1、2021/8/261第一講第一講 評價相對有效性的評價相對有效性的DEA模型模型 運籌學的新領域運籌學的新領域 1978年由著名的運籌學家年由著名的運籌學家A.Charnes(查恩斯查恩斯), W.W.Cooper(庫伯庫伯), 及及E.Rhodes(羅茲羅茲)首先提出了一個被稱首先提出了一個被稱為數據包絡分析（為數據包絡分析（Data Envelopment analysis, 簡稱簡稱DEA模模型型）的方法，用于評價相同部門間的相對有效性（因此被）的方法，用于評價相同部門間的相對有效性（因此被稱為稱為DEA有效）有效）.他們的第一個模型被命名為他們的第一個模型被命名為C2R模型模型.從生從

2、生產函數的角度看產函數的角度看,這一模型是用來研究具有多個輸入這一模型是用來研究具有多個輸入,特別是特別是具有多個輸出的具有多個輸出的“生產部門生產部門”同時為同時為“規模有效規模有效”與與“技技術有效術有效”的十分理想且卓有成效的方法的十分理想且卓有成效的方法.1985年查恩斯年查恩斯,庫伯庫伯,格拉尼格拉尼(B.Golany),賽福德賽福德(L.Seiford)和斯圖茨和斯圖茨(J.Stutz)給出給出另一個模型另一個模型(稱為稱為C2GS2模型模型),這一模型用來研究生產部門這一模型用來研究生產部門間的間的“技術有效性技術有效性”. 2021/8/262 1987年查恩斯年查恩斯,庫伯庫

3、伯,魏權齡和黃志明又得到了稱為錐比魏權齡和黃志明又得到了稱為錐比率的數據包絡模型率的數據包絡模型C2WH模型。這一模型可用來處理模型。這一模型可用來處理具有過多的輸入及輸出的情況具有過多的輸入及輸出的情況,而且錐的選取可以體現決策而且錐的選取可以體現決策者的者的“偏好偏好”.靈活地應用這一模型靈活地應用這一模型,可以將可以將C2R模型中確定模型中確定出的出的DEA有效決策單元進行分類或排隊有效決策單元進行分類或排隊. 數據包絡分析是運籌學的一個新的研究領域數據包絡分析是運籌學的一個新的研究領域.查恩斯和查恩斯和庫伯等人的第一個應用庫伯等人的第一個應用DEA的十分成功的案例的十分成功的案例,就是

4、評價為就是評價為弱智兒童開設公立學校項目的效果弱智兒童開設公立學校項目的效果.在評估中在評估中,輸出包括輸出包括“自自尊尊”等無形的指標等無形的指標;輸入包括父母的照料和父母的文化程度輸入包括父母的照料和父母的文化程度等等,無論哪種指標都有無法與市場價格相比較無論哪種指標都有無法與市場價格相比較,也難以輕易定也難以輕易定出適當的權重出適當的權重(權系數權系數),這也是這也是DEA的優點之一的優點之一. DEA的優點吸引眾多的應用者的優點吸引眾多的應用者,應用范圍已擴展到美國應用范圍已擴展到美國軍用飛機的飛行軍用飛機的飛行,基地維修與保養基地維修與保養,以及陸軍征兵以及陸軍征兵,城市城市,銀行銀

5、行 2021/8/263等方面等方面.目前目前,這一方法應用的領域在不斷地擴大這一方法應用的領域在不斷地擴大.它也可以用它也可以用來研究多種方案之間的相對有效性來研究多種方案之間的相對有效性(例如投資項目的評價例如投資項目的評價);研究在決策之前去預測一旦做出決策后它的相對效果如何研究在決策之前去預測一旦做出決策后它的相對效果如何(例如建立新廠后例如建立新廠后,新廠相對于已有的一些工廠是否為有效新廠相對于已有的一些工廠是否為有效).DEA是對其決策單元（同類型的企業或部門）的投入規模是對其決策單元（同類型的企業或部門）的投入規模、技術有效性作出評價，即對各同類型的企業投入一定數、技術有效性作出

