1、實用文檔標準文案線段之和最短問題一 常見數學模型：1. 如圖，直線l 和 l 的異側兩點a、b，在直線l 上求作一點p，使 pa+pb最小。2. 如圖，直線l 和 l 的同側兩點a、b，在直線l 上求作一點p，使 pa+pb最小。3. 如圖，直線 ?1和?2的異側兩點a、b，分別在直線 ?1、?2上求作一點p、q兩點，使 ap+pq+qb 最小。4. 如圖，直線 ?1的同側兩點a、b，分別在直線 ?1上求作一點p、q兩點，且pq=a，使 ap+pq+qb 最小。labl2l1ablabal1ba實用文檔標準文案5. 如圖，點p是 mon 內的一點，分別在om ，on上作點 a，b使 pab的周

2、長最小。6. 如圖，點p，q為 mon 內的兩點，分別在om ，on上作點 a，b。使四邊形paqb的周長最小。為方便歸類，將這種情況稱為“兩點之間線段最短型”5. 如圖，點a是 mon 外的一點，在射線on上作點 p，使 pa與點 p到射線 om 的距離之和最小6. .如圖，點 a是 mon 內的一點，在射線on上作點 p，使 pa與點 p到射線 om 的距離之和最小為方便歸類，將以上兩種情況，稱為“垂線段最短型”nm0pnm0a0mnpqnm0a實用文檔標準文案練習題1在平面直角坐標系中，有 a （3， 2） ，b （4，2）兩點，現另取一點c （1，n） ，當 n =_時， ac + b

3、c 的值最小2如圖，護城河在cc 處直角拐彎，寬度保持為4 米，從 a處往 b處，經過兩座橋：dd ， ee ，設護城河是東西南北方向的，a，b在東西方向上相距64 米，南北方向上相距 84 米，如何設計兩座橋梁dd ， ee 的位置，使由a地經過兩座橋梁后到b地的路程最短？最短路程是多少？3如圖 aob = 45 ， p是 aob內一點， po = 10 ， q 、p分別是 oa 、ob上的動點，求pqr 周長的最小值baopyxba1234123412341234oba實用文檔標準文案4如圖，在 abc中， ac bc2， acb 90， d是 bc邊的中點， e是 ab邊上一動點，則 e

4、c ed的最小值為 _。5如圖， c為線段 bd上一動點，分別過點b、d作 ab bd ，ed bd ，連接 ac 、ec 。已知 ab=5 ，de=1 ，bd=8 ，設 cd=x. (1) 用含 x 的代數式表示 ac ce的長；(2) 請問點 c滿足什么條件時， ac ce的值最小 ? (3) 根據(2) 中的規律和結論，請構圖求出代數式x2+4 +(12-x)2+9 的最小值edcba實用文檔標準文案6桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋），高為 12 厘米，底面周長18 厘米，在杯口內壁離杯口3 厘米的 a處有一滴蜜糖，一只小蟲從桌上爬至杯子外壁，當它正好爬至蜜糖相對方向離桌面 3 厘米的 b

5、處時，突然發現了蜜糖。問小蟲至少爬多少厘米才能到達蜜糖所在的位置。7 著名的恩施大峽谷()a和世界級自然保護區星斗山()b位于筆直的滬渝高速公路x同側，50kmaba，、b到直線x的距離分別為10km和40km，要在滬渝高速公路旁修建一服務區p，向a、b兩景區運送游客如果擬建的恩施到張家界高速公路y與滬渝高速公路垂直， 建立如圖所示的直角坐標系，b到直線y的距離為30km，請你在x旁和y旁各修建一服務區p、q，使p、a、b、q組成的四邊形的周長最小并求出這個最小值aabbayxbao實用文檔標準文案8如圖，在銳角abc中，ab = 42，bac 45， bac的平分線交bc于點 d，m 、n分

6、別是 ad和 ab上的動點，則bm+mn 的最小值是 _9如圖， abc中，ab=2 ，bac=30 ，若在 ac 、ab上各取一點m 、n，使 bm+mn 的值最小，則這個最小值10 如圖，四邊形abcd是正方形， abe是等邊三角形，m為對角線bd （不含 b 點）上任意一點，將bm繞點 b逆時針旋轉60得到 bn ，連接 en 、am 、 cm 求證： amb enb ； 當 m點在何處時，am cm的值最小；當 m點在何處時，am bm cm的值最小，并說明理由； 當 am bm cm的最小值為3 + 1 時，求正方形的邊長. 302abcmnd cbaenbcadm實用文檔標準文案參

7、考答案1在平面直角坐標系中，有 a （3， 2） ，b （4，2）兩點，現另取一點c （1，n） ，當 n =_時， ac + bc 的值最小點 c （1，n） ，說明點c在直線 x=1 上，所以作點a關于直線 x=1 的對稱點a ， 連接 ab， 交直線 x=1 于點 c， 則 ac+bc的值最小設直線 ab 的解析式為y=kx+b，則-2=-k+b 2=4k+b 解得： k = (4/5) b = - (6/5) 所以： y = (4/5)x-(6/5) 當 x = 1時， y = -(2/5) 故當 n = -(2/5)時， ac+bc 的值最小2如圖，護城河在cc 處直角拐彎，寬度保持

8、為4 米，從 a處往 b處，經過兩座橋：dd ， ee ，設護城河是東西南北方向的，a，b在東西方向上相距64 米，南北方向上相距 84 米，如何設計兩座橋梁dd ， ee 的位置，使由a地經過兩座橋梁后到b地的路程最短？最短路程是多少？如圖，作bb a，aa b，且 bb = 4 ，aa = 4 ，連接 ab，交河岸于點e，d，分別過點e、 d架設橋梁dd ， ee ，則 add e eb是最短路線。因為四邊形add a、四邊形bee b 都是平行四邊形，所以be = b e， ad = ad，因為a， b之間線段最短，所以add e eb是最短路線，又bf = 64 ，af = 84 ，所

