1、伊犁師范學院物理科學與技術學院2013 屆本科畢業論文論文題目：對稱性在電磁學中的應用討論作者姓名：阿布都外力·吾甫爾班級：08-1班專業：物理學學號：指導教師：帕爾哈提·蘇北講師完成時間 ：2012年 05 月 25 日物理科學與技術學院二一三年五月對稱性在電磁學中的應用討論內容摘要對稱性是電磁學中的一個重要概念，在物理學研究中占有重要地位，是現代物理學中的主角，也是電磁學理論的重要組成部分。對稱性要求對自然定律的形式是一條強有力的限制。本文從普通物理教學的角度簡要地介紹了對稱性的概念和原理，并結合對稱性原理在電磁學中的若干應用舉例，比較詳細地闡述了應用對稱性原理解題的一

2、般思路和方法。關鍵詞 ：對稱性電磁學應用Maxwell 方程組目錄引言1一、對稱性的定義及其分類. . 11. 對稱性的定義12. 對稱操作與對稱性23. 對稱性的分類2（1） 直觀對稱2（2） 抽象對稱3（3） 數學對稱44. 對稱破缺4二、對稱性在電磁學中的應用52.1 一般對稱性問題52.2 高斯定理與對稱性62.3 安培環路定理與對稱性82.4Maxwell 電磁理論的對稱性9三、結語114.1 參考文獻. . 11致謝 . . 13引言在力學中 , 我們都知道對稱性的重要作用 , 只要對稱性成立 , 可以由它導出三大守恒定律 : 能量、守恒、動量守恒和宇稱守恒 , 三大守恒定律在力學

3、中有著巨大的作用 , 而在電磁學中 , 對稱性同樣也有著非常重要的作用。一、對稱性的定義及其分類1. 對稱性的定義對稱性（ symmetry）是對一個事物進行一次變動，如果經過此變后，該事物完全復原，則稱該事物對所經歷的變動是對稱的，而此變動就叫做對稱性。人們在觀察和認識自然的過程中產生的一種觀念。對稱性可以理解為一個運動，這個運動保持一個圖案或一個物體的形狀在外表上不發生變化。在物理學中存在著兩類不同性質的對稱性：一類是某個系統或某件具體事物的對稱性，另一類是物理規律的對稱性。物理規律的對稱性是指經過一定的操作后，物理規律的形式保持不變。因此，物理規律的對稱性又稱為不變性。對稱性（ symm

4、etry）是現代物理學中的一個核心概念，它泛指規范對稱性（ gauge symmetry) , 或局域對稱性（ local symmetry ）和整體對稱性（ global symmetry ）。它是指一個理論的拉格朗日量或運動方程在某些變數的變化下的不變性。如果這些變數隨時空變化，這個不變性被稱為局域對稱性，反之則被稱為整體對稱性。物理學中最簡單的對稱性例子是牛頓運動方程的伽利略變換不變性和麥克斯韋方程的洛倫茲變換不變性和相位不變性。數學上，這些對稱性由群論來表述。上述例子中的群分別對應著伽利略群，洛倫茲群和 U(1) 群。對稱群為連續群和分立群的情形分別被稱為連續對稱性（ continuo

5、us symmetry）和分立對稱性 (discrete symmetry)。德國數學家威爾 (Hermann Weyl) 是把這套數學方法運用物理學中并意識到規范對稱重要性的第一人。二十世紀五十年代楊振寧和米爾斯意識到規范對稱性可以完全決定一個理論的拉格朗日量的形式，并構造了核作用的SU(2) 規范理論。從此，規范對稱性被大量應用量子場論和粒子物理模型中。在粒子物理的標準模型中，強相互作用，弱相互作用和電磁相互作用的規范群分別為SU(3)，SU(2) 和 U(1) 。除此之外，其他群也被理論物理學家廣泛地應用，如大統一模型中的 SU(5) ，SO(10)和 E6群，超弦理論中的SO(32)。