6、評價，即對各同類型的企業投入一定數量的資金、勞動力等資源后，其產出的效益（經濟效益和量的資金、勞動力等資源后，其產出的效益（經濟效益和社會效益）作一個相對有效性評價。社會效益）作一個相對有效性評價。為了說明為了說明DEA模型的建模思路，我們看下面的例模型的建模思路，我們看下面的例子子2021/8/264 例例1： 某公司有甲、乙、丙三個企業，為評價這幾個企某公司有甲、乙、丙三個企業，為評價這幾個企業的生產效率，收集到反映其投入（固定資產年凈值業的生產效率，收集到反映其投入（固定資產年凈值x1、流動資金流動資金x2、職工人數職工人數x3）和產出（總產值和產出（總產值y1、利稅總額利稅總額y2）的

7、有關數據如下表的有關數據如下表 企業指標甲乙丙x1（萬元）41527x2 （萬元）1545x3 （萬元）825y1 （萬元）602224y2 （萬元）1268 由于投入指標和產出指標都不止一個，故通常采用加由于投入指標和產出指標都不止一個，故通常采用加權的辦法來綜合投入指標值和產出指標值。權的辦法來綜合投入指標值和產出指標值。 2021/8/265對于第一個企業，產出綜合值為對于第一個企業，產出綜合值為60u1+12u2,投入綜合值投入綜合值4v1+15v2+8v3，其中其中u1 u2 v1 v2 v3分別為產出與投入的權重系分別為產出與投入的權重系數。數。我們定義第一個企業的生產效率為：我們

8、定義第一個企業的生產效率為：總產出與總投入的比總產出與總投入的比即即vvvuuh32121181541260類似，可知第二、第三個企業的生產效率分別為：類似，可知第二、第三個企業的生產效率分別為：vvvuuh3212122415622vvvuuh45278243212132021/8/266我們限定所有的我們限定所有的hj值不超過值不超過1，即，即 ，這意味著，這意味著，若第若第k個企業個企業hk=1，則該企業相對于其他企業來說生產率最則該企業相對于其他企業來說生產率最高，或者說這一生產系統是相對有效的，若高，或者說這一生產系統是相對有效的，若hk1，那么該那么該企業相對于其他企業來說，生產效

9、率還有待于提高，或者企業相對于其他企業來說，生產效率還有待于提高，或者說這一生產系統還不是有效的。說這一生產系統還不是有效的。1maxhj即即因此，建立第一個企業的生產效率最高的優化模型如下：因此，建立第一個企業的生產效率最高的優化模型如下：這是一個分式規劃，需要這是一個分式規劃，需要將它化為線性規劃才能求將它化為線性規劃才能求解。解。vvvuuh32121181541260max12415622321212vvvuuh14527824321213vvvuuh181541260321211vvvuuh2021/8/267設設vvvt32181541vtwutiiii,則此分式規劃可化為如下的則

10、此分式規劃可化為如下的線性規劃線性規劃1w8w15w4w4w5w27824w2w4w15622w8w15w41260. t . s1260hmax321321213212132121211其對偶其對偶問題為問題為128612602422608428155415427154. t . sVmin321321321321321Dvvvuuh32121181541260max12415622321212vvvuuh14527824321213vvvuuh1v8v15v4u12u60h3212112021/8/268 設vi為第i個指標xi的權重，ur為第r個產出yr指標的權重，則第j個企業投入的綜合

11、值為 ，產出的綜合值為 其生產效率定義為: 于是問題實際上是確定一組最佳的權變量v1,v2,v3和u1,u2，使第j個企業的效率值hj最大。這個最大的效率評價值是該企業相對于其他企業來說不可能更高的相對效率評價值。 xvij31iiyurj21rr31iiji21rrjrjxvyuh 我們限定所有的hj值(j=1,2,3)不超過1，即maxhj1。這意味著，若第k個企業hk=1，則該企業相對于其他企業來說生產率最高，或者說這一系統是相對而言有效的；若hk1，那么該企業相對于其他企業來說，生產率還有待于提高，或者說這一生產系統還不是有效的。 2021/8/269 根據上述分析，可以建立確定任何一

