1、贛縣中學2015年春學期高一數學集體備課單主備人：朱志旺第一課時直線的傾斜角和斜率一、三維目標1. 理解直線的傾斜角和斜率的定義，充分利用斜率和傾斜角是從數與形兩方面刻劃直線相對 于x軸傾斜程度的兩個量這一事實，在教學中培養學生數形結合的數學思想.(x#x2)o2. 掌握經過兩點p(xi,yj和卩2區2)的直線的斜率公式：k=兀2 一兀i二、重點難點 教學重點：直線的傾斜角和斜率概念以及過兩點的直線的斜率公式.教學難：斜率公式的推導.三、教學過程導入新課如圖1所示，在直角坐標系中，過點p的一條直線繞p點旋轉，不管旋轉多少周，它對x 軸的相對位置有兒種情形？教師引入課題：直線的傾斜角和斜率.提出

2、問題 怎樣描述直線的傾斜程度呢？ 圖2中標出的直線的傾斜角a對不對？如果不對，違背了定義中的哪一條? 直線的傾斜角能不能是0。？能不能是銳角？能不能是直角？能不能是鈍角？能不能是平 角？能否大于平角？ 日常生活中，還有沒有表示傾斜程度的量？ 正切函數的定義域是什么？ 任何直線都有斜率么？ 我們知道兩點確定一條直線，那么已知直線上兩點坐標，如何才能求出它的傾斜角和斜率 呢？如1：已知a(2, 3)、b(-l, 4),則直線ab的斜率是多少？活動:與交角有關.當直線1與x軸相交時，取x軸作為基準,x軸正向與直線i向上方向之間 所成的角a叫做直線1的傾斜角. 可見：平面上的任一直線都有唯一的一個傾斜

3、角，并且傾斜角定了，直線的方向也就定了. 考慮正方向. 動手在坐標系屮作多條直線，可知傾斜角的取值范i韋i是0。勺180。.在此范圍內，坐標平 面上的任何一條直線都有唯一的傾斜角，而每一個傾斜角都能確定一條直線的方向.傾斜角 直觀地表示了直線對x軸正方向的傾斜程度.規定：當直線和x軸平行或重合時，直線傾斜角為0。，所以傾斜角的范圍是0°<a<180°. 聯想小吋候玩的滑梯，結合坡度比給出斜率定義，直線斜率的概念.傾斜角不是90。的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用k表示，即k=tana. 教師介紹正切函數的相關知識. 說明：直線與斜率z間的對應不是映

4、射，因為垂直于x軸的直線沒有斜率.(傾斜角是90。的直線沒有斜率) 已知直線1上的兩點p(x, yo, p2(x2, y2)，且直線1與x軸不垂直，如何求直線1的斜率。 過兩點pi(xi,yj、p2(x2,y2)的直線的斜率公式k=昱二電。x2 _ 兀四、應用示例例1已知a(3,2),b(4,l),c(0,l),求直線ab,bc,ca的斜率，并判斷它們的傾斜角是鈍角還是 銳角.變式訓練1. 已知a(1,3a/3 ),b(0,2a/3),求直線ab的斜率及傾斜角.2已知直線的傾斜角，求直線的斜率：(l) a=0°； (2) a=60°； (3)a=90°.3. 求過

5、下列兩點的直線的斜率k及傾斜角a.(1) pq2,3), p2(-2,8)；(2) pg), p2(-2,-2).例2已知三點a、b、c,且直線ab、ac的斜率相同，求證:這三點在同一條直線上.變式訓練1. 若三點a(2,3), b(3,2), c(丄,m)共線，求實數m的值.22. 若三點a(2,2),b(a,0),c(0,b)(al#0)共線，則丄+丄的值等于.a b課堂小結(1) 掌握已知直線的傾斜角求斜率；(2) 直線傾斜角的概念及直線傾斜角的范圉；第二課時直線方程的點斜式一、三維目標1. 掌握由一點和斜率導出直線方程的方法，掌握直線的點斜式方程，了解直線方程的斜截式 是點斜式的特例；

