1、 n代數(shù)的計(jì)數(shù)方法 1 - 技法透析 1 計(jì)數(shù) 計(jì)數(shù)，通俗地說就是數(shù)數(shù)，即把我們研究的對(duì)象的個(gè)數(shù)數(shù)出來在計(jì)數(shù)時(shí)應(yīng)遵循的原 則是：既不重復(fù)也不遺漏. 2. 計(jì)數(shù)問題中常運(yùn)用的方法 (1) 窮舉計(jì)數(shù)法：當(dāng)研究對(duì)象比較簡(jiǎn)單數(shù)目也不大時(shí)，窮舉法是最基本而又簡(jiǎn)單的方 法，即把對(duì)象的所有可能一一列舉出來，最后再求出總數(shù). (2) 分類計(jì)數(shù)法：將研究對(duì)象按一定標(biāo)準(zhǔn)分類，然后逐步計(jì)數(shù)，得出總數(shù)，這種方法 要用到加法原理. (3) 分步計(jì)數(shù)法：當(dāng)研究對(duì)象較復(fù)雜時(shí)，為了有序而又正確地思維，我們需要將其分 成若干步，然后將每一步的方法數(shù)相乘，便可得出總數(shù)，這種方法要用到乘法原理. (4) 遞推過渡法：當(dāng)研究的對(duì)象數(shù)

2、目較多又比較復(fù)雜時(shí)，我們常通過對(duì)較少數(shù)量對(duì)象 的觀察，采用從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般，探究其變化的規(guī)律，最后計(jì)算出總數(shù). (5) 加法原理和乘法原理：當(dāng)研究的對(duì)象比較復(fù)雜，且數(shù)目較大時(shí)，計(jì)數(shù)時(shí)常常要用 到如下兩原理： 加法原理：完成一件事情，共有 n類辦法，第一類辦法中又有 m 種不同的方法，第 二類辦法中有 m 種不同的方法，第三類辦法中又有 m3種不同的方法 ， 第 n類辦法中有 mn種不同的方法，那么完成這件事情共有： m + m+ m+ m 種不同方法. 乘法原理：完成一件事情，共分 n個(gè)步驟，第一步中又有 m 種不同方法，第二步中 又有 m種不同方法，第三步中又有 m 種不同方法 .

3、第 n步中有 m 種不同方法，那么 完成這件事情共有： m m “ m 種不同方法.考點(diǎn)圖解 計(jì)數(shù)方法 分克枚舉法I 仃類 代法 分步計(jì)數(shù)法 分步計(jì)數(shù)法 遞惟過渡認(rèn) 遞惟過渡認(rèn) 加沐M：理和蕪在如認(rèn)呵理和弔氓旳珅 2 3. 幾何計(jì)數(shù)問題 （1） 簡(jiǎn)單圖形個(gè)數(shù)的計(jì)算：這類問題中出現(xiàn)的圖形的組成一般比較簡(jiǎn)單，沒有過多的 限制條件，但圖形數(shù)量和計(jì)算量都很大，此類計(jì)數(shù)問題通常需要根據(jù)具體問題尋求一定的 規(guī)律和運(yùn)用一定的計(jì)數(shù)方法來解決. （2） 條件圖形個(gè)數(shù)的計(jì)算：這類問題的圖形數(shù)目較多且較復(fù)雜，所求的是滿足某種限 制條件的幾何圖形的個(gè)數(shù)，解決此類問題的關(guān)鍵是對(duì)限制條件的分析，這些條件的要求往 往決定了

4、所求圖形的不同情況和種類，此為分類計(jì)數(shù)的重要依據(jù). （3）分割或包圍圖形個(gè)數(shù)的計(jì)算：它們是指用一類幾何圖形（如直線）去分割另一類 幾何圖形（如平面或其他封閉圖形） ，或者一類封閉圖形包含另一類封閉圖形，解決此類 問題，除了掌握必要的分割與包含的幾何知識(shí)之外，還需要借助有關(guān)統(tǒng)計(jì)的方法和技巧. 名題精講 考點(diǎn) 1 分類枚舉法計(jì)數(shù) 例 1 在 1 到 300 這 300 個(gè)自然數(shù)中，不含有數(shù)字 3 的自然數(shù)有 _ 個(gè). 【切題技巧】 利用分類枚舉法，按數(shù)的位數(shù)分類；即不含有數(shù)字 3 的一位數(shù)有幾個(gè); 不含數(shù)字 3 的兩位數(shù)有幾個(gè)；不含數(shù)字 3 的三位數(shù)有幾個(gè)，最后求出總數(shù). 【規(guī)范解答】 T不含有數(shù)