12、個企業（如第3 個企業即丙企業）的相對生產率最優化模型如下： 3 , 2 , 1i , 0, 2 , 1r , 03 , 2 , 1j , 1. t . sHmaxvuhhirj31、評價決策單元技術和規模綜合效率的、評價決策單元技術和規模綜合效率的C2R模型模型 設有n個同類型的企業（也稱決策單元），對于每個企業都有m種類型的“輸入”（表示該單元對“資源”的消耗）以及p種類型的“輸出”（表示該單元在消耗了“資源”之后的產出）。 這n個企業及其輸入-輸出關系如下： 2021/8/2610:y1ny2n:ypny1jy2j:ypj:y12y22:yp2y11y21:yp1u1u2:up12:p輸

13、出x1nx2n:xmnx1jx2j:xmj:x12x22:xm2x11x21:xm1v1v2:vm12:m輸入nj21 部門指標 權數每個決策單元的效率評價指數定義為： m1iijip1rrjrjxvyuhj=1,2,n2021/8/2611而第j0個決策單元的相對效率優化評價模型為： 上述模型中xij,yrj為已知數（可由歷史資料或預測數據得到），vi,ur為變量。模型的含義是以權系數vi,ur為變量，以所有決策單元的效率指標hj為約束，以第j0個決策單元的效率指數為目標。即評價第j0個決策單元的生產效率是否有效，是相對于其他所有決策單元而言的。 m1i0ijip1r0rjr0jxvyuhm

14、ax s.t. vi,ur0, i=1,2,m; r=1,2,p n,.,2 , 1j , 1m1iijip1rrjrxvyu（1）2021/8/2612 這是一個分式規劃模型，我們必須將它化為線性規劃模型才能求解。為此，令 m1i0ijixv1tvwiiturrt則模型（1）轉化為：p,.,2 , 1r;m,.2 , 1i, 0,1n,.,2 , 1j, 0. t . swxwxwyyhmaxir0ijm1iip1rm1iijirjrp1r0rjr0 j（2）2021/8/2613p,.,2 , 1r;m,.2 , 1i, 0,1n,.,2 , 1j, 0. t . swxwxwyyhmax

15、ir0ijm1iip1rm1iijirjrp1r0rjr0 j（2）寫成向量形式有:njXXYtsYhTjTjTTj,.,2 , 10, 010. .max0002021/8/2614其對偶問題為：無約束,0p,.,2, 1r ,m,.,2, 1i ,. t . sminjn1j0rrjjn1j0iijjDyyxxv（3）寫成向量形式有：, 0, 0, 0jn1j0jj0jn1jjssysyxsxs.t.無約束（4） min2021/8/2615設問題（4）的最優解為*，s*-,s*+,*，則有如下結論： （1）若*=1，則DMUj0為弱DEA有效（總體）。（2）若*=1，且s*-=0,s*+

16、=0，則DMUj0為DEA有效（總體）（3）令 0=*x0- s*-, 0=y0+ s*+,則為在有效前沿面上的投影，相對于原來的n個DMU是有效（總體）的。 x y x y （4）若存在j*(j=1,2,m),使 =1成立，則DMUj0為規模效益不變；若不存在j*(j=1,2,m)，使 =1成立，則 1 DMUj0為規模效益遞減。 n1j*jn1j*jn1j*jn1j*jn1j*j2021/8/2616有效解的解釋：有效解的解釋：F(X)=f1(X),f2(X),fn(X)如對于求極大(max)型，其各種解定義如下：絕對最優解：若對于任意的X，都有F（X*）F(X)有效解：若不存在X，使得F

17、（X*） F(X)弱有效解：若不存在X，使得F（X*)F(X)2021/8/26172021/8/2618P63例例28 以以1997年全部獨立核算企業為對象年全部獨立核算企業為對象,對安徽、江西對安徽、江西、湖南和湖北四省進行生產水平的比較。投入要素取固定、湖南和湖北四省進行生產水平的比較。投入要素取固定資產凈值年平均余額資產凈值年平均余額(億元億元),流動資金年平均余額及從業人流動資金年平均余額及從業人員員(萬人萬人),產出要素取總產值產出要素取總產值(億元億元)和利稅總額和利稅總額(億元億元).安徽安徽江西江西湖南湖南湖北湖北固定資產固定資產932.66583.08936.841306.

