1、數學分析B 計算實習題目第二題 1 算法設計方案1. 總體思路：由于需要四種方法進行細化，所以大體需要四個模塊，實際上采用在main函數里面進行聲明和調用幾個子函數，f1(),f2(),f3(),分別是線性插值，二次插值和三次插值，prepare()函數用于求關于Mi的線性方程的參數，chase()函數用于采用追趕法求出Mi，three_moment()函數用于求出三彎矩法的y表達式，求出各種方法下的y的表達式后，進而x就容易求了，利用final_data()函數將數據輸出，在matlab下畫出細化后的輪廓線。2. 線性插值：插值法均采用牛頓法，d用于存放一階差商值，這個值不僅在線性插值中要用

2、，在二次插值與三次插值中都需要它進行計算，同理，二次插值中的二階差商也要用作三次插值中的計算。線性插值算出一階差商后基本就可以代入公式得到y的表達式了。3. 二次插值：每三個點為一個插值區域，共六個插值區域，利用差商表計算得出二階差商，展開牛頓二次插值多項式，得出結果。4. 三次插值：每四個點為一個插值區域，共四個插值區域，這時計算量就已經有點大了，為簡化運算，采用不單獨計算，而是在二次插值的基礎上進行計算，利用二次插值的已有數據，但是有兩個二次插值在二次插值函數中并沒有得到計算，即f(x3,x4,x5)和f(x7,x8,x9)，所以在二次插值函數中要添加相關代碼。5. 樣條插值：計算最為復雜

3、，但其實并不比三次插值容易錯，因為只是公式很多，所以化為三個函數來完成，每個函數負責一部分計算。6. 輸出數據：前面的計算只是算出公式，對于不同的插值法，y的分段表達式不一樣，采用if，else if語句以及for循環并用到了pow()函數算冪，完成對表中數據x從1到190的細化。2 全部源程序#include<stdio.h>#include<math.h>double x13=0.00,4.74,9.50,19.00,38.00,57.00,76.00,95.00,114.00,133.00,152.00,171.00,190.00;double y13=0.00,

4、5.32,8.10,11.97,16.15,17.10,16.34,14.63,12.16,9.69,7.03,3.99,0.00;double d12=0;/存放一階差商double da12=0;/存放線性插值常數項double dt8=0;/存放二階差商double dta8=0;/存放二階插值x項系數double dtb8=0;/存放二階插值常數項double ddt4=0;/存放二階差商用作計算三階差商double dth4=0;/存放三階差商double dtha4=0;/存放三階插值附加x2項系數double dthb4=0;/存放三階插值附加x項系數double dthc4=0

5、;/存放三階插值附加常數項double h13=0;/存放樣條插值的一些參數double a13=0;double b13=0;double c13=0;double e13=0;double p13=0;double q13=0;double z13=0;double m13=0;double ta12=0;double tb12=0;double tc12=0;double td12=0;double ans1190=0;double ans2190=0;double ans3190=0;double ans4190=0;void main()/調用幾個子程序void f1(); /線性插

6、值void f2();/二次插值void f3();/三次插值void prepare();/樣條插值計算關于Mn的線性方程組的有關參數void chase();/追趕法解線性方程組void three_moment();/三彎矩法void final_data();f1();f2();f3();prepare();chase();three_moment(); final_data(); void f1()/線性插值函數int i=0;printf("分段線性插值法：nn");for(i=0;i<12;i+)di=(yi+1-yi)/(xi+1-xi);dai=yi

7、-di*xi;printf("插值區間：(%6.2f,%6.2f)t ",xi,xi+1);printf("插值函數：P1(x)=%6.2fx+%6.2fn ",di,dai);for(i=0;i<=190;i+)/計算具體數據if(i<5)ans1i=d0*i+da0;else if(i<10)ans1i=d1*i+da1;else if(i<20)ans1i=d2*i+da2;else if(i<39)ans1i=d3*i+da3;else if(i<58)ans1i=d4*i+da4;else if(i<7

8、7)ans1i=d5*i+da5;else if(i<96)ans1i=d6*i+da6;else if(i<115)ans1i=d7*i+da7;else if(i<134)ans1i=d8*i+da8;else if(i<153)ans1i=d9*i+da9;else if(i<172)ans1i=d10*i+da10;else if(i<191)ans1i=d11*i+da11;void f2()/二次插值int i=0;printf("nn");printf("二次插值法;nn");for(i=0;i<6