6、培養學生思維的嚴謹性和相互合作意識，注意學生語言表述能力的訓練.2. 引導學生根據直線這一結論探討確定一條直線的條件，并會利用探討出的條件求出直線的 方程.培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.二、重點難點教學重點：引導學生根據直線這一結論探討確定一條直線的條件，并會利用探討出的條件求 出直線的方程.教學難點：在理解的基礎上掌握直線方程的點斜式的特征及適用范圍.三、教學過程提出問題 如果把直線當做結論,那么確定一條直線需要幾個條件？如何根據所給條件求出直線的方 程？ 已知直線1的斜率k且1經過點p】(x】,yj,如何求直線1的方程？ 方程導出的條件是什么？ 若直線的斜率k不存在，則直線方

7、程怎樣表示？ k= 與丫丫尸1儀以)表示同一直線嗎？ 已知直線1的斜率k且1經過點(0, b ),如何求直線1的方程？四、應用示例例1 一條直線經過點pi(2,3),傾斜角a=45。,求這條直線方程、.變式訓練1、判斷下列直線的位置關系：(1) l：y=*x+3,12：y=*x2;53(2) 11：尸嚴12：尸嚴jj課堂小結1. 掌握由一點和斜率導出直線方程的方法，學握直線的點斜式方程，了解直線方程的斜截式 是點斜式的特例.2. 引導學生根據直線這一結論探討確定一條直線的條件，并會利用探討出的條件求出直線的 方程.第三課時直線的兩點式和一般式一、三維目標1. 讓學生掌握直線方程兩點式和一般式的

8、發現和推導過程，并能運用這兩種形式求出直線的 方程.培養學生數形結合的數學思想，為今后的學習打下良好的基礎.2. 了解直線兩點式和一般式的的形式特點及適用范圍，培養學生樹立辯證統一的觀點。二、重點難點教學重點：直線方程兩點式和一般式.教學難點：關于兩點式的推導以及斜率k不存在或斜率k=o吋對兩點式方程的討論及變形.三、教學過程活動:教師引導學生：根據已有的知識，要求直線方程，應知道什么條件？能不能把問題 轉化為已經解決的問題呢？在此基礎上，學生根據已知兩點的坐標，先判斷是否存在斜率, 然后求出直線的斜率，從而可求出直線方程.師生共同歸納：已知直線上兩個不同點，求直線的方程步驟：a. 利用直線的

9、斜率公式求出斜率k;b. 利用點斜式寫出直線的方程.二|力一必-x#x2,k=,x2 -xj直線的方程為yy尸 (x-xi).1的方程為yyi=2 一 x (xxj.當yiy2時，方程可以寫成=蘭兒一 x 兀2一坷由于這個方程是由直線上兩點確定的，因此叫做直線方程的兩點式.注意：式是由式導出的，它們表示的直線范圍不同.式中只需x#x2,它不能表示傾斜 角為90。的直線的方程；式屮x&x2且力機，它不能表示傾斜角為0。或90啲直線的方程, 但式相對于式更對稱、形式更美觀、更整齊，便于記憶.如果把兩點式變成 (y-yi)(x2-xi)=(x-xi)(y2-yi),那么就可以用它來求過平面上

10、任意兩已矢口點的直線方程. 使學生懂得兩點式的適用范圍和當已知的兩點不滿足兩點式的條件時它的方程形式.教師 引導學生通過畫圖、觀察和分析，發現當x.=x2時，直線與x軸垂直，所以直線方程為x=x1； 當y】=y2時，直線與y軸垂直，直線方程為y=y】. 引導學生注意分式的分母需滿足的條件. 使學生學會用兩點式求直線方程；理解截距式源于兩點式，是兩點式的特殊情形.教師引 導學生分析題目中所給的條件有什么特點？可以用多少方法來求直線1的方程？哪種方法更 為簡捷？然后求出直線方程.因為直線1經過(a, 0)和(0, b)兩點，將這兩點的坐標代入兩點式，得上二 =蘭二土.b-00-a就是- + 2=1