18、56流動資金流動資金980.45581.64849.311444.30從業人員從業人員401.8294.2443.20461.00利稅總額利稅總額179.2949.76144.20181.41總產值總產值2196.09930.221659.042662.21全要素相對生產率全要素相對生產率(即即DEA評價值評價值)1.0000.71400.92851.000排序排序13212021/8/26191. 建立評價湖南省的建立評價湖南省的DEA模型如下模型如下 無約束無約束, 004.1659s21.266204.165922.93009.219620.144s410.18120.144760.49

19、29.17920.443s000.46120.44320.24980.40131.849s40.144431.84964.58145.98084.936s56.130684.93608.58366.932. t . sVminj2432114321343212432114321D求解結果為求解結果為:24.107s, 0s,17.88s, 0s,71.119s, 0,8043. 0,9285. 0213214321 調整方案為調整方案為:輸入調整前輸入調整前輸入調整后輸入調整后輸出調整前輸出調整前輸出調整后輸出調整后936.84936.84*0.9285-119.71=750.15144.20

20、144.20849.31849.31*0.9285=788.581659.041659.04+107.24=1766.28443.20443.2*0.9285-88.17=323.342021/8/26202、具有非阿基米德無窮小的C2R模型在評價決策單元是否為DEA有效時,如果利用原線性規劃問題njXXYtsYhTjTjTTj,.,2 , 10, 010. .max000需要判斷是否存在最優解 ，滿足00,1, 0, 000000Yhj如果利用對偶線性規劃0, 0. .min1010SSYSYXSXtsjnjjjnjjj需要判斷它的所有最優解都滿足1, 0, 0000SS 無論是對于線性規劃

21、還是對于對偶規劃，這都是不容易做到的。因此Charnes 和Cooper引入了非阿基米德無窮小的概念，利用線性規劃方法求解。去判斷決策單元的DEA有效性。2021/8/2621令是非阿基米德無窮小量，它是一個小于任何正數、且大于零的數。考慮帶有非阿基米德無窮小的C2R模型：njeeXXYtsYhTTTTTjTjTTj,.,2 , 110. .max000對偶問題為：0, 0. .) (min1010SSYSYXSXtsSeSejnjjjnjjjTT其中smTEeEe)1,.,1 ,1()1,.,1 ,1(2021/8/26225、DEA有效性的經濟含義有效性的經濟含義考慮投入量為 ，產出量為

22、的某種生產活動。我們的目的是根據所觀察到的生產活動（xj,yj),j=1,2,n,去描述生產可能集，特別是根據這些觀察數據去確定哪些生產活動是相對有效的。TmxxxX),.,(21TsyyyY),.,(21生產可能集生產可能集定義為：T=(X,Y)|產出向量Y可以由投入向量X生產出來因此，生產可能集可確定為：njnjjjjjjYyXxYXT110,| ),(2021/8/2623有效性定義：有效性定義：對任何一個決策單元，它達到對任何一個決策單元，它達到100%的效率是的效率是指：在現有的輸入條件下，任何一種輸出都無法增加，指：在現有的輸入條件下，任何一種輸出都無法增加，除非同時降低其他種類的

23、輸出；要達到現有的輸出，任除非同時降低其他種類的輸出；要達到現有的輸出，任何一種輸入都無法降低，除非同時增加其他種類的輸入。何一種輸入都無法降低，除非同時增加其他種類的輸入。一個決策單元達到了一個決策單元達到了100%的效率，該決策單元就是有效的的效率，該決策單元就是有效的，也就是有效的決策單元。，也就是有效的決策單元。無效性定義無效性定義：（1）對任意（X，Y）T，并且 ，均有（2）對任意（ X，Y）T，并且 ，均有這就是說，以較多的輸入或較少的輸出進行生產總是可能的。XX YY TYX),(TYX),(2021/8/2624既是技術有效,也是規模有效 下面我們以單輸入單輸出的情況來說明下面

