1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第五課 線性系統(tǒng)的根軌跡法教學(xué)目的：1 熟練掌握使用MATLAB繪制根軌跡圖形的方法。2 進(jìn)一步加深對(duì)根軌跡圖的了解。3 掌握利用所繪制根軌跡圖形分析系統(tǒng)性能的方法。教學(xué)內(nèi)容：1 用實(shí)驗(yàn)的方法求解根軌跡。在Matlab控制系統(tǒng)工具箱中提供了rlocus()函數(shù)，來繪制根軌跡，rlocus()的調(diào)用格式為：r=rlocus(g,k);式中的g為線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；k為用戶自己選擇的增益向量；返回的變量r為根軌跡上對(duì)應(yīng)向量k的各個(gè)增益點(diǎn)的閉環(huán)系統(tǒng)的根。如果用戶不給出k向量，則該函數(shù)會(huì)自動(dòng)選擇增益向量，在這種情況下，該函數(shù)的調(diào)用格式為：r,k=rlocus(g);式中向量k

2、為自動(dòng)生成的增益向量，r仍為對(duì)應(yīng)各個(gè)k值的閉環(huán)系統(tǒng)的特征根。例1 系統(tǒng)1的開環(huán)傳遞函數(shù)為：要求：（1）繪制并記錄根軌跡；（2）確定根軌跡的分離點(diǎn)與相應(yīng)的根軌跡增益；（3）確定臨界穩(wěn)定時(shí)的根軌跡增益。（1）參考程序：K=1;z=;p=0,-5,-2;num,den=zp2tf(z,p,K);rlocus(num,den)Matlab運(yùn)行時(shí)出現(xiàn)的根軌跡圖形窗口中，可以用鼠標(biāo)單擊所關(guān)心的根軌跡上的點(diǎn)，就出現(xiàn)有關(guān)這一點(diǎn)的信息，包括相應(yīng)增益、極點(diǎn)位置、阻尼參數(shù)、超調(diào)量、自然頻率。例2系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中引入一個(gè)附加的極點(diǎn)s=-a，即系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)榻o出，a分別為1，3，5時(shí)系統(tǒng)的根軌跡變化曲線。參考

3、程序：clearclcwn=2;xita=0.5;a=1,3,5;for i=1:length(a) G=tf(a(i)*wn2,conv(1,2*xita*wn,0,1,a(i); rlocus(G); axis(-8,5,-5,5) hold on disp('press any key to continue.') pause%系統(tǒng)暫停，按任意鍵繼續(xù)end結(jié)論：從以上三圖可以看出，引入負(fù)實(shí)極點(diǎn)后，系統(tǒng)的根軌跡左移；隨著引入極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，根軌跡左移得越多，系統(tǒng)越容易穩(wěn)定。例3 觀察上例中引入一個(gè)附加零點(diǎn)s=-b，b=1,3,5時(shí)，系統(tǒng)的根軌跡的變化情況。即系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

4、為參考程序：clearclcwn=2;xita=0.5;b=1,3,5;for i=1:3 G=tf(wn2*1,b(i)/b(i),1,2*xita*wn,0); rlocus(G); disp('press any key to continue.') pause hold onend結(jié)論：當(dāng)引入的零點(diǎn)處于原系統(tǒng)兩個(gè)極點(diǎn)之間，即b=1時(shí)，則系統(tǒng)的根軌跡全在實(shí)軸上；當(dāng)當(dāng)引入的零點(diǎn)處于原系統(tǒng)兩個(gè)極點(diǎn)左側(cè)時(shí)，則系統(tǒng)的根軌跡中有一部分形成原形。無論形成的是圓還是圓弧，都是以零點(diǎn)為圓心，以零點(diǎn)到分離點(diǎn)的距離為半徑。（2） 確定分離點(diǎn)與相應(yīng)的根軌跡增益控制系統(tǒng)工具箱中還提供了rlocf

5、ind()函數(shù)，該函數(shù)允許用戶求取根軌跡上指定點(diǎn)處的開環(huán)增益，并將該增益值下所有的閉環(huán)極點(diǎn)顯示出來。K,r=rlocfind(num,den)例4 假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為當(dāng)K從0變化到無窮時(shí)，系統(tǒng)的根軌跡可以通過以下的語句來給出。參考程序：clfGH=tf(1,conv(1,2,0,1,10);rlocus(GH);K,P=rlocfind(GH)選中根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，則交點(diǎn)處的增益及對(duì)應(yīng)的閉環(huán)特征根就顯示出來。>> Select a point in the graphics windowselected_point = -0.0000 + 4.1615iK = 208.11

