1、考試安排2010.11.20（第12周周日）晚上19：0021：00考試地點：監考：陳慶光需帶工具：直尺，橡皮、計算器答題要求：步驟完整、圖文對應。輔導時間：2011.11.19晚19點J8-207流體力學復習提綱學習重點四個基本：基本概念（術語）、基本原理（方法）、基本方程（公式）、基本計算（應用）復習思考題；自測題；習題第一章 緒論基本要求v 理解流體的主要物理性質，特別是粘滯性和牛頓內摩擦定律；v 理解連續介質假設和流體質點的概念；v 理解理想流體和實際流體、可壓縮流體和不可壓縮流體的概念；v 掌握作用在流體上的質量力、表面力的概念和表示方法。1-1 流體力學的任務及其發展簡史1、流體力

2、學的主要研究內容流體在外力作用下，靜止與運動的規律；流體與邊界的相互作用。流體力學研究流體的宏觀運動規律，是宏觀力學的一個獨特分支。2、流體力學的研究方法和數學方法（1）研究方法：理論分析（Theoretical analysis）；實驗研究（Experimental study）；數值模擬（Numerical simulation）。（2）數學方法（Mathematical method）：矢量分析(vector analysis)；場論（Field theory）。1-2 流體的主要物理力學性質（力學模型）1、流體的基本特性 流動性流體（氣體和液體）區別于固體的主要物理特性是易于流動。流體

3、幾乎不能承受拉力，沒有抵抗拉伸變形的能力。流體能承受壓力，具有抵抗壓縮變形的能力。流體不能承受集中力，只能承受分布力。運動流體具有抵抗剪切變形的能力，這種抵抗體現在限制剪切變形的速率而不是大小上，這就是流體的粘滯性。流體在靜止時不能承受剪切力、抵抗剪切變形。流體只有在運動狀態下，當流體質點之間有相對運動時，才能抵抗剪切變形。只要有剪切力的作用，流體就不會靜止下來，發生連續變形而流動。作用在流體上的剪切力不論多么微小，只要有足夠的時間，便能產生任意大的變形。2、流體質點概念和連續介質假設（1）流體質點概念宏觀（流體力學處理問題的尺度）上看，流體質點足夠小，只占據一個空間幾何點，體積趨于零。微觀（

4、分子自由程的尺度）上看，流體質點是一個足夠大的分子團，包含了足夠多的流體分子，以致于對這些分子行為的統計平均值將是穩定的，作為表征流體物理特性和運動要素的物理量就定義在流體質點上。（2）理解流體質點概念的含義流體質點宏觀尺寸充分小，微觀尺寸足夠大。流體質點是構成流體的最小單元。流體可以看成是由相互之間無任何間隙的大量的流體質點所組成。由流體質點的性質，便引出連續介質的概念。（3）流體微團流體中任意小的微元，包含了大量流體質點，當微元體積充分小并以某坐標點為極限時，流體微團就成為處于這個坐標點上的流體質點。流體微團的概念在流體力學中有著重要價值。（4）連續介質假設連續介質假設將流體區域看成由流體

5、質點連續組成，占滿空間而沒有間隙，其物理特性和運動要素在空間是連續分布的，在流場中每一個流體質點都對應于一個空間點。連續介質假設是近似的、宏觀的假設，連續介質概念的提出來自數學上的要求，它為建立流場的概念奠定了基礎，也為數學工具（微積分、場論）的應用提供了依據，使用該假設的力學統稱為“連續介質力學”。除了個別情形外，在流體力學中使用連續介質假設（即把流體可看成是連續介質）是合理的，實驗已經證明基于連續介質假設而建立起來的流體力學理論是正確的。3、流體的粘滯性（1）流體粘性概念的表述運動流體具有抵抗剪切變形的能力，就是粘滯性，這種抵抗體現在剪切變形的快慢（速率）上。發生相對運動的流體質點（或流層

6、）之間所呈現的內摩擦力以抵抗剪切變形（發生相對運動）的物理特性稱為流體的黏性或黏滯性。黏性是指發生相對運動時流體內部呈現的內摩擦力特性。在剪切變形中，流體內部出現成對的切應力，稱為內摩擦應力，來抵抗相鄰兩層流體之間的相對運動。粘性是流體的固有屬性。但理想流體分子間無引力，故沒有黏性；靜止的流體因為沒有相對運動而不表現出黏性。（2）牛頓內摩擦定律切應力剪切（角）變形速率：(，能否說明是理想流體？靜止的粘性流體)動力粘度系數（，動力學量綱）；運動黏度（，運動學量綱），。當溫度升高時，液體的粘性降低，而氣體的粘性增大。牛頓內摩擦定律適用條件：一維、層流、牛頓流體。應用牛頓內摩擦定律的相關計算：平移和

7、旋轉縫隙內的剪切流動。牛頓流體與非牛頓流體4、理想流體假設理想流體假設是忽略粘性影響的假設，可近似反映粘性作用不大的實際流動，粘性作用不大是相對于其它因素的作用而言的。忽略粘性影響實際上就是忽略切應力，由于m是流體的客觀屬性，所以往往是在變形速率不大的區域將實際流體簡化為理想流體。理想流體假設給流體問題的處理帶來很大的方便，可以大大簡化理論分析過程。5、流體的壓縮性和膨脹性（Compressibility & Expansibility）（1）壓縮性定義為流體的體積隨壓力的增大而變小的特性。用體積壓縮系數或體積彈性模數表示。體積壓縮性系數：；體積彈性模數：。E 越大，越不易被壓縮。（2

