1、淺談高中數學中的幾何概型泉州現代中學數學組 陳永生362000電何概型是高中概率部分的一個難點，高考中選擇、填空題、解答題都有所涉及。婆理解并靈 活應用兒何概型解決相關問題，需要從以下兒個方面把握：一、定義：事件a理解為基本事件空間的某一子區域a, a的概率只與子區域a的幾何度量（長 度、面積或休積）成正比，而與a的位置和形狀無關。滿足以上條件的試驗稱為兒何概型。它也有 兩個基本特點：一是一次試驗中，基本事件的個數是無限的；二是每一個基本事件發牛:的可能性是 均等的。在幾何概型中，事件a的概率定義為：_構成事件a的區域長度（面積或體積）（苴中u試驗的全部結果所構成的區

2、域長度（面積或體積）氏'/為區域0的幾何度量，“4為了區域a的幾何度量）。用幾何概率公式計算概率時，關鍵是構造岀 隨機事件所對應的兒何圖形，并對兒何圖形進行相應的兒何度雖。對于一些簡單的兒何概型問題， 可以快捷的找到解決辦法.二、與長度冇關的幾何概型例1.有一段長為10米的木棍，現要將其截成兩段，要求每一段都不小于3米，則符合要求的 截法的概率是多大？分析：由于要求每一段都不小于3米，也就是說只能在距兩端都為3米的中間的4米中截，這 是一道非常典型的與長度有關的幾何概型問題。42解：記兩段木棍都不小于3米為事件a,貝ijp（a）= = -o105例2：某人欲從某車站乘車出差，已知該站發

3、往各站的客車均每小時一班，求此人等車時間不 多于10分鐘的概率。分析：假設他在060分鐘之間任何一個時刻到車站等車是等可能的，但在0到60分鐘之間有 無窮多個時刻，不能用古典概型公式計算隨機事件發牛的概率。可以通過兒何概型的求概率公式得 到事件發生的概率.因為客車每小時一班，他在0到60分鐘z間任何一個吋刻到站等車是等可能的, 所以他在哪個時間段到站等車的概率只與該時間段的長度冇關，而與該時間段的位置無關，這符合 幾何概型的條件。解：設a=等待的時間不多于10分鐘,我們所關心的事件a恰好是到站等車的時刻位于50, 60這一時間段內，因此由兒何概型的概率公式，得p（a）= 60-50二丄 即此人

4、等車時間不多于1060 6分鐘的概率為丄。6口三、與面積有關的兒何概型例1：-海豚在水池中自由游弋,水池為長30米，寬20米的長方形。求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過2米的概率。解：p(a)=叢二30x20-26x1618423 八"30x2060075例2：如圖，以正方形abcd的邊長為直徑作半圓，重疊部分為花瓣。現在向該矩形區域內隨 機地投擲一飛鏢，求飛鏢落在花瓣內的概率。解：飛鏢落在正方形區域內的機會是均等的，符合兒何概型條件。記飛鏢落在花瓣內為事件a,設正方形邊長為2“則"紜如宀4-(巧一 20o所以，飛鏢落在花瓣內的概率為蘭二2。2 丿dc四、與角度有關的兒何概型例1.

5、等腰rtaabc中,zc=90°,在直角邊bc上任取一點m,求zcam<30°的概率。2. 等腰rtaabc中,zc=90°,在zcab內作射線交線段bc于點m,求zcam<30°的概率。cc分析：此題組中的兩個問題，很顯然都是幾何概型的問題，但是考察的測度不一樣。問題1的 r/?測度定性為線段長度，當zcamo=30°時，cm()= ac = cb,合條件的點m等可能的分布在線 33段cm。上，所以所求概率等于= o而問題2的測度定性為角度，過點a作射線與線段cb cb 3/cam?相交,這樣的射線有無數條，均勻分布在內sb北所以

6、所求概率等于之訂汁丁五、與體積有關的兒何概型例1.在500ml的水中有一個草履蟲，現從屮隨機収出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，求發現草履蟲的概率？分析：草履蟲在這500毫升水中的分布町以看作是隨機的，取得的2毫升水樣可視作構成事件的區域，500毫升水可視作試驗的所冇結果構成的區域，可用“體積比”公式計算其概率。解：取出2毫升水樣，其屮“含有草履蟲”這一事件記為a,貝up(a)=叢二=0.004 o“°500例2.已知正方體abcdabgdi內有一個內切球0,則在正方體abcdabcd內任取點m,求點m在球0內的概率？解：設正方體的邊長為2a,則p(a) =六、科學設計變量，數形結合解決

7、問題例1兩人相約7點到8點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時離去，求兩人能夠會面的概率。解：設兩人到達的時間分別為7點到8點之間的x分鐘、y分鐘。用（x,y）表示每次試驗的結果, 則所有可能結果為: =（y）|0<x< 60,0<y<60）.記兩人能夠會面為事件a,則事件a的可能結果為:4= （x, y）y-x< 20,0 <x< 60,0 <y < 60如圖所示，試驗全部結果構成區域q為正方形abcdc而事件a所構成區域是正方形內兩條直 y-x = 2x-y = 20,所夾中間的陰影部分。根據兒何概型公式，得到:6039所以，兩人

8、能夠會面的概率為右例2.條直線型街道的a、b兩盞路燈z間的距離為120米，由于光線較暗，想在中間再隨意 安裝兩盞路燈c、d,順序為a、c、d、bo問a與c、b與d之間的距離都不小于40米的概率是多 少？解：（1）構設變量。設a與c、b與d之間的距離分別為x米、y米。（2）集合表示。用q表示每次試驗的結果，則所有可能結果為： = （2；y）|0 <x+y <120,x>0,y>0記a與c、b與d之間的距離都不小于40米為事件a,則事件a的可能結果為x=（x,y）|x>40,y>40,0 <x + y <120）o（3）作出區域，如圖所示，試驗全部結

9、果構成區域q為直線與兩坐標軸所圍成的aabc,而（4）計算求解.根據幾何概型公式，得到:事件a所構成區域是三條直線，兀+ y = 20, x = 40 y = 40所夾中間的陰影部分。40a-j-x1201 ° 2所以，a與c、13與d之間的距離都不小于40米的概率為丄。9例3：假設你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6： 307： 30 z間把報紙送到你家，而你 父親離開家去工作的時間在早上7： 008： 00之間，問你父親在離開家前能得到報紙（稱為事件a） 的概率是多少。分析：1、這是一個兒何概型的例子，可以用兒何概空的公式來解決。2、設送報人到家的吋間為x,父親離開家的吋間為y。

10、3、事件a發生的條件：xwy4、建立坐標系，試驗的金部結果構成的區域q = （xy）6 5wxw7. 5, 7wyw8,這是一個正方形區域，面積二1。5、條件a構成的區域a=(x, y) | yx, 6. 5wxw7 5, 7wyw8,1111 x x p(a)=-1x18兒何概型并不是研究與兒何有關的概率模型，兒何概型與兒何沒有直接的關系，而是實際牛活 中的某些問題我們可以通過兒何圖形去合理的描述，然后用兒何知識解決這個問題，所以把它稱為 幾何概型。因此很多少實際生活有關的概率問題，只要滿足幾何概型的兩個特點，將古典概型屮的 有限性推廣到無限性，而保留等可能性,都可以用幾何概型去刻畫,新課程的實施,進一步要求我 們，在高中數學教學中重視并幫助學生對知