6、56P = -11.7998 -0.1001 + 4.1985i-0.1001 - 4.1985i結(jié)論：由以上結(jié)論可以看出當(dāng)K=208.1156時(shí)，閉環(huán)的三個(gè)極點(diǎn)分別為：-11.7998，-0.1001 + 4.1985i，-0.1001 - 4.1985i。-11.7998與其它兩個(gè)極點(diǎn)相比，距虛軸距離較遠(yuǎn)，為非主導(dǎo)極點(diǎn)，其它兩個(gè)極點(diǎn)為主導(dǎo)極點(diǎn)，則該系統(tǒng)可降階為二階系統(tǒng)。因此系統(tǒng)的階躍響應(yīng)應(yīng)為振蕩收斂的形式。結(jié)論可用以下指令驗(yàn)證。GH=tf(K,conv(1,2,0,1,10);sys1=feedback(GH,1)step(sys1)請(qǐng)同學(xué)們用以上方法再驗(yàn)證根軌跡上以下的幾個(gè)特殊點(diǎn)的階躍響

7、應(yīng)曲線：a.根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。b.根軌跡上的分離點(diǎn)。c.右半平面上的點(diǎn)。（3）根軌跡的實(shí)際應(yīng)用范例例5 設(shè)控制系統(tǒng)2如圖所示，其中Gc(s)為改善系統(tǒng)性能而加入的校正裝置。若Gc(s)可從、三種傳遞函數(shù)中任選一種，分別作出相應(yīng)的根軌跡曲線，分析說明應(yīng)選擇哪一種校正裝置。R(s)Y(s)-參考程序：s=tf('s');Kt=1;Ka=1;%建立校正裝置Gc1,Gc2,Gc3的數(shù)學(xué)模型Gc1=tf(Kt*s);Gc2=tf(Ka*s2);Gc3=tf(Ka*s2/(s+20);%建立Go(s)的數(shù)學(xué)模型Go=tf(10*(s+20)/(s3+30*s2+200*s+1000);%

8、建立校正后的系統(tǒng)模型Gopen1=tf(Gc1*Go);Gopen2=tf(Gc2*Go);Gopen3=tf(10*Gc2/(s3+30*s2+200*s+1000);Gopen=Gopen1,Gopen2,Gopen3for i=1:3 figure(i) rlocus(Gopen(i)end結(jié)論：可見，加入校正裝置后改變了系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的分布。由根軌跡圖可知，加第一種裝置后，適當(dāng)選擇K，可使系統(tǒng)閉環(huán)阻尼為0.707，達(dá)到最佳工程阻尼比。（4）根軌跡設(shè)計(jì)器的使用Matlab控制系統(tǒng)工具箱里有一個(gè)根軌跡分析與設(shè)計(jì)的工具Rltool，在這個(gè)工具中，既可以分析系統(tǒng)根軌跡，也能對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)。特別是

9、在被控對(duì)象前向通道內(nèi)以設(shè)計(jì)零、極點(diǎn)方法來設(shè)計(jì)控制器時(shí)，該工具可以不斷觀察系統(tǒng)根軌跡響應(yīng)曲線的變化，看是否滿足性能要求。例6 已知系統(tǒng)開環(huán)的傳遞函數(shù)為：試用根軌跡設(shè)計(jì)器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償設(shè)計(jì)，使系統(tǒng)單位階躍給定響應(yīng)一次超調(diào)即衰減，并在根軌跡設(shè)計(jì)器觀察根軌跡圖與Bode圖，以及系統(tǒng)階躍給定響應(yīng)曲線。參考程序：n1=1;d1=conv(conv(1,0,1,0),1,10);sys=tf(n1,d1);rltool(sys)運(yùn)行程序后，系統(tǒng)自動(dòng)打開根軌跡設(shè)計(jì)器：從圖中可見，根軌跡位于S平面右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定，需要進(jìn)行補(bǔ)償校正。點(diǎn)擊Current Compensator輸入框，打開以下對(duì)話窗口：在窗口中輸入C的增益為60，引入一個(gè)附加負(fù)實(shí)數(shù)零點(diǎn)(-1.59)，系統(tǒng)根軌跡如下圖所示。打開主菜單中的ViewRoot LocusOpen-Loop Bode則窗口中同時(shí)出現(xiàn)有根軌跡圖和Bode圖。從Bode圖可以看出，補(bǔ)償校正后的系統(tǒng)是一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)，其頻域性能指標(biāo)優(yōu)良。選中主菜單項(xiàng)AnalysisResponse