8、）膨脹性通常稱熱膨脹性，是指在壓強不變的情況下，流體體積隨溫度升高而增大的特性。可用體積膨脹系數單位溫度的體積相對變化率表示。體積膨脹系數：。越大，越易膨脹。（3）與液體相比，氣體通常具有顯著的壓縮性和膨脹性。6、不可壓縮流體假設不可壓縮流體同樣是流體力學中的重要假設模型之一。為研究問題方便，規定等溫條件下，壓縮系數和體積膨脹系數等于零的流體為不可壓縮流體，即忽略不可壓縮流體假設忽略壓縮性和膨脹性。對于不可壓縮流體有：，。在絕大多數情況下，不可壓縮流體的密度為常數。從嚴格意義上來說，只有不可壓縮、均質流體的密度才為常數。一般情況下可將液體看作不可壓縮流體，只有在某些特殊情況下，如水下爆炸、水擊

9、、熱水采暖等問題時，才必須考慮壓縮性和膨脹性。盡管氣體的壓縮性和膨脹性比較顯著，但當氣流速度遠小于音速時，密度變化不大，仍可采用不可壓縮流體假設。7、液體的表面張力特性（1）表面張力由于分子間引力作用，在液體的自由表面上產生極其微小的拉力，稱為表面張力。表面張力只發生在液體與氣體、固體或者與另一種不相混合的液體的界面上。表面張力的作用使液體表面有盡量縮小的趨勢，從而使表面積最小。表面張力現象是常見的自然現象，如水滴和氣泡的形成、液體的霧化，毛細管現象等。表面張力的大小用液體表面上單位長度所受拉力來度量，用表面張力系數s 表示。表面張力方向垂直長度方向，沿著自由表面切向。表面張力很小，例如水在2

10、00C時的表面張力為0.0728N/m，一般可以不予考慮。但在液面曲率半徑很小時，表面張力有時可達到不可忽略的程度。（2）毛細管現象將直徑很小兩端開口的細管豎直插入液體中，由于表面張力的作用，管中的液面會發生上升或下降的現象，稱為毛細管現象。毛細管現象中液面究竟上升還是下降，取決于液體與管壁分子間的吸引力（附著力）與液體分子間的吸引力（內聚力）之間大小的比較：附著力>內聚力，液面上升；附著力<內聚力，液面下降。由液體重量與表面張力的鉛垂分量相平衡，確定毛細管中液面升降高度，。為減小毛細管現象引起誤差，測壓用的玻璃管內徑應不小于10mm。1-3 作用在流體上的力流體不能承受集中力，只

11、能承受分布力。分布力按表現形式又分為：質量力、表面力。1、質量力(mass force，body force)質量力是指作用在隔離體內每個流體質點上的力，其大小與流體質量成正比。對均質流體也稱為體積力。質量力是一種遠程力。最常見的質量力是重力(Gravity)、慣性力（Iinertia force）。單位質量力（即單位質量流體所承受的質量力）矢：，單位質量力具有加速度的單位（m/s2）。當質量力僅為重力時，在直角坐標系中（z軸向上）：。2、表面力表面力是指作用在隔離體表面上的力，其大小與受力作用的表面面積成正比。表面力是相鄰流體或其他物體對隔離體作用的結果。表面力分布在流體面上，是一種接觸力。

12、常見的表面力有壓力（法向力）、切向力、表面張力(surface tension)。定義表面力的面積密度，即單位面積上流體所承受的表面力為應力(N/m2，Pa)，。應力是矢量，可分解成法向應力（或）和切應力（）。凡談及應力，應注意明確以下四個要素：² 哪一點的應力（空間位置）作用點；² 哪個方位作用面（一般用作用面的法線方向表征）上的應力作用面；² 作用面的哪一側流體是研究對象（表面力的受體），從而決定法線的指向受力側；² 應力在哪個方向上的分量作用方向。附：流體力學課程中使用的單位制一些重要物理量的數值（見第一章課件）。第二章 流體靜力學基本要求v 掌握

13、流體靜壓強的概念及其特性，掌握流體靜壓強的計測和表示方法；v 掌握流體平衡微分方程，了解流體的絕對和相對平衡；v 熟練進行重力場中靜止流體壓強分布和平面與曲面上靜水總壓力計算。² 流體靜力學(fluid statics)研究流體的平衡規律，由平衡條件求靜壓強分布，并求靜水總壓力。² 靜止是相對于坐標系而言的，不論相對于慣性系中的絕對靜止或非慣性系中的相對靜止的情況，流體質點之間均沒有相對運動，因此粘性將不起作用，所以流體靜力學的討論不須區分流體是實際流體還是理想流體。2-1 流體靜壓強特性1、流體靜壓強的兩個基本特性靜壓強作用的垂向性：靜止流體的應力只有內法向分量靜壓強（靜

14、止流體內的壓應力）。靜壓強的各向等值性：靜壓強的大小與作用面的方位無關靜壓強是標量函數。2、靜壓強場靜止流體的應力狀態只須用一個靜壓強標量場來描述，有了這個靜壓強場，即可知道在任意一個作用點、以任意方位為法向的面元上的應力為：。2-2 流體平衡微分方程1、平衡微分方程的推導：靜止流體中取微元體各坐標方向微元體受力分析（質量力、表面力）列各坐標方向的受力平衡方程。2、平衡微分方程歐拉平衡方程（1775）（1）分量形式： （2）矢量形式： 其中：，。（3）全微分（標量）形式：或3、平衡微分方程的物理意義（1）靜壓強場的梯度的三個分量是壓強在三個坐標軸方向的方向導數，它反映了標量場在空間上的不均勻性