6、考慮下面的變換：將位于某根軸的一邊的所有點都反射到軸的另一邊，從而建立一個系統的鏡像。如果該系統在操作前后保持不變，則該系統具有反射對稱性。反射下的不變性（比如人體的兩邊對稱性）與轉動下的不變性（比如足球的轉動對稱性）相當不同。前者是分立對稱性，而后者是連續對稱性。連續對稱性對任意小變換均成立，而分立對稱性卻有一個變換單位，兩者在物理學中都起重要作用。2對稱操作與對稱性德國數學家魏爾 (HWeyl) 在 1951 年給對稱性的普遍的嚴格定義：對一個事物進行一次變動或操作，如果經過此操作后，該事物完全復原，則稱該事物對所經歷的操作是對稱的，而此操作就叫做對稱操作。由于操作( 變換 ) 方式不同可

7、以有若干種不同的對稱性。 （ 1）空間反演操作與鏡像對稱。空間反演操作類似于物體的平面鏡成像，具有對某一軸線或平面的對稱性。如物理學中的位置矢量， 經過空間反射后， 與鏡面垂直的分量反向，與鏡面平行的分量則不變。(2) 空間平移對稱操作與平移對稱。當某一物理規律經過坐標平移后仍與原規律相同，則為平移對稱。例如，我們將進行物理實驗的全套儀器從北京運到上海，在兩地會得到相同的物理定律，即物理定律具有空間平移對稱性。(3) 空間旋轉對稱操作與轉動對稱。例如，太陽繞通過其中心的任意軸旋轉某一角度后，其現狀與原狀一樣。進行物理實驗的儀器轉動某一角度后，所得到的物理規律不會因空間的轉動而發生變化，即物理定

8、律具有空間轉動對稱性。(4) 時間平移對稱操作與時間對稱。我們所熟悉的24 小時的晝夜循環，在時間上就表現出具有周期性的平移對稱；周期性變化的單擺只對周期T 及其整數倍的時間平移變換對稱。空間對稱性和時間對稱性是最基本的、最常見的對稱性，統稱為時空對稱性。另外，量子力學中全同粒子互換后，得到具有交換對稱性的哈密頓算符，全同粒子體系波函數的對稱性不隨時間的平移而改變。3對稱性的分類在自然界千變萬化的運動演化過程中，運動的多樣性顯現出了各式各樣的對稱性。（ 1） 直觀對稱對稱性的概念最初來源于生活，也就是直觀唯象對稱性，是許多事物所顯示的直觀形象的對稱。直觀對稱又表現為空間的、時間的和物理知識表達

9、形式上的對稱。空間對稱表現為：人體的左右對稱、雪花的完美的六角對稱、我國古代的宮殿、廟宇和陵墓建筑的對稱設計、正電荷與負電荷、反射與折射、杠桿的平衡、單擺的運動和磁場的南北極等。時間對稱表現為：音樂的等間隔重復節奏、地球的周期性公轉和自轉、勻強電場不隨時間發生變化等。物理學知識，如概念、規律、公式等，在表達式上也表現出明顯的直觀對稱。對稱的數字、公式和圖像是數學形式美的重要標志，因為中心對稱、軸對稱、鏡像對稱都是令人愉悅的形式。如晶體結構具有一定的幾何學上的對稱性；描述電磁場規律的麥克斯韋方程組具有形式上的對稱性等。天文學家歷來喜歡用對稱的幾何圖形來描述天體運行的軌道，如亞里士多德、托勒密、哥

10、白尼、開普勒等。例如，托勒密的地心說認為，各行星都在一個較小的圓周上運動，而每個圓的圓心則在以地球為中心的圓周上運動。 他把繞地球的圓叫“均輪”， 每個小圓叫“本輪”。同時假設地球并不恰好在均輪的中心，均輪是一些偏心圓；日月行星除作上述軌道運行外，還與眾恒星一起，每天繞地球轉動一周。托勒密這個不反映宇宙實際結構的數學圖景，卻較為完滿地解釋了當時觀測到的行星運動情況，并在航海上取得了實用價值，被人們廣為信奉。后來，天文學家哥白尼從對稱美的角度考慮了宇宙的結構，他發現“地心說”的體系過于復雜，難以反映宇宙體系的和諧、統一。他以嶄新的日心模型為出發點，建立了對稱性更高的“日心說”來解釋天體運行規律。

