1、第六節(jié)空間向量及其運(yùn)算空間向量及其應(yīng)用(1)理解直線的方向向量與平面的法向量(2)能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系(3)能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)(4)能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題， 了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一空間向量的有關(guān)概念1空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量：在空間中，具有大小和方向的量叫作空間向量，其大小叫作向量的長(zhǎng)度或模(2)相等向量：方向相同且模相等的向量(3)共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，則這些向量叫作共線向量或平行向量，a

2、 平行于 b 記作ab. (4)共面向量：平行于同一平面的向量叫作共面向量2空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b0)，ab? 存在 r，使 a b. (2)共面向量定理：若兩個(gè)向量a，b 不共線，則向量p 與向量 a， b 共面 ? 存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì) (x，y)，使 pxayb. (3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z 使得 pxayb zc.其中 a，b，c叫作空間的一個(gè)基底3兩個(gè)向量的數(shù)量積(1)非零向量a， b的數(shù)量積a b|a|b|cosa，b (2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合律

3、： ( a) b (a b)；交換律： a bb a；分配律： a (bc)a ba c. 易誤提醒(1)共線向量與共面向量區(qū)別時(shí)注意，平行于同一平面的向量才能為共面向量(2)空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底(3)由于 0 與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，故0 不能作為基向量(4)基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示自測(cè)練習(xí) 1已知空間四邊形oabc 中，oaa，obb，occ，點(diǎn) m 在 oa 上，且 om2ma，n 為 bc 中點(diǎn)，則 mn() a.12a23b12cb23a12b12cc.12a12b12cd.23a23b12c解析： 如圖所示，mn

4、maabbn13oa(oboa)12bcob23oa12(ocob) 12ob23oa12oc23a12b12c. 答案： b 2已知 a ( 1,0,2)，b(6,2 1,2 )，若 ab，則 與 的值可以是 () a2，12b13，12c 3,2 d2,2 解析： ab， b ka，即 (6,2 1,2 )k( 1,0,2)，6k 1 ，2 10，2 2k，解得 2， 12，或 3， 12.答案： a 知識(shí)點(diǎn)二空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè) a(a1，a2，a3)，b (b1，b2，b3). 向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a ba1b1a2b2a3b3共線a b(b0)a1b1，a2b2，a3b3垂

5、直a b0(a0，b0) a1b1a2b2a3b30 模|a|a21a22a23夾角a，b(a0， b0)cosa，ba1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23易誤提醒(1)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與坐標(biāo)原點(diǎn)的位置選取無(wú)關(guān)，這是因?yàn)橐粋€(gè)確定的幾何體，其 “ 線線 ” 夾角、 “ 點(diǎn)點(diǎn) ” 距離都是固定的，坐標(biāo)系的位置不同，只會(huì)影響其計(jì)算的繁簡(jiǎn)(2)進(jìn)行向量的運(yùn)算時(shí)，在能建系的情況下盡量建系，將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算必備方法用空間向量解決幾何問(wèn)題的一般步驟：(1)適當(dāng)?shù)倪x取基底a，b，c(2)用 a，b，c表示相關(guān)向量(3)通過(guò)運(yùn)算完成證明或計(jì)算問(wèn)題自測(cè)練習(xí) 3在空間直角坐標(biāo)系中，

6、已知點(diǎn)a(1,0,2)，b(1， 3,1)，點(diǎn) m 在 y 軸上，且m 到 a 與到 b 的距離相等，則m 的坐標(biāo)是 _解析： 設(shè) m(0，y,0)，由|ma| |mb|得(10)2(0y)2(20)2(1 0)2( 3y)2(10)2，解得 y 1.m(0， 1,0)答案： (0， 1,0) 考點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算|1設(shè)三棱錐o-abc 中，oaa，ob b，occ，g 是 abc 的重心， 則og等于 () aabcba bcc.12(abc) d.13(abc) 解析： 如圖所示，ogoaagoa13(abac)oa13(oboaocoa)13(abc)答案： d 2.如圖所示，已知空