15、(inhomogeneity)。（2）流體的平衡微分方程實質上反映了靜止（平衡）流體中質量力和壓差力之間的平衡。（3）靜壓強對流體受力的影響是通過壓差來體現的。4、有勢力場中的靜壓強在有勢力場（如重力場）中，存在質量力勢函數，其全微分等于單位質量力所作的功：，質量力勢函數表示單位質量流體的勢能，稱為質量力勢能。2-3 重力場中液體的平衡1、重力作用下的平衡方程 z軸鉛垂向上，流體均質、不可壓縮（認為密度近似為常數）。，2、靜壓強分布規律或為自由液面以下的深度，。重力場中連通的同種靜止液體中：壓強隨位置高程z線性變化；等壓面是水平面，與質量力（重力）垂直；測壓管高度是常數。3、絕對壓強、相對壓強

16、、真空（1）壓強記值的零點（基準點）不同，有不同的名稱：絕對壓強：以完全真空為零點。相對壓強（）：以當地大氣壓為零點。真空壓強：相對壓強為負值時，其絕對值稱為真空壓強。在液體指定以后高度也可度量壓強，稱為液柱高。特別地，將水柱高稱為水頭(head)。把真空壓強轉換成水柱高表示，稱為真空度。4、位置水頭、壓強水頭、測壓管水頭與能量守恒（1）位置水頭：以任取水平面為基準面，鉛垂向上為正。（2）壓強水頭：以大氣壓為基準，用相對壓強代入計算。（3）測壓管水頭：在內有液體的容器壁選定測點，垂直于壁面打孔，接出一端開口與大氣相通的玻璃管，即為測壓管。測壓管內的靜止液面上，其液面高程即為測點處的，所以叫測壓

17、管水頭。測靜壓只須一根測壓管。（4）各項水頭也可理解成單位重量液體的能量：位置勢能，壓強勢能，總勢能。（5）液體的平衡規律表明：位置水頭（勢能）與壓強水頭（勢能）可以互相轉換，但它們之和 測壓管水頭（總勢能）是保持不變的。5、測壓原理（1）用測壓管測量測壓管的一端接大氣，可得到測壓管水頭，再利用液體的平衡規律，可知連通的靜止液體區域中任何一點的壓強，包括測點處的壓強。如果連通的靜止液體區域包括多種液體，則須在它們的分界面處作過渡。（2）用比壓計測量在連通的靜止流體區域中任何一點的壓強都不知道的情況下，也可利用流體的平衡規律，知道其中任何二點的壓差。尤其注意等壓面的選取。注意：流體的平衡規律必須

18、在連通的靜止流體區域（如測壓管中）應用，不能用到管道中去，因為管道中的流體可能是在流動的（動壓強與靜壓強不同）。2-4 靜止液體作用在物體表面上的總壓力作用在物體表面A上的總壓力：；完整的總壓力求解包括其大小、方向、作用點。1、靜止液體作用在平面上的總壓力平行力系的合成：作用力垂直于作用面，指向沿作用面的內法線方向。靜壓強在平面上分布不均勻，沿鉛垂方向呈線性分布。（1）壓力圖法求矩形平面上的靜水總壓力矩形平面單位寬度受到的靜水總壓力是壓力分布圖的面積。矩形平面受到的靜水總壓力通過壓力分布圖的形心。三角形壓力分布圖的形心距底。梯形壓力分布圖的形心距底。（2）分析法求任意形狀平面上的靜水總壓力總壓

19、力的大小其中，作用面對x軸的靜面矩。總壓力的作用點D： 作用面對x軸的慣性矩；作用面對形心軸x0的慣性矩。結論：² 平面上靜水壓強的平均值為作用面（平面圖形）形心處的壓強。總壓力大小等于作用面形心C處的壓強乘上作用面的面積A。² 平面上均勻分布力的合力作用點將是其形心，而靜壓強分布是不均勻的，浸沒在液面下越深處壓強越大，所以總壓力作用點位于作用面形心以下。2、靜止液體作用在曲面上的總壓力（1）靜止液體作用在曲面上的總壓力的計算由于曲面上各點的法向不同，對曲面A求解總壓力時，必須先分解成各分量計算，然后再合成。 x方向水平力的大小其中：是曲面A 沿x軸向oyz平面的投影；是平

20、面圖形的形心C的浸深。結論：靜止液體作用在曲面上的總壓力在x方向分量的大小等于作用在曲面沿x軸方向的投影面上的總壓力。 y方向水平力的大小y方向水平力大小的算法與x方向相同： z方向水平力的大小其中：是曲面A沿z軸向oxy平面的投影；稱為壓力體，是曲面A與之間的柱體體積。結論：靜止液體作用在曲面上的總壓力的垂向分量的大小等于壓力體中裝滿此種液體的重量。總壓力垂向分量的方向需根據壓力體的情況判斷。（2）壓力體實壓力體和虛壓力體壓力體應由曲面A 向上一直畫到液面所在平面。壓力體中，不見得裝滿了液體。 實壓力體 虛壓力體（3）曲面上靜水總壓力的合成總壓力各分量的大小已知，指向可以分別判斷，總壓力的大

