1、2020 年全國統一高考數學試卷（理科）（全國新課標）一、選擇題1. 已知集合2, 1,0,1,2,3u， 1,0,1 a，1,2b，則()ucab（）a. 2,3b. 2,2,3c. 2, 1,0,3d. 2, 1,0,2,3【答案】 a 【解析】 1,0,1,2ab， () 2,3ucab. 2. 若為第四象限角，則（）a.cos20b.cos20c.sin20d.sin20【答案】 d 【解析】22()2kkkz，424()kkkz，2是第三象限角或第四象限角，sin20. 3. 在新冠肺炎疫情期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成1200份訂單配貨，由于訂單量大幅增加， 導致訂單積壓

2、，為解決困難， 許多志愿者踴躍報名參加配貨工作。已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天新訂單超過1600份的概率為0.05. 志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（）a.10名b.18名c.24名d.32名【答案】 b 【解析】因為公司可以完成配貨1200份訂單，則至少需要志愿者為1600 500 12001850名. 4. 北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環，向外每環依次增加9塊，下一層的第一環比上一層的最后一環多

3、9塊，向外每環依次也增加9塊，己知每層環數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇形面形石板（不含天心石）（）a.3699塊b.3474塊c.3402塊d.3339塊【答案】 c 【解析】設每一層有n環，由題可知從內到外每環之間構成等差數列，公差9d，19a，由等差數列性質知ns，2nnss，32nnss成等差數列，且2322()()nnnnssssn d，則29729n，得9n，則三層共有扇形面石板為327127 2627934022nssa塊. 5. 若過點(2,1)的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線230 xy的距離為（）a.55b.2 55c.3 55d.4 55【答案】 b 【解析

4、】設圓心為( , )a a，則半徑為a，圓過點(2,1)，則222(2)(1)aaa，解得1a或5a，所以圓心坐標為(1,1)或(5,5)，圓心到直線的距離都是2 55d. 6. 數列na中，12a，m nmnaa a, 若155121022kkkaaa, 則k（）a.2b.3c.4d.5【答案】 c 【解析】取1m，則11nnaa a，又12a，所以12nnaa，所以na是首項為2，公比為2的等比數列，則2nna，所以11011115512102(12 )222212kkkkkkaaa，得4k.7. 右圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點在正視圖中對應的點為m，在俯視圖中對應的

5、點為n，則該端點在側視圖中對應的點為（）a.eb.fc.gd.h【答案】 a 【解析】該幾何體是兩個長方體拼接而成，如圖所示，顯然選a. 8. 設o為坐標原點，直線xa與雙曲線2222:1xycab(0,0)ab的兩條漸近線分別交于d，e兩點，若ode的面積為8，則c的焦距的最小值為（）a.4b.8c.16d.32【答案】 b 【解析】雙曲線2222:1xycab(0,0)ab的兩條漸近線分別為byxa，則容易得到| 2deb，則8odesab，222216cabab，當且僅當2 2ab時，等號成立，所以min4c，焦距min(2 )8c. 9. 設函數( )ln |21|ln |21|f x

6、xx，則( )f x（）a. 是偶函數，且在1(,)2單調遞增b.是奇函數，且在1 1(,)2 2單調遞減c. 是偶函數，且在1(,)2單調遞增 d.是奇函數，且在1(,)2單調遞減【答案】 d 【 解析】函數()ln | 21|ln | 21|ln |21|ln |21|( )fxxxxxf x，則( )f x為奇函數，故排除a、c；當1 1(, )2 2x時，( )ln(21)ln(12 )f xxx，根據函數單調性的性質可判斷( )f x在1 1(,)2 2上單調遞增，故排除b；當1(,)2x時，212( )ln( 21)ln(12 )lnln(1)2121xf xxxxx，根據復合函數

7、單調性可判斷( )f x在1(,)2上單調遞減，故d正確 . 10. 已知abc是面積為9 34的等邊三角形，且其頂點都在球o的球面上，若球o的表面積為16，則o到平面abc的距離為（）a.3b.32c.1d.32【答案】 c 【解析】設abc的外接圓圓心為1o，記1ood，圓1o的半徑為r，球o半徑為r，等邊三角形abc的邊長為a，則239 344abcsa，可得3a，于是33ar，由題知球o的表面積為16，則2r，由222rrd易得1d，即o到平面abc的距離為1. 11. 若2233xyxy，則（）a.ln(1)0yxb.ln(1)0yxc.ln |0 xyd.ln | 0 xy【答案】