7、間四邊形o -abc，其對(duì)角線為ob，ac，m，n 分別為 oa、bc 的中點(diǎn)，點(diǎn)g 在線段 mn 上，且 mg2gn，若 ogxoayobzoc，則 x， y，z 的值分別為_(kāi)解析： ogommg12oa23mn12oa23(on om)12oa23on23om12oa2312(oboc)2312oa16oa13ob13oc，又 ogxoayob zoc，根據(jù)空間向量的基本定理，x16，yz13. 答案：16，13，13(1)選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問(wèn)題的基本要求(2)空間向量問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為平面向量問(wèn)題來(lái)解決的，即把空間向量轉(zhuǎn)化到某

8、一個(gè)平面上，利用三角形法則或平行四邊形法則來(lái)解決考點(diǎn)二共線向量與共面向量定理的應(yīng)用|已知 e，f，g，h 分別是空間四邊形abcd 中邊 ab，bc， cd，da 的中點(diǎn)(1)求證： e，f，g，h 四點(diǎn)共面；(2)求證： bd平面 efgh ；(3)設(shè) m 是 eg 和 fh 的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)o，有om14(oaobocod)證明 (1)連接 bg，則egebbgeb12(bcbd) eb bfehefeh，由共面向量定理知，e，f，g，h 四點(diǎn)共面(2)因?yàn)?ehah ae12ad12ab12(adab)12bd，所以 eh bd. 又 eh? 平面 efgh ， bd?平面 e

9、fgh ，所以 bd 平面 efgh . (3)任取一點(diǎn)o，并連接om，oa，ob，oc， od，oe，og. 由(2)知eh12bd，同理 fg12bd，所以 ehfg，即 eh 綊 fg，所以四邊形efgh 是平行四邊形，所以 eg，fh 被點(diǎn) m 平分故om12(oe og)12oe12og1212oaob1212ocod14(oaobocod)證明點(diǎn)共面問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問(wèn)題，如要證明p，a，b，c 四點(diǎn)共面，只要能證明 paxpbypc或?qū)臻g任一點(diǎn)o，有 oa opxpbypc或 opxoayobzoc(xyz1)即可共面向量定理實(shí)際上也是三個(gè)非零向量所在直線共面的充要條件1

10、已知 a、b、c 三點(diǎn)不共線， 對(duì)平面 abc 外的任一點(diǎn)o，若點(diǎn) m 滿足 om13(oaoboc)(1)判斷 ma、mb、mc三個(gè)向量是否共面；(2)判斷點(diǎn) m 是否在平面abc 內(nèi)解： (1)由已知 oaoboc3 om，oaom(omob)(omoc)，即mabmcm mbmc，ma，mb，mc共面(2)由(1)知ma，mb，mc共面且過(guò)同一點(diǎn)m，所以四點(diǎn) m， a，b，c 共面，從而點(diǎn)m 在平面 abc 內(nèi)考點(diǎn)三利用空間向量證明平行、垂直|如圖所示的長(zhǎng)方體abcd-a1b1c1d1中，底面 abcd 是邊長(zhǎng)為2 的正方形， o 為ac 與 bd 的交點(diǎn)， bb12，m 是線段 b1d

11、1的中點(diǎn)(1)求證： bm平面 d1ac；(2)求證： od1平面 ab1c. 證明 (1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)o(1,1,0)，d1(0,0，2)，od1(1， 1，2)，又點(diǎn) b(2,2,0)，m(1,1，2)，bm(1， 1，2)，od1bm.又 od1與 bm 不共線，od1bm. od1? 平面 d1ac，bm?平面 d1ac，bm平面 d1ac. (2)連接 ob1，點(diǎn) b1(2,2，2)，a(2,0,0)，c(0,2,0)，od1 ob1(1， 1，2) (1,1，2)0，od1 ac (1， 1，2)(2,2,0)0，od1ob1， od1ac，即 od1ob1，