24、我們以單輸入單輸出的情況來說明DEA有效性的有效性的經濟含義。首先敘述生產函數的概念。生產函數經濟含義。首先敘述生產函數的概念。生產函數Y=f(X）表示在生產處于最好的理想狀態時，當投入量為表示在生產處于最好的理想狀態時，當投入量為X,所能獲所能獲得的最大輸出得的最大輸出.因此因此,生產函數圖象上的點生產函數圖象上的點(X表示輸入表示輸入,Y表示表示輸出輸出)所對應的決策單元所對應的決策單元,從生產函數的角度看從生產函數的角度看,是處于是處于“技技術有效術有效”的狀態的狀態.一般來說生產函數的圖象如下一般來說生產函數的圖象如下:ABC既不是技術有效,也不是規模有效技術有效,但不是規模有效202

25、1/8/2625我們現在來研究在模型我們現在來研究在模型C2R之下的之下的DEA有效性的經濟含義有效性的經濟含義.檢驗決策單元檢驗決策單元j0的的DEA有效性有效性,即考慮線性規劃問題即考慮線性規劃問題:njYYXXtsjnjjjnjjj.,2 , 1, 0. .min1010TYX),(00由于 ,即 滿足),(00YXnjjjnjjjYYXX1010 可以看出可以看出,線性規劃是表示在生產可能集線性規劃是表示在生產可能集T內內,當產出當產出Y0保持不變的情況下保持不變的情況下,盡量將投入量盡量將投入量X0按同一比例按同一比例減少減少.如如果投入量果投入量X0不能按同一比例不能按同一比例減少

26、減少,即線性規劃的最優值即線性規劃的最優值=1,在單輸入與單輸出的情況下在單輸入與單輸出的情況下,決策單元決策單元j0既為技術有效既為技術有效,也為規模有效也為規模有效.反之反之,如果投入量如果投入量X0能按同一比例能按同一比例減少減少,即即線性規劃的最優值線性規劃的最優值1,在單輸入與單輸出的情況下在單輸入與單輸出的情況下,決策決策單元單元j0不為技術有效不為技術有效,或不為規模有效或不為規模有效.2021/8/2626例題例題: 下面是具有下面是具有3個決策單元的單輸入數據和單輸出數據個決策單元的單輸入數據和單輸出數據.相應決策單元所對應的點以相應決策單元所對應的點以A,B,C表示表示,其

27、中點其中點A、C在生產在生產曲線上曲線上,點點B在生產曲線下方。由在生產曲線下方。由3個決策單元所確定的生產個決策單元所確定的生產可能集可能集T也在圖中標出來。也在圖中標出來。2 4 52 1 3.5輸入輸出A(2,2)B(4,1)C(3,5)Y=Y(X)對于決策點A,它是“技術有效”和“規模有效”,它所對應的C2R模型為0,25 . 322542.min321321321ts其最優解為:1,)0 , 0 , 1 (00T2021/8/26272 4 52 1 3.5輸入輸出A(2,2)B(4,1)C(3,5)Y=Y(X)對于決策點B,它不是“技術有效”,因為點B不在生產函數曲線上,也不是“規

28、模有效”,這是因為它的投資規模太大.0,15 . 324542.min321321321ts其最優解為:4/1,)0 , 0 , 2/1 (00T其對應的C2R模型如下:由于1,故B點不是DEA有效,由 ,知該部門的規模收益是遞減的.3100121jj2021/8/26282 4 52 1 3.5輸入輸出A(2,2)B(4,1)C(3,5)Y=Y(X)0,5 . 35 . 325542.min321321321ts其最優解為:10/7,)0 , 0 , 4/7(00T對于決策點C,因為點C是在生產函數曲線上,它是“技術有效”,但由于它的投資規模太大,所以不是“規模有效”.其對應的C2R模型如下

29、:由于1,故C點不是DEA有效,由 ,知該部門的規模收益是遞減的.31001251jj2021/8/2629二、評價技術有效性的二、評價技術有效性的C2GS2模型模型考慮一對線性規劃對偶問題：考慮一對線性規劃對偶問題：njXXYtsYVTjTjTTP,.,2 , 10, 010. .max0000(P)0, 01. .min11010SSYSYXSXtsVjnjjnjjjnjjjD(D) 該模型計算出的DMU效率是純技術效率，反映DMU的純技術效率狀況，稱為純技術效率。設問題的最優解為*，s*-,s*+,*，則有如下結論： (1)若*=1，則DMUj0為弱DEA有效（ C2GS2純技術）。(2

