1、1三重積分第三節一、三重積分的概念一、三重積分的概念二、三重積分的計算二、三重積分的計算三、小結三、小結2一、一、 三重積分的概念三重積分的概念采用kkkkvf),( ),(kkkkv 引例：引例：設在空間有限閉區域 內分布著某種不均勻的物質， 密度函數為,),(Czyxf求分布在 內的物質的質量 M . 可得nk 10 limM“分割，近似，求和，取極限分割，近似，求和，取極限”3定義定義: 設,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim 10存在 ,),(zyxfvdzyxf),(稱為體積元素體積元素 vdzdydxd若對 作任意分割任意分割, 及任意取點任意取點 , 下

2、列“乘積和式”的極限則稱此極限為函數在上的三重積分三重積分.在直角坐標系下也常寫作記作記作vdzyxf),(即即kkknkkvf),(lim 104性質性質中值定理中值定理: 設 在有界閉域 上連續,),(zyxf),(使得dvzyxf),(其中V為 的體積.三重積分的性質與二重積分相似 , 例如計算方法計算方法dvzyxf),(Vf),(xyz),(則存在一點.法法計算三重積分有四種方計算三重積分有四種方51、直角坐標系中將三重積分化為三次積分、直角坐標系中將三重積分化為三次積分二、三重積分的計算xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy

3、),(yx如圖，如圖，,Dxoy面上的投影為閉區域面上的投影為閉區域在在若閉區域若閉區域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直線作直線過點過點Dyx 穿出穿出穿入，從穿入，從從從21zz在直角坐標系下dxdydzdv dvzyxf),(dxdydzzyxf),(6化三重積分為三次積分xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yxdxdydzzyxf),(dxdydzzyxfxyDyxzyxz ),(),(),(21dxdydzzyxfbaxyxyyxzyxz ),()()(),(),(2121.),()()(),

4、(),(baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx2121.其它公式類似其它公式類似7其中為三個坐標面及平面例例1. 計算三重積分zdydxdx12zyx所圍成的閉區域 . 1xyz121解解:xdxdydz)()(xydyxxdx10102121yxdz2101032241xdxxx)(yxz210)(xy102110 x )(xdy102110 xdx4818解解由由 22222xzyxz, 得得交交線線投投影影區區域域, 122 yx9故故 ： 22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI10例例3 化三重積分化三重積分 dx

5、dydzzyxfI),(為為三三 次積分，其中次積分，其中 積分區域積分區域 為由曲面為由曲面22yxz , 2xy ,1 y, 0 z所圍所圍 成的空間閉區域成的空間閉區域. 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如圖，如圖，11z、截面法、截面法2計算公式計算公式)(3dvzyxf),(dzdxdyzyxfccDz 21),(.,),(無關時此法較簡單無關時此法較簡單與與當當yxzyxf12例例 1 1 計計算算三三重重積積分分 zdxdydz，其其中中 為為三三個個坐坐標標面面及及平平面面1 zyx所所圍圍成成的的閉閉區區域域. 解

6、解（一）（一） zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原式原式 102)1(21dzzz241 .xozy11113例例 2 2 計算三重積分計算三重積分dxdydzz 2，其中，其中 是由是由 橢球面橢球面1222222 czbyax所成的空間閉區域所成的空間閉區域. : ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解14)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxDz 12222

7、22czbyax 原式原式xyzozD15,0,20.z3、利用柱面坐標計算三重積分的柱面坐標就叫點個數，則這樣的三的極坐標為面上的投影在為空間內一點，并設點設MzPxoyMzyxM,),(規定：規定：xyzo),(zyxM),(P16.,sin,coszzyx 柱面坐標與直角坐柱面坐標與直角坐標的關系為標的關系為為常數為常數z為常數如圖，三坐標面分別為如圖，三坐標面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(Pzxyzo17dxdydzzyxf),(.),sin,cos(dzddzf dxyzodzdd如圖，柱面坐標系如圖，柱面坐標系中的體積元素為中的體積元素為,dz

8、dddv18其中為由柱面例例1. 計算三重積分zdydxdyxz22xyx222,0z所圍成半圓柱體.解解: 在柱面坐標系下:cos202dzdydxdyxz22da2032cos34cos2020az 0及平面0, )0(yaazcos2axyzo2zdddvd20dazdz0zdddz2298a19例例2. 計算三重積分解解: 在柱面坐標系下oxyhz:221yxzdydxdhzd42hdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020hd202120d,122yxzdydxdzyx422)0(hhz所圍成 .與平面其中由拋物面42zdddvd20例例3 計算計算 zdx