21、小和方向就確定了。特別地，當曲面是圓柱或球面的一部分時，總壓力是匯交力系的合成，總壓力必然通過圓心或球心。3、靜止液體作用在物體上的總壓力 浮力（1）阿基米德定律：靜止液體作用在物體上總壓力浮力的大小等于物體所排開液體的重量，方向鉛垂向上，作用線通過物體被液體浸沒部分體積的形心浮心。4、物體的沉浮設物體重量為G，浮力為F，有如下結論：當G >F 時，物體將下沉至水底沉體；當G <F 時，潛體將上浮而露出水面浮體。這樣，物體排開液體的體積變小（浮力變小），直至重力等于浮力；當G = F 時，物體可以潛沒于液體中，處于淹沒平衡狀態潛體。第三章 流體運動學基本要求v 了解描述流體運動的兩

22、種方法，建立以流場的觀點描述流體運動的概念；v 掌握在歐拉法中質點導數和加速度的表示方法；v 理解流線和跡線的概念，掌握它們的微分方程及求解方法；v 了解流體微團速度分解定理，會判斷流動是否有旋；v 掌握微元分析法，建立微分形式的連續方程，理解方程的物理意義。² 在連續介質假設下，討論描述流體運動的方法，根據運動要素的特性對流動進行分類。² 流體運動學不涉及流動的動力學因素。² 連續性方程是質量守恒定律對流體運動的一個具體約束。3-1 流體運動的描述方法1、拉格朗日法：著眼于流體質點，跟蹤質點描述其運動歷程。以研究單個流體質點運動過程作為基礎，綜合所有質點的運動，

23、構成整個流體的運動。拉格朗日法是質點系法，它定義流體質點的位移矢量為：，是拉格朗日變數，即 時刻質點的空間位置，用來對連續介質中無窮多個質點進行編號，作為質點標簽。流體在運動過程中其它運動要素和物理量的時間歷程也可用拉格朗日法描述，如，等。2、歐拉法：著眼于空間點，研究質點流經空間各固定點的運動特性。以研究流場中各個空間點上運動要素的變化情況作為基礎，綜合所有的空間點的情況，構成整個流體的運動。歐拉法是流場法，它定義流體質點的速度矢量場為：，是空間點（場點）的位置坐標，稱為歐拉變數。流速是在t時刻占據() 的那個流體質點的速度矢量。流體的其它運動要素和物理特性也都可用相應的時間和空間域上的場的

24、形式表達。如加速度場、壓強場等：，。如果流場的空間分布不隨時間變化，其歐拉表達式中將不顯含時間 t ，這樣的流場稱為恒定流。否則稱為非恒定流。 歐拉法把流場的運動要素和物理量都用場的形式表達，為在分析流體力學問題時直接運用場論的數學知識創造了便利條件。歐拉法是描述流體運動常用的一種方法。3、流體質點的加速度、質點導數速度是同一流體質點的位移對時間的變化率，加速度則是同一流體質點的速度對時間的變化率。通過位移求速度或通過速度求加速度，必須跟定流體質點，應該在拉格朗日觀點下進行。若流動是用拉格朗日法描述的，求速度和加速度只須將位移矢量直接對時間求一、二階導數即可。求導時作為參數不變，意即跟定流體質

25、點。，若流場是用歐拉法描述的，流體質點加速度的求法必須特別注意：用歐拉法描述，處理拉格朗日觀點的問題。跟定流體質點后，均隨t變。矢量式：分量式：質點加速度=時變加速度(由流速隨時間的不恒定性引起)+位變加速度(由流速在空間的不均勻性引起)3-2 有關流場的幾個基本概念1、恒定流、非恒定流（定常流、非定常流）若流場中各空間點上的任何運動要素均不隨時間變化，稱流動為恒定流。否則，為非恒定流。恒定流中，所有物理量的歐拉表達式中將不顯含時間，它們只是空間位置坐標的函數，時變導數為零。例如，恒定流的流速場：，。恒定流的時變加速度為零，但位變加速度可以不為零。流動是否恒定與所選取的參考坐標系有關,因此是相

26、對的概念。2、跡線和流線（1）跡線定義：表示某一時刻流動方向的曲線。跡線是流體質點運動的軌跡，是與拉格朗日觀點相對應的概念。拉格朗日法中位移表達式即為跡線的參數方程。t是變數，是參數。在歐拉觀點下求跡線，因須跟定流體質點，此時歐拉變數成為t的函數，所以跡線的微分方程為這是由三個一階常微分方程組成的方程組，未知變量為質點位置坐標（），它是t的函數。給定初始時刻質點的位置坐標，就可以積分得到跡線。（2）流線定義：某一流體質點在不同時刻占據的空間點的連線。流線是流速場的矢量線，是某瞬時對應的流場中的一條曲線，該瞬時位于該曲線上的流體質點之速度矢量都和曲線相切。流線是與歐拉觀點相對應的概念。利用流線可

27、以形象化地描繪流場的空間分布情況。流線的微分方程為 這是兩個一階常微分方程，其中t是參數（當常數看待）。可求解得到兩族曲面，它們的交線就是流線族。流線的性質：除非流速為零或無窮大處，流線不能相交，也不能轉折；在非恒定流情況下，流線一般會隨時間變化。在恒定流情況下，流線不隨時間變，流體質點將沿著流線走，跡線與流線重合。跡線和流線最基本的區別是：跡線是同一流體質點在不同時刻的位移曲線，與拉格朗日觀點對應；而流線是同一時刻、不同流體質點速度矢量與之相切的曲線，與歐拉觀點相對應。即使是在恒定流中，跡線與流線重合，兩者仍是完全不同的概念。計算：已知速度場求流線和跡線方程(不能含有時間t)。（3）流動線條