30、)若*=1，且s*-=0,s*+=0，則DMUj0為DEA有效(C2GS2純技術)。2021/8/2630線性規劃線性規劃(D)的經濟解釋是的經濟解釋是:在生產可能集在生產可能集T內內,當產出當產出Y0保持不變的情況下保持不變的情況下,盡量將盡量將投入量投入量X0按同一比例按同一比例減少減少.如果投入量如果投入量X0不能按同一比例不能按同一比例減少減少,即線性規劃的即線性規劃的最優值最優值=1,在單輸入與單輸出的情況下在單輸入與單輸出的情況下,決策單元決策單元j0既為技術有效既為技術有效.反之反之,如果投入如果投入量量X0能按同一比例能按同一比例減少減少,即線性規劃的即線性規劃的最優值最優值1

31、,在單輸入與單輸出的情況下在單輸入與單輸出的情況下,決策單元決策單元j0不為技術有效不為技術有效.C2GS2模型的經濟解釋模型的經濟解釋:0, 01. .min11010SSYYXXtsVjnjjnjjjnjjjD(D)在這里之所以與在這里之所以與C2R模型的情況不同模型的情況不同,是因為生產可能集是因為生產可能集T的構成不滿足的構成不滿足“錐性錐性”的公理假設的公理假設.“錐性錐性”的公理假設的公理假設:對任意對任意(X,Y)T,及數及數k0,均有均有這就是說這就是說,若以投入量若以投入量X的的k倍進行輸入倍進行輸入,那么產出量也以原那么產出量也以原來產出來產出Y的的k倍產出是可能的倍產出是

32、可能的.TkYkXYXk),(),(2021/8/2631具有非阿基米德無窮小的模型為具有非阿基米德無窮小的模型為:0,01.)(min11010SSYSYXSXtsSeSeVjnjjnjjjnjjjTTDnjeeXXYtsYVTTTTjTjTTP,.,2 , 110. .max0000(P)(D)2021/8/2632例題例題:考慮具有一個輸入和一個輸出的問題考慮具有一個輸入和一個輸出的問題,它們由下表給它們由下表給出出:1 3 42 3 1輸入輸出考察決策單元考察決策單元1,相應的線性規劃模型為相應的線性規劃模型為:0,123243.min321321321321ssts其最優解為:0,

33、1,)0 , 0 , 1 (00ssT知決策單元1為DEA有效(C2GS2)2021/8/26331 3 42 3 1輸入輸出考察決策單元考察決策單元2,相應的線性規劃模型為相應的線性規劃模型為:0,1332343.min321321321321ssts其最優解為:0, 1,)0 , 1 , 0(00ssT知決策單元2為DEA有效(C2GS2)2021/8/26341 3 42 3 1輸入輸出考察決策單元考察決策單元3,相應的線性規劃模型為相應的線性規劃模型為:0,1132443.min321321321321ssts其最優解為:1, 0, 4/1,)0 , 0 , 1 (00ssT知決策單元

34、3不為DEA有效(C2GS2)T(1,2)(3,3)(4,1)2021/8/26351 3 42 3 1輸入輸出對于決策單元對于決策單元2,為為DEA有效有效(C2GS2),但卻不是但卻不是DEA(C2R)有有效效.0,332343.min321321321ssts其最優解為:21,)0 , 0 ,23(00T知決策單元2不為DEA有效(C2R)T(1,2)(3,3)(4,1)T(1,2)(3,3)(4,1)其其C2R模型為模型為:2021/8/2636三、評價第三、評價第j0決策單元決策單元DMU純規模效率模型為：純規模效率模型為： *s（6） 根據DEA的理論，總體效率*、純技術效率*、純

35、規模效率s*三個參數之間存在（6）式所述的關系，由（6）可直接計算DMU的純規模效率。 2021/8/2637四、具有錐比率的四、具有錐比率的C2WH模型模型假設有假設有n個決策單元對應的輸入數據和輸出數據如下個決策單元對應的輸入數據和輸出數據如下XY1 2 nm1s1矩陣為nmxxxXn),.,(21矩陣為nsyyyYs),.,(21 VEVmint,并且為閉凸錐 UEUsint,并且為閉凸錐為閉凸錐nEK則則C2WH模型如下：模型如下：njUVXKYXtsYVTjTjTTP,.,2 , 1,1. .max00 2021/8/2638則則C2WH模型如下：模型如下：njUVXKYXtsYVT