9、dydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx與拋物面與拋物面zyx322 所圍的立體所圍的立體. 解解zz34222, 3, 1z知交線為知交線為.,sin,coszzyx由2123242030zdzddI.413面上，如圖，面上，如圖，投影到投影到把閉區域把閉區域xoy .20, 3043:22，z22例例 4 計算計算 dxdydzyxI)(22， 其中其中 是是曲線曲線 zy22 ，0 x 繞繞oz軸旋轉一周而成軸旋轉一周而成的曲的曲面面與兩平面與兩平面, 2 z8 z所圍的立體所圍的立體. 解解由由 022xzy 繞繞 oz 軸旋轉得，軸旋轉得，旋旋轉轉面面方方程程為為,22

10、2zyx 所圍成的立體如圖，所圍成的立體如圖， 23:2D, 422 yx.222020:22z:1D,1622 yx,824020:21z所圍成立體的投影區域如圖，所圍成立體的投影區域如圖， 2D1D24,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxIII128221DdzddI,345222222DdzddI,625 原式原式 I 345 625 336.82402022dzdd22202022dzdd251另解另解8220220dzddI82422202dzdd3362另解另解dxdyyxdzIzD)(2282dddzz2032082336264、利用球面坐標計算三重積分的

11、球面坐標的球面坐標就叫做點就叫做點，個數個數面上的投影，這樣的三面上的投影，這樣的三在在點點為為的角，這里的角，這里段段逆時針方向轉到有向線逆時針方向轉到有向線軸按軸按軸來看自軸來看自為從正為從正軸正向所夾的角，軸正向所夾的角，與與為有向線段為有向線段間的距離，間的距離，與點與點點點為原為原來確定，其中來確定，其中，三個有次序的數三個有次序的數可用可用為空間內一點，則點為空間內一點，則點設設MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(Pxyzo),(zyxMr zyxA27,r 0.20 ,0 規定：規定：為常數為常數r為常數為常數 為常數為常數 如圖，三坐標面分別為如圖，三坐標面分

12、別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面28 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐標與直角坐標的關系為球面坐標與直角坐標的關系為如圖，如圖，Pxyzo),(zyxMr zyxA，軸上的投影為軸上的投影為在在點點，面上的投影為面上的投影為在在設點設點AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 則則29 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐標系中的體積元素為球面坐標系中的體積元素為,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如圖，如圖，30例例1. 計算三重積分,)(222z

13、dydxdzyx 其中為22yxz2222Rzyx解解: 在球面坐標系下:zdydxdzyx)(222Rrdr04)22(515R所圍立體.40Rr 02040sind20d錐面與球面xyzo4Rr 22yxzddrdrvdsin231例例 2 2 計計算算 dxdydzyxI)(22，其其中中 是是錐錐面面222zyx ， 與與平平面面az )0( a所所圍圍的的立立體體. 解解 1 采采用用球球面面坐坐標標az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar32 dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.1

14、05a 33解解 2 采用柱面坐標采用柱面坐標 ,:222ayxD dxdydzyxI)(22aadzdd2020ada03)(254254aaa.105a222zyx , z,20,0,:aaz34解解 由由錐錐面面和和球球面面圍圍成成，采采用用球球面面坐坐標標，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar例例3 求球體求球體 與錐體與錐體 公共部分的體積公共部分的體積.35由由三三重重積積分分的的性性質質知知 dxdydzV, adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 36三重積分的定義和計算三重積分的定義和計算在直

15、角坐標系下的體積元素在直角坐標系下的體積元素dxdydzdv （計算時將三重積分化為三次積分）（計算時將三重積分化為三次積分）三、小結37（1） 柱面坐標的體積元素柱面坐標的體積元素dzrdrddxdydz （2） 球面坐標的體積元素球面坐標的體積元素 ddrdrdxdydzsin2 （3） 對稱性簡化運算對稱性簡化運算三重積分換元法三重積分換元法 柱面坐標柱面坐標球面坐標球面坐標三、小結38練習與思考題練習與思考題;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212

16、 xxdzzyxfdydxD3939例例2: 計算zdydxdzxyIsin是由平面其中200zxzy及拋物面xy 所圍成的區域.0yzx22解法一解法一:采用先對z積分,將Izdzxx20sinydyx0 xd20 xd20ydxyxcos0241.面上區域投影到xoy200:20:xxyDxzyx40解法二解法二;采用先對0yzx222020:0:xxzDxyzxIzdzxx20sinydyx0 xd20 xdx2021zdzxx)(sin20241.面上區域投影到xozy積分,將2、計算是由平面其中zdydxdzxyIsin200zxzy及拋物面xy 所圍成的區域.41412020:2:22yyzDzxyzyIzdy220 xdzxzy22sinydy20241