28、和流動顯示流動線條包括四種：流線（streamline)、跡線(pathline)、煙線/脈線(streakline)、時線(timeline)煙線定義：由先后連續地經過同一場點的流體質點所組成的曲線。時線定義：由確定流體質點組成的流體線。流動往往靠流動線條來顯示，而在實驗中比較容易得到的流動線條是煙線和時線。3、流管和流量（1）流管、過流斷面、元流和總流在流場中，取一條不與流線重合的封閉曲線L，在同一時刻過L上每一點作流線，由這些流線圍成的管狀曲面稱為流管。流管的性質：與流線一樣，流管是瞬時概念，在對應瞬時，流體不可能通過流管表面流出或流入。過流斷面：與流動方向正交的流管的橫斷面。過流斷面為

29、面積微元的流管叫元流管，其中的流動稱為元流。過流斷面為有限面積的流管中的流動叫總流。總流可看作無數個元流的集合。總流的過流斷面一般為曲面。（2）體積流量、質量流量、斷面平均流速（體積）流量Q：通過流場中某曲面A的流速通量 其物理意義是單位時間穿過該曲面的流體體積，所以也稱為體積流量，單位為m3/s。質量流量：單位為kg/s。流量計算公式中，曲面A的法線指向應予明確，指向相反，流量將反號。封閉曲面的法向一般指所圍區域的外法向。總流過流斷面上的流速與法向一致，所以穿過過流斷面A的流量大小為，其中為過流斷面上某一點流速的大小。定義體積流量與斷面面積之比為斷面平均流速，它是過流斷面上不均勻流速的一個平

30、均值，假設過流斷面上各點流速大小均等于，方向與實際流動方向相同，則通過的流量與實際流量相等。4、均勻流、非均勻流；漸變流、急變流（1）均勻流與非均勻流判別：根據位變加速度？例如，是均勻流。均勻流的流線必為相互平行的直線，而非均勻流的流線要么是曲線，要么是不相平行的直線。應注意將均勻流與完全不隨空間位置而變的等速直線流動相區別，前者是流動沿著流線方向不變，后者是流動沿著空間任何方向不變。后者是均勻流的一個特例。在實際流動中，經常會見到均勻流，如等截面的長直管道內的流動、斷面形狀不變，且水深不變的長直渠道內的流動等。恒定均勻流的時變加速度和位變加速度都為零，即流體質點的慣性力為零，將作勻速直線運動

31、。若總流為均勻流，其過流斷面是平面。均勻流的這些運動學特性，給相關的動力學問題的處理帶來便利，因此在分析流動時，應特別關注流動是否為均勻流的判別。（2）漸變流、急變流判別：根據是否接近均勻流？漸變流流線雖不平行，但夾角較小；流線雖有彎曲，但曲率較小。急變流流線間夾角較大；流線彎曲的曲率較大。漸變流和急變流是工程意義上對流動是否符合均勻流條件的劃分，兩者之間沒有明顯的、確定的界限，需要根據實際情況來判定。5、流動按空間維數的分類：一維流動；二維流動（平面流動，軸對稱流動）；三維流動。任何實際流動從本質上講都是在三維空間內發生的，二維和一維流動是在一些特定情況下對實際流動的簡化和抽象，以便分析處理

32、。二維流動流場與某一空間坐標變量無關，且沿該坐標方向無速度分量的流動。如：大展弦比機翼繞流： ，液體在圓截面管道中的流動：，一維流動流動要素只取決于一個空間坐標變量的流動。如：。元流是嚴格的一維流動，空間曲線坐標沿著流線。在實際問題中，常把總流也簡化為一維流動，此時取定空間曲線坐標的值相當于指定總流的過流斷面，但由于過流斷面上的流動要素一般是不均勻的，所以一維簡化的關鍵是要在過流斷面上給出運動要素的代表值，通常的辦法是取平均值。注意：流動的維數(dimension)與流體速度的分量數不是一回事。6、系統和控制體由確定的流體質點組成的集合稱為系統。系統在運動過程中，其空間位置、體積、形狀都會隨時

33、間變化，但與外界無質量交換。有流體流過的固定不變的空間區域稱為控制體，其邊界叫控制面。不同的時刻控制體將被不同的系統所占據。站在系統的角度觀察和描述流體的運動及物理量的變化是拉格朗日方法的特征，而站在控制體的角度觀察和描述流體的運動及物理量的變化是歐拉方法的特征。3-3 流動的質量守恒方程連續性方程² 連續性方程質量守恒定律對流體運動的一個基本約束。² 用歐拉觀點對質量守恒原理的描述：連續介質的運動必須維持質點的連續性，即質點間不能有空隙。因此，凈流入控制體的流體質量必等于控制體內因流體密度變化而增加的質量。1、三維流動的連續性微分方程恒定流動的連續方程：極坐標中平面流動的

34、連續方程： 或 2、不可壓縮流體（）運動的連續性微分方程對于不可壓縮流體的流動（不論恒定與否），連續方程均為：速度場的散度為零。速度場的散度： 流體微團在三個互相垂直方向上的線變形速率之和，也是流體微團的體積膨脹率。連續方程表明不可壓縮流體微團在三個互相垂直方向上的線變形速率的總和必為零，若在一個方向上有拉伸，則必有另一個方向上的壓縮，在運動過程中其體積不會發生變化。3、恒定總流的連續性方程控制體：上游過流斷面A1和下游過流斷面A2之間的總流管。恒定條件下：² 總流管的形狀、位置不隨時間變化。² 總流內的流體是不存在空隙的連續介質，其密度分布恒定，總流管內的流體質量也不隨時