11、.a b注意：這個方程形式對稱、美觀，其中a是直線與x軸交點的橫坐標，稱a為直線在x軸 上的截距，簡稱橫截距；b是直線與y軸交點的縱坐標，稱b為直線在y軸上的截距，簡稱 縱截距.因為方程是由直線在x軸和y軸上的截距確定的，所以方程式叫做直線方程的截距式. 注意到截距的定義，易知a、b表示的截距分別是直線與坐標軸x軸交點的橫坐標，與y 軸交點的縱坐標，而不是距離. 考慮到分母的原因，截距式不能表示平面坐標系下在x軸上或y軸上截距為0的直線的方 程，即過原點或與坐標軸平行的直線不能用截距式.提出問題 坐標平面內所有的直線方程是否均可以寫成關于x,y的二元一次方程？ 關于x,y的一次方程的一般形式a

12、x+by+c=0 (其中a、b不同時為零)是否都表示一條 直線？ 我們學習了直線方程的一般式，它與另四種形式關系怎樣，是否可互相轉化？ 特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之間如何互化？ 我們學習了直線方程的一般式ax+by+c=0,系數a、b、c有什么幾何意義?什么場合下建立了直線與關于x,y的二元一次方程之間的對應關系.我們把ax+by+c=0 (其中a,b 不同時為0)叫做直線方程的一般式.注意：一般地，需將所求的直線方程化為一般式.在這里采用學生最熟悉的直線方程的斜截式(初中吋學過的一次函數)把新i 口知識聯系起來. 引導學生自己找到答案，最后得出能進行互化. 待學生通

13、過練習后師生小結：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化為其他形式 (如特殊位置的直線)，由于取點的任意性，一般式化成點斜式、兩點式的形式各異，故一般式化斜截式和截距式較常見；特殊形式的互化常以一般式為橋梁，但點斜式、兩點式、截 距式均能直接化成一般式.各種形式互化的實質是方程的同解變形(如圖1).圖1列表說明如下:形式方程局限各常數的幾何意義點斜式y-yi=k(x-x|)除x=x0外(xi,yj是直線上一個定點,k 是斜率斜截式y=kx+b除x=xo外k是斜率,b是y軸上的截距兩點式y y _ x-x, 力一必兀2一坷除x=x0和y=yo外(xi,yj、(x2,y2)是直線上兩個 定點截

14、距式蘭+ 4a b除 x=x()、y=y0 及 y=kx 外a是x軸上的非零截距,b是 y軸上的非零截距一般式ax+by+c=0無ar當bh0時，仝是斜率，土是bby軸上的截距四、應用示例例1已知三角形的頂點是a(-5, 0)、b(3, 3)、c(0, 2),求這個三角形三邊所在直線的 方程.變式訓練1、求出下列直線的截距式方程：(1) 橫截距是3,縱截距是5；(2) 橫截距是10»縱截距是7；(3) 橫截距是4縱截距是8.4例2已知直線經過點a(6,4),斜率為亍，求直線的點斜式和一般式方程.變式訓練1.已知直線ax+by+c=0,(1) 系數為什么值時，方程表示通過原點的直線？(

15、2) 系數滿足什么關系時，與坐標軸都相交？(3) 系數滿足什么條件時，只與x軸相交？(4) 系數滿足什么條件吋，是x軸？(5) 設 p(xo,yo)為直線 ax+by+c=0 上一點，課堂小結掌握直線方程兩點式和一般式的發現和推導過程，了解直角坐標系屮直線與關于x和y 的一次方程的對應關系，會將直線方程的特殊形式化成一般式。第四課時 兩條直線的位置關系、三維目標1.常握兩條直線半行的充要條件，并會判斷兩條直線是否平行.掌握兩條直線垂直的充要條件，并會判斷兩條直線是否垂直.培養和提高學生聯系、對應、轉化等辯證思維能力.2. 通過教學，提倡學牛用舊知識解決新問題，注意解析幾何思想方法的滲透二、重點

16、難點 教學重點：掌握兩條直線平行、垂直的充要條件，并會判斷兩條直線是否平行、垂直.教學難點：是斜率不存在時兩直線垂直情況的討論(公式適用的前提條件).三、教學過程提出問題 平面內不重合的兩條直線的位置關系有幾種？ 兩條直線的傾斜角相等，這兩條直線是否平行？反過來是否成立？ “a=曠是“tana=tanb啲什么條件？ 兩條直線的斜率相等，這兩條直線是否平行？反過來是否成立？ hb時,ki與k2滿足什么關系?11 ±12時，k|與k2滿足什么關系？活動:教師引導得出平面內不重合的兩條直線的位置關系有平行和相交，其中垂直是相交 的特例. 數形結合容易得出結論. 注意到傾斜角是90。的直線沒

