1、1函數的極限第三節一、自變量趨向無窮大時函數的極限二、自變量趨向有限值時函數的極限三、函數與極限關系：三、函數與極限關系：四、小結及作業四、小結及作業2.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數觀察函數 xxx一、自變量趨向無窮大時函數的極限3. 0sin)(,無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當當xxxfx 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:問題問題:如何用數學語言刻劃函數如何用數學語言刻劃函數“無限接近無限接近”?, 0sin)(xxxfx時，時，當當數學上：數學上：可任意小，可任意小，充分大時，充分大時，當當0)(xfx也也就就是是說說：充分大即可，充分大即可，充分小

2、，只要充分小，只要要使要使xxf0)(（無論多么小），（無論多么小），即即0 充分大即可辦到，充分大即可辦到，只要只要要使要使xxf,0)( 多大就能辦到？多大就能辦到？x4xxxxf1sin0)(即可，即可，即即只要只要 1,1xx,1 X若取若取.0)( xfXx時，恒有時，恒有則當則當綜上可知：綜上可知：, 0sin)(xxxfx時，時，當當.0)(, 0 xfXxX恒有恒有時時使當使當, 0 5:. 1語語言言）定定義義（X .,)( Axf恒恒有有，大于某一正數時有意義大于某一正數時有意義當當設設xxf)(,0 （無論多么小）（無論多么小） ,., 0時時使當使當總總XxX時的極限，

3、時的極限，當當叫做叫做則稱常數則稱常數xxfA)(Axfx)(lim記作記作. )()(xAxf當或或幾何解釋幾何解釋:,)()(AxfAAxf6xxysin X XA時，時，當，當不唯一不唯一可找到可找到XxXX)(0)(, 0 內。內。的值就落在的值就落在),()( AAxf.2,)(,的帶形區域內的帶形區域內寬為寬為為中心線為中心線直線直線圖形完全落在以圖形完全落在以函數函數時時或或當當AyxfyXxXx7:.10情形情形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當使當:.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當使當Axfx )(lim2.

4、另兩種情形另兩種情形: Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且8例例1.23235lim33xxx證明證明證證:, 0 ,331）（取取 X恒有恒有時時則當則當,Xx ,2323533 xx要使要使.23235lim33xxx故故333332523235xxxx,33 x只只要要即可，即可，也就是也就是31)3( x,2323533 xx9二、自變量趨向有限值時函數的極限問題問題: :函數函數)(xfy 在在0 xx 的的過程中過程中,對應對應函數值函數值)(xf無限無限趨近于趨近于確定值確定值 A,數學上如何數學上如何描述？描述？ ; 6)(1, 15)(x

5、fxxxf時，時，當當例例數學上：數學上：, 06)(01xfx時，時，當當也就是說：也就是說：也任意小，也任意小，任意小時，任意小時，當當6)(1xfx（無論多么小），（無論多么小），即即0 ,6)( xf要使要使任意小即可，任意小即可，只要只要1x10.6)(,10, 0 xfx恒有恒有時時使當使當156156)(xxxf即可，即可，只要只要要使要使516 xxf,)(，取取5 .6)(10 xfx時，恒有時，恒有當當6)(1, 15)(xfxxxf時，時，當當, 0 由此知由此知11:. 1 定義定義語言）語言）( 為一常數，為一常數，點某去心鄰域內有定義點某去心鄰域內有定義在在設設Ax

6、xf0)(, 0 恒有恒有時時使當使當總總,0, 00 xx.)( Axf的極限，的極限，當當叫做叫做則稱則稱0)(xxxfA為極限。為極限。以以時時或當或當Axfxx)(,0Axfxx)(lim0記作記作)()(0 xxAxf或或12、幾點說明：、幾點說明：2點有無定義無關；點有無定義無關；在在）函數的極限與）函數的極限與（0)(1xxf有關；有關；與與）（ 2接近的程度，接近的程度，和和表示表示）（Axf)(3 接近的程度；接近的程度；與與表示表示0 xx 的方式是任意的；的方式是任意的；）（04xx (5).幾何意義幾何意義:,)()( AxfAAxf)(00000 xxxxxxx 13

7、)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區域內的帶形區域內寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數函數域時域時鄰鄰的去心的去心在在當當 Ayxfyxx定義可敘述為：定義可敘述為：, 0)(0 ，總存在，總存在無論多么小無論多么小),(),(000 xxxxx).,()( AAxf就有就有只只要要14例例2. 211lim21 xxx證明證明證證211)(2 xxAxf, 0 任給任給, 只只要要取取,時時當當 10 x函數在點函數在點x=1處沒有定義處沒有定義.1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx15例例

