題（Dirichlet）第二邊值問題（Neu

5、mann）第三邊值問題（Robin）經典的定解問題舉例經典的定解問題舉例熱傳導方程的初、邊值問題)(),(),(),()(),(0,0 ),(00222thtxutgtxuxtxuLxttxfxuatuLxxt何為適定性？何為適定性？存在性存在性唯一性唯一性連續依賴性（穩定性）連續依賴性（穩定性）適定性若PDE在附加條件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函數類中存在、唯一而且關于附加條件為穩定的，就稱定解問題在相應的函數類中為適定的適定的。三三. 物理模型與定解問題的導出物理模型與定解問題的導出 弦振動方程弦振動方程與定解問題 一長為一長為L的柔軟均勻細弦，拉緊后，當它的柔軟均勻細弦，

6、拉緊后，當它受到與平衡位置垂直的外力作用時，開始作微受到與平衡位置垂直的外力作用時，開始作微小橫振動。小橫振動。 假設這運動發生在同一平面內且假設這運動發生在同一平面內且與方向垂直于平衡位置，求弦上各點位移隨時與方向垂直于平衡位置，求弦上各點位移隨時間變化規律。間變化規律。弦上各點作往返運動的主要原因在于弦的張力作用，弦在運動過程中各點的位移、加速度和張力都在不斷變化，但它們遵循物理的運動規律。由此可以建立弦上各點的位移函數所滿足的微分方程。取弦的平衡位置為OX軸，運動平面為XOUOUXPQL在時刻 t ，弦線在 x 點的位移為 u(x, t)OUXPQxxx)(xT)(xxT此為上圖中PQ的

7、放大圖示12假設弦線是均勻的，弦作微小振動，故可認為xS即表明弧段PQ在振動過程中長度近似不變。因此根據Hooke定律，弦上各點的張力 T 的大小與時間 t 無關。再由于弦是柔軟的，弦上各點的張力 T 的方向正是弦的切線方向。21() cos( ) cos0T xxT x 根據牛頓第二運動定律根據牛頓第二運動定律22102()sin( )sinumaxT xxT xfxt 1xu),(1tantxxu2(, )tanxx tux ),(1sintxxu),(2sintxxxu1cos11cos2(*1)(*2)OUXPQxxx)(xT)(xxT12表示弦的質量密度（單位長度的質量）mx22(,

8、)uxtat很小時(*1) )()(xTxxT這表明張力的大小與 x 也無關，即0TT 常數(*2) 220022( , )( , )( , )u x tu x txTxfx txtx微分中值定理0 x202102tantanuxTfxt2002(, )( , )( , )uu xx tu x txTfx txtxx 022022fxuTtu令0 x，可得微分方程方程弦是均勻的，故 為常數，記22222(, )uuvfx ttx200, (, )Tfvfx t方程改寫為刻劃了均勻弦的微小橫振動的一般規律。通常稱為弦振動方程。弦振動方程。)0,0(tLxv表示速度，因為T的單位是質量*長度/時間

9、的平方單位長度是時間/質量為了具體給出弦的振動規律，除了列出它所滿足的方程外，由于弦開始時的形狀和弦上各點的速度，對弦振動將有直接影響，由此必須列出初始條件)()0,(xxu)()0,(xxtu或者邊界條件已知端點的位移已知在端點受到垂直于弦的外力的作用已知端點的位移與所受外力作用的一個線性組合)(),(),(),0(thtLutgtu)( ),(0thxuTtgxuTLxx四四. 二階線性方程的分類二階線性方程的分類兩個自變量情形0222222122211cuyubxuayuayxuaxua主部目的：通過自變量的非奇異變換來簡化方程的主部，從而據此分類。),(),(yxyx非奇異0yxyx（

10、1）),(),(yxyx),(yxu),(u復合求導xuxuxuyuyuyu2222222222222)(2)(yuyuyuyyuyuyu2222222222222)(2)(xuxuxuxxuxuxuyxuyxuyxuyxyxuyxuyxu22222222)(0222222122211cuyubxuayuayxuaxua0222222122211CuuBuAuAuAuA系數之間的關系2221221111)(2)(yayxaxaA2221221122)(2)(yayxaxaAyyayxyxaxxaA22121112)(（2）（1）（3）0)(2)(22212211yzayzxzaxza考慮如若能

11、找到兩個相互獨立的解),(yxz),(yxz那么就作變換),(),(yxyx從而有02211 AA（4）兩個引理兩個引理0)(2)(22212211yzayzxzaxza引理引理1.假設是方程),(yxz的特解，則關系式是常微分方程（4）Cyx),(0)(2)(22212211dxadxdyadya（5）的一般積分。引理引理2.Cyx),(假設是常微分方程（5）的一般積分，則函數),(yxz是（4）的特解。 由此可知，要求方程（4）的解，只須求出常微分方程（5）的一般積分。定義定義：常微分方程（5）為PDE（1）的特征方程特征方程（5）的積分曲線為PDE（1）的特征曲線。特征曲線。0)(2)(

12、22212211dxadxdyadya11221121212aaaaadxdy（6）記2211212),(aaayx定義定義方程(1)在點M處是雙曲型：橢圓型：拋物型：若在點M處，有0),(yx若在點M處，有0),(yx若在點M處，有0),(yx雙曲型雙曲型PDE0),(2211212aaayx11221121212aaaaadxdy右端為兩相異的實函數它們的一般積分為,),(CyxCyx),(),(),(yxyx由此令，方程（1）可改寫為),(2uuuu雙曲型方程的第一標準型ts12222tusu雙曲型方程的第二標準型拋物型拋物型PDE0),(2211212aaayx1112aadxdy由此

13、得到一般積分為,),(Cyx),(),(yxyx由此令，其中),(yx),(yx與獨立的任意函數。由于0),(yx221112aaa2221221111)(2)(yayxaxaA022211yaxayyayxyxaxxaA22121112)(022112211yaxayaxa由此推出為什么會為0？因此，方程（1）可改寫為),(22uuuu拋物型方程的標準型0)(2)(2221221122yayxaxaA而橢圓型橢圓型PDE0),(2211212aaayx11221121212aaaaadxdy右端為兩相異的復數由此推出兩族復數積分曲線為,),(CyxCyx),(*其中),(),(),(21yx

14、iyxyx),(),(),(21*yxiyxyx),(),(21yxyx由此令從而方程（1）可改寫為， 滿足方程（4）i0)()()(2)(22212211yiayixiaxia0122211iAAA0 ,0122211AAA2222uu橢圓型方程的標準型總結總結0)( )( x,yI0)( )( x,yII0)( )( x,yIII（雙曲型PDE）（拋物型PDE）（橢圓型PDE）yxu22222yuxu或22uy 2222yuxu例10222yyxyxxuyxyuux0)()(222yxxyx,y拋物型方程xyxxydxdy21cxy令xyy01012xxyyxyx02uy0u)()(),(hgu)()(),(x