8、 a 【解析】2323xxyy，設( )23xxf x，則( )2 ln 23ln30 xxfx，所以函數( )f x在r上單調遞增，因為( )( )f xfy，所以xy，則11yx，ln(1)0yx，選 a. 12.0 1周 期 序 列 在 通 信 技 術 中 有 著 重 要 應 用 ， 若 序 列12.na aa滿 足10,1 (1,2,.)ai，且存在正整數m, 使得(1,2,.)imiaa i成立，則稱其為01周期序列， 并稱滿足(1,2,.)imiaa i的最小正整數m為這個序列的周期，對于周期為m的01序列12.na aa，11( )(1,2,.,1)mii kic ka akmm

9、是描述其性質的重要指標，下列周期為5 的01序列中，滿足1( )(1,2,3,4)5c kk的序列是（）a. 11010.b.11011. c. 10001. d.11001.【答案】 c 【解析】對于a選項：511111(1)(10000)555iiica a，5211121(2)(01010)5555iiica a，不滿足，排除；對于 b選項，5111131(1)(10011)5555iiicaa，不滿足，排除；對于 c選項，511111(1)(00001)555iiica a，52111(2)(00000)055iiica a，53111(3)(00000)055iiica a，5411

10、11(4)(10000)555iiica a，滿足；對于 d選項，5111121(1)(10001)5555iiica a，不滿足，排除；故選c。二、填空題13. 已知單位向量a，b的夾角為45，kab與a垂直，則k . 【答案】22【解析】單位向量a，b的夾角為45，因為kab與a垂直，所以2()02kabak，解得22k. 14.4名同學到3個小區參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只能去1個小區，每個小區至少安排1名同學，則不同的安排方式有_種. 【答案】36【解析】234336c a. 15. 設復數1z，2z滿足12| |2zz，123zzi，則12|zz_。【答案】2 3【解析】方法1：

11、由題設1zabi ( ,)a br，則2( 3)(1)zab i，故2221222222|4|( 3)(1)2 3244zabzababab，則2222212|(23)(21)444 344zzababab22222()2(2 32 )424412ababab，故12| 2 3zz。方法2：在復平面內，用向量思想求解，原問題等價于：平面向量a，b滿足| | 2ab，且(3,1)ab，求|ab，解答如下：考慮到2222()()2 |2 |ababab，故24()16ab，故|2 3ab，故12| 2 3zz。方法3：幾何法：由于1233zzzi，在復平面內考慮(3,1)p，由12| |2zz，平

12、行四邊形法則可知：oabp形成邊長為2，一條對角線為2的菱形， 故另一條對角線長為12| 2 3zz。16. 設有下列四個命題：1:p兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內. 2:p過空間中任意三點有且僅有一個平面. 3:p若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行. 4:p若直線l平面，直線m平面，則ml. 則下列命題中所有真命題的序號是 . 14pp21pp23pp34pp【答案】【解析】對于1:p可設1l與2l相交，所得平面為.若3l與1l相交，則交點a必在內，同理，3l與2l交點b也在內，故ab直線在內，即3l在內，故1p為真命題.對于2:p過空間中任意三點，若三點共線，可形成無數多

13、平面，故2p為假命題 . 對于3:p空間中兩條直線的位置關系有相交、平行、異面，故3p為假命題 . 對于4:p若m平面，則m垂直于平面內的所有直線，故ml，故4p為真命題. 綜上可知：14pp為真命題，12pp為假命題，23pp為真命題，34pp為真命題，故正確的有：. 三、解答題17.abc中，222sinsinsinsinsinabcbc. （1）求a；（2）若3bc，求abc周長的最大值 . 【解析】（1）在abc中，設內角a，b，c的對邊分為為a，b，c因為222sinsinsinsinsinabcbc，由正弦定理得，222abcbc，即222bcabc，由余弦定理得，2221cos2

14、2bcaabc，因為0a，所以23a；（2）由（ 1）知23a，因為3bc，即3a，由余弦定理得，2222cosabcbca，所以2229()bcbcbcbc，由基本不等式2bcbc知2()4bcbc，結合上式得2239()()4bcbcbc，2()12bc，所以2 3bc，當且僅當3bc時取等號，所以abc周長的最大值為32 3. 解法2：由正弦定理得32 32sinsinsinsin3bcabca，所以2 3 sinbb，2 3 sincc，由abc知3cb，03b，所以32 3sin2 3sin()3abcbb3132 3sin2 3(cossin)22bbb33sin3cos32 3s

15、in()3bbb，因為03b，所以2333b，所以當且僅當32b，即6b時，abc的周長最大值為32 3. 18. 某沙漠地區經過治理，生態系統得到很大改善，野生動物數量有所增加，為調查該地區某種野生動物的數量, 將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區，調查得到樣本數據,1,2(,., 0)2)(iixyi，其中ix和iy分別表示第i個樣區的植物覆蓋面積( 單位 : 公頃 ) 和這種野生動物的數量，并計算得20160iix，2011200iiy，2021()80iixx，2021()9000iiyy，201()()800iiixxyy，(1) 求該地

