1、第六章樣本及抽樣分布【內容提要】一、簡單隨機樣本與統計量1. 總體用來表征某一隨機試驗的數量指標X，其概率分布稱為總體的分布。2. 簡單隨機樣本 在相同條件下，對總體X進行n次獨立的重復觀察，將所得結果X1,X2,.,Xn稱為從總體X中抽取的容量為n的簡單隨機樣本，試驗結束后，可得一組數值xx2,., xn ,稱其為Xi,X2,.,Xn 的觀察值。注：若Xi,X2,., Xn為總體X的簡單隨機樣本，則 Xi,X2,., Xn相互獨立，且與總體 X同分布。3. 統計量設Xi,X2,.,Xn為總體X的簡單隨機樣本，T g(Xi,X2,.,Xn)為樣本Xi,X2,., Xn的實值函數，且不含任何未知

2、參數，則稱T g(Xi,X2,., Xn)為一個統計量，將樣本值xi,x2,., X!代入后算出的函數值t g(xi, x2,., xn)稱為該統計量的值。注：設Xi,X2,.,Xn為總體X的簡單隨機樣本，Xi,X2,.,Xn為相應的樣本值，則常用的統計量有：名稱統計量統計量的值樣本均值-i nX Xjn i i-i nX _Xjn i i樣本方差2i n- 2S - (Xi X) n i i i彳n2i/一2s - (Xi X) n i i i樣本標準差s Vs2"s ys2樣本k階原點矩4 nA 一Xjkn i iin k ak 一Xin i i樣本k階中心矩i n- kBk 一

3、 (Xi X) n i i1 n- kbk 一 (Xi x)n i i4.經驗分布函數設Xi,X2,.,Xn為總體X的簡單隨機樣本，Xi,X2,.,Xn為相應的樣本值，將樣本值按由小到大的順序重新編號X-Ix2Xr,1 r n ，并設Xi, X2, Jxn中取到Xk的頻數為mk，0,若XX其中 0 mkn且mkn,則稱 Fn(x)m ,若 XkXXk 1,其中1 k r 1為1 k r兀 x ni ik n1,若XXr總體X的經驗分布函數(或樣本分布函數)。注：設F (x), Fn(x)為總體X的概率分布函數與經驗分布函數，則x R，有:P lim F(x) Fn(x) 01，即只要n充分大，

4、則Fn(x)與F(x)只有微小的差別。、抽樣分布21.分布：設X1,X2,.,Xn為總體X : N(0,1)的簡單隨機樣本，則稱nXk2k 1服從自由度為nn的2分布，記為2 X2 :2(n)。k 1【定理】設隨機變量:2(n), : 2(m)，且二者相互獨立，則n 2 x1 x 2e若x 0的密度函數為：f(x)2門若x0(n 2)；0,若x 02分布的再生性：2(m n)；.2分布的數字特征：E()n,D( ) 2n ；2分布的臨界值:P21(n) P2(n).(查表).的密度函數為：f(x)F(1 yx!n) (n 1)2 , x (,);Tn (n 2).t分布的極限分布：n時，N(0

5、,1)，即nim f(x)(x)1亍eVx(,)；.t分布的數字特征：若n2，則E()0, D()n (n 2)；.t分布的臨界值:Pt(n)Pt (n).(查表)虛線：N(0,1)分布的密度函數y (x) 實線：t(n)分布的密度函數y f(x)X m3. F 分布：設隨機變量X : 2(m),Y : 2(n)，且二者相互獨立，則稱隨機變量F ' 服從自Y n由度為(m, n)的F 分布，記為F : F(m, n)。(m n) 2mm2 nn2xm21c.的密度函數為：f(x)(m 2) (n 2)(mxn)(mn) 2,x 00,右x 0.F分布的倒數不變性：1 : F(n,m)；

6、.F 分布的數字特征：若n 4，則 E()n,D()2n 2(m n2).n 2m(n 2)2( n4)【定理】設隨機變量 :F(m,n)，貝U F 分布的臨界值：PF (m, n) P1 F (n,m).(查表)F(m, n)分布的密度函數y f(x)三、正態總體的統計量的分布1單個正態總體的情形設X1,X2,., Xn為正態總體 X :N(2)的簡單隨機樣本，令1 2 1XXk, s(Xkn 1 k nn 1 1 k nX.一:N(0,1);/Vn2 2X),(Xkn.)2，則2(n);2.X與S相互獨立，且(n 1)s222(n 1);2.兩個正態總體的情形設X1, X 2 ,X n1為

7、總體X : N(2l)的簡單隨機樣本,Y,Y2,丫吃為總體Y ： N( 2,;)的簡單隨機樣本，且兩個樣本之間相互獨立，令1Xk ,Ym 1 k gYk,S2n21n2(XkniX)2,S； 土(Yk Y)2n?1 1 k n?1(Xkn1 1 k q1)2，n21(Ykn22)2,Sw6 1)S2 52 1)g，則Y) ( 1 /1 2 1""2 m 1 n2 22): N(0,1)；22 : F(m,n2)；22 t (X Y) ( 122，則S"1吐1):tg n2 2)。S22.12 : Fg 1門2 1)；S22【第六章作業】、填空題1、設X1,X2，,

