1、二次函數(shù)的圖像與性質一、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：y =ax2的性質:a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a >0向上(0，0)y軸x>0時，y隨x的增大而增大；xc0時，y隨 x的增大而減小；X =0時，y有最小值0 .a <0向下（0，0）y軸x>0時，y隨x的增大而減小；xc0時，y隨 x的增大而增大；x=0時，y有最大值0 .a的絕對值越大，拋物線的開口越小。22. y =ax c的性質:上加下減。a的符號:開口方向頂點坐標對稱軸性質a >0向上(0, c)y軸x>0時，y隨x的增大而增大；xc0時，y隨 x的增大而減小；x=0時，y有

2、最小值c .a <0向下(0, c)y軸x>0時，y隨x的增大而減小；xc0時，y隨 x的增大而增大；x=0時，y有最大值c .23. y二a x -h 的性質:左加右減。a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a a0向上(h , 0)X=hx>h時，y隨x的增大而增大；xvh時，y 隨x的增大而減小；x = h時，y有最小值0 .a v0向下(h，0)X=hx>h時，y隨x的增大而減小；x<h時，y 隨x的增大而增大；x = h時，y有最大值0 .24. y=ax-hj4k 的性質:a的符號；開口方向頂點坐標對稱軸性質a >0向上(h, k )X=hx>

3、h時，y隨x的增大而增大；x<h時，y 隨x的增大而減小；x = h時，y有最小值k .a c0向下(h, k )X=hx>h時，y隨x的增大而減小；xch時，y 隨x的增大而增大；x = h時，y有最大值k .、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：2方法一： 將拋物線解析式轉化成頂點式 y =a(xh 2 +k，確定其頂點坐標(h , k )； 保持拋物線y=ax2的形狀不變，將其頂點平移到h , k處，具體平移方法如下：y=ax2A y=ax 2+k向右(h>0)【或左(*0)】平移|k|個單位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|個單位向上(k>0

4、)向上(k>0)【或下(k<0)平移|k個單位向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|個單位【或下(k<0)】平移|k|個單位H y=a(x-h)2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|個單位y=a(x_h)22. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎上h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”.概括成八個字“左加右減，上加下減”方法二：y = ax2 bx c沿y軸平移：向上(下)平移 m個單位，y = ax2 bx c變成2 2y = ax bx c m (或 y = ax bx c - m )y二ax2 bx c沿軸平移：向左(右)平移m個單位，

5、y二ax2 bx c變成y 二 a(x m)2 b(x m) c (或 y =a(x -m)2 b(x - m) c)、二次函數(shù) y=a(xhj+k 與 y=ax2+bx+c 的比較從解析式上看，y =a x-h 亠k與y =ax2，bx - c是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即“ax 42I 2a 丿 4ab2a，,4acb2k 4a四、二次函數(shù)y=ax2 Fx，c圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù) y=ax2，bx化為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2,確定 其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖一般我們選取的五點為：頂點、與 y軸的交點0 , c

6、、以及0 , c關于對稱軸對稱的點 2h , c、 與x軸的交點xi, 0 , X2, 0 (若與x軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點).畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.五、二次函數(shù)y = ax2 bx c的性質1當a 0時，拋物線開口向上，對稱軸為x，頂點坐標為b 4ac -b22a ' 4a當x 時，y隨x的增大而減小；當x b時，y隨x的增大而增大；當x 2a2a2a2時，y有最小值4ac 一.4af2 2. 當acO時，拋物線開口向下，對稱軸為x=-，頂點坐標為,4心當2a2a 4a yx 時，y隨x的增大而增大；當x 時，y隨x

7、的增大而減小；當x 時，y2a2a2a2有最大值4ac-b .4a六、二次函數(shù)解析式的表示方法21. 一般式：y 二ax bx c （ a , b , c為常數(shù)，a=0 ）；2. 頂點式：y 二a（x-h）2（ a , h , k 為常數(shù)，a =0 ）；3. 兩根式：y二a（xxj（xX2）（ a=0,為,x?是拋物線與x軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與 x軸有交點，即b2_4ac_0時，拋物線的解析式才可以用交 點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化七、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關系1. 二次項

8、系數(shù)a二次函數(shù)y =ax2 bx c中，a作為二次項系數(shù)，顯然 a = 0 當a 0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之 a的值越小，開口越大； 當a ：0時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之 a的值越大，開口越大.總結起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，a的大小決定開口的大小.2. 一次項系數(shù)b在二次項系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸.在a 0的前提下，當b 0時，- <0，即拋物線的對稱軸在 y軸左側；2a當b =0時，- =0，即拋物線的對稱軸就是 y軸；2a當b <0時，- b 0，即拋物線對稱軸在 y軸的右側.2a在a

