1、對稱美與物理學生活中的對稱與不對稱人類在長期的保存個體、 繁衍種族這種極為低下的生產水平和生活水平的斗爭中不斷發展； 隨著生產水平和生活水平不斷提高， 逐漸發展起對美和美感的追求， 并逐慚開始去思考美和探索美。 對稱性就是人類對美的思考和探索之一。人們在自己的實踐中相繼發現了一些能引起自己歡快愉悅感受的因素，把它們稱作具有對稱性，即具有對稱性的形體是美的。例如花朵，一朵有 5 個花瓣的花繞它的軸旋轉一周，有 5 個位置看上去是完全一樣的，它給人以勻稱的感受； 一個圓形則旋轉任意的角度保持形狀不變，它具有更大的旋轉對稱性。 又例如人體或一些動物的形體一邊與另一邊完全相同，可以折疊重合，它具有左右

2、對稱，它也給人以勻稱和均衡的感覺。再例如竹節或串珠，平行移動一定的間隔，圖形完全重復，它具有平移對稱性，它給人以連貫、流暢的感受。久而久之，這些對稱性的感受逐慚成為一項美學準則，廣泛應用于建筑、造型藝術、繪畫以及工藝美術的裝飾之中。你可以從許多中、外著名的建筑、藝術珍品中看到。天壇的建筑、天安門的建筑、頤和園長廊的建筑以及各種花瓶、 古人飲酒的爵和各種花邊等等是旋轉對稱、左右對稱和平移對稱的典型例子。1這些對稱美給人以勻稱、均衡、連貫、流暢的感受，因而體現著一種嫻靜、穩重、莊嚴，但卻也顯得有些平淡、單調、缺乏生機和妙趣橫生，這是因為對稱性并沒有包攬美的全部。人們發現，美除了對稱之外，還需要蜿蜒

3、曲折、錯落有致、此起彼伏，美是對稱與不對稱結合的表現。你看那起伏于山巒間蜿蜒曲折層層疊起的長城峰火臺構成的美景不是給人以宏偉、博大、氣勢磅礴而又峰回路轉、巧奪天工的美的感覺嗎！美更是現代人的追求。 美吸引著各行各業的人去創造美好的人生，享受美好的生活。物理學中的形體對稱性物理學的研究中也注意到形體上的對稱性。 形體上的對稱性常常使得我們可以不必精確地去求解就可以獲得一些知識， 使問題得以簡化，甚至使得某些頗難解的問題迎刃而解。 例如一個無阻力的單擺擺動起來，其左右是對稱的， 不必求解就可以知道，向左邊擺動的高度與右邊擺邊的高度一定是相等的， 從中間平衡位置向左擺到最高點的時間一定等于從中間平衡

4、位置向右擺到最高點的時間， 平衡位置兩邊等當位置處擺球的速度和加速度的大小必定是相等的， 等等。再例如一張無限大平面方格子的導體網絡，方格子每一邊的電阻是 r，在這張方格子網絡的中間相鄰格點連出兩條導線， 問這兩條導線之間的等2效電阻是多少？這個問題看上去似乎很難求解， 它涉及到無窮多個回路和無窮多個節點， 要用直流電路中普遍的基爾霍夫方程組將得到無窮多個方程，難以求解。然而這一無窮的方格子網絡具有形體上的對稱性，利用對稱性分析，求解變得相當簡單。設想用一根導線連接到一個格點，通以電 I，電流從網絡的邊緣流出，由于從該格點向四邊流過的電流具有對稱性， 因此流過與該可知點連接的每一邊的電流必定是

5、 I/4。再設想電流 I 從網絡的邊緣流入， 再從網絡中心的一個格點上連接的一條導線從上流出， 根據同樣的對稱性分析， 流過與該格點連接的每一邊的電流也必定是 I/4。我們要求解的情形正是這兩種情形的疊加，電流 I 從連接到一個格點的導線流入，從連到相鄰格點的導線流出，而在網絡邊緣， 兩種情形流出和流入的電流相互抵消。結果在連接導線的兩相鄰格點之間的那條邊上通過的電流是上述兩種情形的疊加，即為 I/2 ，這條邊的電阻是 r，這意味剩下的電流 I/2 通過其它邊，它相應的電阻應是 r，換句話說，從相鄰格點來看，這一無窮方格子網絡的等效電阻是兩個阻值為 r 的并聯，其等效電阻為 r/2 。由此可以