8、3.lim00 xxxx 證證0)(xxAxf , 0 任給任給 取取,00時時當當 xx00 xxxx ,)( Axf要使要使,0 xx就有就有,00 xxx .不取負值不取負值且且只要只要xxxx 00.lim,0:000 xxxxx 時時當當證明證明, 0 要證要證,時時當當 00 xx時，時，且且即當即當000 xxxxx , 0 xx有有,min 00 xx16三、左右極限三、左右極限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設設兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx, 0從左側無限趨近從左側無限趨近x;0 x記作記作, 0從右側無限趨

9、近從右側無限趨近x;0 x記作記作yox1xy 112 xy17左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時時使當使當右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時時使當使當.)()(lim00AxfAxfxx或或記記作作.)()(lim00AxfAxfxx或或記作記作語言：語言： 語言：語言： 18.)()()(lim:000AxfxfAxfxx定理定理說明：說明：有一個不存在，有一個不存在，及及）如果）如果（)()(100 xfxf均無極限。均無極限。在點在點但不相等，則但不相等，則0)(xxf或者即使存在或者即使存在。是否存在較好方法之一是否存在較好方法之一）左

10、右極限是判別極限）左右極限是判別極限（219例例4.4. 設函數0,10,00, 1)(xxxxxxf存在性。存在性。討論討論)(lim0 xfx解解：)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1顯然, )0()0( ff不存在。不存在。)(lim0 xfx20).(lim1,210,)(512xfxxxxxfx考慮考慮例例解解：)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx1, )1 ()1 (ff.)(lim11xfx即即21時的極限。時的極限。當當討論討論例例22)(6xxxf解解：)(lim2xfx2lim2xx0不

11、存在，不存在，)(lim2xfx不存在。不存在。)(lim2xfx22四四 函數極限的性質函數極限的性質與收斂數列的性質類似，函數極限有相應的一些性質與收斂數列的性質類似，函數極限有相應的一些性質. 定理定理1 1（唯一性）如果（唯一性）如果)(lim0 xfxx存在，則極限唯一存在，則極限唯一. .,)(lim0Axfxx0M0 x00 xx)(xf.| )(|Mxf定理定理2 2（局部有界性）如果（局部有界性）如果那么存在常數那么存在常數和和，使得當，使得當滿足不等式滿足不等式時，對應的函數值時，對應的函數值都滿足不等式都滿足不等式. 證明證明 因為因為 ,)(lim0Axfxx所以不妨取

12、所以不妨取 , 1則存在則存在 0當 00 xx時，有時，有1|)(| Axf所以所以AAxfAAxfxf)()()(A1記記AM1則當則當00 xx時，有時，有Mxf | )(|23).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim00 xfxfxUxAAAxfxx或或時時當當則則或或且且若若 定理定理3(3(保號性保號性) )證證,)(lim0Axfxx,0 ),(0 xx當當),(0 x,)( AxfA有有, 02AA 取取若若則在對應的鄰域),(0 x上，02)(Axf如何證明？如何證明？如果如果, 0A24推論推論:),0)(0)(0 xfxfx或或某某領領域域內內如如果果在在,)

13、(lim0Axfxx且且).0(0AA或或則則反證法反證法證明：證明：問題問題:0)(xf?0)(lim0Axfxx如果函數如果函數，那么那么不一定不一定如如,0, 10,)(2xxxxf則則, 0)(xf但是但是. 0lim)(lim200 xxfxx250,)(lim0AAxfxx且0 x00 xx2| )(|Axf定理定理3 3 如果如果，那么必存在著存在，那么必存在著存在，當，當滿足不等式滿足不等式時，有時，有.,)(lim0Axfxx證明證明取,2| A則, 0， 當當|00 xx時，有時，有 ,2|)(|AAxf即 2|)(2|AAxfAA當0A時，則有時，則有23)(220Axf

14、AA當當0A時，則有時，則有 022)(23AAxfA從而從而 2| )(|Axf思考思考 結論能否改成結論能否改成?4| )(|Axf26 xfxx0limnx xf0 xNnxxn0)(nxf xfxfxxnn0limlim定理定理4 4 （函數極限與數列極限的關系）（函數極限與數列極限的關系） 如果極限如果極限存在，存在， 為函數為函數的定義域內任一收斂于的定義域內任一收斂于的數列，且滿足：的數列，且滿足：，那么相應的函數值數列那么相應的函數值數列必收斂，且必收斂，且.273731P習題作業作業7),1 (6),4)(2(5 , 4),7)(5)(3)(1 (3),3)(1 (2),3)(2( 128.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數觀察函數 xxx一、自變量趨向無窮大時函數的極限29.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數觀察函數 xxx一、自變量趨向無窮大時函數的極限30.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數觀察函數 xxx一、自變量趨向無窮大時函數的極限31.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數觀察函數 xxx一、自變量趨向無窮大時函數的極限32.sin時的變