11、（ 2）抽象對稱隨著人類認識的深入和發展，科學家面臨著越來越多的抽象問題，許多問題僅僅依靠簡單直觀的對稱圖像難以解決。這時抽象對稱性就起到了重要的作用。抽象對稱性是將對稱的直觀表象和抽象思維相結合，從得出的某一個概念、規律或理論中反映出新的對稱性，是人類思維活動對于對稱性的更深層次的認識和理解。統計力學和誤差理論中的概率思想，就是一種抽象對稱：分子熱運動在三維空間各自由度上發生的概率都相等；氣體對容器的壓強處處都相等。例如，德布羅意從對稱思想認識到： 19 世紀科學家對于光學的研究過于強調了波動性，忽視了粒子性的研究方法；而對于物質的研究則過分強調了物質的粒子性，而忽視了物質的波動性。他認為物

12、質也應該具有與粒子性相對稱的波動性，提出了物質波假說。再如，1931 年，狄拉克運用對稱思想提出了磁北極和磁南極是可以分開而單獨存在的學說，稱為磁單極子理論。他的這一預言雖然至今未被確證，但許多物理學家正在通過各種實驗探尋磁單極子。（ 3）數學對稱數學對稱是指，如果某一現象( 或事件 ) 在某一數學變換下不變，那么該現象 ( 或事件 ) 就具有該變換所對應的對稱性，也叫做數學變換下的不變性。而在某種變換下不變的理論叫做對稱理論。數學對稱是比抽象對稱更加深刻的對稱性，通常用群論來描述對稱性。如物理定律在洛侖茲變換下保持形式不變，就是數學對稱性的體現。 在愛因斯坦建立相對論的過程中，數學對稱性起到

13、了重要作用。愛因斯坦認為，自然科學的理論不僅要求一些基本概念或基本方程具有形式上的對稱性，而且要求理論本身具有內在對稱性。愛因斯坦把現實的三維空間加進了時間因素，把三維空間的對稱概念拓展到了四維時空空間，探討高維空間的對稱性。4. 對稱破缺物理學中的對稱性意味著守恒律的出現。對稱破缺是當系統由于某種原因失去了原有的對稱性后， 一定會進入到另一個與以前完全不同的狀態，這就是對稱性破缺的概念。例如，水是各向同性流動的液體，水分子在水中沿各個方向運動皆可，但當溫度下降到零度以下時，水結成了冰，水分子在冰中按一定的擇優方向排列，形成了冰的幾何結構，對稱性降低，不再保持原來水中各向同性的對稱性，即發生了

14、對稱性破缺。對稱性破缺也是電磁學的重要概念。電磁學中的對稱破缺，是指由于某一種對稱被破壞，引發出了更深化的思維認識，從而展現出物理學更高層次的對稱。如核子同位旋守恒遭電磁作用和弱作用破壞時表現出來的破缺；鐵磁性材料，人們有時俗稱為吸鐵石或磁石，在這類材料中，由于磁性原子之間的交換作用，使之具有自發磁矩，對外呈現出磁性，稱為磁有序；但當溫度升高到一個臨界溫度（稱之為居里溫度）以上時，磁性原子的磁矩在熱運動的作用下呈現出混亂的排布，導致鐵磁性材料失去磁性，這個狀態稱為順磁性，在沒有磁場時 , 其磁矩排布是一種無序狀態。在順磁狀態下 , 磁矩分布雜亂無章，具有較高的對稱性，在居里溫度以下時，磁矩朝某

15、一個方向擇優分布，出現磁有序，對稱性隨之降低，原有的對稱性發生破缺，出現了有序相，對外顯示出磁性。這種對稱性的缺失無需外來的激勵，稱為對稱性自發破缺，因此，鐵磁有序相的出現必然伴隨著對稱性的自發破缺；鐵磁材料中空間各向同性的破壞；真空對稱性的自發破缺等。二、對稱性在電磁學中的應用在電磁學中，對稱性也有著廣泛的作用。以下將從幾個方面分數對稱性在電磁學中的若干具體的作用。2.1一般對稱性問題例 1 求圖 1 所示，半徑為 R 帶電為 Q的均勻帶電細圓環軸線上一點的電場強度。圖 1解：以中心軸為 X 軸，取微元電荷dE dq / 4 0 r 2dl / 4 0 r 2dE IIdE cosxd /