9、 .,0的前提下，結論剛好與上述相反，即當b 0時，b 0，即拋物線的對稱軸在2ay軸右側;當b =0時，=0，即拋物線的對稱軸就是 y軸；2a當b ：0時，一加0，即拋物線對稱軸在y軸的左側.總結起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置.ab的符號的判定：對稱軸 x二在y軸左邊則ab 0 ,在y軸的右側則ab ： 0 ,概括的說就是“左同右異”總結：y軸交點的縱坐標為正； y軸交點的縱坐標為0 ； y軸交點的縱坐標為負.3. 常數(shù)項c 當c 0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與 當c =0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與 當c：0時，拋物線與y軸的交點在x軸下

10、方，即拋物線與 總結起來，c決定了拋物線與y軸交點的位置.總之，只要a , b, c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式， 通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的 解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问剑拍苁菇忸}簡便.一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式八、二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達

11、1. 關于x軸對稱y = a X - b x關于x軸對稱后，得到的解析式是 y = -ax2 -bx -c ；y =a x - h 2 k關于x軸對稱后，得到的解析式是ya x-h2-k ；2. 關于y軸對稱y = a x - bx關于y軸對稱后，得到的解析式是y =ax2 - bx c ；y二a x -h彳k關于y軸對稱后，得到的解析式是y二a x h ? k ；3.關于原點對稱y - -ax2 bx -c ；y = aX - bx關于原點對稱后，得到的解析式是y=a x h -關于原點對稱后，得到的解析式是4.關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）y二aX bx關于頂點對稱

12、后，得到的解析式是y 一ax? _bx c 一丄；2a2y =a X h 亠k關于頂點對稱后，得到的解析式是2y = _a x _h k .5.關于點m , n對稱2 2y =a X -h !亠k關于點 m , n對稱后，得到的解析式是 y二-a x h -2m2n k根據(jù)對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換， 拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化,因此a永遠不變.求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向,定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式.選擇合適再確二次函數(shù)圖像參考:y=2

13、 x2y=2 x2 -4十y=3(x-2) 2y=3(x+4) 2y=-2(x-3)y=-2xy=-2x【例題精講】-、一元二次函數(shù)的圖象的畫法1 2【例1】求作函數(shù)y x2 4x 6的圖象 21 2 1 2【解】y = x 4x 6 = (x 8x 12)2 2J(x24)2 -4 J(x24)2 -22 2以x - -4為中間值，取x的一些值，列表如下:x-7-6-5-4-3-2-1y52032-232052【例2】求作函數(shù)y二X2 4x 3的圖象。【解】y = X2 _4x 3 = -(x2 4x -3)=(x 2)2 一7 = (x 2)27先畫出圖角在對稱軸x - -2的右邊部分，列

14、表x-2-1012y76543【點評】畫二次函數(shù)圖象步驟：(1) 配方；(2)列表；(3)描點成圖；也可利用圖象的對稱性，先畫出函數(shù)的左(右)邊部分圖象，再利用對稱性描出右(左)部分就可。二、一元二次函數(shù)性質【例3】求函數(shù)y =x2 6x 9的最小值及圖象的對稱軸和頂點坐標，并求它的單調區(qū)間。【解】 y = x2 6x 2 = x2 6x 9 - 7 = (x 3)2 - 7由配方結果可知：頂點坐標為(-3, -7)，對稱軸為x = -3 ;1 0當 X3 時，ymin 一7函數(shù)在區(qū)間(-：，-3上是減函數(shù)，在區(qū)間-3, ：)上是增函數(shù)。【例4】求函數(shù)y = -5x2 3x 1圖象的頂點坐標、

15、對稱軸、最值。b _ _3= 32a 2 (-5)104ac -b24a24 ( -5) 1 - 34 (-5)29203 2929函數(shù)圖象的頂點坐標為 （一，），對稱軸為x -10 20 203當x 時，函數(shù)取得最大值 y10-5 : 0maz_ 29"203函數(shù)在區(qū)間（_：,上是增函數(shù)，在區(qū)間-3, ：）上是減函數(shù)。【點評】要研究二次函數(shù)頂點、對稱軸、最值、單調區(qū)間等性質時，方法有兩個：配方法；如例3（2）公式法：適用于不容易配方題目（二次項系數(shù)為負數(shù)或分數(shù)）如例4,可避免出錯。任何一個函數(shù)都可配方成如下形式：y二a（x -匕）2 - 4a_b 0）2a4a【二次函數(shù)題型總結】1