12、od1ac，又 ob1aco， od1平面 ab1c. (1)設(shè)直線l1的方向向量為v1(a1，b1， c1)，l2的方向向量為v2(a2，b2，c2)，則 l1l2? v1v2? (a1，b1，c1) k(a2，b2， c2)(kr)(2)設(shè)直線 l 的方向向量為v(a1，b1，c1)，平面 的法向量為n(a2，b2，c2)，則 l? vn? a1a2b1b2c1c20，l ? vn? (a1，b1，c1) k(a2， b2，c2)(kr)(3)設(shè)平面 的法向量為n1(a1，b1，c1)，平面 的法向量為n2(a2，b2，c2)，則 ? n1 n2， ? n1n2. 2.在長(zhǎng)方體abcd-a

13、1b1c1d1中， aa12ab2bc，e，f，e1分別是棱 aa1，bb1， a1b1的中點(diǎn)(1)求證： ce平面 c1e1f；(2)求證：平面c1e1f平面 cef. 證明： 以 d 為原點(diǎn)， da ，dc，dd1所在的直線為x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 d-xyz，設(shè) bc1，則 c(0,1,0)，e(1,0,1)，c1(0,1,2)，f(1,1,1)，e11，12，2 . (1)設(shè)平面 c1e1f 的法向量n(x， y，z)c1e1 1，12，0 ，fc1(1，0,1)，n c1e10，n fc10，即x12y0， xz0.令 x1，得 n(1,2,1)ce(1， 1,

14、1)， n ce12 10，cen. 又 ce?平面 c1e1f，ce平面 c1e1f. (2)設(shè)平面 efc 的法向量為m(a，b，c)，由ef(0,1,0)， fc(1,0， 1)，m ef0，m fc0，即b 0，ac0.令 a 1，得 m( 1,0,1)m n1 (1)20 11 11 0，平面 c1e1f平面 cef. 16.混淆空間 “向量平行 ”與“向量同向 ”致錯(cuò)【典例】已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且a，b 同向，則x，y 的值分別為 _解析 由題意知ab，所以x1x2y22y3，即y3x，x2y2 2x，解得x1，y3，或x 2，y 6.當(dāng)x 2，y

15、6，時(shí)，b (2， 4， 6) 2a，所以 a，b 兩向量反向，不符合題意，舍去當(dāng)x1，y3，時(shí) ，b(1,2,3)a，a 與 b 同向，所以x1，y3.答案 x1，y3 易誤點(diǎn)評(píng) 只考慮 ab，忽視了同向?qū)е虑蠼舛嘟夥婪洞胧?兩向量平行和兩向量同向不是等價(jià)的，同向是平行的一種情況，兩向量同向能推出兩向量平行， 但反之不成立， 也就是說(shuō)兩向量同向是兩向量平行的充分不必要條件跟蹤練習(xí) (2015成都模擬 )已知 a ( 1,0,2)，b(6,2u 1,2 )，若 ab，則 與 u的值可以是 () a2，12b13，12c 3,2 d2,2 解析： 由 ab驗(yàn)證當(dāng) 2，u12時(shí)成立答案： a a

16、組考點(diǎn)能力演練1(2015 深圳模擬 )已知三棱錐o-abc，點(diǎn) m，n 分別為 ab，oc 的中點(diǎn)，且 oaa，obb，occ，用 a，b，c 表示 mn，則 mn等于 () a.12(bca)b.12(abc) c.12(abc) d.12(cab) 解析： mnmaaoon12(cab)答案： d 2已知四邊形abcd 滿足： ab bc0，bc cd0，cd da0，da ab0，則該四邊形為() a平行四邊形b梯形c長(zhǎng)方形d空間四邊形解析： 由ab bc0，bc cd0，cd da0，da ab0，知該四邊形一定不是平面圖形，故選 d. 答案： d 3已知a(2， 1,3)，b (1

17、,4， 2)，c (7,5， )若 a，b， c 三向量共面，則實(shí)數(shù) 等于 () a.627b.637c.607d.657解析： 由題意得c ta b(2t ， t4 ，3t2 )，72t ，5 t4 ， 3t2 .t337， 177， 657.答案： d 4(2016 東營(yíng)質(zhì)檢 )已知 a(1,0,0)，b(0， 1,1)，oa ob與 ob的夾角為120 ，則 的值為 () a66b.66c66d 6 解析： oa ob(1， ， )，cos 120 122212，得 66. 經(jīng)檢驗(yàn) 66不合題意，舍去， 66. 答案： c 5設(shè) a(3,3,1)，b(1,0,5)， c(0,1,0)，a

