1、第7講 立體幾何中的向量方法()求空間角一、填空題1. 如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1上的動點(diǎn)，則直線NO、AM的位置關(guān)系是_解析建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長為2，則A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，t,2)，(1,1t，2)，(2,0,1)，·0，則直線NO、AM的位置關(guān)系是異面垂直答案異面垂直2在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則sin，的值為_解析設(shè)正方體的棱長為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系

2、(如圖)，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，所以sin，.答案3在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為_解析建立坐標(biāo)系如圖，則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為.答案4已知直二面角l，點(diǎn)A，ACl，C為垂足，點(diǎn)B，BDl，D為垂足，若AB2，ACBD1，則CD_.解析如圖，建立直角坐標(biāo)系Dxyz，由已知條件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t0)，由AB2解得t.答案5在正方體ABCDA1

3、B1C1D1中，E是棱BB1中點(diǎn)，G是DD1中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)且FBBC，則GB與EF所成的角為_解析如圖建立直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)DA1，由已知條件G，B，E，F(xiàn)，cos，0，則.答案90°6正四棱錐S ABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SOOD，則直線BC與平面PAC的夾角的大小為_解析如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)ODSOOAOBOCa，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P.則(2a,0,0)，(a，a,0)設(shè)平面PAC的法向量為n，可求得n(0,1,1)，則cos，n.，n60°，直線BC與平面PA

4、C的夾角為90°60°30°.答案30°7. 如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD底面ABCD，M為底面ABCD內(nèi)的一個動點(diǎn)，且滿足MPMC，則點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為_解析以D為原點(diǎn)，DA、DC所在直線分別為x、y軸建系如圖：設(shè)M(x，y,0)，設(shè)正方形邊長為a，則P，C(0，a,0)，則MC，MP .由MPMC得x2y，所以點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為直線yx的一部分答案8已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)P在線段BD1上，當(dāng)APC最大時，三棱錐PABC的體積為_解析以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，

5、BA為x軸，BC為y軸，BB1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)設(shè)，可得：P(，)再由cos APC可求得當(dāng)時，APC最大故VPABC××1×1×.答案9已知P是二面角AB棱上的一點(diǎn)，分別在、平面上引射線PM、PN，如果BPMBPN45°，MPN60°，那么二面角AB的大小為_解析不妨設(shè)PMa，PNb，如圖，作MEAB于E，NFAB于F，EPMFPN45°，PEa，PFb，·()·()····abcos 60°a×bcos 45°ab

6、cos 45°a×b0，二面角AB的大小為90°.答案90°10已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為_解析如圖，建立直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)DA1由已知條件A(1,0,0)，E，F(xiàn)，設(shè)平面AEF的法向量為n(x，y，z)，面AEF與面ABC所成的二面角為由令y1，z3，x1，則n(1,1，3)平面ABC的法向量為m(0,0，1)cos cosn，m，tan .答案二、解答題11. 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90°，BAC30

7、°，BC1，AA1，M是棱CC1的中點(diǎn)(1)求證：A1BAM；(2)求直線AM與平面AA1B1B所成角的正弦值解(1)C1C平面ABC，BCAC，分別以CA，CB，CC1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系則B(0,1,0)，A1(，0，)，A(，0,0)，M.(，1，)，·3030，.即A1BAM.(2)由(1)，知(，1,0)，(0,0，)，設(shè)平面AA1B1B的法向量為n(x，y，z)，則不妨取n(，3,0)設(shè)直線AM與平面AA1B1B所成角為.sin |cos，n|.12. 如圖，已知正三棱柱ABC vA1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為3，點(diǎn)E在側(cè)棱AA1上

8、，點(diǎn)F在側(cè)棱BB1上，且AE2，BF.(1)求證：CFC1E；(2)求二面角ECFC1的大小解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則由已知可得A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2，3)，E(0,0，2)，F(xiàn)(，1，)(1)證明(0，2，)，(，1，)·0220，所以CFC1E.(2)解(0，2,2)，設(shè)平面CEF的一個法向量為m(x，y，z)，由m，m，得即解得可取m(0，1)，設(shè)側(cè)面BC1的一個法向量為n，由n，n，及(，1,0)，(0,0,3)，可取n(1，0)設(shè)二面角ECFC1的大小為，于是由為銳角可得cos ，所以45°.即所求二面角E

9、CFC1的大小為45°.13. 如圖所示，已知點(diǎn)P在正方體ABCDABCD的對角線BD上，PDA60°.(1)求DP與CC所成角的大小；(2)求DP與平面AADD所成角的大小解如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA為單位長度建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則(1,0,0)，(0,0,1)連接BD，BD.在平面BBDD中，延長DP交BD于H.設(shè)(m，m,1)(m>0)，由已知，60°，即·|cos，可得2m.解得m，所以.(1)因?yàn)閏os，所以，45°，即DP與CC所成的角為45°.(2)平面AADD的一個法向量是(0,1,0)因?yàn)閏os，所以，60°，可得DP與平面AADD所成的角為30°.14如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，ADBC，ABC90°，PA平面ABCD，PA3，AD2，AB2，BC6.(1)求證：BD平面PAC；(2)求二面角PBDA的大小(1)證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，(0,0,3)，(2，6,0)，(2，2,0)