35、間變化。² 沒有流體穿過總流管側壁流入或流出，流體只能通過兩個過流斷面進出控制體。恒定總流連續方程通過恒定總流兩個過流斷面的質量流量相等。 或 均質不可壓縮恒定總流連續方程通過恒定總流兩個過流斷面的體積流量相等。 或 或 對于不可壓縮流體，根據連續方程，流線的疏密能夠反映流速的大小。在流線譜中，流速的方向由流線的切線方向給出，而流線的疏密表示流速的大小，亦即流線密集的地方流速大，流線稀疏的地方流速小。在有分流匯入及流出的情況下，連續方程只須作相應變化。質量的總流入=質量的總流出。3-4 流體微團運動的分解² 考察和分析流體質點之間的相對位移和相對運動。² 涉及相對

36、運動必須把討論問題的尺度從流體質點擴大到流體微團。² 給出在同一時刻流體微團中任意兩點速度之間的關系。² 分析流體微團的運動形式。1、亥姆霍茲速度分解定理流體微團中任意兩點間速度關系的一般形式：流體的變形速率張量二階對稱張量：主對角線上三個元素是線變形速率，其余的是角變形速率。流體旋轉角速度矢量，它恰是流速場的旋度矢量的一半。旋度 2、流體微團運動分析（1）以平面上的運動為例，解釋和的含義，進而給出亥姆霍茲速度分解定理的物理意義，分析流體微團的運動。表示單位時間、x方向單位長度流體線段的伸長，即x方向的線變形速率。表示坐標面上流體直角減小速率的一半，也稱為角變形速率。表示坐

37、標面上兩直角邊旋轉的平均速率，即直角平分線的旋轉速率，也是直角頂點處流體平均旋轉角速度矢量在軸上的分量。（2）亥姆霍茲速度分解定理各項的物理意義3、有旋流動和無旋流動判別：唯一的標準是看流速場是否滿足旋度，寫成分量形式為：有旋流動和無旋流動的判別僅在于流速場的旋度是否為零。不要根據流線是直線或曲線來直觀判別，以免出錯。要看流體微團在運動過程中是否繞自身軸旋轉？作業：習題 3-3,4,5(1)(3)(10),6,9,11,12第四章 流體動力學基礎基本要求v 了解理想流體運動方程（歐拉方程）的推導過程，知道不可壓縮粘性流體運動方程（納維斯托克斯方程），理解方程的物理意義；v 掌握理想流體運動方程

38、 歐拉方程的伯努利積分及其成立的條件，并會應用伯努利積分；v 掌握流體運動的總流分析法，熟悉恒定總流條件下的連續方程、能量方程和動量方程，并能綜合運用計算總流問題；v 知道基本平面勢流的解及疊加原理。基本內容² 建立理想流體運動微分方程歐拉方程，介紹不可壓縮粘性流體運動微分方程N-S方程。² 對理想流體運動微分方程在恒定條件下沿流線積分得到恒定元流的能量方程伯努利方程，進而推廣到總流，得到恒定總流的能量方程。² 將動量守恒定律用于恒定總流得到恒定總流的動量方程。² 引出無旋流動的速度勢函數和不可壓縮流體平面流動的流函數概念，討論不可壓縮流體平面無旋流動的

39、速度勢函數與流函數的關系（柯西-黎曼條件）以及求解勢流問題的奇點疊加方法。4-1 流體運動微分方程1、運動理想流體的應力狀態運動理想流體的應力只有法向應力動壓強，它與靜止流體（不論是理想流體還是粘性流體）的靜壓強在形式上相同運動理想流體動壓強的大小與作用面方位無關（靜止流體和運動理想流體中的四面體微元運動方程中的質量力（含慣性力）比起表面力均為高階無窮小）。2、理想流體運動微分方程（歐拉方程）的建立取微元體，運用牛頓第二定律，對理想流體建立運動方程，描述動壓強、質量力和流速之間的關系。歐拉方程矢量形式： 分量形式： 3、不可壓縮粘性流體運動微分方程（納維- 斯托克斯方程）運動粘性流體存在切應力

40、，壓應力與作用面的方位有關，但三個相互垂直的作用面上壓應力之和與作用面的方位無關，它們的平均值定義為粘性流體的動壓強。廣義牛頓內摩擦定律假設應力與變形速率之間呈線性關系，在此基礎上可建立不可壓縮粘性流體運動微分方程納維-斯托克斯（N-S）方程。N-S方程矢量形式 分量形式 其中：拉普拉斯算子，對跟隨其后的量求調和量，如：4、流體動力學的定解問題控制流動的基本方程組：微分形式流體運動（N-S）方程連同連續方程，形成對流體運動的基本控制方程組，是求解流速場和壓力場的理論基礎。四個方程可求四個未知量：和，方程組是封閉的。但由于運動方程是二階偏微分方程，其中的位變慣性力（常稱為對流項）是非線性的，解析

41、求解非常困難。求解方法：只有在極少數簡單流動的情況下，N-S方程才有解析解。而絕大部分流動都不能直接對N-S方程解析求解。因此，通常只能抓住問題的主要方面，在一些假設（如無粘假設、勢流假設、減少維數等）條件的基礎上對基本方程作相應的簡化，才能進行進一步的解析處理。定解條件：初始條件是對非恒定流動指定初始時刻流場的速度和壓強分布。邊界條件是指運動方程的解在流場的邊界上必須滿足的運動學和動力學條件。如常見的邊界條件有：固壁條件和液體的自由表面條件。固壁條件理想流體的固壁條件稱為可滑移條件，即流體不能穿越固壁，但可有切向相對運動，；粘性流體的固壁條件稱為不可滑移條件，即附著在固壁上的流體質點與固壁不