6、看出，對稱性分析在物理學中非常有用，一旦明確了具有對稱性，問題常常變得簡單可解。在物理學中，還利用形體上的對稱性來研究晶體的分類等物理問題，并取得豐碩的成果。物理規律的對稱性3對稱性的概念是否能進一步拓寬呢？在這里， 我們需要把對稱性概念更加精確休。我們把事物的一種情況變化到另一種情況叫做變換（操作）。如果一個變換使事物的情況沒有變化，或者說事物的情況在此變換下保持不變， 我們就說這個事物對于這一變換是對稱的。 這個變換稱為事物的對稱變換。 在前面舉的形體對稱性的例子中， 旋轉就是一種變換操作， 一個有 5 個相同花瓣的花朵 （如香港特區區旗上的紫荊花）繞垂直花面的軸旋轉 2/5 或 2/5

7、整數倍角度，完全是一樣的，沒有什么變化，我們就說它具有 2/5 旋轉對稱性。一個圓形則旋轉任意角度保持形狀不變， 它具有更大的旋轉對稱性。 相反地，一個圓形邊緣上有一個點或有些殘缺， 這個點或殘缺就能區分旋轉前后的情況，我們就說它不具有旋轉對稱性或旋轉對稱性是破缺的。 從左到右或從右到左的變換稱為鏡向變換， 人體和動物形體具有鏡向變換不變性。而竹節或串珠則具有空間平移不變性。某一對稱性，即某一變換下的不變性， 粗淺而形象地看， 就是換一角度或換一場合來觀察事物保持不變。在旋轉對稱性中，就是換一方向來觀察，在鏡向對稱性中，是換到鏡子里來觀察，在空間平移對稱性中，則是平移一位置來觀察。在上面談到對

8、稱性的時候，提到的“事物”不一定限指一個具體物件的形體，物理學家更注意到物理規律的對稱性。 就拿牛頓定律來說吧，粗淺而形象地說，從不同的方向看，物體的運動都遵從牛頓定4律，牛頓定律具有旋轉對稱性； 鏡子里和鏡子外物體的運動都遵從牛頓定律，牛頓定律具有鏡向對稱性（或空間反射對性） ；在不同的時間，昨天、今天或明天，物體的運動也都遵從牛頓定律，牛頓定律具有時間平移對稱性，等等。其他已知的物理定律也都具有類似的情況。物理定律的這些對稱性是偶然的嗎？是無關緊要的嗎， 還是它意味著同物理定律本身有著某種更深刻更緊密的聯系？這個問題在本世紀以前似乎沒有注意到， 本世紀開拓了許多新的物理研究領域， 在探索其

9、中的物理定律的研究中，這個問題變得突出地重要了。愛因斯坦把對稱性推上主角1905 年，愛因斯坦發表了一篇具有劃時代意義的論文，建立了狹義相對論，論文的題目是“論動體的電動力學” 。論文中，愛因斯坦提出相對性原理和光速不變原理， 在此基礎上導出洛倫茲變換， 得到一系列不同于牛頓力學的得要結論； 不久，愛因斯坦又得出了質能關系。這些不同于牛頓力學的得要結論改變了人們的時空觀， 統一了力學和電磁學， 解決了許多重要的物理問題， 并且還帶給人類釋放核能。這樣的巨大的實用價值。 這一系列的具體結論無疑是十分重要的，人們常常僅僅是注重狹義相對論的這些具體結論， 而忽略了愛因斯坦在思考問題和研究問題上對人類

10、作出的巨大貢獻， 這就是他提示了物理規律上的一種新的對稱性， 并且認識到對稱性是制約物理規律的利5器，從而把對稱性推到物理基礎研究的主角地位。這一新的對稱性就是物理定律的洛倫茲變換不變性， 即物理定律必須具有洛倫茲變換下的不變性， 也就是說從不同慣性系來看物理定律的形式保持不變。 從內容上說，它無非就是相對性原理內容的重復表述，似乎一點也不起眼； 然而從探索物理基本定律的高度來看，洛倫茲不變性實在是對物理定律的形式所加的一條強有力的限制， 物理定律的形式必須受到洛倫茲變換不變性的制約。 愛因斯坦審查了電磁學的麥克斯韋方程組。 它確實是洛倫茲不變性的； 而牛頓定律不是洛倫茲不變性的， 它必須改造