16、4 0r 2因對稱， dE 相互抵消。故EE IIdEIIQx / 4 02R232x方向X軸如果上述問題改為一個帶電細棒，求其中心軸線的場強分布，則根據對稱性，其場強沿中心軸線分布，其計算有相似的方法，于此不在贅述。例 2 求一段長為 2L, 線電荷密度為 的帶電細棒在中心軸線處 P 點所產性的場強。設 P點與帶電細幫的垂直距離為 l ，如圖 2圖 2分析 場強是矢量，求場強需要解出每個分量的大小。不過此題有一個顯著的特點，就帶電細棒關于其中垂線對稱，因此我們可以建立如圖所示坐標系。則細棒上微元在點產生的電場在 y 軸方向上的分量（我們記做）必然會與（與關于軸線對稱）在點產生電場的相應分量抵

17、消。因此我們只需考慮軸方向上的電場分量，對其求積分即可。易得dEx dE cosdxcosldx40r240 ( x2l2)32LL所以 E E xdEx2 0 l( L2l 21L) 2其次，可以用對稱性結合靜電場高斯定理求解電場強度以及利用對稱性結合磁場的環路定理求解磁場強度這部分內容是電磁學教學中的重點，也是學生學習和理解的難點。靜電場的高斯定理是點電磁學中一個重要定理，隨然定理并不涉及場源（帶電體）的對稱性，但是用它來求解對稱分布的帶電體的場強卻是學生必須掌握的內容。在這一類題目中，仔細分析帶電體的對稱性是問題的關鍵，因為我們需要根據帶電體的對稱性選取適當高斯面。2.2高斯定理與對稱性

18、求如圖 2 所示半徑為 R，電荷線密度為 的無限長均勻帶電圓柱面在柱內外產生的電場度。解：因電荷柱對稱，電場柱對稱：E 沿徑向，且距軸線r 想等處 E 大小相等。過場點作與帶電柱面同軸的柱形高斯面S，（見圖 3）（圖 3）其高位 h, 于是有 ：EdS()E dSL上底下底側 面002 rhEqint0當 r R :qint0E0當 r R :qinthE( 20 r )有的題目故意讓帶電體的對稱性發生“殘缺”，這時就需要靈活處理了，如下例：例 2 如圖 2，在一個半徑為，帶電體密度為均勻帶點球體內挖去一個半徑為的球形空腔 （）。設空腔中心與帶點球體的球心之間的距離為，求空腔內任一點處的場強。

19、分析對于球對稱體系的處理我們很熟悉，不過這里由于空腔的存在，體系不再具有“球對稱性”，但是我們可以通過“補償法”講不對稱條件化為對稱條件，從而簡化問題。先用體密度為 半徑為的均勻帶電小球填充空腔，使球體變為完整的帶電球（記為球 1）；再用體密度為 ，半徑為的均勻帶電小球（記為球2）置于空腔中，使得電荷分布與實際情況相同. 這樣腔中任何一點的場強可用球 1，球 2 所產生的場強疊加來求解，即：設到的位失位，由高斯定理得E dS E1 4 r1 24r1 3s130解之可得： . 考慮方向：同理，設到的為失位，由高斯定理可以解得球2 在點產生的場強為（大小）（矢量形式）可以得到：E pE1E 2(

20、 r1r2)L3030因此在空腔內是均強電場，大小是，方向與相同。2.3 安培環路定理與對稱性磁場的安培環路定理與靜電場高斯定理一樣，本身的內容不涉及電流體系的對稱性，但是具體到計算則必定與一定對稱分布的電流體系相聯系。例 3 一無限大載流導體薄板，單位寬度的電流為，求導體板周圍磁感應強度的大小。分析 如果我們先從場強疊加考慮，導體板可以視為無窮多個小線電流，任一點處的磁感應強度是這些小線電流產生的磁感應強度的矢量疊加。但是，這樣一來我們的計算十分繁瑣，盡管我們的想法是正確的（也可以得出正確結果）。由于導體板是無限長的， 使得我們可以從空間對稱的角度來考察問題。顯然，如果我們做一個矩形回路(