42、能有相對運動，。液體的自由表面動力學條件為自由表面上壓強為常數（大氣壓）。5、理想流體運動微分方程（歐拉方程）的伯努利積分：理想、恒定、不可壓、質量力有勢運用運動微分方程求解各種流動問題時，需要對方程進行積分，但由于數學上的困難，目前還無法在一般情況下進行。這里限定在恒定條件下理想（不可壓縮）流體運動方程沿流線的積分伯努利積分。伯努利積分：在理想流體的恒定流動中，同一流線上各點的值是一個常數。（流線常數）其中：W是力勢函數，r 是不可壓縮流體的密度。積分是在流線上進行的，不同的流線可以有各自的積分常數，稱為流線常數。重力場中的伯努利積分 伯努利方程對同一流線上任意兩點1和2有： 4-2 實際流

43、體的能量方程恒定總流的能量方程1、恒定元流的能量方程（1）伯努利方程的物理意義伯努利方程表示能量的平衡關系。伯努利積分： 單位重量流體所具有的位置勢能（簡稱單位位置勢能）；單位重量流體所具有的壓強勢能（簡稱單位壓強勢能）；單位重量流體所具有的總勢能（簡稱單位總勢能）；單位重量流體所具有的動能（簡稱單位動能）；單位重量流體所具有的總機械能（簡稱單位總機械能）。歐拉觀點在理想流體的恒定流動中，位于同一條流線上任意兩個流體質點的單位總機械能相等。拉格朗日觀點在理想流體的恒定流動中，同一流體質點的單位總機械能保持不變。說明：² 總機械能不變，并不是各部分能量都保持不變。三種形式的能量可以各有

44、消長，相互轉換，但總量不會增減。² 伯努利方程是能量守恒原理在流體力學中的具體體現，故被稱為能量方程。² 伯努利方程在流線上成立，也可認為在元流上成立，所以伯努利方程也就是理想流體恒定元流的能量方程。² 伯努利方程可理解為：元流的任意兩個過流斷面的單位總機械能相等。由于是恒定流，通過元流各過流斷面的質量流量相同，所以在單位時間里通過各元流過流斷面的總機械能（即能量流量）也相等。（2）伯努利方程的幾何意義水頭幾何意義位置水頭；壓強水頭；測壓管水頭；速度水頭；總水頭。水頭線水頭沿程變化的情況幾何表示（3）元流能量方程的應用舉例畢托管測速畢托管利用兩管測得總水頭和測壓管

45、水頭之差速度水頭，來測定流場中某點流速。實用的畢托管常將測壓管和總壓管結合在一起。實際使用中，在測得，計算流速時，還要加上畢托管修正系數，即。2、恒定總流的能量方程（1）因總流是無數元流的累加，故理想流體恒定總流各過流斷面上的能量流量相等。（2）為把總流能量方程的表達一維化，針對恒定均勻流（運動方程中只有重力、壓差力和粘性力，無慣性力）恒定均勻流同一過流斷面上各點的測壓管水頭相等，即同一過流斷面上的測壓管水頭為常數。注：² 恒定均勻流的過流斷面上粘性力的分量為零，只有壓差力與重力之間的平衡，所以動水壓強按靜水壓強的規律分布。² 只能在同一過流斷面上應用上述結論，因為沿著流動

46、方向動水壓強分布不同于靜水壓強，導致不同過流斷面上測壓管水頭可能是不同的常數。² 漸變流近似于均勻流，所以漸變流過流斷面上的測壓管水頭可視為常數。² 急變流中同一過流斷面上的測壓管水頭不是常數。于是，漸變流過流斷面上測壓管水頭的積分速度水頭的積分：引入斷面平均流速和動能修正系數其中：，取決于斷面上的流速分布，流速分布越均勻，越接近于1.0。（3）理想不可壓縮流體恒定總流（流動無機械能損耗）能量方程的一維化表達注：上式中斷面平均流速、動能修正系數和測壓管水頭的取值都是由所在過流斷面唯一確定的，條件是過流斷面應處于漸變流段中。（4）實際流體恒定總流的能量方程分析水力學問題最常用

47、也是最重要的方程式恒定總流能量方程的幾何表示水頭線若測壓管水頭線在位置水頭線以下，表示當地壓強是負值。水力坡度單位重量流體在單位長度流程上損失的平均水頭。恒定總流能量方程的應用條件² 流動必須是恒定流，并且流體是不可壓縮的。² 作用于流體上的質量力只有重力。² 所取的上下游兩個斷面應在漸變流（近似于均勻流）段中，以符合斷面上測壓管水頭等于常數這一條件。但在兩個斷面之間流動可以不是漸變流。斷面應選在已知條件較多的位置。在漸變流斷面上取任何一點的測壓管水頭值都可作為整個斷面的平均值，為簡便通常取管道中心點或渠道水面點。3、能量方程的應用舉例恒定總流能量方程表明三種機械

48、能相互轉化和總機械能守恒的規律，由此可根據具體流動的邊界條件求解實際總流問題。關鍵是過流斷面的選取和能量方程中各向的確定。（1）跌水流動（2）文丘里管測量測管道流量4、有能量輸入或輸出的能量方程為1、2斷面之間單位重量流體從水力機械獲得（取+號，如水泵）或給出（取-號，如水輪機）的能量。舉例：水泵管路系統揚程： 軸功率： （水泵效率）水輪機管路系統水輪機作用水頭 （不包括水輪機系統內的損失）水輪機功率 （水輪機效率）4-3 恒定流的動量方程1、恒定總流的動量方程（1）方程推導在總流中選取控制體，利用動量守恒定律，歐拉觀點表述的總流動量守恒定律：單位時間控制體內流體動量的增加 + 單位時間凈流出

