1、【步步高】2016高考數學大一輪復習 9.8與圓錐曲線有關的定值、最值試題 理 蘇教版一、填空題1已知橢圓C：y21的兩個焦點為F1、F2，點P(x0，y0)滿足0<y<1，則PF1PF2的取值范圍是_解析由題意，得點P在橢圓y21的內部，所以2cPF1PF2<2a，即2PF1PF2<2.答案2,2)2若，方程x2sin y2cos 1表示焦點在y軸上的橢圓，則的取值范圍是_解析由1表示焦點在y軸上的橢圓，得>>0，即sin >cos >0.又，所以<<.答案3已知橢圓y21的焦點為F1，F2，在長軸A1A2上任取一點M，過M作垂直于

2、A1A2的直線交橢圓于點P，則使得·<0的點M的概率為_解析設點P的坐標為(m，n)，則·(m，n)·(m，n)m23n2m2312<0，解得<m<，·<0的概率為P.答案4已知F1(c,0)，F2(c,0)是橢圓1(a>b>0)的焦點，P是橢圓上一點，且·0，則橢圓離心率e的取值范圍是_解析設|m，|n，則由·0，得，所以有m2n2F1F4c2.又由橢圓定義，得mn2a.于是由不等式2，得2c2a2，所以e2.又0<e<1，所以e<1.答案5已知橢圓方程為1(a>b&

3、gt;0)，當a2取最小值時，橢圓的離心率e_.解析a2a2a22 16，當且僅當a28，b2a22時等號成立，此時c2a2b26，所以e.答案6設F1、F2分別是橢圓1(a>b>0)的左、右焦點，若在直線x上存在點P使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓離心率e的取值范圍是_解析設P，F1P的中點Q的坐標為，當y0時，有kF1P，kQF2，由kF1P·kQF21得y2，y20，但注意到b22c20，即2c2b2>0，即3c2a2>0，即e2>，故<e<1.當y0時，b22c20，此時kQF2不存在，此時F2為PF1中點，c2c，得e，綜上得e

4、<1，故填.答案7設橢圓恒過點(1,2)，則橢圓的中心到準線的距離的最小值是_解析因為1，所以b2(a2>5)，所以2，當且僅當a252時等號成立答案28已知橢圓1(ab0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為e，若橢圓上存在點P，使得e，則該離心率e的取值范圍是_解析因為PF1ePF2，PF1PF22a，所以PF1，PF2，因為e(0,1)，所以PF1PF2.由橢圓性質知acPF1ac，所以acac，即acac，即a2c22ac(ac)2，即e22e10.又0e1，所以1e1.答案1,1)二、解答題9已知橢圓1上的兩個動點P，Q，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1x22

5、.(1)求證：線段PQ的垂直平分線經過一個定點A；(2)設點A關于原點O的對稱點是B，求PB的最小值及相應的P點坐標(1)證明P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x22.當x1x2時，由，得·.設線段PQ的中點N(1，n)，kPQ，線段PQ的垂直平分線方程為yn2n(x1)，(2x1)ny0，則直線恒過一個定點A.當x1x2時，線段PQ的中垂線也過定點A.綜上，線段PQ的垂直平分線恒過定點A.(2)解由于點B與點A關于原點O對稱，故點B.2x12，2x22，x12x20,2，PB22y(x11)2，當點P的坐標為(0，±)時，PBmin.10 如圖過點C(0,1)的橢

6、圓1(ab0)的離心率為.橢圓與x軸交于兩點A(a,0)、B(a,0)過點C的直線l與橢圓交于另一點D，并與x軸交于點P.直線AC與直線BD交于點Q.(1)當直線l過橢圓右焦點時，求線段CD的長；(2)當點P異于點B時，求證：·為定值(1)解由已知得b1，解得a2，所以橢圓方程為y21.橢圓的右焦點為(，0)，此時直線l的方程為yx1，代入橢圓方程化簡得7x28x0.解得x10，x2，代入直線l的方程得y11，y2，所以D點坐標為.故CD .(2)證明當直線l與x軸垂直時與題意不符設直線l的方程為ykx1(k0且k)代入橢圓方程化簡得(4k21)x28kx0.解得x10，x2，代入直

7、線l的方程得y11，y2，所以D點坐標為.又直線AC的方程為y1，直線BD的方程為y(x2)，聯立解得因此Q點坐標為(4k,2k1)又P點坐標為.所以··(4k,2k1)4.故·為定值11已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，其上的動點M到一個焦點的距離最大為3，點M對F1、F2的張角最大為60°.(1)求橢圓C的方程；(2)設橢圓C在x軸上的兩個頂點分別為A，B，點P是橢圓C內的動點，且PA·PBPO2，求·的取值范圍解(1)設M(x0，y0)，由橢圓的第二定義，知MF2eaex0.ax0a，當x0a

8、時，(MF2)maxaeaac，ac3.又MF12aMF2aex0，F1F22c，(F1MF2)max60°，(cosF1MF2)min.而cosF1MF211.故當x00時，(cosF1MF2)min1，.即a2c.由，得a2，c1，b.故橢圓C的方程為1.(2)設P(x，y)，則由，得y2x22.x22，代入，得<1.x2<.2x2<.·(2x，y)·(2x，y)x2y24x2(x22)42x26.故·的取值范圍為.12給出雙曲線x21.(1)求以A(2,1)為中點的弦所在的直線方程；(2)若過點A(2,1)的直線l與所給雙曲線交于P1，P2兩點，求線段P1P2的中點P的軌跡方程；(3)過點B(1,1)能否作直線m，使得m與雙曲線交于兩點Q1，Q2，且B是Q1Q2的中點？這樣的直線m若存在，求出它的方程；若不存在，說明理由解(1)設弦的兩端點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則兩式相減得到2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，又x1x24，y1y22，所以直線斜率k4.故求得直線方程為4xy70.(2)設P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，按照(1)的解法可得，由于P1，P2，P