18、b 的中點(diǎn)為m，則 |cm|等于 () a.534b.532c.532d.132解析： 設(shè) m(x，y，z)，則 x3122，y30232，z1523，即 m 2，32，3，|cm|2023212 302532.故選 c. 答案： c 6 (2016 合肥模擬 )向量 a(2,0,5)， b (3,1， 2)， c(1,4,0)， 則 a6b 8c_. 解析： 由 a(2,0,5)，b(3,1， 2)，c(1,4,0)， a6b 8c(28， 26， 7)答案： (28， 26， 7) 7已知向量a，b滿足條件： |a|2，|b|2，且 a 與 2ba 互相垂直，則a 與 b 的夾角為 _解析

19、：由于 a 與 2ba 互相垂直， 則 a (2ba) 0，即 2a b |a|20，所以 2|a|ba，b|a|20，則 4 2a，b40，則a，b22，所以 a 與 b 的夾角為 45 . 答案： 458空間四邊形oabc 中，oboc，且 aob aoc3，則oa，bc的值為_(kāi)解析： oa bcoa (ocob)oa ocoa ob |oa|ocoa，oc|oa|oboa，oboboc， aob aoc3， oa bc 0，即oabc，oa， bc0. 答案： 0 9(2016 唐山模擬 )已知空間三點(diǎn)a(2,0,2)，b(1，1,2)，c(3,0,4)，設(shè)a ab，bac. (1)求

20、a 和 b 夾角的余弦值(2)設(shè)|c|3，c bc，求 c的坐標(biāo)解： (1)因?yàn)?ab(1,1,0)，ac(1,0,2)，所以 a b 100 1，|a|2，|b|5. 所以 cosa， ba b|a|b|1251010. (2)bc(2， 1,2)設(shè) c(x，y，z)，因?yàn)?|c|3，cbc，所以x2y2z23， 存在實(shí)數(shù) 使得 c bc， 即x 2 ，y ，z2聯(lián)立解得x 2，y 1，z2， 1，或x2，y1，z 2， 1，所以 c (2， 1,2)10(2016 太原模擬 )如圖，直三棱柱abc-a1b1c1，底面 abc 中，cacb1，bca90 ，棱 aa1 2，m，n 分別是 a

21、1b1，a1a 的中點(diǎn)(1)求bn的模(2)求 cosba1，cb1的值(3)求證： a1bc1m. 解： 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系(1) 依 題 意 得b(0,1,0) ， n(1 ， 0,1) ， 所 以 | bn| 102 012 1023. (2)依題意得a1(1,0,2)，b(0,1,0)，c(0,0,0)，b1(0,1,2)所以 ba1(1， 1,2)，cb1(0,1,2)，ba1 cb13，|ba1|6，|cb1|5，所以 cos ba1， cb1ba1 cb1|ba1|cb1|11030. (3)依題意，得c1(0,0,2)，m12，12，2 ，a1b(1,1， 2)，c1m1

22、2，12，0 . 所以 a1b c1m12120 0，所以 a1bc1m.所以 a1bc1m. b 組高考題型專練1(2014 高考廣東卷 )已知向量a(1,0，1)，則下列向量中與a 成 60 夾角的是 () a(1,1,0) b(1， 1,0) c(0， 1,1) d(1,0,1) 解析： 經(jīng)檢驗(yàn)，選項(xiàng)b 中向量 (1， 1,0)與向量a (1,0， 1)的夾角的余弦值為12，即它們的夾角為60 ，故選 b. 答案： b 2(2014 高考江西卷 )如圖，在長(zhǎng)方體abcd -a1b1c1d1中， ab11，ad7，aa1 12.一質(zhì)點(diǎn)從頂點(diǎn)a 射向點(diǎn) e(4,3,12)，遇長(zhǎng)方體的面反射(反