1、彈性力學(xué)與有限元分析復(fù)習(xí)題及其答案一、填空題1、彈性力學(xué)研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、形變和位移。2、在彈性力學(xué)中規(guī)定，線應(yīng)變以伸長時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)，與正應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定相適應(yīng)。3、在彈性力學(xué)中規(guī)定，切應(yīng)變以直角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)，與切應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定相適應(yīng)。4、物體受外力以后，其內(nèi)部將發(fā)生內(nèi)力，它的集度稱為應(yīng)力。與物體的形變和材料強(qiáng)度直接有關(guān)的，是應(yīng)力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量，也就是正應(yīng)力和切應(yīng)力。應(yīng)力及其分量的量綱是L-1MT-2。5、彈性力學(xué)的基本假定為連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性。6、平面問題分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。7

2、、已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量MPa，MPa， MPa，則主應(yīng)力150MPa，0MPa，。8、已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量， MPa，MPa， MPa，則主應(yīng)力512 MPa，-312 MPa，-37°57。9、已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，MPa，MPa， MPa，則主應(yīng)力1052 MPa，-2052 MPa，-82°32。10、在彈性力學(xué)里分析問題，要考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程。11、表示應(yīng)力分量與體力分量之間關(guān)系的方程為平衡微分方程。12、邊界條件表示邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。13、按應(yīng)力求解平面問題

3、時(shí)常采用逆解法和半逆解法。14、有限單元法首先將連續(xù)體變換成為離散化結(jié)構(gòu)，然后再用結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法進(jìn)行求解。其具體步驟分為單元分析和整體分析兩部分。15、每個(gè)單元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由本單元的形變引起的，另一部分是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。16、每個(gè)單元的應(yīng)變一般總是包含著兩部分：一部分是與該單元中各點(diǎn)的位置坐標(biāo)有關(guān)的，是各點(diǎn)不相同的，即所謂變量應(yīng)變；另一部分是與位置坐標(biāo)無關(guān)的，是各點(diǎn)相同的，即所謂常量應(yīng)變。17、為了能從有限單元法得出正確的解答，位移模式必須能反映單元的剛體位移和常量應(yīng)變，還應(yīng)當(dāng)盡可能反映相鄰單元的位移連續(xù)性。18、為了使得單元內(nèi)部的位移保持連續(xù)，必須

4、把位移模式取為坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，為了使得相鄰單元的位移保持連續(xù)，就不僅要使它們在公共結(jié)點(diǎn)處具有相同的位移時(shí)，也能在整個(gè)公共邊界上具有相同的位移。19、在有限單元法中，單元的形函數(shù)Ni在i結(jié)點(diǎn)Ni=1；在其他結(jié)點(diǎn)Ni=0及Ni=1。20、為了提高有限單元法分析的精度，一般可以采用兩種方法：一是將單元的尺寸減小，以便較好地反映位移和應(yīng)力變化情況；二是采用包含更高次項(xiàng)的位移模式，使位移和應(yīng)力的精度提高。二、判斷題（請?jiān)谡_命題后的括號內(nèi)打“”，在錯誤命題后的括號內(nèi)打“×”）1、連續(xù)性假定是指整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。（）5、如果某一問題中，只存在平面應(yīng)力

5、分量，且它們不沿z方向變化，僅為x，y的函數(shù)，此問題是平面應(yīng)力問題。（）6、如果某一問題中，只存在平面應(yīng)變分量，且它們不沿z方向變化，僅為x，y的函數(shù)，此問題是平面應(yīng)變問題。（）9、當(dāng)物體的形變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定。（）10、當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，形變分量即完全確定。（）14、在有限單元法中，結(jié)點(diǎn)力是指結(jié)點(diǎn)對單元的作用力。（）15、在平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元的公共邊界上應(yīng)變和應(yīng)力均有突變。（ ）三、分析計(jì)算題1、試寫出無體力情況下平面問題的應(yīng)力分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在。（1），；（2），；其中，A，B，C，D，E，F(xiàn)為常數(shù)。解：

6、應(yīng)力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件：（1）在區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程；（2）在區(qū)域內(nèi)的相容方程；（3）在邊界上的應(yīng)力邊界條件；（4）對于多連體的位移單值條件。（1）此組應(yīng)力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須A=-F，D=-E。此外還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。（2）為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足A+B=0；為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須滿足A=B=-C/2。上兩式是矛盾的，因此，此組應(yīng)力分量不可能存在。2、已知應(yīng)力分量，體力不計(jì)，Q為常數(shù)。試?yán)闷胶馕⒎址匠糖笙禂?shù)C1，C2，C3。解：將所給應(yīng)力分量代入平衡微分方程得即由x，y的任意性，得由此解得，3、已知應(yīng)力分量，判斷該應(yīng)力分量是否滿

7、足平衡微分方程和相容方程。解：將已知應(yīng)力分量，代入平衡微分方程可知，已知應(yīng)力分量，一般不滿足平衡微分方程，只有體力忽略不計(jì)時(shí)才滿足。按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題的相容方程：將已知應(yīng)力分量，代入上式，可知滿足相容方程。按應(yīng)力求解平面應(yīng)變問題的相容方程：將已知應(yīng)力分量，代入上式，可知滿足相容方程。4、試寫出平面問題的應(yīng)變分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應(yīng)變分量是否可能存在。（1），；（2），；（3），；其中，A，B，C，D為常數(shù)。解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件，即將以上應(yīng)變分量代入上面的形變協(xié)調(diào)方程，可知：（1）相容。（2）（1分）；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：B=0，2A=C。