21、如圖3) ，是與關于薄板對稱，圖 4那么、上的磁感應強度大小處處相等，方向分別沿、方向，并且、上的磁感應強度方向分別與垂直。有安培環路定理，考慮沿的回路積分有Bdl0I iBdlBdlBdlBdlBl0Bl00 lIabbccdda解得：。例 4求如圖所示總匝數為 ，電流為的密繞圓螺繞環的磁場分布。（圖 5）解：因是在流密繞螺繞環，磁場軸對稱。距軸線處磁場大小相等，方向沿切線。作同軸圓形環路（見圖 5），根據安培環路定理有：環在管內環管內磁場（2）環在管內環管外磁場。2.4 Maxwell電磁理論的對稱性在電磁學中，亥姆霍茲定理已知，場源的分布決定場的分布，而場的性質是由場的通量、環流即高斯定

22、理和安培環路定理描述，源的性質由源的散度、旋度描述，場矢量由場源唯一確定。根據對稱性原理，當場源具有某種對稱性時，場的分布也具有相同的對稱性。Maxwell 方程組是電磁學的核心和靈魂， 其所概括的電磁學基本規律，也必具有對稱性。 Maxwell方程組高度地概況了電場，磁場的基本性質，以及電場和磁場之間相互激勵的普遍規律，方程組簡潔、優美，具有融洽的對稱性。電場磁場( 庫倫力公式)(安培力公式) (電場的疊加)（磁場的疊加）(庫侖定律)(比奧 - 薩伐爾定律)( 電場中的高斯定律)（高斯的磁場定律）( 電場中的環路定律)（安培的全電流定律）E dLBdS;EB （法拉第的電磁感應定律）1ttH

23、 dL( JD ) dS;H JD （位移電流；總電流定律）1ttMaxwell 方程積分形式微分形式由于是極矢量，可以得出點電荷的場強必定是球對稱的，由此可得出場強沿任意閉合回路積分恒定與零，即即得靜電場是無旋的。同樣由于磁感應強度是軸矢量，可得出電流元的磁感應強度必定具有軸對稱性，由此可得出磁感應強度曰沿任意閉合曲面的積分恒等于零，即得出磁場是無源的。由此可見，靜電場的有源無旋性和恒磁場的無源有旋性是由為極矢量以及為軸矢量的性質決定的，也就是說，它們是由和的空間反射對稱性或鏡像對稱性決定的。三、結語綜述 ,對稱性是自然界非常普遍的現象，大到宇宙小到原子分子，都具有不同程度的對稱性。對稱性概

24、念事實上, 對稱性已經廣泛地應用物理學及相關學科的各個方面, 它不僅是現代物理理論的重要組成部分, 更是人們認識自然的一個重要理論工具。在普通物理這一層次的教學中, 鑒于對稱性在電磁學解題中的重要作用。由論文中的一些應用舉例我們可以加深的理解對電場和磁場的一些分布問題，可以先從對稱性原理的角度作定性分析，再結合半定量的分析與計算得到求解。實際上我們平時在解決一些具體問題時，都自覺或不自覺的用到了對稱性原理。比如大學物理電磁學中，一般對稱性問題、高斯定律與安培環路定律、Maxwell 電磁理論固然廣泛使用，但對于實際問題，必須把握系統的對稱性，才能真正運用這些定律對問題作簡單化求解。電磁學的理論

25、體系，在分析具有對稱分布的電荷、電流的、電磁場問題中，合理的應用對稱性原理進行分析，往往可以使得分析過程簡化而明晰，有助于學生對電磁學基本原理的理解和學習，同時可以避免使用場強疊加原理分析而帶來的復雜的積分運算。在電磁學教學中，有意識的把握這種對稱性，重視引導學生從對稱性的角度思考問題對提高教學效果、培養學生的抽象思維能力有積極的作用。參考文獻1郭亮對稱性原理在電磁學中的運用J 喀什師范學院學報2003 年 03 期2田曉岑，張萍也談均勻磁場中旋轉的中性軸對稱導體上的電荷分布J 大學物理 2001年 4月 第 4期3何熙起 均勻磁場中旋轉的軸對稱導體上的電荷分布析J 大學物理 2003年4月第