16、. 關于二次函數(shù)的概念2例1如果函數(shù)y =（m-3）xm J3m'2 - mx 1是二次函數(shù)，那么m的值為例2 拋物線y =x2 2x4的開口方向是 ;對稱軸是 ;頂點為。2. 關于二次函數(shù)的性質及圖象例3函數(shù)y = ax bx c（a嚴0）的圖象如圖所示,則 a、b、c，厶，a b c， ab c 的符號例4已知a b + c=0 9a+ 3b+ c=0,則二次函數(shù) y=ax2 + bx + c的圖像的頂點可能在（ ）（A）第一或第二象限（B）第三或第四象限（C）第一或第四象限（D）第二或第三象限3. 確定二次函數(shù)的解析式(A)y = -x2 2x 3(B)y :=x2 -2x -3

17、(C)y - -x2 _ 2x 3(D)y :2-x -2-3例5已知：函數(shù)y二ax2 bx c的圖象如圖：那么函數(shù)解析式為（4. 一次函數(shù)圖像與二次函數(shù)圖像綜合考查例6已知一次函數(shù)y=ax+c二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a豐0）,它們在同一坐標系中的大致圖象是 （）A例7如圖： ABC是邊長為4的等邊三角形，AB在X軸上，點C在第一象限，AC與Y軸交于點D,點A的坐標為（-1 ,0）（ 1）求B、CD三點的坐標；（2）拋物線y二ax2 bx c 經過B、C D三點，求它的解析式；【練習題】-6一、選擇題21. 二次函數(shù)y=x -4x-7的頂點坐標是()A.(2, 11) B.(- 2, 7

18、)C. (2, 11) D.(2, - 3)2. 把拋物線y=-2x2向上平移1個單位，得到的拋物線是()A. y = -2(x 1)2 B. y = -2(x -1)2 C. y = -2x2 1 D. y = -2x2-12k3.函數(shù)y =kx -k和y （k =0）在同一直角坐標系中圖象可能是圖中的（）4. 已知二次函數(shù)y二ax2 bx c（a = 0）的圖象如圖所示,則下列結論：a,b同號； 當x =1和X =3時，函數(shù)值相等；4a b = 0當y二-2時，x的值只能取0.其中正 確的個數(shù)是（）A.1個5. 已知二次函數(shù)由圖象可知關于B.2 個 C. 3 個 D. 42y二ax bx

19、c（a =0）的頂點坐標（-1 , -3.2 ）及部分圖象（如圖）, x的元二次方程 ax2 bx 0的兩個根分別是 x 1.3和x2 口（ ）A. 1 .6.已知二次函數(shù)第一象限第三象限A.C.B.-2.3C.-0.3D.-3.32=ax bxc的圖象如圖所示，B.第二象限D第四象限則點 （ac,bc）在（ ）c22x -x =xA.0 個B.18.已知拋物線過點A(2,0),B(-1,0),A. y = x2C. y = x27.方程的正根的個數(shù)為C.2與y軸交于點x -2B._x -2或 y = -x2D.個.3C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為y = -x2 x 22 、 2y =

20、 -x _x-2或 y = x x 2二、填空題9. 二次函數(shù)y10. 已知拋物線=x2 bx 3的對稱軸是x = 2，y=-2（ x+3）2+5，如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是11. 一個函數(shù)具有下列性質：圖象過點（一 1, 2），當xv 0時，函數(shù)值y隨自變量x的 增大而增大；滿足上述兩條性質的函數(shù)的解析式是 （只寫一個即可）。12拋物線y =2（x-2）2 -6的頂點為C,已知直線y kx 3過點C,則這條直線與兩坐 標軸所圍成的三角形面積為 。2 213.二次函數(shù)y=2x -4x -1的圖象是由y =2x bx c的圖象向左平移1個單位,再向 下平移 2 個單位得到的 ,貝

21、H b= ,c=。14如圖，一橋拱呈拋物線狀,橋的最大高度是 跨度是40米，在線段AB上離中心 M處5米的地方，橋的高度是 L n取3.14）.三、解答題:15.已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是5x 3 = 0,圖象經過（1,-6）,且與y軸的交點為（0,）.2（1）求這個二次函數(shù)的解析式；當x為何值時，這個函數(shù)的函數(shù)值為0?當x在什么范圍內變化時，這個函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而增大？第15題圖.如152二-2x 4, 2x 4等(答案不唯一)三、解答題15 . (1)設拋物線的解析式為2y二ax bx c,由題意可得一32aa b c = _65c = 一L 2 (2) X = -1 或-5解得15125-1 一?所以廠寧存? X ： -316. 某種爆竹點燃后，其上升高度h(米)和時間t (秒)符合關系式h=v0t_gt1 2 (0<t < 2),2其中重力加速度g以10米/秒2計算.這種爆竹點燃后以vo=2O米/秒的初速度上升，(1) 這