9、;i+)dti=(d2*i+1-d2*i)/(x2*i+2-x2*i);dtai=d2*i-dti*(x2*i+x2*i+1);dtbi=y2*i-d2*i*x2*i+dti*x2*i*x2*i+1; printf("插值區間：(%6.2f,%6.2f) ",x2*i,x2*i+2);printf("插值函數：P1(x)=(%6.5fx2)+(%6.3fx)+(%.2f)n ",dti,dtai,dtbi); dt6=(d4-d3)/(x5-x3);dta6=d3-dt6*(x3+x4);dtb6=y3-d3*x3+dt6*x3*x4;/計算以x3x4x

10、5插值的函數，為三次插值計算做準備dt7=(d10-d9)/(x11-x9);dta7=d9-dt7*(x9+x10);dtb7=y9-d9*x9+dt7*x9*x10;/計算以x7x8x9插值的函數，為三次插值計算做準備for(i=0;i<=190;i+)/計算具體數據if(i<10)ans2i=dt0*pow(i,2)+dta0*i+dtb0;else if(i<39)ans2i=dt1*pow(i,2)+dta1*i+dtb1;else if(i<77)ans2i=dt2*pow(i,2)+dta2*i+dtb2;else if(i<115)ans2i=dt

11、3*pow(i,2)+dta3*i+dtb3;else if(i<153)ans2i=dt4*pow(i,2)+dta4*i+dtb4;else if(i<191)ans2i=dt5*pow(i,2)+dta5*i+dtb5;void f3()/三次插值int i=0;printf("nn"); printf("三次插值法;nn");ddt0=(d2-d1)/(x3-x1);ddt1=(d4-d3)/(x5-x3);ddt2=(d8-d7)/(x9-x7);ddt3=(d10-d9)/(x11-x9);dth0=(ddt0-dt0)/(x3-

12、x0);dth1=(dt2-ddt1)/(x6-x3);dth2=(ddt2-dt3)/(x9-x6);dth3=(dt5-ddt3)/(x12-x9);for(i=0;i<4;i+)dthai=(x3*i+x3*i+1+x3*i+2)*dthi;dthbi=(x3*i*x3*i+1+x3*i*x3*i+2+x3*i+1*x3*i+2)*dthi;dthci=(x3*i*x3*i+1*x3*i+2)*dthi; printf("插值區間：(%6.2f,%6.2f)n ",x0,x3);printf("插值函數：P1(x)=(%.6fx3)+(%.2fx2)+

13、(%.2fx)+(%.2f)n ",dth0,dt0-dtha0,dta0+dthb0,dtb0-dthc0); printf("插值區間：(%6.2f,%6.2f)n ",x3,x6); printf("插值函數：P1(x)=(%.6fx3)+(%.2fx2)+(%.2fx)+(%.2f)n ",dth1,dt6-dtha1,dta6+dthb1,dtb6-dthc1); printf("插值區間：(%6.2f,%6.2f)n ",x6,x9); printf("插值函數：P1(x)=(%.6fx3)+(%.2f

14、x2)+(%.2fx)+(%.2f)n ",dth2,dt3-dtha2,dta3+dthb2,dtb3-dthc2);printf("插值區間：(%6.2f,%6.2f)n ",x9,x12); printf("插值函數：P1(x)=(%.6fx3)+(%.2fx2)+(%.2fx)+(%.2f)n ",dth3,dt7-dtha3,dta7+dthb3,dtb7-dthc3);for(i=0;i<=190;i+)/計算具體數據if(i<20)ans3i=dth0*pow(i,3)+(dt0-dtha0)*pow(i,2)+(dt

15、a0+dthb0)*i+dtb0-dthc0;else if(i<77)ans3i=dth1*pow(i,3)+(dt6-dtha1)*pow(i,2)+(dta6+dthb1)*i+dtb6-dthc1;else if(i<134)ans3i=dth2*pow(i,3)+(dt3-dtha2)*pow(i,2)+(dta3+dthb2)*i+dtb3-dthc2;else if(i<191)ans3i=dth3*pow(i,3)+(dt7-dtha3)*pow(i,2)+(dta7+dthb3)*i+dtb7-dthc3;void prepare()/樣條插值計算關于Mn的