11、以符合洛倫茲不變性的要求， 對它的改造則獲得相對論的力學定律。以后，愛因斯坦認識到狹義相對論還存在某些不足， 它不過是必然發展過程的第一步， 一方面狹義相對論否定了一個特別優越的參考第（絕對靜止的慣性系），但是它卻肯定了一類特別優越的參考系，那就是慣性系， 它比非慣性要更優越， 其中的物理規律的形式特別簡捷，這表明狹義相對論在運動的相對性上還不夠徹底； 另一方面狹義相對論在整個物理學中排除了超距作用， 而牛頓引力定律的表述是超距作用的。作為力學重要研究課題的引力問題還不能在狹義相對認論中予以處理，因此需要發展一種把引力問題納入且能回答是否存在特別優越參考系的更為廣泛的相對論。6愛因斯坦在建立狹

12、義相對論中領悟了對稱性的威力， 他就去尋找一種新的對稱性來發展他的廣義相對論。 他終于從伽利略時代已經知道一切物體的重力加速度均相同的物理事實中凝煉出這一新的對稱性。愛因斯坦設想一個觀察者在密封的升降機里做實驗， 一種情形是升降機靜止在地面（地球看作是慣性系）上，其中存在地球的引力場，任何物體的重力加速度均相等為 g；另一種情形是升降機遠離一切物體，即處于沒有引力場的地方，相對于某個慣性系以加速度g 上升，它是一具非慣性系。 在這兩種情形下， 觀察者測得物體下落的加速度都是 g，他觀察到的力學現象都相同，他無法斷定他所在的參考系究竟是引力場的慣性系， 還是并無引力的非慣性系。 這表明引力場作用

13、的效果可以等效地用加速參考系來描述， 愛因斯坦把它稱為等效原理。根據等效原理， 非慣性系與引力場等價， 非慣性系與慣性系沒有原則性的區別。它們都可以同樣好地用來描述物體的運動， 沒有哪一個比另一個更優越， 由此愛因斯坦把相對性原理進一步推廣， 一切參考系都是等價的，物理定律應該具有廣義的時空坐標變換的不變性， 而洛倫茲不變性只是它的一個特例。 愛因斯坦在等效原理和廣義協變原理的基礎上建立起廣義相對論。愛因斯坦的對稱性制約物理定律的思想可以說是二十世紀物理基礎研究方法上的一大飛躍， 他為物理學基礎樹立了一個光輝的典范。二十世紀以前，在力學方面從古希臘時期開始， 人們研究物體的運動、行星的運動、杠

14、桿、滑輪，逐慚獲得一些具體的結論，在同錯誤的斗7爭中獲得的力學知識日益增多， 經過漫長的歷史發展， 到十七世紀八十年代才由牛頓總結出力學的基本定律； 在電磁學方面， 也是從古希臘時期開始，人們發現摩擦起電、磁石吸鐵，以后研究靜電感應、萊登瓶放電、電流的磁效應等等，積累了許多關于電荷相互作用、電流產生磁、磁產生電方面的知識，經過漫長的歷史發展，到十九世紀六十年代才由麥克斯韋總結出電磁場的基本方程組。 二十世紀以前的物理基礎研究路線可以概括為從一些具體事物入手研究它們的具體規律，經過漫長的歷史發展，積累到一定程度才由某個偉大的物理學家，總結前人研究成果得到該領域的物理基本定律， 這些物理基本定律的

15、廣泛應用更加豐富了人們的認識， 也包括對物理基本定律的認識。 愛因斯坦的研究方法與此有著根本的不同， 它不是從瑣碎的具體問題入手，而是一開始就從研究物理定律應有的對稱性入手， 找出這些對稱性來，然后根據對稱性確定物理定律的形式， 這是二十世紀以來物理基礎研究的路線。這一現代物理基礎研究的路線充分體現了物理學中崇尚理性的威力，它不是從眾多具體而瑣碎的事物中一點一滴地積累材料，然后再整理出事物的基本定律， 而是一開始就從整體上尋找制約事物基本定律的普遍原則， 從中得出事物的基本定律， 這就大大地縮短了探索事物基本定律的歷程， 物理基礎研究的高速發展與此不無關系。對稱性與最小作用原理8物理學中有一些