49、控制體的動量 = 控制體內流體所受合外力動量通量單位時間里通過總流過流斷面的動量 恒定總流動量守恒方程： （2）漸變流過流斷面上動量通量的一維化表達漸變流的流線是平行直線，過流斷面為平面圖形，斷面上各點流速的方向一致，均為斷面法向，而其大小一般不均勻。故引入：斷面平均流速： 流量意義上的平均動量修正系數： 為大于1.0 的數，其大小取決于斷面上的流速分布。在一般的漸變流中的值為1.02-1.05，為簡單起見，也常采用=1.0。動量通量的一維化表達： （3）一維化的恒定總流動量方程 或 說明：² 包括外界對所取控制體進出口表面作用的動壓力、總流側壁邊界對控制體內流體的總作用力和控制體內

50、流體的重力，其中只有重力是質量力，其它都是表面力。² 求解具體問題時特別注意作用力與反作用力的問題。² 恒定總流動量方程是矢量方程，實際使用時一般都要寫成分量形式：² 恒定總流動量方程建立了流出與流進控制體的動量流量之差與控制體內流體所受外力之間的關系，。對于有些水力學問題，能量損失事先難以確定，用動量方程來進行分析可以避開流動內部的細節。2、恒定總流動量方程應用舉例（1）水流對彎管的作用力【p93例4-4】它是利用動量方程求得的彎管對水流作用力的反作用力。本例要點（7個）見第4章課件。（2）水流對矩形平板閘門的推力【p95例4-5】應用到平面靜水總壓力的計算、反

51、作用力問題。本例要點（3個）見第4章課件。（3）流體對水平分岔管的作用力需要通過三大方程（連續性方程、能量方程、動量方程）的聯用求解，綜合性較強。3、求解恒定總流問題的幾點說明（1）恒定總流的三大方程，在實際計算時，有一個聯用的問題，應根據情況靈活運用。（2）在有流量匯入或分出的情況下，要按照三大方程的物理意義正確寫出它們的具體形式。如針對下圖流動：動量方程（以x方向為例）：連續方程：能量方程：表達能量方程時要注意，不要將單位重量流體能量（水頭）誤認為能量流量。因此，對單位重量流體而言，在總流過流斷面和分支流過流斷面間可以列伯努利方程（總流能量方程）。總能量平衡關系（3）求解問題的實質和關鍵在

52、于：流量、動量和能量分配相互耦合，關鍵在于確定水頭損失。（4）本章對總流所加的恒定條件是非常重要的，有了這個限定，系統質量、動量和能量的守恒才與控制體內的流動情況無關，完全可以僅在邊界上表達。4-4 理想流體的無旋流動理想不可壓縮流體從靜止或無旋狀態開始的流動將保持為無旋流動。所以無旋流動往往是以理想流體為前提條件的。1、無旋流動的伯努利積分理想、恒定、不可壓、質量力有勢、無旋（1）無旋流動的伯努利積分歐拉積分（通用常數）在理想流體的恒定有勢流動中，流場中各點的值是一個常數。其中是力勢函數，是不可壓縮流體的密度。（2）重力場中（）的歐拉積分（通用常數）注：伯努利積分和歐拉積分形式上很相似，但兩

53、者的適用條件和使用范圍是不同的。2、流速勢函數與流函數² 任何無旋流場都存在速度勢函數。² 對于的無散流場，還可以定義流函數。² 速度勢函數和流函數均滿足線性的Laplace方程，他們獨立于壓強場，因此可使這類流場的計算得以簡化。（1）流速勢函數 速度勢函數存在的條件、無旋流動與有勢流動的等價性無旋流動 有勢流動 不可壓縮無旋流動（勢流）的速度勢函數滿足拉普拉斯方程（二階線性偏微分方程，與非線性的歐拉方程相比容易求解）， 為調和函數注：只有當滿足連續性方程時，才能證明這個流場存在判斷流動是否存在的方法！ 勢流的求解步驟：由結合適當邊界條件積分解出，由微分得到，再由

54、歐拉積分或解出。 等勢面（線）與等勢面（線）微分方程等勢面：等勢面（線）方程：，表示沿等勢面切線方向的任意微小位移，可見，無旋流的流速與等勢面（線）垂直，又由可知，增大的方向必須與的方向相同。 速度勢函數的求解方法（一）直接根據定義求，與具體積分路徑無關，可選一條簡便的路徑計算。注意：要按照定義求速度勢，不要誤認為分別做三個獨立的不定積分相加。（二）尋找全微分（推薦采用）：注意：給定流場（速度場），求解速度勢，要先檢查流場是否無旋。 ，代入，求，回帶得即。（2）不可壓縮平面流動的標量流函數 定義：表示穿過點至點連線的流量，它與連線路徑無關。流函數的微分為穿過微元弧長的流量，所以把稱為流函數。 對于二維不可壓縮平面流動：，滿足連續性方程 對于軸對稱不可壓縮流動：，滿足連續性方程 流函數存在的條件：不論是理想流體還是粘性流體，是穩態流動還是非穩態流動，是有旋流動還是無旋流動，只要是平面或軸對稱不可壓縮流動，總存在流函數。對于可壓縮流體的流動，由于連續方程中多了項，故只有在穩態流動時才存在流函數。三維流場不存在流函數。 對于平面不可壓