16、線性方程組的有關參數int i=0;int j=0;for(i=1;i<13;i+) hi=xi-xi-1;for(j=1;j<=11;j+)aj=hj+1/(hj+hj+1);cj=1-aj;bj=(yj+1-yj)/hj+1-(yj-yj-1)/hj)*6/(hj+hj+1);/printf("a=%.3f,b=%.3f,c=%.3fn",aj,bj,cj);c12=0;b0=0;b12=0;a0=0;void chase()/追趕法解線性方程組(注意此模塊中a對應追趕法中的c；c對應追趕法中的d)int i=0;int j=0;p0=2;z0=b0/p0;

17、for(i=0;i<=11;i+)qi=ai/pi;pi+1=2-ci+1*qi;zi+1=(bi+1-ci+1*zi)/pi+1; m12=z12;for(j=11;j>=0;j-) mj=zj-qj*mj+1; /printf("m=%.5f",mj);void three_moment()/三彎矩法int i=0;int j=0;printf("nn");printf("三次樣條插值結果：");for(j=1;j<=12;j+)taj-1=yj-1/hj-mj-1*hj/6;tbj=yj/hj-mj*hj/6;

18、tcj-1=mj-1/(6*hj);tdj=mj/(6*hj);for(i=1;i<=12;i+)printf("插值區間：(%6.2f,%6.2f)n ",xi-1,xi);printf("插值函數s(x)=%.3f(%.2f-x)3+%.3f(x-%.2f)3+%.3f(%.2f-x)+%.3f(x-%.2f)n",tcj-1,xi,tdj,xi-1,tai-1,xi,tbi,xi-1);for(i=0;i<=190;i+)/計算具體數據if(i<5) ans4i=tc0*pow(x1-i,3)+td1*pow(i-x1,3)+ta

19、0*(x1-i)+tb1*(i-x0); else if(i<10)ans4i=tc1*pow(x2-i,3)+td2*pow(i-x1,3)+ta1*(x2-i)+tb2*(i-x1);else if(i<20)ans4i=tc2*pow(x3-i,3)+td3*pow(i-x2,3)+ta2*(x3-i)+tb3*(i-x2);else if(i<39)ans4i=tc3*pow(x4-i,3)+td4*pow(i-x3,3)+ta3*(x4-i)+tb4*(i-x3);else if(i<58)ans4i=tc4*pow(x5-i,3)+td5*pow(i-x4,

20、3)+ta4*(x5-i)+tb5*(i-x4);else if(i<77) ans4i=tc5*pow(x6-i,3)+td6*pow(i-x5,3)+ta5*(x6-i)+tb6*(i-x5);else if(i<96)ans4i=tc6*pow(x7-i,3)+td7*pow(i-x6,3)+ta6*(x7-i)+tb7*(i-x6);else if(i<115)ans4i=tc7*pow(x8-i,3)+td8*pow(i-x7,3)+ta7*(x8-i)+tb8*(i-x7);else if(i<134)ans4i=tc8*pow(x9-i,3)+td9*po

21、w(i-x8,3)+ta8*(x9-i)+tb9*(i-x8);else if(i<153)ans4i=tc9*pow(x10-i,3)+td10*pow(i-x9,3)+ta9*(x10-i)+tb10*(i-x9);else if(i<172)ans4i=tc10*pow(x11-i,3)+td11*pow(i-x10,3)+ta10*(x11-i)+tb11*(i-x10);else if(i<191)ans4i=tc11*pow(x12-i,3)+td12*pow(i-x11,3)+ta11*(x12-i)+tb12*(i-x11);void final_data()

22、/輸出最終數據int j=0;printf("y值線性插值二次插值三次插值樣條插值n");printf("x值n");for(j=0;j<=190;j+)printf("%d%.2f %.2f %.2f %.2f n",j,ans1j,ans2j,ans3j,ans4j);三全部數據分段線性插值法：插值區間：( 0.00, 4.74) 插值函數：P1(x)= 1.12x+ 0.00 插值區間：( 4.74, 9.50) 插值函數：P1(x)= 0.58x+ 2.55 插值區間：( 9.50, 19.00) 插值函數：P1(x)=

23、 0.41x+ 4.23 插值區間：( 19.00, 38.00) 插值函數：P1(x)= 0.22x+ 7.79 插值區間：( 38.00, 57.00) 插值函數：P1(x)= 0.05x+ 14.25 插值區間：( 57.00, 76.00) 插值函數：P1(x)= -0.04x+ 19.38 插值區間：( 76.00, 95.00) 插值函數：P1(x)= -0.09x+ 23.18 插值區間：( 95.00,114.00) 插值函數：P1(x)= -0.13x+ 26.98 插值區間：(114.00,133.00) 插值函數：P1(x)= -0.13x+ 26.98 插值區間：(13