16、區這種野生動物數量的估計值( 這種野生動物數量的估計值等于樣區這種野生動物數量的平均數乘以地塊數); (2) 求樣本,1,2(,., 0)2)(iixyi的相關系數 ( 精確到 0.01) ；(3) 根據現有統計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的代表性以獲得該地區這種野生動物數量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由. 附：相關系數：12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy，21.414【解析】 (1) 由題意可知，1 個樣區這種野生動物數量的平均數12006020，故這種野生動物數量的估計值6020012000；（2）由參考公式得12

17、211()()80080.9480 90006 2()()niiinniiiixxyyrxxyy；(3) 由題意可知，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，因此在調查時，先確定該地區各地塊間植物覆蓋面積大小并且由小到大排序，每十個分為一組, 采用系統抽樣的方法抽取20 個地塊作為樣區進行樣本統計。19.已知橢圓22122:1(0)xycabab的右焦點f與拋物線2c的焦點重合.1c的中心與2c的頂點重合，過f且與x軸垂直的直線交1c于a，b兩點，交2c于c，d兩點 .且4|3cdab.（1）求1c的離心率；（2）設m是1c與2c的公共點 .若5mf，求1c與2c的標準方程 . 【解析】（ 1）f為1c

18、的焦點且abx軸，( ,0)f c，22|baba. 設2c的標準方程為22(0)ypx p，f為2c的焦點且abx軸，(,0)2pf，| 2cdp. 4|3cdab ，1c與2c焦點重合，224223pcbpa. 消去p得：2843bca，232acb ，22322acac ，設1c的離心率為e，則22320ee，12e或2e（舍），故1c的離心率為12. （2）由（ 1）知2ac，3bc，2pc . 22122:143xyccc，22:4cycx . 聯立兩曲線方程，消去y得22316120 xcxc， (32 )(6 )0 xcxc，23xc 或6xc（舍），從而25|5233pmfxc

19、cc. 3c. 1c與2c的標準方程分別為2213627xy，212yx.20. 如圖，已知三棱柱111abca b c的底面是正三角形，側面11bbc c是矩形，m，n分別為bc，11b c的中點，p為am上一點，過11b c和p的平面交ab于e，交ac于f. （1）證明：1/ /aamn，且平面1a amn平面11eb c f；（2）設o為111a b c的中心，若/ /ao平面11eb c f，且aoab，求直線1b e與平面1a amn所成角的正弦值. 【解析】證明m，n分別為bc，11b c的中點，底面為正三角形，1b nbm，四邊形1bb nm為矩形，1/ /bbmn，而11/ /

20、aabb，1/ /aamn，可得1,a a m n共面，由四 邊 形1bb nm為 矩 形 ， 得11mnb c， 由11b nnc, 得111a nb c， 又1mna nn，得11b c平面1a amn，11b c平面11eb c f平面1a amn平面11ebc f；（2）/ /ao平面11eb c f，ao平面1amna平面11ebc fpn，/ /aopn，四邊形apno為平行四邊形，而o為正三角形的中心，aoab，13a non，3amap，113pnbcb cef，由（ 1）知直線1b e在平面1a amn內的投影為pn，直線1b e與平面1a amn所成角即為等腰梯形11efc

21、 b中1b e與pn所成角在等腰梯形11efc b中，令1ef，過e作11ehb c于h，則113pnb ceh，11b h，110b e，11110sin10b hb ehb e，所以直線1b e與平面1a amn所成角的正弦值為1010. 21. 已知函數2( )sinsin2f xxx。（1）討論( )f x在區間(0, )的單調性；（2）證明：3 3|( ) |8fx；（3）設*nn，證明：22223sinsin 2 sin 4 .sin24nnnxxxx。【解析】（1）3( )2sincosf xxx，2222( )2sin(3cossin)8sinsin()sin()33fxxxx

22、xxx。當(0,)3x時，( )0fx，( )f x單調遞增；當2(,)33x時，( )0fx，( )f x單調遞減；當2(, )3x時，( )0fx，( )f x單調遞增；（2）由2( )2sincosf xxx得，( )f x為r上的奇函數，26232( )4sincos4(1cos) cosfxxxxx23222434(1 cos)3cos4(33cos3cos)3()( )3344xxxx，當221cos3cosxx，即21cos4x時等號成立，故3 3|( ) |8f x。（ 3 ） 由 （ 2 ） 知 ：3223 33sinsin 2( )84xx；3223 33sin 2 sin 4( )84xx；322323 33sin 2sin 2()84xx；32123 33sin 2sin2( )84nnxx，故323331223sinsin 2 sin 4 .sin 2sin 2()4nnnxxxxx，333313sinsin 2 sin 4 .sin 2sin 2n