8、Xn,.獨立同分布,且有有限的期望E(XQ與方差D(XQ20，則n充分大時，近似地有X 1 Xk : N( , 2 n),即 n k 1分布于N( ,2)時，上述結論還是精確成立的。2、設X1,X2，Xn,獨立同分布，且有有限的期望E(Xk) 與方差 D(Xk)20,k1,2,.,1 n 222則Y X2依概率收斂到(22)，即n k 10,有 lim P(n1 x2 ( 22)n k 13、設X!,X2,X3,X4是N(0,22)的簡單隨機樣本，且C (X1 X2)2 (X3 X4)22，則4、設容量為n9的樣本之觀察值為8,7,6,9,8,7,5,9,6，則該樣本之觀察值的樣本均值為x 6

9、5 9，5、樣本方差為s2140 81 02 設X1,X2,.,Xn是N(,)的簡單隨機樣本，則 X1 n-Xk : N( , 2 n) 0n k 1二、單項選擇題1、設X,X2,X3是母體N( ,2)的簡單隨機樣本，其中已知,0未知，則下列選項中非統計量的是(C )：A. X1 X2 X3 ；B. max X1, X2, X3 ；C. (X12 X； X；);2 ；D. X102、設X1,X2,., Xn是母體B(1,p)的簡單隨機樣本，則下列選項中錯誤的是(B, D):A. 當n充分大時，近似地有X : N(p, p(1 p).n)；B. P(X k) Ckpk(1 p)n k,k 0,1

10、,2,., n ；C. P(X k;n) C；pk(1 p)n k,k 0,1,2,., n ；D. P(Xi k) C：pk(1 p)n k,k 0,1,2,., n。3、設 X : t(n)，貝U ( A):A. X2 : F(1,n) ； B2 2X : F(n,1) ； C . X2 2(n) ； D . X : t(n)。4、設X!,X2，,Xn是總體N（2）的簡單隨機樣本，令 XnXk,s2 n1 2(Xk X)2 ,11 k n而s2-n (Xkn k 1X)2,sf)2,S：-n (Xkn k 1）2，則服從t（ n 1）的是（C ）：XA. t =S vnlt XS，1S3n

11、 'Xt =S45、設 X1,X2，,Xn,Xn1,Xn2,Xnm 是總體N(0,2）的容量為（nm）的簡單隨機樣本，則統計量V (m X：).( n1 k n/1 k mX： k）服從的分布是（C）：A. F (m, n)；.F (n 1,m 1) ； C . F (n,m)；D . F (m 1,n 1)。二、計算題1、為了研究某種零件的加工工時定額，隨機觀察了12人次的加工工時，測得如下數據 （分鐘）:9.8,7.8,8.2,10.5,7.5,8.8,10.0,9.4,8.5,9.5,8.4,9.8，試求樣本均值、樣本方差、樣本標準差。_ 1 n21 n _ 2r-2解：x Xk

12、 9.02, s（Xk x） 0.8359, s s 0.9143。n k 1n 1 k 12、從一批人中隨機抽取 10人，測得每個人的身高，得到如下數據（cm）：173,170,148,160,168,181,151,168,154,177，求該樣本觀察值的樣本分布函數。解：該樣本觀察值的樣本分布函數為：X(,148)148,151151,154154,160160,168Fn(x)00.10.20.30.4X168,170170,173173,177177,181181,Fn(x)0.60.70.80.913、在總體N（52.6,32）中隨機抽取一容量為 36的樣本，求樣本均值 X落在50

13、.8 : 53.8之間的概率。解:由于 X : N（ , 2；n） N （52.6,0.52），故(3.6) 1(2.4)0.9918。P(50.8 X 53.8) P( 3.62.4)(2.4)0.54、在總體N（20,3）中隨機抽取兩個容量分別為10,15的獨立樣本，求兩個樣本均值只差的絕對值大于0.3的概率。X X2 : N(0,0.5)，從而P(X1 X20.3) 1 P(X1 X2,050.3 .05)2 (0.305)1 2 (0.42) 12 0.6628 1 0.3256。1.44)。5、設X1,X2,., X10是總體N (0,0.3- 1 10n, D(X) 2 D(Xk)

14、0.02n ， 10 k 1)的簡單隨機樣本，求 P( X21 k 10解：由于X1,X2,., X10是總體N(0,0.32)的簡單隨機樣本，故10.321X；:102(10)，從而2 1 2P( Xk 1.44) P( 2 Xk 16)0.1。1 k 100.31 k 106、設X1,X2,., X10是總體 2(n)的簡單隨機樣本，求 E(X), D(X), E(S2)。解：由于X1,X2,., X10是總體 2(n)的簡單隨機樣本，故 E(Xk)n, D(XQ2n, 110，故E(X)1010k1E(Xk)E(S2)10WE(K1X102I210X2)池 D(Xk) (EXk)210 K 110D(X) (EX)22 2(2n n ) (n 0.02n)1.98n。7、在總體N( ,