24、3.00,152.00) 插值函數：P1(x)= -0.14x+ 28.31 插值區間：(152.00,171.00) 插值函數：P1(x)= -0.16x+ 31.35 插值區間：(171.00,190.00) 插值函數：P1(x)= -0.21x+ 39.90二次插值法;插值區間：( 0.00, 9.50) 插值函數：P1(x)=(-0.05667x2)+( 1.391x)+(0.00) 插值區間：( 9.50, 38.00) 插值函數：P1(x)=(-0.00657x2)+( 0.595x)+(3.04) 插值區間：( 38.00, 76.00) 插值函數：P1(x)=(-0.00237

25、x2)+( 0.275x)+(9.12) 插值區間：( 76.00,114.00) 插值函數：P1(x)=(-0.00105x2)+( 0.090x)+(15.58) 插值區間：(114.00,152.00) 插值函數：P1(x)=(-0.00026x2)+(-0.065x)+(22.99) 插值區間：(152.00,190.00) 插值函數：P1(x)=(-0.00132x2)+( 0.265x)+(-2.85)三次插值法;插值區間：( 0.00, 19.00) 插值函數：P1(x)=(0.002330x3)+(-0.09x2)+(1.50x)+(0.00) 插值區間：( 19.00, 76

26、.00) 插值函數：P1(x)=(0.000037x3)+(-0.01x2)+(0.62x)+(3.04) 插值區間：( 76.00,133.00) 插值函數：P1(x)=(0.000018x3)+(-0.01x2)+(0.58x)+(0.38) 插值區間：(133.00,190.00) 插值函數：P1(x)=(-0.000014x3)+(0.01x2)+(-0.94x)+(65.55)三次樣條插值結果：插值區間：( 0.00, 4.74) 插值函數s(x)=0.000(4.74-x)3+1.122(x-0.00)3+0.000(4.74-x)+1.256(x-0.00)插值區間：( 4.74

27、, 9.50) 插值函數s(x)=0.000(9.50-x)3+1.122(x-4.74)3+1.252(9.50-x)+1.704(x-4.74)插值區間：( 9.50, 19.00) 插值函數s(x)=0.000(19.00-x)3+1.122(x-9.50)3+0.858(19.00-x)+1.286(x-9.50)插值區間：( 19.00, 38.00) 插值函數s(x)=0.000(38.00-x)3+1.122(x-19.00)3+0.682(38.00-x)+0.876(x-19.00)插值區間：( 38.00, 57.00) 插值函數s(x)=0.000(57.00-x)3+1

28、.122(x-38.00)3+0.876(57.00-x)+0.914(x-38.00)插值區間：( 57.00, 76.00) 插值函數s(x)=0.000(76.00-x)3+1.122(x-57.00)3+0.914(76.00-x)+0.867(x-57.00)插值區間：( 76.00, 95.00) 插值函數s(x)=0.000(95.00-x)3+1.122(x-76.00)3+0.867(95.00-x)+0.779(x-76.00)插值區間：( 95.00,114.00) 插值函數s(x)=0.000(114.00-x)3+1.122(x-95.00)3+0.779(114.0

29、0-x)+0.637(x-95.00)插值區間：(114.00,133.00) 插值函數s(x)=0.000(133.00-x)3+1.122(x-114.00)3+0.637(133.00-x)+0.513(x-114.00)插值區間：(133.00,152.00) 插值函數s(x)=0.000(152.00-x)3+1.122(x-133.00)3+0.513(152.00-x)+0.371(x-133.00)插值區間：(152.00,171.00) 插值函數s(x)=0.000(171.00-x)3+1.122(x-152.00)3+0.371(171.00-x)+0.222(x-152

30、.00)插值區間：(171.00,190.00) 插值函數s(x)=0.000(190.00-x)3+1.122(x-171.00)3+0.222(190.00-x)+0.000(x-171.00)y值 線性插值 二次插值 三次插值 樣條插值x值0 0.00 0.00 0.00 0.001 1.12 1.33 1.41 1.572 2.24 2.56 2.65 2.633 3.37 3.66 3.74 3.804 4.49 4.66 4.70 5.035 5.47 5.54 5.52 5.546 6.06 6.31 6.24 6.277 6.64 6.96 6.87 6.898 7.22 7.