36、jTjTTP,.,2 , 1,1. .max00 (P)結論結論:(1)若規劃若規劃P存在最優解存在最優解 ,滿足滿足*0*0.minKUYYVXXtsVD (D)00, UVYVTpint,int, 10000 100YVTp 則稱決策單元則稱決策單元j0為弱為弱DEA有效有效(C2WH) (2)若規劃若規劃P存在最優解存在最優解 ,滿足滿足00, 則稱決策單元則稱決策單元j0為為DEA有效有效(C2WH)2021/8/2639使用凸錐去度量決策單元的使用凸錐去度量決策單元的DEA有效性時有效性時,相應的生產可能相應的生產可能集為集為:),(),(),( | ),(*KUVYXYXYXT其中

37、其中, 0|*VvvvvVT對任意, 0|*UuuuuUT對任意, 0|*KkkkkKT對任意若令若令nsmEKEUEV,則錐比率模型則錐比率模型(P)和和(D)化為化為C2R模型模型0, 010. .max00XYXtsYVTjTjTTP(P)000.min00YYXXtsVD(D)可見可見C2WH模型是模型是C2R模型的推廣模型的推廣.2021/8/2640例題例題:考慮具有二個輸入和一個輸出的問題考慮具有二個輸入和一個輸出的問題,它們由下表給它們由下表給出出:3 3 410 1 3 21 1 2 1輸入輸出在使用在使用C2R模型評價時模型評價時,決策單元決策單元1,2,3均為均為DEA有

38、效有效(C2R).以決策單元以決策單元2為例為例.其其C2R模型為模型為:0,13024023303010. .max121211211211211211tsVp其最優解為其最優解為故為故為DEA有效有效(C2R)1, 1, 06361010PTV 2021/8/2641 我們知道我們知道,在使用在使用DEA方法評價部門間的相對有效性時方法評價部門間的相對有效性時,變量變量v表示對輸入的權系數表示對輸入的權系數,它表示各種不同輸入之間的相它表示各種不同輸入之間的相對重要對重要;變量變量u表示對輸出的權系數表示對輸出的權系數,表示各種不同輸出之間表示各種不同輸出之間的相對重要性的相對重要性.于是

39、于是,在在C2R模型中的線性規劃模型中的線性規劃(P)中的中的和和也具有同樣的意義也具有同樣的意義.在求線性規劃問題在求線性規劃問題(P)的最優解時的最優解時,實際實際上是選取對決策單元上是選取對決策單元j0最為有利的權系數最為有利的權系數.在很多實際問題在很多實際問題中中,每項輸入每項輸入(或輸出或輸出)的重要性是不盡相同的的重要性是不盡相同的(例如某項生產例如某項生產活動中輸入可以是黃金和煤炭的情況活動中輸入可以是黃金和煤炭的情況).因此因此,權系數的選取權系數的選取應該滿足一定的限制應該滿足一定的限制.在上述例子中在上述例子中,決策單元決策單元2是是DEA有效有效(C2R)時時,表示輸入

40、項目表示輸入項目1和輸入項目和輸入項目2的重要性之比是的重要性之比是3:10201 如果事先認為第一項輸入與第二項輸入的重要性之比為如果事先認為第一項輸入與第二項輸入的重要性之比為100201 則必須使用則必須使用C2WH模型模型,此時此時,對決策單元對決策單元2,有有:2021/8/26420,),(13024023303010. .max121211211211211211VtsVTp其中0, 010|),(22121 TV求解結果為求解結果為03225. 0,3225. 0,53225. 0211 不為不為DEA有效有效(C2WH)下面討論當下面討論當V,U,K為多面凸錐時的為多面凸錐時的C2WH模型模型.令令,.,2 , 1, 0|1miaVimiii ,.,2 , 1, 0|1sibUrsrrr mmmaaaA 21sssbbbB 21則有則有0|*0|*BuuUAvvV2021/8/2643AX1 AX2 AXn By1 By2 BYn1 2 nm1s 1因此因此,將將DEA模型轉