5、字 3 的一位數(shù)有 8 個(gè)；不含有數(shù)字 3 的兩位數(shù)有 72 個(gè); 不含有數(shù)字3 的三位數(shù)有 162 個(gè).不含有數(shù)字 3 的自然數(shù)共有 8+ 72 + 162= 242 個(gè). 【借題發(fā)揮】 分類枚舉法就是將所研究對(duì)象按某一標(biāo)準(zhǔn)分類，然后把研究對(duì)象的各 種可能一一列舉出來，最后數(shù)出總數(shù)的方法，這種方法要用到加法原理.在運(yùn)用枚舉法時(shí), 必須無一重復(fù)，無一遺漏，且枚舉法常與分類討論結(jié)合運(yùn)用，故稱為分類枚舉法. 【同類拓展】 1 .在 1000 以內(nèi)的自然數(shù)中，各位數(shù)字之和等于 16 的有多少個(gè)？ 考點(diǎn) 2 分步法計(jì)數(shù) 例 2 某城市街道如圖，一個(gè)居民要從 A 處前往 B 處, 如果規(guī)定，只能沿從左向

6、右或從上向下的方向走，那么該居 民共有幾條可選擇的路線？ 【切題技巧】 本例看起來復(fù)雜，但可以從簡(jiǎn)單情況入手 尋找規(guī)律，按從上向下，從左向右的順序，從簡(jiǎn)單情況分步來 看復(fù)雜問題.如先考慮簡(jiǎn)單情況如圖 （1）中的正方形，可知以 A 到 C 的方法有 2 種，再考慮如圖（2）中的情況，可以從 A 到 D 的方法共有 3 種 【規(guī)范解答】 從簡(jiǎn)單情況入手，先考慮如圖 （1）中的小正方形，不難發(fā)現(xiàn)， 從 A 到 C 共有 2 種方法；再考慮如圖（2）中的情況，同樣可知：從 A 到 D 共有 3 種方法從而可 總結(jié)出下述規(guī)律：到右下角終點(diǎn)的走法等于它所在小正方形右上角和左下角走法之和，故 依次標(biāo)出每個(gè)小

7、正方形的走法不斷累加，即可得到答案.3 由圖（3）可知共有 40 種走法. 【借題發(fā)揮】 （1）分步計(jì)數(shù)法就是指當(dāng)所研究對(duì)象較復(fù)雜時(shí)，為了有序而又正確地 思維，將問題分成若干步，最后求出各步的總數(shù). （2）在利用分步法計(jì)數(shù)時(shí)，要克服盲目 性和隨意性，一定要按照法則或順序進(jìn)行、從簡(jiǎn)單情況人手分步來思考復(fù)雜問題是解決問 題的常用技巧.（3）分步法常與分類法結(jié)合求解. 【同類拓展】 2 在期中考試中，同學(xué)甲、乙、丙、丁分別獲得第一、第二、第三、 第四名，在期末考試中，他們又是班上的前四名，如果他們當(dāng)中只有一位的排名與期中考 試的排名相同，那么排名情況有 _ 種可能；如果他們排名都與期中考試中的排名不

8、 同，那么排名情況有 _ 種可能. 考點(diǎn) 3 遞推過渡法計(jì)數(shù) 例 3 小美步行上樓的習(xí)慣是每次都只跨一級(jí)或兩級(jí)，若她要從地面（ 0 級(jí)）步行到 第 9 級(jí)，問她共有多少種不同的上樓梯的方式. 【切題技巧】 因?yàn)闃翘菖_(tái)階較多，我們可以先考慮以簡(jiǎn)單入手. （1）若只有 1 級(jí)臺(tái) 階，則只有唯一上樓梯方式； （2）若有 2 級(jí)臺(tái)階，則有兩種上樓梯的方式：一級(jí)一級(jí)地 上；一步兩級(jí)地上；（3）若有 3 級(jí)臺(tái)階，則有三種上樓梯的方式：一級(jí)一級(jí)地上， 先一級(jí)后2 級(jí)地上，先 2 級(jí)后 1 級(jí)地上 如此類推. 【規(guī)范解答】 設(shè)小美上第 n級(jí)樓梯有 an種上法，通過分析易知 a1= 1, a2= 2, a4=