26、4期4程正則，吳曉松MaxweII 電磁理論的對稱性J 咸寧學院學報， 2009年6月第3期5邢霖，殷中偉對稱性分析在電磁學中的應用J 承德民族師專學報，2005年 5 月第 2期6李新對稱性原理及其在電磁學中的應用J黃岡師范學院學報，2005年 6 月第3期7張先普淺談對稱性及在電磁學中的應用J黃石教育學院學報，1989年第一期8梁紹榮，劉昌年，盛正華，主編梁紹榮，管靖 ， 王天泰修訂普通物理學電磁學M ， 第三分冊第三版，高等教育出版社，2005 年 12月 9梅尚明，劉增賢，王匯淳，王智秋高等幾何（第二版）M 高等教育出版社1983年 11月第1版致謝在寫論文的過程中，我特別感謝指導老師

27、付清榮，在他的精心指導、幫助下完成了畢業論文，雖然我遇到了不少困難，但在這期間鞏固學。他嚴肅的科學態度，嚴謹的治學精神，精益求精的工作作風，深深地感染和激勵著我。老師不僅在學業上給我以精心指導，同時還在思想、學習生活上給我以無微不至的關懷，在此謹向老師致以誠摯的謝意和崇高的敬意。我還要感謝在一起愉快的過渡畢業論文小組的同學們，正是由于你們的幫助和支持，我才能克服一個一個的困難和疑惑，直至本文的順利完成。在整個實驗過程中學到了不少的知識，為今后寫論文大下了很多的基礎。在論文即將完成之際，我的心情無法平靜，從開始進入課題到論文的順利完成，有多少可敬的師長，同學，朋友給了我們無言的幫助，在這里請接受

28、我們的誠摯的謝意！以下免費送您一百個優秀畢業論文題目，供參考。1. 企業集團激勵與績效評價問題研究2.XXX 地區中小企業財務管理現狀問題研究3.XXX 地區上市公司盈利質量實證研究4.XXX 地區企業集團整合過程中的財務問題研究5.XXX 地區中小企業的信用擔保體系問題研究6.XXX 地區上市公司財務預警問題研究7. 企業并購前后財務狀況變化問題研究8. 以平衡計分卡為核心的績效評價體系研究9.EVA 在企業績效評價中的作用研究10. 關于我區中小企業引入風險投資問題研究11. 我國上市公司經營目標的實證分析12. 對內含報酬率法的再思考13. 利用平衡計分卡落實戰略的案例分析14. 基于

29、EVA的企業業績評價指標體系的構建與實施研究15. 基于不同發展周期的企業財務戰略選擇研究16. 集團公司全面預算目標的制定與分解17. 現金流量折現法在評估公司戰略中的應用分析18. 財務指標與非財務指標在評估管理者業績中的應用擬合19. 我國企業財務管理目標的現實選擇20. 財務管理目標與企業財務核心能力問題研究21. 企業財務管理中運用稅收籌劃的探討22. 建立以財務管理為核心的資源配置制度23. 財務預警系統在財務管理中應用評價24. 基于 Excel 的財務預警模型研究25. 中西部地區中小企業財務戰略選擇問題研究26. 中小企業納稅籌劃問題研究27. 企業投資過程中的納稅籌劃問題研

30、究28. 企業集團納稅籌劃問題研究29. 企業納稅籌劃中的風險規避問題研究30. 從公司治理結構透視財務管理目標31. 作業成本管理模式及其應用研究32. 論管理層并購在我國的運用33. 企業并購中的財務風險與防范34. 跨國公司財務管理策略及其在我國的實踐35. 關于上市公司并購的財務分析36. 跨國公司財務管理體制的比較與選擇37. 跨國公司財務管理策略及其在中國的實踐38. 全球化與財務管理發展趨勢及其模式選擇39. 財務治理與財務管理之異同40.EVA 對傳統財務管理的沖擊41. 企業財務管理機制重塑問題探討42. 財務管理發展的文化分析43. 利益相關者合作模式下的財務管理目標選擇44. 行為財務管理探索以價值管理為中心45. 上市公司股利政策實證研究46. 公司治理結構與財務管理目標問題研究47. 產權理論分析與