16、規律屬于基本定律，它們具有支配全局的性質，掌握它們顯然是極端重要的。 例如力學中的牛頓定律是質點、 質點組機械運動（非相對論）的基本定律，電磁學的麥克斯韋方程組是電磁場分布、變化的基本定律， 物理學中還有另外一種基本定律的表述形式，這就是最小作用原理（變分原理） ，它可表述為系統的各種相鄰的經歷中，真實經歷使作用量取極值。 可以看出最小作用原理的表述形式與牛頓定律、 麥克斯韋方程組的表述形式極不相同。 牛頓定律告訴我們，質點此時此刻的加速度由它此時此刻所受的力和它的質量的比值決定；麥克斯韋方程組告訴我們， 此時此刻的電場分布由此時此刻的電荷分布以及此時此刻的磁場的變化決定， 此時此刻的磁場分布

17、由此時此刻的電流分布以及此時此刻的電場的變化決定， 它們以微分方程式的形式出現，指明所研究系統（質點或場）的狀態在其真實經歷中是如何隨時間變化的。 而最小作用原理則告訴我們， 系統的各種可能的經歷中， 真實的經歷總是使作用量取極值。 牛頓定律和麥克斯韋方程組把注意力集中在每一時刻系統所處的狀態， 而最小作用原理則是總觀系統的各種可能的經歷， 并用作用量取極值挑選出真實的經歷來。可以看出牛頓定律和麥克斯韋方程組比較具體細致， 而最小作用原理則比較抽象含蓄。 正是最小作用原理比較抽象含蓄， 它概括的面更廣泛，不僅適用于機械運動（非相對論）場合，可以導出牛頓定律；而且也適合于電磁場場合，可以導出麥克

18、斯韋方程組；甚至它還可以適合其他場合， 導出物理學其他領域的基本定律。 可見最小作用原理才是綜合整個物理學的真正的基本定律。9根據最小作用原理導出各個領域的具體基本定律的方法就是先找出系統不同經歷的作用量來， 然后從中選擇出相對鄰近的經歷作用量取極值的經歷， 它就是真實的經歷， 其中隱含了系統變化的基本定律。在這點，要找出游同經歷的作用量，對稱性分析起著決定性的作用，對稱性制約物理定律的形式得到最好的體現。如果一具研究領域內的全部對稱性已經清楚， 則作用量可以完全被確定，從而也就可以得出這個領域的基本定律。 例如在非相對論力學范圍內，根據空間各向同性、空間平移不變性、 時間平移不變性和伽利略變

19、換不變性，可以找出作用量等于系統的動能減去勢能對經歷的累加，由此可導出牛頓定律。由于存在最小作用原理， 對稱性在物理基礎研究中顯示出其重要地位。物理學家通過對稱性分析找出不同經歷的作用量， 從而確定具體領域的基本定律。 物理學家們研究一個新的領域， 常常是試探地分析其中的對稱性，在描述這個世界的作用量公式中增加一些描述新領域的項，從而得到該領域的新的基本定律。對稱性與守恒定律對稱性制約作用量的形式， 然而物理學家并不可能先驗地知道我們這個世界所涉及到的全部對稱性， 而已經確實知道的對稱性又不足10以完全確定作用量的形式。 盡管作用量可能具有的形式已經大大受到限制，但他們仍然可以具有許許多多種可

20、能的形式，物理學家們不得不采用試探性的方法， 根據物理上的可能性依次考察每一個作用量的候選者，這種試探性的方法艱巨而繁難， 而且很難說是有成效的。 1916年諾特（ A·E·Noether）提出一個著名定理，給探尋作用量的形式帶來了曙光。諾·特定理是說，作用量的每一種對稱性都對應一個守恒定律，有一個守恒量。對稱和守恒這兩個得要概念是緊密地聯系在一起的。在經典力學中， 我們所熟悉的這種對應關系是； 時間平移對稱性（時間平移不變性）對應于能量守恒；空間旋轉對稱性（空間各向同性）對應于角動量守恒。我們可以用淺顯的例子加以說明。先看時間平移對稱性和能量守恒。 時間平移對稱