8、（3）0=C；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：C=0，則，（1分）。5、證明應(yīng)力函數(shù)能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題（體力不計(jì)，）。l/2l/2h/2h/2yxO解：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程可知，所給應(yīng)力函數(shù)能滿足相容方程。由于不計(jì)體力，對應(yīng)的應(yīng)力分量為，對于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四個(gè)邊上的面力分別為：上邊，；下邊，；左邊，；右邊，。可見，上下兩邊沒有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b。因此，應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布壓力（b<0）的問題。6、證明應(yīng)力函數(shù)能滿足相容方程

9、，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題（體力不計(jì)，）。l/2l/2h/2h/2yxO解：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程可知，所給應(yīng)力函數(shù)能滿足相容方程。由于不計(jì)體力，對應(yīng)的應(yīng)力分量為，對于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四個(gè)邊上的面力分別為：上邊，；下邊，；左邊，；右邊，。可見，在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力a，而在上下兩邊分別受有向右和向左的均布面力a。因此，應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板受均布剪力的問題。7、如圖所示的矩形截面的長堅(jiān)柱，密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力，試求應(yīng)力分量。Oxybqrg 解：根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，即

10、設(shè)。由此可知 將上式對y積分兩次，可得如下應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式 將上式代入應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的相容方程則可得這是y的線性方程，但相容方程要求它有無數(shù)多的解（全柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足它），可見它的系數(shù)和自由項(xiàng)都應(yīng)該等于零，即， 這兩個(gè)方程要求， 代入應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式，并略去對應(yīng)力分量無影響的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)后，便得對應(yīng)應(yīng)力分量為 以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定。左邊，沿y方向無面力，所以有右邊，沿y方向的面力為q，所以有上邊，沒有水平面力，這就要求在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即將的表達(dá)式代入，并考慮到C=0，則有而自然滿足。又由于在這部分邊界上沒有垂直面力，這就要求在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均

11、為零，即， 將的表達(dá)式代入，則有由此可得，應(yīng)力分量為, , 雖然上述結(jié)果并不嚴(yán)格滿足上端面處（y=0）的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠(yuǎn)離y=0處這一結(jié)果應(yīng)是適用的。8、證明：如果體力分量雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分量可以表示為，其中V是勢函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示為，試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。證明：在體力為有勢力的情況下，按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問題時(shí)，應(yīng)力分量，應(yīng)當(dāng)滿足平衡微分方程（1分）還應(yīng)滿足相容方程（對于平面應(yīng)力問題）（對于平面應(yīng)變問題）并在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件（1分）。對于多連體，有時(shí)還必須考慮位移單值條件。首先考察平衡微分方程。將其改寫為這是一個(gè)齊次微分方程組。為了求

12、得通解，將其中第一個(gè)方程改寫為根據(jù)微分方程理論，一定存在某一函數(shù)A（x，y），使得，同樣，將第二個(gè)方程改寫為（1分）可見也一定存在某一函數(shù)B（x，y），使得，由此得因而又一定存在某一函數(shù)，使得，代入以上各式，得應(yīng)力分量，為了使上述應(yīng)力分量能同量滿足相容方程，應(yīng)力函數(shù)必須滿足一定的方程，將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)力問題的相容方程，得簡寫為將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)變問題的相容方程，得簡寫為9、如圖所示三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)求解。Oxyarg解：純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)為相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為, , 這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。現(xiàn)在來考察，如果適當(dāng)選擇各個(gè)

13、系數(shù)，是否能滿足應(yīng)力邊界條件。上邊，沒有水平面力，所以有對上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見同時(shí)，該邊界上沒有豎直面力，所以有對上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見因此，應(yīng)力分量可以簡化為，斜面，沒有面力，所以有由第一個(gè)方程，得對斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求由第二個(gè)方程，得對斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求（1分）由此解得（1分），從而應(yīng)力分量為, , 設(shè)三角形懸臂梁的長為l，高為h，則。根據(jù)力的平衡，固定端對梁的約束反力沿x方向的分量為0，沿y方向的分量為。因此，所求在這部分邊界上合成的主矢應(yīng)為零，應(yīng)當(dāng)合成為反力。可見，所求應(yīng)力分量滿足梁固定端的邊界條件。10、設(shè)有楔形體如圖所示，左面鉛直，右面與

14、鉛直面成角，下端作為無限長，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為，液體的密度為，試求應(yīng)力分量。r2gr1gayxO解：采用半逆解法。首先應(yīng)用量綱分析方法來假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。取坐標(biāo)軸如圖所示。在楔形體的任意一點(diǎn)，每一個(gè)應(yīng)力分量都將由兩部分組成：一部分由重力引起，應(yīng)當(dāng)與成正比（g是重力加速度）；另一部分由液體壓力引起，應(yīng)當(dāng)與成正比。此外，每一部分還與，x，y有關(guān)。由于應(yīng)力的量綱是L-1MT-2，和的量綱是L-2MT-2，是量綱一的量，而x和y的量綱是L，因此，如果應(yīng)力分量具有多項(xiàng)式的解答，那么它們的表達(dá)式只可能是，四項(xiàng)的組合，而其中的A，B，C，D是量綱一的量，只與有關(guān)。這就是說，各應(yīng)力分量的表達(dá)式只可能是x和y的純一次式。其次，由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式可知，應(yīng)力函數(shù)比應(yīng)力分量的長度量綱高二次，應(yīng)該是x和y純?nèi)问剑?/p>