9、以 b f = 60 ，af = 80 ，在直角三角形abf 中，由勾股定理得，ab = 100 ，最短路線為108 米3如圖 aob = 45，p是aob 內一點， po = 10，q 、p分別是 oa 、ob上的動點，求 pqr 周長的最小值分別作點p關于 oa 、ob的對稱點p1、p2，連接 p1p2，交 oa 、ob于點 q，r ，連接 op1，op2，則 op = op1 = op2 = 10 且 p1op2 = 90 xy1234 1 2 3 41234 1 2 3 4abaobadeedabbafdeedbabarqp2p1aobp實用文檔標準文案由勾股定理得p1p2 = 102

10、 4如圖，在 abc中， ac bc2， acb 90， d是 bc邊的中點， e是 ab邊上一動點，則 ec ed的最小值為 _。即是在直線ab上作一點e，使 ec+ed 最小作點 c關于直線ab的對稱點c ，連接 dc交 ab于點 e ，則線段 dc的長就是ec+ed 的最小值。在直角 dbc中db=1 ，bc=2 ，根據勾股定理可得，dc=5 5如圖， c為線段 bd上一動點，分別過點b、d作 ab bd ，ed bd ，連接 ac 、ec 。已知 ab=5 ，de=1 ，bd=8 ，設 cd=x. (1) 用含 x 的代數式表示 ac ce的長；(2) 請問點 c滿足什么條件時， ac

11、 ce的值最小 ? (3) 根據(2) 中的規律和結論，請構圖求出代數式x2+4 +(12-x)2+9 的最小值( 1)ac = (8-x)2 + 25 ，ce = x2 + 1 則 ac+ce = (8-x)2 + 25 + x2 + 1 (2)a 、c、e三點共線時 ac+ce 最小連接 ae ，交 bd于點 c，則 ae就是 ac+ce 的最小值最小值是 10 (3) 如右圖， ae的長就是這個代數式的最小值在直角 aef中,af = 5 ef = 12 根據勾股定理 ae = 13 （3） 求代數式x2 + 1 + (4-x)2 + 4 （0 x4）的最小值32x12-xcfbdae5

12、1x8-xfebdaecde實用文檔標準文案如右圖， ae的長就是這個代數式的最小值在直角 aef中af = 3 ef = 4 則 ae = 5 所以，這個代數式的最小值是5 6桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋），高為 12 厘米，底面周長18 厘米，在杯口內壁離杯口3 厘米的 a處有一滴蜜糖，一只小蟲從桌上爬至杯子外壁，當它正好爬至蜜糖相對方向離桌面 3 厘米的 b處時，突然發現了蜜糖。問小蟲至少爬多少厘米才能到達蜜糖所在的位置。析：展開圖如圖所示，作a點關于杯口的對稱點a 。則 ba =92 + 122 =15 厘米7著名的恩施大峽谷()a和世界級自然保護區星斗山()b位于筆直的滬渝高速公路x

13、同側，50kmaba，、b到直線x的距離分別為10km和40km，要在滬渝高速公路旁修建一服務區p，向a、b兩景區運送游客如果擬建的恩施到張家界高速公路y與滬渝高速公路垂直， 建立如圖 （3）所示的直角坐標系，b到直線y的距離為30km，請你在x旁和y旁各修建一服務區p、q，使p、a、b、q組成的四邊形的周長最小并求出這個最小值分別作點a、b關于 x 軸、y 軸的對稱點a ， b ，連接 ab ，交 x 軸、 y 軸于點 p、 q ，則四邊形pabq的周長最小構造如圖在 rtabc中， bc = 30+30+40 = 100， ac = 10 +40 =50 所以 ab = 1002 + 50

14、2 =505 8如圖，在銳角abc中，ab = 42，bac 45， bac的平分線交bc于點 d，m 、n分別是 ad和 ab上的動點，則bm+mn 的最小值是 _21x4-xfbdaecxy圖(3)cqpabbaoaabba實用文檔標準文案作點 b關于 ad的對稱點b ，過點 b 作 be ab于點 e，交 ad于點 f，則線段be 的長就是bm 的最小值在等腰 rtaeb中，根據勾股定理得到，be = 4 9如圖， abc中，ab=2 ，bac=30 ，若在 ac 、ab上各取一點m 、n，使 bm+mn 的值最小，則這個最小值作 ab關于 ac的對稱線段ab， 過點 b 作 bnab

15、， 垂足為 n，交 ac于點 m ， 則 bn = mb+mn = mb+mn bn 的長就是mb+mn 的最小值則 ban = 2 bac= 60， ab = ab = 2， anb= 90 ， b = 30。所以an = 1 在直角 abn 中，根據勾股定理bn = 3 10 如圖，四邊形abcd是正方形， abe是等邊三角形，m為對角線bd （不含 b 點）上任意一點，將bm繞點 b逆時針旋轉60得到 bn ，連接 en 、am 、 cm 求證： amb enb ； 當 m點在何處時，am cm的值最小；當 m點在何處時，am bm cm的值最小，并說明理由； 當 am bm cm的最小值為3 + 1 時，求正方形的邊長. (2) 連接 ac ，交 bd于點 m ，則 am+cm 的值最小連接 ce交 bd于點 m ，則 am+bm+cm的值最小fmenbcdamenbcadmfebdbacmn302abcmn302mn