9、5, an + 2= an+ 1 + an, n = 1, 2, 3，從而遞推可得： as= 8, a6= 13, a7= 21, as= 34, a9 =55.所以小美共有55 種不同的上樓梯的方式. 【借題發(fā)揮】 （1）當(dāng)研究對(duì)象比較復(fù)雜時(shí)，要很自然地想到從特殊到一般的思維方 式即從特殊的簡(jiǎn)單的情況人手探索變化的規(guī)律， （2）用遞推過渡法計(jì)數(shù)時(shí)先要從最簡(jiǎn)單 情況和特殊情況入手分析，發(fā)揮觀察、歸納猜想的思想方法，最終探索出變化規(guī)律，且在 探索一般的規(guī)律時(shí)，應(yīng)注意抓住問題的實(shí)質(zhì)為最后計(jì)數(shù)提供依據(jù). 【同類拓展】 3 平面上 n個(gè)圓（n為正整數(shù)），最多能把平面分成多少個(gè)部分？ 考點(diǎn) 4 加法原理

10、和乘法原理法計(jì)數(shù) 例 4 觀察如圖所示的圖形： 根據(jù)圖（1）、（2）、（3）的規(guī)律，則圖（4）中三角形的個(gè)數(shù)為 _ 4 【切題技巧】 通過觀察知：圖（1）中三角形的個(gè)數(shù)為：1 + 4= 5 （個(gè)）；圖 中三角 形的個(gè)數(shù)為：1 + 4+ 3X 4= 17（個(gè)）；圖 中三角形的個(gè)數(shù)為 1+ 4 + 3X 4+ 32X 4 = 53（個(gè)）， 由圖（2）（3）中三角形的個(gè)數(shù)的規(guī)律，可知圖 中三角形的個(gè)數(shù)為 1 + 4 + 3X 4+ 32X 4 + 33X 4 = 1+ 4+ 12+ 36 + 108= 161 （個(gè)） 【規(guī)范解答】 161 個(gè) 【借題發(fā)揮】 （1）按本例中圖（1）、（2）、（3）的圖

11、形規(guī)律，則圖（n）中三角形 的個(gè)數(shù)為：1 + 4 + 3X 4+ 32X 4 + 33X 4 + 3n1X 4 （個(gè)）.（2）當(dāng)研究對(duì)象為比較復(fù)雜 的計(jì)數(shù)問題中，我們常需要用到加法原理與乘法原理，而且還需要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分析， 從簡(jiǎn)單情形入手， 通過觀察、歸納、猜想，最后找出其變化規(guī)律， 再依據(jù)規(guī)律計(jì)算其個(gè)數(shù). 【同類拓展】 4. 一個(gè)三角形最多將平面分成兩部分， 兩個(gè)三角形最多將平面分成 8 個(gè)部分，10 個(gè)三角形最多將平面分成多少個(gè)部分？ n個(gè)三角形呢？ 例 5 分正方形 ABCD 的每條邊為四等分，取分點(diǎn)（不包括正方形的四個(gè)頂點(diǎn)） 為頂點(diǎn) 可以畫出多少個(gè)三角形？ 【切題技巧】 顯然構(gòu)成三

12、角形的 3 個(gè)頂點(diǎn)不可能共線，即 3 個(gè)頂點(diǎn)不可能在正方形 的同一邊上，故最多有 2 個(gè)頂點(diǎn)在正方形的同一邊上；又因?yàn)槿切雾旤c(diǎn)只能取分點(diǎn)，故 必須在正方形的邊上.因此只有兩種情況： （1）三角形的頂點(diǎn)分別在正方形的三邊長(zhǎng)； （2） 三角形的頂點(diǎn)分別在正方形的兩條邊上. 【規(guī)范解答】 分兩類計(jì)算： （1）第一類：如圖（1）三角形的頂點(diǎn)分別在正方形的在三條邊上首先，從 4 條邊中取 3 條有 4 種取法；其次從每條邊上取一點(diǎn)，各有 3 種取法，故總共計(jì)有 4X 3X 3X 3= 108 （個(gè)）三角形. （2） 第二類如圖（2），三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)位于正方形的一條邊上，而第三個(gè)頂點(diǎn)在正方 形的另一條邊上.首先，從 4 條邊取 1 條有 4 種取法，在這邊 3 個(gè)分點(diǎn)中取 2 點(diǎn)，也有 3 種取法；其次，從其余 3 邊中的 9 點(diǎn)中取 1 點(diǎn)，有 9 種取法，故共有 4 X 3 X 9= 108 （個(gè)） 三角形. 綜上所述，兩類合計(jì)，共有 216 個(gè)三角形. 【借題發(fā)揮】 （1）在使用加法原理和乘法原理時(shí)一定要明確兩者的不同之處：在用 加法原理時(shí)，完成一件事有 n類方法，都能完成這件事，而用乘法原理時(shí)，完成一件事情 可分為 n步，只有每一步都完成了，這件事情才得以完成. （2）運(yùn)用加法原理的關(guān)鍵在于 合理適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類，使所分類既不重復(fù)又不遺漏；