31、50 7.41 7.419 7.81 7.93 7.88 7.8810 8.30 8.33 8.30 8.3211 8.71 8.79 8.68 8.7612 9.12 9.23 9.04 9.2013 9.53 9.66 9.38 9.6214 9.93 10.08 9.73 10.0415 10.34 10.49 10.09 10.4516 10.75 10.88 10.48 10.8517 11.16 11.25 10.91 11.2418 11.56 11.62 11.41 11.6119 11.97 11.97 11.97 11.9720 12.19 12.31 12.30 12.3

32、121 12.41 12.63 12.61 12.6422 12.63 12.95 12.91 12.9523 12.85 13.24 13.19 13.2424 13.07 13.53 13.47 13.5225 13.29 13.80 13.73 13.7926 13.51 14.06 13.98 14.0427 13.73 14.31 14.22 14.2828 13.95 14.54 14.45 14.5129 14.17 14.76 14.67 14.7230 14.39 14.97 14.87 14.9231 14.61 15.16 15.07 15.1132 14.83 15.3

33、4 15.25 15.2933 15.05 15.51 15.43 15.4634 15.27 15.66 15.59 15.6235 15.49 15.81 15.74 15.7636 15.71 15.93 15.89 15.9037 15.93 16.05 16.02 16.0338 16.15 16.15 16.15 16.1539 16.20 16.24 16.27 16.2640 16.25 16.33 16.38 16.3741 16.30 16.41 16.48 16.4642 16.35 16.49 16.57 16.5543 16.40 16.57 16.65 16.634

34、4 16.45 16.63 16.73 16.7145 16.50 16.70 16.80 16.7746 16.55 16.76 16.86 16.8347 16.60 16.81 16.91 16.8948 16.65 16.86 16.96 16.9349 16.70 16.91 17.00 16.9850 16.75 16.95 17.03 17.0151 16.80 16.98 17.06 17.0452 16.85 17.02 17.08 17.0653 16.90 17.04 17.09 17.0854 16.95 17.06 17.10 17.0955 17.00 17.08

35、17.11 17.1056 17.05 17.09 17.11 17.1057 17.10 17.10 17.10 17.1058 17.06 17.10 17.09 17.0959 17.02 17.10 17.07 17.0860 16.98 17.09 17.05 17.0761 16.94 17.08 17.03 17.0562 16.90 17.07 17.00 17.0263 16.86 17.04 16.97 17.0064 16.82 17.02 16.94 16.9665 16.78 16.99 16.90 16.9366 16.74 16.95 16.86 16.8967

36、16.70 16.91 16.82 16.8568 16.66 16.87 16.77 16.8069 16.62 16.82 16.72 16.7570 16.58 16.76 16.67 16.7071 16.54 16.71 16.62 16.6572 16.50 16.64 16.57 16.5973 16.46 16.57 16.51 16.5374 16.42 16.50 16.46 16.4775 16.38 16.42 16.40 16.4176 16.34 16.34 16.34 16.3477 16.25 16.27 16.28 16.2778 16.16 16.20 16

37、.22 16.2079 16.07 16.12 16.15 16.1380 15.98 16.04 16.08 16.0581 15.89 15.96 16.01 15.9782 15.80 15.88 15.93 15.9083 15.71 15.80 15.85 15.8184 15.62 15.71 15.76 15.7385 15.53 15.62 15.67 15.6486 15.44 15.53 15.58 15.5587 15.35 15.44 15.49 15.4688 15.26 15.35 15.39 15.3789 15.17 15.25 15.29 15.2790 15

38、.08 15.15 15.18 15.1791 14.99 15.05 15.08 15.0792 14.90 14.95 14.97 14.9693 14.81 14.85 14.86 14.8594 14.72 14.74 14.75 14.7495 14.63 14.63 14.63 14.6396 14.50 14.52 14.51 14.5197 14.37 14.41 14.39 14.3998 14.24 14.29 14.27 14.2799 14.11 14.17 14.15 14.15100 13.98 14.05 14.02 14.02101 13.85 13.93 13.90 13.90102 13.72 13.81 13.77 13.77103 13.59 13.68 13.64 13.64104 13.46 13.55 13.51 13.50105 13.33 13.42 13.38 13.37106 13.20 13.29 13.24