1、1.已知 A （ t） =2t+ t+5,求A(t )2 tt（1）對應的 a（ t）； A（ 0） =5a（ t） = A(0) = 5+5+1（2） I 3； I 3=A(3)-A(2)=2*3+3 +5-(2*2+2 +5)=2+32I 4A(4)A(3)2*445(2*335)43（3） i 4; i 4= A(3)A(3)1131132.證明：（ 1） A(n)A(m)I (m1)I ( m2). In（ 2） A(n)(1in ) A(n1).（1）A( n) A(m) A( n)A(n1)A( n1)A( n2).A( m 1) A( m) In In 1 . Im 1（m<

2、;n ）InA n A n 1inA(n 1) A(n) A(n 1)(2) in1A n 1A nA( n) ( 1i n ) A ( n 13.(a)若 ik 是時期 k 的單利利率（ k=1,2.,n ）證明 a(n)-a(0)= i1 i2.in(b) 若 ik 是時期 k 的復利利率（ k=1,2.,n ）證明 A(n)A(0)I1I 2.I n（a） a(n)-a(0)=a(n)-a(n-1)+a(n-1)-a(n-2)+.+a(1)-a(0)= inin 1.i1（b） A(n) A(0) A(n) A(n 1) A(n 1) A(n2) .A(1)A(0)I n I n 1 .

3、 I 14.已知投資 500 元， 3 年后得到 120 元的利息。試分別確定以相同的單利利息，復利利息投資 800 元在 5 年后的積累值。單利a(t) 1 itI 3A(3) A(0)5 0 0 (1 i 3 *1) 1201200.08iA(5)800(15*0.08)1120150*3復利a( t)(1 it ) I 3A(3) A(0)5 0 0 (i31 )11 2 0i3 1.241A( 5)8 0 0 (1i5)5 / 31144. 97800* 1. 24元5.已知某筆投資在三年后的積累值為1000 元，第一年的利率為i1 =10%，第二年的利率為i2 =8% ，第三年的利率

4、為i3 =6%，求該筆投資的原始金額A(3)A(0)(1i1 )(1i2 )(1i 3 )A(0)A( 3)1000( 1 i1 ) ( 1 i2) ( 1i3794. 10) 1.1*1.08*1.066.證明：設當前所處時刻為0，則過去 n 期的一元錢的現值與未來n 期后的一元錢的現值之和大于等于 21過去 n 期 1 元錢的現值為 (1i )n ，未來 n 期后一元錢的現值為 (1i )n(1 i)n12(1 i )n（當 n=0 時，等號成立）7.（ 1）對于 8%的復利，確定d4 ；（ 2）對于 8%的單利，確定d4 ；dI 4(18%)4(18%)3110.074（1） a(t )

5、(18%) t4(1 8%)4a(4)1.08d4I 418%*4 1 8%*38%0.061a(4)18%*41.32（2）( m)1i (5)1i(6)5)mi16，確定 m8.已知1i(5)(1( 5) 5* mi(m)5i(m )i)5mmm(1im5(1i )56(1i )301mi(6) )(1m)(6)m1i6*66(1)6m309.如果 A(t)kat bt 2d ct，其中 k,a,b,c,d 為常數，求 & t 的表達式A(t)kat t 2dctb& tA '(t)katbt 2d ctln a2kta t bt2d ctln bkct at bt

6、2d ctln d ln cln a 2t ln b ct ln d ln ckatbt2tA( t)d c10.確定下列導數：d dd iddd（ a） dt；（b）dd；（c） dv（ d） d。ddd (i)1ii1解：（ a） didi1i(1i )2(1 i) 2didd1dd1（ b） dd()(1 d )2(1 d ) 2dd 1 ddd(Inv )1（ c） dvdvvddd(1 e)e（ d） dd11.用級數展開形式確定下列各項：（ a） i 作為 d 的函數；（ b） d 作為 i 的函數；（ c） i (m ) 作為 i 的函數；（ d） v 作為 的函數；（ e） 作

7、為 d 的函數。iddd 2d n解：（ a）1ddiii 2i 3( i )n（ b）1i1i(1i m ) m（ c）m11 i1 ( 11)1 ( 11)(12)m 1 i2(m 1)(m2) i3i ( m)m(1 i) mmm(1m mi2mmmi 3) m im2!3!2! m3!mve1 ()()2()31232!3!2!3!（ d）（ e）In1( d )d 2( d) 3d 4d 2d 3d 4In(1 1 ( d)234d341d2s12.若tp1re st ，11t1t證明： at1rv11rv2，其中： v1e (P S)v2e P otdIn ( a( t ) )ts

8、( p s)t1rdtat0 ( p1rest)dta(t )e(rest )證明：e11 1 reste ( p s t)1 e p( s t )r e pt1 v1trv2t ;a1 r1 r1 r1 r1 rtv1e ( PS)v2e P13. 假設某人在1984年7月1日投資1000 元于某基金，該基金在 t 時的利息力為t =（ 3+2t）/50 ，其中 t 為距 1984 年 1 月 1 日的年數，求該筆投資在1985年 1 月 1 日的積累值。1dt132tt =1000et=1000edt=1046.0279解：1/21/2 5014.基金 A 以每月計息一次的名義利率12%積

9、累，基金 B 以利息強度t =t/6 積累，在時刻 t=0時，兩筆基金存入的款項相同，試確定兩基金金額相等的下一刻。解：設在時刻t=0 兩基金存入的款項相同都為1，兩基金金額相等的下一刻為t。(112%)12tSB = et t dtSA=SB12tt 2sA =120 61.01 =e12t=1.432815.基金 X 中的投資以利息力t =0.01t+0.1（ 0t20 ）積累；基金Y 中的錢以實際利率i 積累，現分別投資1 元與基金 X 、Y 中，在第20 年末，它們的積累值相同，求在第3 年末基金 Y 的積累值。20(0.01t0.1)dt解： Sx (20)e 04= eSY （ 20）=(1i) 20SX(20) SY( 2 0e4(1i)2 0SY( 3)(1 i 3 )1. 822116.一投資者投資 100 元與基金 X 中，同時投資100 元于基金 Y 中，基金 Y 以復利計息， 年利率 j>0 ，基金 X以單利計息，年利率為1.05j，在第二年末，兩基金中的金額相等。求第五年末基金 Y 中的金額。202SX (2)(0.01t0.1)dt4Sy (2) 100(1 j )e 0解：= eSx (2)Sy (2)j 0.1Sy (15) 100(1i )5100(10.1)5161.051元17.兩項基金 X 和 Y 以相同金