17、有斜率，即tan90°不存在. 注意到傾斜角是90。的直線沒有斜率. 必要性:如果h12,如圖1所示，它們的傾斜角相等，即ai=a2» tanai=tana2,艮卩ki=k2.充分性：如果 ki=k2,即 tanai=tana2,0。“1<180。，0°<a2<180°,于是 11】2 學生討論，采取類比方法得出兩條直線垂直的充要條件.四、應用示例例 1 已知 a (2, 3), b (4, 0), p (3, 1 ), q ( 1, 2),判斷直線 ba 與 pq 的位 置關系，并證明你的結論.變式訓練例 1.若 a(-2,3),b(

18、3,-2),c(-,m)h點共線，則 m 的值為()2例2己知四邊形abcd的四個頂點分別為a (0, 0), b (2, -1), c(4,2),d(2,3),試判斷四 邊形abcd的形狀，并給出證明.課堂小結1. 掌握兩條直線平行的充要條件，并會判斷兩條直線是否平行.2. 掌握兩條直線垂直的充要條件，并會判斷兩條直線是否垂直.第五課時兩條直線的交點一. 三維目標1.掌握兩直線方程聯立方程組解的情況與兩直線不同位置的對立關系，并且會通過直線方程 系數判定解的情況，培養學生樹立辯證統一的觀點.2當兩條直線相交時，會求交點坐標.培養學生思維的嚴謹性，注意學生語言表述能力的訓練.二、重點難點教學重

19、點：根據直線的方程判斷兩直線的位置關系和已知兩相交直線求交點.教學難點：對方程組系數的分類討論與兩直線位置關系對應情況的理解.三、教學過程提出問題 已知兩直線11: a1 x+b i y+c i=0,12 ： a2x+b2y+c2=0, 何判斷這兩條直線的關系？ 如果兩條直線相交，怎樣求交點坐標？交點坐標與二元一次方程組有什關系？ 當九變化時，方程3x+4y2+"2x+y+2)=0表示什么圖形，圖形有什么特點？求出圖形的交 點坐標.一般地，對于直線 h：a】x+biy+c=0, 12：a2x+b2y+c2=o(abc"o,a2b2c2丸),有a r唯一解o二工二o/人相交，

20、%禺 -方程組恥 + 恥 + g "無窮多解0紅=邑=：0也重合,.+ c2 = 0a2 b2 c2無解0久=生工20厶厶平行.a2 b2 c2注意：(a)此關系不要求學生作詳細的推導,因為過程比較繁雜，重在應用.(b)如果a,a2,b,b2,c|,c2屮有等于零的情況，方程比較簡單，兩條直線的位置關系很容易確 定. q)可以用信息技術，當x取不同值吋，通過各種圖形，經過觀察，讓學生從直觀上得出 結論，同時發現這些直線的共同特點是經過同一點.(b) 找出或猜想這個點的坐標，代入方程，得出結論.(c) 結論：方程表示經過這兩條直線h與12的交點的直線的集合.四、應用示例例1求下列兩直線

21、的交點坐標,h： 3x+4y2=02： 2x+y+2=0.例2判斷下列各對直線的位置關系.如果相交，求出交點坐標.(1) 11： x-y=0, i2： 3x+3y10=0.(2) li： 3xy+4=0, b： 6x-2y-l=0.(3) 11： 3x+4y5=0, 12： 6x+8y10=0.例3求過點a(l, 4)且與直線2x+3y+5=0平行的直線方程.課堂小結本節課通過討論兩直線方程聯立方程組來研究兩直線的位置關系，得出了方程系數比的 關系與直線位置關系的聯系.培養了同學們的數形結合思想、分類討論思想和轉化思想。第六課時 平面直角坐標系中的距離公式一、三維目標1. 使學生掌握平面內兩點間的距離公式及其推導過程；通過具體的例子來體會坐標法対于證 明簡單的平面幾何問題的重要性.2. 能靈活運用公式解決一些簡單問題；掌握如何建立適當的直角坐標系來解決相應問題。二、教學重點