21、性要求物理定律不隨時間變化，即昨天、今天和明天的物理定律都應該是相同的。 如果物理定律隨時間變化，例如重力法則隨時間變化， 那還想利用重力隨時間的可變性，就可以在重力變弱時把水提升到蓄水池中去， 所需做的功較少； 在重力變強時把蓄水池中的水泄放出來， 利用水力發電， 釋放出較多的能量，這是一架不折不扣的能創造出能量的第一類永動機， 這是與能量守恒定律相違背的， 這就清楚地說明時間平移對稱性與能量守恒之間的聯系。再看空間平移對稱性與動量守恒。 考慮兩個質點組成的系統，它們的相互作用熱能為 U，U 是這兩個質點位置 r1、r2 的函數，U（r1、11r2 ），由于物理定律具有空間平移對稱性，質點的

22、絕對位置是一個不可觀測量，質點間的相互作用勢能只能依賴質點間的相對位置，即U（r1r2 ）。將質點 1 和質點 2 移動相同的小量，相互作用熱能U 不變，則相互作用力做功的總和為零。由于位移相同，因此相互作用力之和為零，即兩個質點之間的作用力與反作用力大小相等， 方向相反，且在一條直線上，這正是牛頓每三定律。而我們知道，在力學范圍內牛頓第三定律與動量守恒是互為因果的。 可見空間平移對稱性與能量守恒之間的聯系。 至于空間各向同性與角動量守恒， 考慮兩個質點組成的系統，固定質點 1，將質點 2 以質點 1 為中心移動一小段弧長 S，如果相互作用力存在切向力分量，則相互作用熱能改變為U=f 切 S。

23、空是各向同性意味著兩個質點相互作用勢能只與它們之間的距離有關，與兩者聯線在空間的取向無關， 所以移動操作不改變相互作用熱能，從而 U=0，于是相互用力切向分量 f 切 =0，或者說兩質點的相互作用力沿兩者的聯線，這與“角動量守恒”是等價的，從而空間各向同性與角動量守恒是聯系在一起的。諾特定理引導物理學家們去尋找新領域中的守恒定律和守恒量，由此確定其中的對稱性， 從而獲得作用量的形式和基本定律； 反過來，如果知道了使一個給定的作用量保持不變的對稱變換， 從而也就可以知道相應的守恒定律和守恒量。 這樣使得物理學的基礎研究有法可循而變得富有成效。12二十世紀三十年代以后，由于加速機器技術和探測技術的

24、發展，利用粒子的碰撞和粒子相互作用的衰變， 實驗物理學家相繼發現了許多新粒子，這些粒子中只有極少數的幾個是理論上預言的， 絕大多數的粒子是突出其來的， 它們在性質上和相互關系上表現出極大的差別，極大地豐富了人們對于粒子世界的認識， 形成了龐大的粒子物理領域。而對如此龐大的粒子家庭， 亟須把它們整理出次序來。 物理學家們分析實驗資料，找出許多守恒量和守恒定律， 這些為認識粒子世界的對稱性和探索其中的基本定律準備了條件。對稱性的凱旋到二十世紀中葉， 粒子世界呈現出非常復雜的局面，粒子數目眾多，而且實驗上發現和確證的粒子還在不斷地增加，粒子之間的相互作用有電磁作用、引力作用、強作用、弱作用四種，它們

25、的區別很大，電磁作用和引力作用是長程力，強作用和弱作用是短程力， 它們的強度差別非常大，強作用最強，電磁作用次之，弱作用更次，引力作用最弱，在粒子物理中引力作用可以不考慮。對于電磁作用，已經建立起量子電動力學，它是物理學中最成功的理論。在這個理論中，力的傳遞者是電磁場， 場的量子是光子， 電磁作用是通過交換光子而傳遞的，光子的靜質量為零，與電磁作用的長程性聯系在一起。關于弱作用，在弱作用宇稱不守恒基礎上發展了弱作用的中間玻色子理論，認為弱作用是交換中間玻色子W±而傳遞的，中間玻色子的質量很大，13與電磁作用中的光子不同，它是與弱作用的短程性聯系在一起。人們研究發現， 這四種相互作用所遵從的守恒定律不同，強作用具有的守恒量最多，電磁作用次之，弱作用更次，這表明它們具有的對稱性是不同的。 對稱性概念似乎不是嚴格的，因此有人懷疑對稱性概念是否